Задачи: Диффузионное приближение

Распространение света в среде

← Лекция · Все задачи · Практика LightHit

Задача 2.1. Замыкание \(P_1\)

Используйте приближение \(f(\hat{\mathbf s})=A+\mathbf B\cdot\hat{\mathbf s}\), где \(f=I/v_g\).

1. Выразите \(A,\mathbf B\) через \(\rho\) и \(\mathbf J\).
2. Проинтегрируйте \(\hat s_i\hat s_j f\) и получите тензор второго углового момента.
3. Какие угловые распределения уже нельзя описать этой формой?
4. Объясните, почему сохранение только первых двух моментов само по себе ещё не даёт уравнения диффузии.

Задача 2.2. Телеграфное уравнение со вспышкой

Положите \(\alpha=v_g\mu_a\), \(\mu_s'=\mu_s(1-g)\). Исходите из балансов плотности и потока после \(P_1\)-замыкания.

1. Исключите \(\mathbf J\), сохранив его производную по времени.
2. Сохраните источник \(q_0\) при исключении: какие производные источника появляются?
3. Найдите дисперсионное соотношение и скорость быстрого фронта.
4. Сравните фронты RTE, телеграфного и диффузионного уравнений.

Задача 2.3. Диффузионная вспышка

Решите \(\partial_t\rho=D\nabla^2\rho-\alpha\rho\) с начальным условием \(\rho(\mathbf x,0)=N\delta^{(3)}(\mathbf x)\).

1. Найдите пространственный образ Фурье и обратное преобразование.
2. Проверьте нормировку и второй пространственный момент.
3. Вычислите скорость флюенса в точке \(r>0\).
4. Объясните, почему начальная дельта-функция восстанавливается в смысле распределений.

Задача 2.4. Постоянный источник и флюенс вспышки

1. Проинтегрируйте диффузионную вспышку по времени и найдите \(F(r)\).
2. Решите стационарное уравнение для источника \(\dot N\) фотонов в единицу времени.
3. Сопоставьте решения, проверив единицы \(N\), \(\dot N\), \(\rho\) и \(F\).
4. Проверьте поток через малую сферу вокруг источника.

Задача 2.5. Сдвинутая вспышка

В точном решении направленной вспышки центр стремится к \(\ell_*\hat{\mathbf n}\).

1. Постройте позднее диффузионное приближение с учётом этого сдвига.
2. Сравните его первый момент с точным при малом и большом \(t/\tau_*\).
3. Почему корректный предел центра ещё не гарантирует корректное описание раннего фронта?

Задача 2.6. Работает ли диффузия для воды телескопа?

Запустите пример 2, затем повторите его с --refine.

1. На 450 нм вычислите \(\mu_a/\mu_s'\) и сравните с условием стационарной диффузии.
2. По fluence.csv найдите отношение диффузионного флюенса к решению RTE при каждом \(r\).
3. Отдельно оцените изменение RTE при уточнении численного расчёта и отличие диффузионного приближения.
4. Объясните, почему хорошая сходимость численного решения не делает диффузионное приближение применимым.