Осень · проект 5 из 20

Парадокс Клейна

Тема: Релятивистская квантовая механика

Цель: Исследовать рассеяние релятивистского фермиона на потенциальной ступеньке в рамках уравнения Дирака, понять происхождение так называемого парадокса Клейна и показать, что он исчезает при корректной интерпретации плотности тока и спектра состояний.

Рассматривается одномерная задача рассеяния фермиона массой \(m\) на потенциальной ступеньке \[V(x)=V_0\,\theta(x),\] в рамках одночастичного уравнения Дирака, без вторичного квантования.

  1. Уравнение Дирака в 1+1 измерениях

    Рассмотрите стационарное уравнение Дирака \[\left[ -i\gamma^0\gamma^1\partial_x + \gamma^0 m + V(x) \right]\psi(x)=E\psi(x).\]

    1. Выберите явное представление \(\gamma\)-матриц в 1+1 измерениях.

    2. Запишите уравнение в матричном виде и найдите плоские волновые решения в областях \(x<0\) и \(x>0\).

  2. Спектр и волновые векторы

    Для областей: \[\text{I: } x<0, \quad V=0, \qquad \text{II: } x>0, \quad V=V_0,\] найдите соответствующие волновые векторы \(k_1\), \(k_2\).

    1. Покажите, что при \[E<V_0-m\] волновой вектор \(k_2\) остаётся вещественным.

    2. Объясните, почему этот режим отсутствует в нерелятивистской теории.

  3. Граничные условия

    Запишите полное решение в виде: \[\psi_I = \psi_{\text{in}} + R\,\psi_{\text{ref}}, \qquad \psi_{II}=T\,\psi_{\text{tr}},\] и наложите условия непрерывности волновой функции при \(x=0\).

    1. Найдите коэффициенты отражения \(R\) и прохождения \(T\).

    2. Проверьте, что \(R+T\neq1\) при наивном определении вероятности.

  4. Плотность тока

    Определите плотность тока Дирака \[j^\mu=\bar{\psi}\gamma^\mu\psi, \qquad j^x=\psi^\dagger\alpha\psi.\]

    1. Вычислите ток для падающей, отражённой и прошедшей волн.

    2. Покажите, что закон сохранения тока \[j_{\text{in}}=j_{\text{ref}}+j_{\text{tr}}\] выполняется строго.

    3. Объясните, почему при этом возможно \(|R|>1\).

  5. Групповая скорость и интерпретация

    1. Вычислите групповую скорость \[v_g=\frac{dE}{dk}\] в области II.

    2. Покажите, что знак групповой скорости и знак тока совпадают.

    3. Объясните, почему решение в области \(x>0\) соответствует состояниям с отрицательной энергией относительно локального вакуума.

  6. Физическая интерпретация

    1. Объясните исчезновение парадокса при интерпретации решений как состояний античастиц.

    2. Обсудите, почему язык частиц и античастиц возникает уже на уровне одночастичного уравнения Дирака.

    3. Сравните с нерелятивистским случаем (уравнение Шрёдингера).

  7. Численный анализ

    С использованием python:

    1. Постройте зависимости \(R(E)\) и \(T(E)\) для различных значений \(V_0\).

    2. Отметьте область \(E<V_0-m\).

    3. Постройте токи \(j_{\text{in}}\), \(j_{\text{ref}}\), \(j_{\text{tr}}\) и проверьте их баланс.

  8. Обсуждение

    1. Где именно возникает «парадокс» при неправильной интерпретации?

    2. Почему парадокс Клейна не является нарушением причинности?

    3. Какие элементы этого анализа требуют вторичного квантования, а какие — нет?

  9. Литература

    • B. R. Holstein, Klein’s paradox, Am. J. Phys. 66, 507 (1998).

    • P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics.

    • W. Greiner, Relativistic Quantum Mechanics.

Осень: все проекты, PDF

← Все проекты