Задачи: Изотропный источник: точное решение

Распространение света в среде

Автор

Дмитрий В. Наумов

← Лекция · Все задачи · Практика LightHit

Задача 3.1. Трёхдиагональная цепочка

Разложите изотропный источник и интенсивность по полиномам Лежандра в системе с осью вдоль \(\mathbf k\).

  1. Выведите коэффициенты связи соседних гармоник из рекурсии для \(\mu P_\ell\).
  2. Явно запишите уравнения для \(\ell=0,1,2\).
  3. Проверьте нормировку правой части и равенство \(a_0=\tilde\Phi\).
  4. Объясните, чем номер гармоники \(\ell\) отличается от числа рассеяний \(n\).

Задача 3.2. Цепная дробь и два разных обрыва

  1. Введите \(a_\ell/a_{\ell-1}\) и исключите высшие гармоники.
  2. Объясните знак и квадраты \(1,4,9,\ldots\) в числителях дроби.
  3. Сравните обрыв всей цепочки после \(a_1\) и обрыв только моментов индикатрисы \(g_\ell\) при сохранении свободного хвоста.
  4. Для \(k=0\) восстановите зависимость \(\int\Phi\,d^3x\) от времени.

Задача 3.3. Порядки рассеяния

Пусть \(A_\ell=\tfrac12\int_{-1}^{1}P_\ell(\mu)/(d_0+ik\mu)\,d\mu\).

  1. Вычислите \(A_0\) и найдите предел при \(k\to0\).
  2. Выведите образ порядка 1. Почему в нём \(A_\ell^2\), а не \(|A_\ell|^2\)?
  3. При изотропном рассеянии просуммируйте ряд по числу столкновений.
  4. Проверьте предел исчезающего рассеяния и область сходимости геометрического ряда при \(\mu_a>0\).

Задача 3.4. Эллипсоид и угол рассеяния

Приёмник расположен в \(\mathbf r\), точка рассеяния — \(\mathbf y\), \(s=v_gt\).

  1. Покажите, что фиксированное время задаёт эллипсоид \(\rho_1+\rho_2=s\).
  2. Введите \(\xi=(\rho_1+\rho_2)/r\), \(\eta=(\rho_1-\rho_2)/r\) и вычислите якобиан.
  3. Выведите \(\cos\theta\) через \(\xi,\eta\), различая угол отклонения и внутренний угол треугольника.
  4. Выполните интегрирование дельта-функции по \(\xi\), сохранив размерный множитель.

Задача 3.5. Первый порядок в координатах

  1. При \(p=1/(4\pi)\) вычислите оставшийся интеграл и получите выражение с логарифмом.
  2. Исследуйте пределы \(s\to r^+\) и \(s\gg r\).
  3. Проверьте интегрируемость особенности на фронте во времени.
  4. Сравните поздний хвост при изотропной и HG-индикатрисе, используя \(p(-1)\).

Задача 3.6. Полюс и приближения

Для изотропного рассеяния используйте \(A=\arctan(k/d_0)/k\).

  1. Найдите полюс полного образа и его область существования на физической ветви.
  2. Разложите его положение по \(k\) до члена \(k^4\).
  3. Найдите такое же разложение медленной ветви \(P_1\). Совпадают ли члены \(k^4\)?
  4. Объясните, почему вклад одной моды не восстанавливает весь причинный фронт.

Задача 3.7. Вспышка в LightHit

Запустите пример 3 с обычными и уточнёнными настройками.

  1. Проверьте время прямого фронта и интеграл прямого света по бинам.
  2. Сопоставьте флюенс на единицу площади с ожидаемым числом фотоэлектронов учебного приёмника.
  3. Сравните сумму в конечном временном окне с зарядом по всем временам.
  4. Оцените численную массу до фронта и изменение при --refine. Почему её нельзя молча обнулять?
  5. Объясните, какие дополнительные данные понадобятся для настоящего ОМ Baikal-GVD.