Осень · проект 20 из 20

Эффект Ааронова–Бома и калибровочная инвариантность

Тема: Калибровочные поля и квантование движения

Цель проекта: Понять, почему в квантовой механике калибровочный потенциал \(\boldsymbol{A}\) является физически значимой величиной, несмотря на то что классическая сила зависит только от магнитного поля \(\boldsymbol{B}\). Показать, что эффект Ааронова–Бома является топологическим и наблюдается как сдвиг интерференционной картины.

Рассматривается интерференция электронов в присутствии бесконечно длинного тонкого соленоида с магнитным потоком \(\Phi\), при этом \[\boldsymbol{B} = 0 \quad \text{в области движения электронов}.\]

1. Теоретическая часть: фаза и калибровочный потенциал

В классической электродинамике частица чувствует только локальное поле \(\boldsymbol{B}=\nabla\times\boldsymbol{A}\). В квантовой механике фазовая структура волновой функции делает векторный потенциал \(\boldsymbol{A}\) наблюдаемым.

  1. Уравнение Шрёдингера с векторным потенциалом

    Рассмотрите уравнение Шрёдингера для частицы заряда \(q\): \[i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} = \frac{1}{2m}\left( - i\hbar\nabla - q\boldsymbol{A} \right)^2\psi .\]

    Поясните, почему даже при \(\boldsymbol{B}=0\) потенциал \(\boldsymbol{A}\) может влиять на фазу волновой функции.

  2. Фазовый множитель

    Пусть \(\psi_0(\boldsymbol{r},t)\) — решение уравнения Шрёдингера при \(\boldsymbol{A}=0\). Покажите, что при ненулевом \(\boldsymbol{A}\) решение можно записать в виде \[\psi(\boldsymbol{r},t) = \exp\!\left( \frac{i q}{\hbar} \int_{\mathcal C} \boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{l} \right) \psi_0(\boldsymbol{r},t),\] где интеграл берётся вдоль траектории частицы.

  3. Разность фаз в интерферометре

    Рассмотрите двухщелевой эксперимент. Пусть электрон проходит по двум траекториям \(\mathcal C_1\) и \(\mathcal C_2\), охватывающим соленоид.

    Покажите, что разность фаз равна \[\Delta\varphi = \frac{q}{\hbar} \oint \boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{l} = \frac{q\Phi}{\hbar}.\]

    Объясните, почему результат зависит только от магнитного потока \(\Phi\), а не от формы траекторий.

2. Практическая часть: моделирование интерференции

Цель — численно показать, что изменение магнитного потока приводит к сдвигу интерференционных полос.

  1. Интерференционная картина

    Смоделируйте интенсивность на экране: \[I(x) = I_0\left[ 1+\cos\!\left( \frac{2\pi d}{\lambda L}x + \frac{q\Phi}{\hbar} \right) \right],\] где \(d\) — расстояние между щелями, \(L\) — расстояние до экрана, \(\lambda\) — длина волны де Бройля электронов.

    Постройте \(I(x)\) для нескольких значений \(\Phi\).

    Выведите эту формулу.

  2. Анимация

    Постройте анимацию, показывающую, как интерференционная картина смещается при изменении \[\Phi \in [0,\,\Phi_0], \qquad \Phi_0=\frac{h}{q}.\]

  3. Монте-Карло

    Смоделируйте попадание отдельных электронов на экран:

    1. разыграйте координаты попаданий согласно распределению \(I(x)\);

    2. постройте гистограммы для разных значений \(\Phi\);

    3. покажите, как интерференционная картина возникает статистически.

3. Обсуждение и физический смысл

  1. Калибровочная инвариантность

    Объясните, почему фаза волновой функции зависит от выбора калибровки, но наблюдаемая разность фаз \(\Delta\varphi\) — нет.

  2. Топологический характер

    Поясните, почему сдвиг картины периодичен по потоку с периодом \(\Phi_0\) (целое число квантов потока не наблюдаемо, важна лишь дробная часть \(\Phi/\Phi_0\)) и не чувствителен к локальным деформациям траекторий.

4. Что сдать

  1. Теоретический вывод.

  2. Анимацию интерференционной картины.

  3. Минимальный git-репозиторий с кодом (python) и отчётом.

Литература

  • Y. Aharonov, D. Bohm, Significance of electromagnetic potentials in the quantum theory, Phys. Rev. 115, 485 (1959).
Осень: все проекты, PDF

← Все проекты