Задачи: Уравнение переноса

Распространение света в среде

Автор

Дмитрий В. Наумов

← Лекция · Все задачи · Практика LightHit

Задача 1.1. Что измеряет приёмник?

В курсе \(\Phi=\int I\,d\Omega=v_g\rho\) и \(F=\int\Phi\,dt\).

  1. Укажите размерности \(I\), \(\rho\), \(\Phi\), \(F\) и вектора потока \(\mathbf J\).
  2. Выразите число оставшихся фотонов через \(\rho\) и через \(\Phi\).
  3. Для двух встречных пучков одинаковой интенсивности найдите \(\Phi\) и \(\mathbf J\). Почему флюенс нельзя заменить потоком через одну плоскую площадку?

Задача 1.2. Вероятности на малом отрезке

Поглощение и рассеяние независимы, их коэффициенты равны \(\mu_a\) и \(\mu_s\).

  1. Выведите вероятность пролёта длины \(L\) без единого взаимодействия.
  2. Найдите вероятность выжить без поглощения, разрешая любое число рассеяний.
  3. Найдите распределение числа рассеяний при фиксированном времени \(t\) во всём пространстве.
  4. Объясните, почему отбор фотонов, дошедших до заданного приёмника, меняет это распределение.

Задача 1.3. Глобальный баланс

Проинтегрируйте RTE по направлениям и неподвижному объёму \(V\).

  1. Выразите изменение числа фотонов через поток по границе \(\partial V\), источник и поглощение.
  2. Покажите сокращение ухода и прихода при рассеянии для нормированной \(p\).
  3. Для вспышки \(N\) фотонов в бесконечной однородной среде найдите \(N(t)\) и \(\int\Phi\,d^3x\).
  4. Проверьте множитель \(v_g\) в источнике уравнения для \(\rho\) и для \(\Phi\).

Задача 1.4. Поглощение как множитель

Пусть \(I_0\) решает задачу без поглощения для мгновенной вспышки.

  1. Подстановкой в RTE проверьте \(I=e^{-v_g\mu_at}I_0\) при постоянных \(v_g,\mu_a\).
  2. Как поглощение меняет нормированные пространственные моменты выживших фотонов при фиксированном \(t\)?
  3. Почему это рассуждение нельзя непосредственно перенести на распределение траекторий при заданном \(r\), интегрированное по времени?

Задача 1.5. Память о направлении

Для HG используйте \(g_\ell=g^\ell\) и начальное направление \(\hat{\mathbf n}\).

  1. Выведите уравнения для \(\langle\hat{\mathbf s}\rangle\) и \(\langle\mathbf x\rangle\).
  2. Найдите предел центра облака и объясните, почему остановка центра не означает остановку фотонов.
  3. Сравните скорости затухания гармоник \(\ell=1\) и \(\ell=2\).
  4. Объясните различие между вторым моментом и ковариацией облака.

Задача 1.6. Первое знакомство с LightHit

Установите пакет по инструкции и запустите пример 1. На 450 нм используйте \(\mu_a=0.076\), \(\mu_s=0.019\) м\(^{-1}\), \(n_g=1.371323724\); для HG задайте \(g=0.9\).

  1. Независимо вычислите \(v_g\), \(\ell_a\), \(\ell_s\), \(\ell_*\) и сравните с summary.json.
  2. Найдите вероятность не поглотиться на пути 100 м. Отдельно найдите вероятность дойти без единого взаимодействия — прямой свет.
  3. По moments.csv проверьте предел центра направленной вспышки.
  4. Объясните, какие параметры относятся к оптической модели, а какие — к выбранному приближению индикатрисы.