Стандартная модель на \(Z\)-полюсе
Эксперименты на большом электрон-позитронном коллайдере (LEP) в ЦЕРН стали определяющими в прецизионных исследованиях электрослабых взаимодействий.
(i) Рассмотрите распад \(Z\to f\bar{f}\). Массой фермионов пренебрегаем.
a) Покажите, что суммарная поляризация пары фермионов может быть найдена, измерив асимметрию \[A_{LR}^f = \frac{\Gamma(Z\to f_L\bar{f}_R)-\Gamma(Z\to f_R\bar{f}_L)}{\Gamma(Z\to f_L\bar{f}_R)+\Gamma(Z\to f_R\bar{f}_L)}.\]
b) Выразите \(A_{LR}^f\) через электрический заряд \(Q_f\), третью проекцию слабого изоспина \(T_3^f\) фермиона и \(\sin^2\theta_w\) в Стандартной модели.
c) Вычислите \(A_{LR}^f\) для заряженных лептонов, нейтрино, кварков.
(ii) Определим асимметрию «вперёд-назад» для процесса \(e^+e^-\to f\bar{f}\) согласно \[A_{FB}^f = \frac{\int\limits_0^1 d\cos\theta\frac{d\sigma}{d\cos\theta} - \int\limits_{-1}^0 d\cos\theta\frac{d\sigma}{d\cos\theta}}{\int\limits_0^1 d\cos\theta\frac{d\sigma}{d\cos\theta} + \int\limits_{-1}^0 d\cos\theta\frac{d\sigma}{d\cos\theta}}.\]
d) Найдите \(A_{FB}^f\) как функцию \(\sqrt{s}\). Постройте график.
e) Покажите, что при \(\sqrt{s}=m_Z\) асимметрии \(A_{LR}^f\) и \(A_{FB}^f\) связаны \[A_{FB}^f = \frac{3}{4}A_{LR}^e A_{LR}^f.\]
f) Покажите, что при \(\sqrt{s}=m_Z\) \[\sigma(e^+e^-\to f\bar{f}) = \frac{12\pi}{m_Z^2}\frac{\Gamma(Z\to e^+e^-)\Gamma(Z\to f\bar{f})}{\Gamma^2(Z\to \text{ all})}.\]
(iii) Обсудите, как изменятся \(\sigma(e^+e^-\to f\bar{f})\) и \(\Gamma(Z\to \text{ all})\) при наличии четвёртого типа нейтрино.