\(\pi^+\pi^-\)-атом
Цель: Исследовать свойства \(\pi^+\pi^-\)-атома с учётом кулоновского и сильного взаимодействий. Рассчитать энергию связи, поправку за счёт сильного взаимодействия и сравнить с экспериментальными данными.
Кулоновская энергия связи: Вычислите основное значение энергии \(1s\)-состояния с учётом только электромагнитного взаимодействия. Оцените величину боровского радиуса.
Поправка от сильного взаимодействия: Рассчитайте поправку \(\Delta E\) к энергии связи \(1s\)-состояния по формуле: \[\Delta E = \frac{\int\limits_0^\infty |R_{1s}|^2V_{\text{strong}}(r) r^2 dr}{\int\limits_0^\infty |R_{1s}|^2r^2 dr},\] используя три различных потенциала для сильного взаимодействия:
Контактный потенциал (дельта-функция): \[V_{\text{strong}}(r) = -\frac{4\pi a_0}{\mu} \delta^3(r),\] где \(\mu = m_\pi\), \(a_0 \approx 0.22\,m_\pi^{-1} \approx 0.31\,\mathrm{fm}\) — длина рассеяния \(\pi\pi\) в состоянии с изоспином \(I=0\).
Потенциал конечного радиуса (ступенька): \[V_{\text{strong}}(r) = \begin{cases} -V_0, & r \leq R_{\text{strong}}, \\ 0, & r > R_{\text{strong}}, \end{cases}\] где \(V_0 \sim 100\,\mathrm{MeV}, \quad R_{\text{strong}} \sim 1\,\mathrm{fm}\).
Юкавский потенциал: \[V_{\text{strong}}(r) = -g^2 \frac{e^{-\mu_s r}}{r},\] где \(g^2\) — константа сильного взаимодействия, \(\mu_s \sim 1\,\mathrm{fm}^{-1}\).
Сравните полученные значения \(\Delta E\) с экспериментальными данными.
Постройте графики зависимости \(\Delta E\) от параметров \(a_0\), \(V_0\), \(g^2\) для трёх предложенных моделей потенциала в сравнении с экспериментом.
Проанализируйте вклад сильного взаимодействия в общую энергию связи.