Осень · проект 19 из 20

Уровни Ландау: от нерелятивистских частиц к графену

Тема: Калибровочные поля и квантование движения

Цель проекта: Изучить квантование движения заряженной частицы в однородном магнитном поле. Показать, как магнитное поле приводит к дискретному спектру (уровням Ландау), как выбор калибровки влияет на вид волновых функций, и сравнить спектр для обычных электронов и безмассовых дираковских фермионов (эффективное описание графена).

Проект связывает стандартную квантовую механику, физику конденсированного состояния и релятивистские уравнения, лежащие в основе квантовой теории поля.

Рассматривается движение частицы в плоскости \((x,y)\) в однородном магнитном поле \(\boldsymbol{B} = B\,\hat{\boldsymbol{z}}\).

1. Теоретическая часть: осцилляторная структура

В магнитном поле трансляционная инвариантность нарушается, и свободное движение частицы квантуется.

Для решения удобно использовать калибровку Ландау: \[\boldsymbol{A} = (0,Bx,0).\]

  1. Гамильтониан и интегралы движения

    Запишите гамильтониан заряженной частицы: \[H=\frac{1}{2m}\left[ p_x^2 + (p_y - qBx)^2 \right].\]

    1. Покажите, что оператор \(p_y\) коммутирует с гамильтонианом.

    2. Используя подстановку \(\psi(x,y)=e^{ik_y y}\phi(x)\), сведите задачу к одномерному гармоническому осциллятору.

  2. Спектр уровней Ландау и вырождение

    1. Найдите энергетический спектр: \[E_n=\hbar\omega_c\left(n+\frac12\right), \qquad \omega_c=\frac{|q|B}{m}.\]

    2. Определите положение центра осциллятора \(x_0\).

    3. Объясните физический смысл бесконечного вырождения уровней и его связь с трансляционной симметрией вдоль оси \(y\).

  3. Релятивистский случай: безмассовые фермионы Дирака (графен)

    Рассмотрите уравнение Дирака для безмассовых частиц в магнитном поле, которое эффективно описывает электроны в графене: \[H=v_F\,\boldsymbol{\sigma}\cdot\left(\boldsymbol{p} - q\boldsymbol{A}\right).\]

    1. Покажите, что спектр уровней Ландау имеет вид \[E_n=\pm v_F\sqrt{2|q|B\hbar\,n}, \qquad n=0,1,2,\dots\]

    2. Объясните качественное отличие этого спектра от нерелятивистского случая.

2. Практическая часть: визуализация и плотность состояний

Цель — наглядно увидеть уровни Ландау и их физические последствия.

  1. Волновые функции

    Постройте плотность вероятности \(|\psi(x,y)|^2\) для первых нескольких уровней Ландау.

    1. Покажите, как положение максимума зависит от волнового вектора \(k_y\).

    2. Проиллюстрируйте локализацию состояний в магнитном поле.

  2. Сравнение спектров

    Постройте зависимости энергии \(E_n(B)\) для:

    1. нерелятивистского электрона;

    2. безмассового фермиона Дирака (графен).

    Подчеркните различие линейной и корневой зависимости от \(B\).

  3. Плотность состояний (DOS)

    Смоделируйте плотность состояний, заменив \(\delta\)-пики уровней Ландау узкими гауссианами (эффект уширения уровней).

    1. Постройте DOS для разных значений \(B\).

    2. Покажите, как дискретная структура исчезает при \(B\to0\).

3. Обсуждение и связь с квантовой теорией поля

  1. Квантовый эффект Холла

    Объясните, как наличие щели между уровнями Ландау приводит к появлению плато холловской проводимости. Какую роль играет вырождение уровней?

  2. Магнитная длина

    Введите магнитную длину \[\ell_B=\sqrt{\frac{\hbar}{|q|B}}.\] Обсудите её физический смысл и роль как фундаментального масштаба в задачах со сильными магнитными полями (графен, нейтронные звёзды, КТП в сильных полях).

  3. Нулевой уровень и топология

    В случае графена существует уровень с энергией \(E=0\). Обсудите его связь с киральной симметрией, спектральной асимметрией и топологическими свойствами системы.

4. Что сдать

  1. Вывод уровней Ландау для уравнения Шрёдингера и уравнения Дирака.

  2. Графики волновых функций и спектров.

  3. Численную модель плотности состояний.

Литература

  • Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Квантовая механика (§112).

  • A. H. Castro Neto et al., The electronic properties of graphene, Rev. Mod. Phys. 81, 109 (2009).

  • D. Tong, Lectures on the Quantum Hall Effect, arXiv:1606.06687.

Осень: все проекты, PDF

← Все проекты