Осень · проект 18 из 20

Фаза Берри

Тема: Геометрические эффекты

Краткая теоретическая справка: геометрическая фаза и калибровочная структура

Рассмотрим гамильтониан \(H(\boldsymbol{R})\), зависящий от набора внешних параметров \(\boldsymbol{R}\), и его собственные состояния \[H(\boldsymbol{R})\,|n(\boldsymbol{R})\rangle = E_n(\boldsymbol{R})\,|n(\boldsymbol{R})\rangle,\] предполагая, что уровень \(E_n\) невырожден.

Если параметры \(\boldsymbol{R}(t)\) меняются медленно (адиабатически), то при начальном состоянии \(|n(\boldsymbol{R}(0))\rangle\) решение уравнения Шрёдингера имеет вид \[|\psi(t)\rangle = e^{i\alpha_n(t)}\,|n(\boldsymbol{R}(t))\rangle,\] где фаза \(\alpha_n(t)\) удовлетворяет \[\dot\alpha_n(t) = - E_n(t) + i\langle n(\boldsymbol{R}(t))|\dot n(\boldsymbol{R}(t))\rangle.\]

Интегрируя по времени, получаем \[\alpha_n(T) = -\int_0^T E_n(t)\,dt + \gamma_{\mathrm B},\] где \[\gamma_{\mathrm B} = i\int_0^T \langle n(\boldsymbol{R}(t))|\dot n(\boldsymbol{R}(t))\rangle\,dt = i\oint_C \langle n|\nabla_{\boldsymbol{R}}n\rangle\cdot d\boldsymbol{R}.\]

Величина \[\boldsymbol{\mathcal A}(\boldsymbol{R}) = i\langle n(\boldsymbol{R})|\nabla_{\boldsymbol{R}}n(\boldsymbol{R})\rangle\] называется калибровочным потенциалом Берри. При фазовом преобразовании собственных состояний \[|n(\boldsymbol{R})\rangle \to e^{i\chi(\boldsymbol{R})}|n(\boldsymbol{R})\rangle\] он трансформируется как \[\boldsymbol{\mathcal A}\to \boldsymbol{\mathcal A}-\nabla_{\boldsymbol{R}}\chi,\] что полностью аналогично калибровочному потенциалу электродинамики.

Физически наблюдаемой величиной является не сам потенциал, а его кривизна \[\boldsymbol{\mathcal F} = \nabla_{\boldsymbol{R}}\times\boldsymbol{\mathcal A},\] которая инвариантна относительно калибровочных преобразований. Для замкнутого контура \(C\) фаза Берри выражается через поток этой кривизны: \[\gamma_{\mathrm B} = \int_S \boldsymbol{\mathcal F}\cdot d\boldsymbol{S},\] где \(S\) — поверхность, натянутая на контур \(C\) в пространстве параметров.

Таким образом, геометрическая фаза определяется исключительно геометрией пути в пространстве параметров и не зависит от скорости его прохождения.

Цель: Построить измеримый протокол для фазы Берри спина \(\tfrac12\) в медленно меняющемся магнитном поле, показать, что геометрическая фаза является следствием калибровочной структуры пространства собственных состояний, отделить её от динамической фазы и численно проверить условия адиабатичности.

  1. Два пути в пространстве параметров: одинаковая динамика, разная геометрия

    Рассмотрите магнитное поле фиксированного модуля \(B_0\) с направлением \[\boldsymbol{n}(t)=\frac{\boldsymbol{B}(t)}{B_0}, \qquad |\boldsymbol{n}(t)|=1,\] и гамильтониан \[H(t)=-\gamma B_0\, \boldsymbol{n}(t)\cdot \boldsymbol{S}.\]

    Постройте две циклические эволюции \(\boldsymbol{n}_A(t)\) и \(\boldsymbol{n}_B(t)\) на сфере направлений так, чтобы

    1. телесные углы \(\Omega_A\neq \Omega_B\) различались;

    2. при этом динамическая фаза совпадала: \[\int_0^T E_0(t)\,dt \ \ \text{одинакова для путей $A$ и $B$}.\]

    Замечание. Можно взять два конуса с разными \(\theta\) и подобрать времена так, чтобы \(\int_0^T |B(t)|\,dt\) совпало (или зафиксировать \(B_0\) и одинаковое \(T\)).

  2. Интерференционный протокол

    Рассмотрите «рамзей-подобный» протокол для двухуровневой системы (спина):

    1. подготовить суперпозицию двух собственных состояний \(H(0)\);

    2. в одной ветви (плече интерферометра) реализовать путь \(A\), в другой — путь \(B\);

    3. в конце сделать проекцию на исходный базис и измерить интерференционный сигнал.

    Сформулируйте, как наблюдаемая фаза интерференции зависит от \[\Delta\gamma = \gamma_B(A)-\gamma_B(B).\] Поясните, почему именно разность геометрических фаз является физически наблюдаемой, а «абсолютная» фаза зависит от выбора калибровки собственных векторов.

  3. Калибровочная структура: связь Берри и «магнитный монополь» в пространстве параметров

    Определите калибровочный потенциал Берри для основного состояния: \[\boldsymbol{\mathcal A}(\boldsymbol{n}) = i\langle 0(\boldsymbol{n})|\nabla_{\boldsymbol{n}}\,|0(\boldsymbol{n})\rangle.\]

    1. Покажите, что при преобразовании фазового выбора \(|0\rangle\to e^{i\chi(\boldsymbol{n})}|0\rangle\) потенциал меняется как \(\boldsymbol{\mathcal A}\to \boldsymbol{\mathcal A}-\nabla_{\boldsymbol{n}}\chi\).

    2. Вычислите кривизну (поле Берри) \[\boldsymbol{\mathcal F} = \nabla_{\boldsymbol{n}}\times \boldsymbol{\mathcal A},\] и интерпретируйте её как поле «монополя» в пространстве направлений \(\boldsymbol{n}\).

    3. Выберите две разные калибровки собственных состояний (например, сингулярные на северном и южном полушариях сферы направлений \(\boldsymbol{n}\)) и покажите, что:

      1. потенциал Берри \(\boldsymbol{\mathcal A}\) зависит от выбора калибровки;

      2. кривизна \(\boldsymbol{\mathcal F}\) и фаза \(\gamma_{\mathrm B}\) для замкнутого контура остаются неизменными.

  4. Численная проверка: адиабатичность и ошибка переходов

    Реализуйте численное решение уравнения Шрёдингера \[i\frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle = H(t)|\psi(t)\rangle\] для путей \(A\) и \(B\).

    1. Постройте вероятность остаться в основном состоянии: \[P_0(t)=|\langle 0(t)|\psi(t)\rangle|^2.\]

    2. Введите безразмерный параметр адиабатичности \[\epsilon(t)=\frac{|\langle 1(t)|\dot H(t)|0(t)\rangle|}{(E_1(t)-E_0(t))^2},\] и проверьте связь: чем меньше \(\max_t \epsilon(t)\), тем ближе \(P_0(T)\) к \(1\).

    3. Для фиксированного пути (например, конуса) исследуйте зависимость ошибки \[1-P_0(T)\] от периода \(T\) (логарифмический график).

  5. Извлечение геометрической фазы из численного решения

    Численно извлеките полную фазу перекрытия \[\Phi_{\text{tot}} = \arg \langle \psi(0)|\psi(T)\rangle,\] и отделите динамическую часть \[\Phi_{\text{dyn}} = -\int_0^T \langle \psi(t)|H(t)|\psi(t)\rangle\,dt.\] Определите численную оценку геометрической фазы как \[\Phi_{\text{geom}} = \Phi_{\text{tot}}-\Phi_{\text{dyn}},\] и сравните \(\Phi_{\text{geom}}(A)-\Phi_{\text{geom}}(B)\) с предсказанием через телесные углы \(\Omega_{A,B}\).

  6. Наблюдаемость и робастность

    1. Добавьте малый шум направления поля: \(\boldsymbol{n}(t)\to \boldsymbol{n}(t)+\delta\boldsymbol{n}(t)\), с последующей нормировкой на единичную сферу. Проверьте, что результат зависит главным образом от геометрии контура (телесного угла), а не от деталей параметризации по времени.

    2. Обсудите, в каком смысле геометрическая фаза «устойчива», и где эта устойчивость заканчивается (нарушение адиабатичности, пересечение вырождений).

  7. Что сдать

    1. Краткий теоретический вывод (1–2 страницы): интерференционный протокол, калибровка, \(\Delta\gamma\) как наблюдаемая величина.

    2. Численные графики: \(P_0(t)\), \(\epsilon(t)\), зависимость \(1-P_0(T)\), а также сравнение \(\Phi_{\text{geom}}\) с геометрическим предсказанием.

    3. Минимальный репозиторий git: код (python), короткий README, итоговый LaTeX-отчёт.

  8. Литература

    • M. V. Berry, Quantal phase factors accompanying adiabatic changes, Proc. R. Soc. A 392, 45 (1984).
Осень: все проекты, PDF

← Все проекты