Симметрии \(\sigma\)-модели
Лагранжиан \(\sigma\)-модели: \[\begin{aligned} \mathcal{L} &= \frac{1}{2} \big[ (\partial_\mu \sigma)(\partial^\mu \sigma) + (\partial_\mu \boldsymbol{\pi}) \cdot (\partial^\mu \boldsymbol{\pi}) \big] + i \overline{\Psi} \hat{\partial} \Psi + g \overline{\Psi} (\sigma + i \boldsymbol{\tau} \cdot \boldsymbol{\pi} \gamma_5) \Psi\\ &- \frac{m^2}{2} (\sigma^2 + \boldsymbol{\pi}^2) - \frac{\lambda}{4} (\sigma^2 + \boldsymbol{\pi}^2)^2, \end{aligned}\] где
\(\sigma(x)\) — скалярное поле,
\(\boldsymbol{\pi}(x)\) — трёхкомпонентное скалярное поле,
\(\Psi(x)\) — дублет фермионных полей,
\(\boldsymbol{\tau}\) — матрицы Паули.
Симметрия: Докажите, что лагранжиан \(\mathcal{L}\) обладает следующей симметрией: \[\sigma(x) \to \sigma(x),\] \[\boldsymbol{\pi}(x) \to \boldsymbol{\pi}(x) - \boldsymbol{\alpha} \times \boldsymbol{\pi}(x),\] \[\Psi(x) \to \Psi(x) + i \frac{\boldsymbol{\alpha} \cdot \boldsymbol{\tau}}{2} \Psi(x),\] где \(\boldsymbol{\alpha}\) — 3-вектор бесконечно-малых параметров преобразования. Найдите соответствующий нётеровский ток.