Осень · проект 10 из 20

Квантовый ластик и отложенный выбор

Тема: Спин и измерение

Цель проекта: Математически разобрать и численно смоделировать один из самых контринтуитивных экспериментов квантовой механики. Показать, как информация о пути частицы (which-path information) разрушает интерференцию и как корреляция событий позволяет «восстановить» её, не нарушая при этом принцип причинности.

В основе проекта лежит модифицированный двухщелевой эксперимент, где координата частицы на экране \(x\) запутывается с её внутренней степенью свободы (например, спином).

1. Теоретическая часть: запутанность и фаза

Пусть состояния частицы, прошедшей через щели \(A\) и \(B\), описываются функциями \(\psi_A(x)\) и \(\psi_B(x)\). Состояние системы перед экраном имеет вид: \[|\Psi(x)\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \bigl( \psi_A(x)|\uparrow\rangle + \psi_B(x)|\downarrow\rangle \bigr).\]

  1. Уничтожение интерференции Вычислите плотность вероятности обнаружения частицы на экране: \[P(x) = \langle\Psi(x)|\Psi(x)\rangle.\] Покажите, что из-за ортогональности спиновых состояний (\(\langle\uparrow|\downarrow\rangle = 0\)) интерференционный член исчезает. Объясните физический смысл: почему информация, которая в принципе может быть извлечена из спина, убивает волновую картину.

  2. Смена базиса (квантовый ластик) Предположим, мы измеряем спин в диагональном базисе: \[|+\rangle = \frac{|\uparrow\rangle + |\downarrow\rangle}{\sqrt{2}}, \quad |-\rangle = \frac{|\uparrow\rangle - |\downarrow\rangle}{\sqrt{2}}.\] Перепишите состояние \(|\Psi(x)\rangle\) в этом базисе и найдите совместные плотности вероятности \(P(x,\pm)=|\langle\pm|\Psi(x)\rangle|^2\) для подвыборок частиц.

  3. Восстановление картины Покажите, что в распределениях \(P(x,+)\) и \(P(x,-)\) интерференционные члены присутствуют, но сдвинуты по фазе на \(\pi\). Докажите, что: \[P(x,+) + P(x,-) = P(x).\]

2. Практическая часть: моделирование методом Монте-Карло

Для экспериментатора важно понимать, как «магия» превращается в статистику.

  1. Генерация данных Используя python, сгенерируйте массив из \(10^5\) событий. Для каждого события:

    1. Разыграйте координату \(x\) согласно распределению \(P(x)\).

    2. Для каждого \(x\) разыграйте результат измерения спина (\(+\) или \(-\)) с вероятностями \(P(x,+)/P(x)\) и \(P(x,-)/P(x)\).

  2. Сортировка событий Постройте общую гистограмму всех \(x\). Затем, используя результаты измерения спина, постройте две отдельные гистограммы для «плюс-событий» и «минус-событий». Продемонстрируйте, как из бессистемного распределения возникают две интерференционные картины.

3. Обсуждение: причинность и «стирание прошлого»

  1. Парадокс отложенного выбора Представьте, что спин измеряется после того, как частица попала на экран. Объясните, почему это не является сигналом из будущего в прошлое.

  2. Теорема о запрете сверхсветовой связи Обсудите, может ли наблюдатель у экрана мгновенно узнать, какой базис для измерения спина выбрал его коллега в другом конце лаборатории.

  3. Интерпретация Почему фраза «мы стёрли информацию о пути, и частица передумала» является методологически вредной для физика-исследователя?

4. Что сдать

  1. Аналитический расчёт плотностей \(P(x,\pm)\).

  2. Скрипт на python с графиками: общее распределение (без интерференции) и две коррелированные гистограммы (с интерференцией).

  3. Краткое эссе (0.5 страницы) с разрешением парадокса причинности.

Литература

  • Y.-H. Kim, R. Yu, S.P. Kulik, Y. Shih, A Delayed Choice Quantum Eraser, Phys. Rev. Lett. 84, 1 (2000).

  • Р. Фейнман, Фейнмановские лекции по физике, Том 3 (Квантовая механика).

Осень: все проекты, PDF

← Все проекты