Осень · проект 9 из 20

Эксперимент Штерна-Герлаха

Тема: Спин и измерение

Цель: Исследовать траектории спин-1/2 частицы в неоднородном магнитном поле \(\mathbf{B} = \nabla \Phi(x, y, z)\), используя уравнение Паули: \[i\frac{\partial \psi}{\partial t} = \left(\frac{(\widehat{\boldsymbol{P}} - q\boldsymbol{A})^2}{2m} - \frac{q}{2m} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{B}\right)\psi,\] и теорему Эренфеста, и проанализировать влияние начального спина, неоднородности магнитного поля и начальных параметров частицы на её движение.

  1. Уравнения движения: Используйте теорему Эренфеста для вычисления средних значений координат и импульса: \[\frac{d\langle \mathbf{r} \rangle}{dt} = \frac{\langle \mathbf{p} \rangle}{m}, \quad \frac{d\langle \mathbf{p} \rangle}{dt} = \langle \nabla (\boldsymbol{\mu} \cdot \boldsymbol{B}) \rangle,\] где \(\boldsymbol{\mu} = \frac{q}{2m} \boldsymbol{\sigma}\) — магнитный момент частицы (силой Лоренца здесь пренебрегаем).

  2. Начальные условия:

    1. Начальные координаты: \(\langle \mathbf{r}(0) \rangle = (0, 0, 0)\).

    2. Начальный импульс: \(\langle \mathbf{p}(0) \rangle = (p, 0, 0)\).

    3. Начальный спин: вдоль \(+z\)-оси (\(\sigma_z = +1\)) или \(-z\)-оси (\(\sigma_z = -1\)).

  3. Магнитное поле: Рассмотрите неоднородное магнитное поле, заданное, например, через скалярный потенциал \(\Phi(x, y, z)\): \[\mathbf{B} = \nabla \Phi(x, y, z), \quad \Phi(x, y, z) = B_0 z + \frac{B_1}{2} (x^2 - y^2).\] Это поле приближённо моделирует реальную установку для эксперимента Штерна-Герлаха.

  4. Траектории: Численно решите уравнения движения для средних координат \(\langle x(t) \rangle\), \(\langle y(t) \rangle\), \(\langle z(t) \rangle\). Постройте траектории для частиц со спинами вдоль \(+z\) и \(-z\).

  5. Графики:

    1. Траектории \(\langle x(t) \rangle\) и \(\langle z(t) \rangle\) для разных значений начального импульса \(p\), интенсивности поля \(B_0\) и градиента \(B_1\).

    2. Сравнение отклонений для частиц с разными начальными спинами (\(+z\) и \(-z\)).

  6. Анализ: Объясните, как неоднородность поля (\(B_1\)) и параметры частицы (\(p\), \(m\), начальный спин) влияют на траектории. Укажите, почему сила Лоренца в этом эксперименте не влияет на разделение траекторий.

Осень: все проекты, PDF

← Все проекты