Тахион
Тахион — это гипотетическая частица, движущаяся со скоростью, превышающей скорость света. Часто это интерпретируется как возможность передавать сверхсветовые сигналы. Исследуйте вопрос: так ли это?
Рассмотрите цепочку из маятников в однородном гравитационном поле, подвешенных к общему основанию и соединенных пружинками. Расстояние между маятниками равно \(a\).
Покажите, что функция Лагранжа для этой системы имеет вид: \[L = \sum_i \left(A\dot{\phi}^2_i-B(\phi_i-\phi_{i-1})^2 - C(1-\cos\phi_i)\right),\] где \(\phi_i\) — угол отклонения \(i\)-го маятника от положения равновесия. Определите \(A\), \(B\), \(C\).
Сделайте переход к бесконечному числу маятников в пределе \(a\to 0\). Покажите, что лагранжиан эквивалентен \[\mathcal{L} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial\phi}{\partial t}\right)^2-\frac{1}{2}\left(\frac{\partial\phi}{\partial x}\right)^2-m^2(1-\cos\phi).\]
Получите уравнение движения поля \(\phi\): \[\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}-\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+m^2\sin\phi=0.\]
В случае малого отклонения от положения устойчивого равновесия \(\phi=0\) получается обычное уравнение Клейна-Фока-Гордона: \[\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}-\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+m^2\phi=0.\]
В случае малого отклонения от положения неустойчивого равновесия \(\phi=\pi\) получается уравнение Клейна-Фока-Гордона с отрицательным квадратом массы: \[\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}-\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}-m^2\phi=0.\] Формально, плоская волна \(\phi = e^{-i\omega t+ikx}\) даёт: \[\omega^2 = k^2-m^2, \quad \text{и групповая скорость} \quad v_g = \frac{\partial \omega}{\partial k} = \frac{k}{\omega}>1.\]
Покажите, что решение уравнения: \[\left(\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\frac{\partial^2}{\partial x^2}-m^2\right)\phi=\delta(t)\delta(x)\] распространяется не быстрее света: запаздывающая функция Грина равна нулю вне светового конуса.