Задачи к первым трём лекциям

← Курс · Установка и практика LightHit

В каждом наборе есть аналитическая часть и вычислительная работа с LightHit. Условия приведены без решений.

Задача 1.1. Что измеряет приёмник?

В курсе \(\Phi=\int I\,d\Omega=v_g\rho\) и \(F=\int\Phi\,dt\).

  1. Укажите размерности \(I\), \(\rho\), \(\Phi\), \(F\) и вектора потока \(\mathbf J\).
  2. Выразите число оставшихся фотонов через \(\rho\) и через \(\Phi\).
  3. Для двух встречных пучков одинаковой интенсивности найдите \(\Phi\) и \(\mathbf J\). Почему флюенс нельзя заменить потоком через одну плоскую площадку?

Задача 1.2. Вероятности на малом отрезке

Поглощение и рассеяние независимы, их коэффициенты равны \(\mu_a\) и \(\mu_s\).

  1. Выведите вероятность пролёта длины \(L\) без единого взаимодействия.
  2. Найдите вероятность выжить без поглощения, разрешая любое число рассеяний.
  3. Найдите распределение числа рассеяний при фиксированном времени \(t\) во всём пространстве.
  4. Объясните, почему отбор фотонов, дошедших до заданного приёмника, меняет это распределение.

Задача 1.3. Глобальный баланс

Проинтегрируйте RTE по направлениям и неподвижному объёму \(V\).

  1. Выразите изменение числа фотонов через поток по границе \(\partial V\), источник и поглощение.
  2. Покажите сокращение ухода и прихода при рассеянии для нормированной \(p\).
  3. Для вспышки \(N\) фотонов в бесконечной однородной среде найдите \(N(t)\) и \(\int\Phi\,d^3x\).
  4. Проверьте множитель \(v_g\) в источнике уравнения для \(\rho\) и для \(\Phi\).

Задача 1.4. Поглощение как множитель

Пусть \(I_0\) решает задачу без поглощения для мгновенной вспышки.

  1. Подстановкой в RTE проверьте \(I=e^{-v_g\mu_at}I_0\) при постоянных \(v_g,\mu_a\).
  2. Как поглощение меняет нормированные пространственные моменты выживших фотонов при фиксированном \(t\)?
  3. Почему это рассуждение нельзя непосредственно перенести на распределение траекторий при заданном \(r\), интегрированное по времени?

Задача 1.5. Память о направлении

Для HG используйте \(g_\ell=g^\ell\) и начальное направление \(\hat{\mathbf n}\).

  1. Выведите уравнения для \(\langle\hat{\mathbf s}\rangle\) и \(\langle\mathbf x\rangle\).
  2. Найдите предел центра облака и объясните, почему остановка центра не означает остановку фотонов.
  3. Сравните скорости затухания гармоник \(\ell=1\) и \(\ell=2\).
  4. Объясните различие между вторым моментом и ковариацией облака.

Задача 1.6. Первое знакомство с LightHit

Установите пакет по инструкции и запустите пример 1. На 450 нм используйте \(\mu_a=0.076\), \(\mu_s=0.019\) м\(^{-1}\), \(n_g=1.371323724\); для HG задайте \(g=0.9\).

  1. Независимо вычислите \(v_g\), \(\ell_a\), \(\ell_s\), \(\ell_*\) и сравните с summary.json.
  2. Найдите вероятность не поглотиться на пути 100 м. Отдельно найдите вероятность дойти без единого взаимодействия — прямой свет.
  3. По moments.csv проверьте предел центра направленной вспышки.
  4. Объясните, какие параметры относятся к оптической модели, а какие — к выбранному приближению индикатрисы.

Задача 2.1. Замыкание \(P_1\)

Используйте приближение \(f(\hat{\mathbf s})=A+\mathbf B\cdot\hat{\mathbf s}\), где \(f=I/v_g\).

  1. Выразите \(A,\mathbf B\) через \(\rho\) и \(\mathbf J\).
  2. Проинтегрируйте \(\hat s_i\hat s_j f\) и получите тензор второго углового момента.
  3. Какие угловые распределения уже нельзя описать этой формой?
  4. Объясните, почему сохранение только первых двух моментов само по себе ещё не даёт уравнения диффузии.

Задача 2.2. Телеграфное уравнение со вспышкой

Положите \(\alpha=v_g\mu_a\), \(\mu_s'=\mu_s(1-g)\). Исходите из балансов плотности и потока после \(P_1\)-замыкания.

  1. Исключите \(\mathbf J\), сохранив его производную по времени.
  2. Сохраните источник \(q_0\) при исключении: какие производные источника появляются?
  3. Найдите дисперсионное соотношение и скорость быстрого фронта.
  4. Сравните фронты RTE, телеграфного и диффузионного уравнений.

Задача 2.3. Диффузионная вспышка

Решите \(\partial_t\rho=D\nabla^2\rho-\alpha\rho\) с начальным условием \(\rho(\mathbf x,0)=N\delta^{(3)}(\mathbf x)\).

  1. Найдите пространственный образ Фурье и обратное преобразование.
  2. Проверьте нормировку и второй пространственный момент.
  3. Вычислите скорость флюенса в точке \(r>0\).
  4. Объясните, почему начальная дельта-функция восстанавливается в смысле распределений.

Задача 2.4. Постоянный источник и флюенс вспышки

  1. Проинтегрируйте диффузионную вспышку по времени и найдите \(F(r)\).
  2. Решите стационарное уравнение для источника \(\dot N\) фотонов в единицу времени.
  3. Сопоставьте решения, проверив единицы \(N\), \(\dot N\), \(\rho\) и \(F\).
  4. Проверьте поток через малую сферу вокруг источника.

Задача 2.5. Сдвинутая вспышка

В точном решении направленной вспышки центр стремится к \(\ell_*\hat{\mathbf n}\).

  1. Постройте позднее диффузионное приближение с учётом этого сдвига.
  2. Сравните его первый момент с точным при малом и большом \(t/\tau_*\).
  3. Почему корректный предел центра ещё не гарантирует корректное описание раннего фронта?

Задача 2.6. Работает ли диффузия для воды телескопа?

Запустите пример 2, затем повторите его с --refine.

  1. На 450 нм вычислите \(\mu_a/\mu_s'\) и сравните с условием стационарной диффузии.
  2. По fluence.csv найдите отношение диффузионного флюенса к решению RTE при каждом \(r\).
  3. Отдельно оцените изменение RTE при уточнении численного расчёта и отличие диффузионного приближения.
  4. Объясните, почему хорошая сходимость численного решения не делает диффузионное приближение применимым.

Задача 3.1. Трёхдиагональная цепочка

Разложите изотропный источник и интенсивность по полиномам Лежандра в системе с осью вдоль \(\mathbf k\).

  1. Выведите коэффициенты связи соседних гармоник из рекурсии для \(\mu P_\ell\).
  2. Явно запишите уравнения для \(\ell=0,1,2\).
  3. Проверьте нормировку правой части и равенство \(a_0=\tilde\Phi\).
  4. Объясните, чем номер гармоники \(\ell\) отличается от числа рассеяний \(n\).

Задача 3.2. Цепная дробь и два разных обрыва

  1. Введите \(a_\ell/a_{\ell-1}\) и исключите высшие гармоники.
  2. Объясните знак и квадраты \(1,4,9,\ldots\) в числителях дроби.
  3. Сравните обрыв всей цепочки после \(a_1\) и обрыв только моментов индикатрисы \(g_\ell\) при сохранении свободного хвоста.
  4. Для \(k=0\) восстановите зависимость \(\int\Phi\,d^3x\) от времени.

Задача 3.3. Порядки рассеяния

Пусть \(A_\ell=\tfrac12\int_{-1}^{1}P_\ell(\mu)/(d_0+ik\mu)\,d\mu\).

  1. Вычислите \(A_0\) и найдите предел при \(k\to0\).
  2. Выведите образ порядка 1. Почему в нём \(A_\ell^2\), а не \(|A_\ell|^2\)?
  3. При изотропном рассеянии просуммируйте ряд по числу столкновений.
  4. Проверьте предел исчезающего рассеяния и область сходимости геометрического ряда при \(\mu_a>0\).

Задача 3.4. Эллипсоид и угол рассеяния

Приёмник расположен в \(\mathbf r\), точка рассеяния — \(\mathbf y\), \(s=v_gt\).

  1. Покажите, что фиксированное время задаёт эллипсоид \(\rho_1+\rho_2=s\).
  2. Введите \(\xi=(\rho_1+\rho_2)/r\), \(\eta=(\rho_1-\rho_2)/r\) и вычислите якобиан.
  3. Выведите \(\cos\theta\) через \(\xi,\eta\), различая угол отклонения и внутренний угол треугольника.
  4. Выполните интегрирование дельта-функции по \(\xi\), сохранив размерный множитель.

Задача 3.5. Первый порядок в координатах

  1. При \(p=1/(4\pi)\) вычислите оставшийся интеграл и получите выражение с логарифмом.
  2. Исследуйте пределы \(s\to r^+\) и \(s\gg r\).
  3. Проверьте интегрируемость особенности на фронте во времени.
  4. Сравните поздний хвост при изотропной и HG-индикатрисе, используя \(p(-1)\).

Задача 3.6. Полюс и приближения

Для изотропного рассеяния используйте \(A=\arctan(k/d_0)/k\).

  1. Найдите полюс полного образа и его область существования на физической ветви.
  2. Разложите его положение по \(k\) до члена \(k^4\).
  3. Найдите такое же разложение медленной ветви \(P_1\). Совпадают ли члены \(k^4\)?
  4. Объясните, почему вклад одной моды не восстанавливает весь причинный фронт.

Задача 3.7. Вспышка в LightHit

Запустите пример 3 с обычными и уточнёнными настройками.

  1. Проверьте время прямого фронта и интеграл прямого света по бинам.
  2. Сопоставьте флюенс на единицу площади с ожидаемым числом фотоэлектронов учебного приёмника.
  3. Сравните сумму в конечном временном окне с зарядом по всем временам.
  4. Оцените численную массу до фронта и изменение при --refine. Почему её нельзя молча обнулять?
  5. Объясните, какие дополнительные данные понадобятся для настоящего ОМ Baikal-GVD.