Могут ли массы зависеть от координаты?
В хиггсовском механизме массы калибровочных и фермионных полей определяются вакуумным средним (VEV) скалярного поля. Возникает естественный вопрос: а можно ли сделать это среднее зависящим от координаты? На первый взгляд, распределение вида \[|\phi(x)|^2 = \frac{v^2}{2}, \quad \phi(x) = \frac{v}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} \sin\theta(x)\\ \cos\theta(x) \end{pmatrix}\] удовлетворяет минимуму потенциала и вроде бы разрешено. Тогда массы частиц можно было бы варьировать от точки к точке. В этом проекте вы разберётесь, почему это не так.
Теоретическая часть
Убедитесь, что любая конфигурация с \(|\phi(x)|^2 = \frac{v^2}{2}\) даёт нуль потенциала. Покажите, что для произвольной \(\theta(x)\) лагранжиан приобретает дополнительную плотность энергии за счёт производных: \[\mathcal{E}_{\text{grad}} \sim (\partial_\mu \theta)^2.\]
Вычислите вклад в полную энергию поля от конфигурации \(\theta(x) = \theta_0 \sin(kx)\). Покажите, что градиентный член неотрицателен и минимален при \(\partial_\mu \theta = 0\).
Подсчитайте типичную плотность энергии в таких конфигурациях и сравните её с плотностью энергии Вселенной сегодня (\(\sim 10^{-47}\) ГэВ\(^4\)). Что нужно, чтобы эффект был заметен?
Оцените характерное время сползания такой конфигурации в вакуум (время релаксации). Какое оно для \(k^{-1} \sim 1\) Мпк? Можно ли наблюдать остатки такого сползания сегодня?
Что происходит с бозонами Голдстоуна при локальной симметрии? Объясните, как \(\theta(x)\) «съедается» калибровочным полем и становится продольной поляризацией массивного калибровочного бозона. Почему при локальной симметрии \(\theta(x)\) можно убрать калибровочным преобразованием и массы частиц от неё не зависят?
Обсудите: если бы массы частиц действительно зависели от координаты, как бы это отразилось на:
спектрах далёких атомов;
отношении частот переходов в разных частях Вселенной;
гравитационном линзировании и наблюдаемом составе звёзд.
Наблюдательные ограничения
Ознакомьтесь с результатами:
поиска вариаций фундаментальных констант: см. данные из спектров квазаров (например, [1]);
экспериментов с атомными часами (разность частот при перемещении по гравитационному потенциалу);
ограничений на наличие доменных стен и других следов неоднородной фазы.
Сделайте вывод: действительно ли \(|\phi(x)| = \text{const}\) — единственно возможное состояние хиггсовского поля во Вселенной? Или есть шанс, что где-то масса электрона была другой?
Литература
1 J. K. Webb, J. A. King, M. T. Murphy et al., Indications of a Spatial Variation of the Fine Structure Constant, Phys. Rev. Lett. 107 191101 (2011) https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.107.191101