Уравнение Дирака в 1+1 измерениях
Рассмотрите уравнение Дирака в одном пространственном и одном временном измерениях.
Найдите явный вид \(\gamma^\mu\) матриц, удовлетворяющих соотношению \[\gamma^\mu\gamma^\nu+\gamma^\nu\gamma^\mu=2g^{\mu\nu}.\]
Найдите \(\gamma^5\).
Предполагая массу фермиона равной нулю, покажите, что получаются два независимых уравнения движения для частиц, движущихся влево и вправо.
Покажите, что сохраняются токи: \[\partial_\mu\left(\overline{\psi}\gamma^\mu\left(\frac{1-\gamma^5}{2}\right)\psi\right)=0, \quad \partial_\mu\left(\overline{\psi}\gamma^\mu\left(\frac{1+\gamma^5}{2}\right)\psi\right)=0.\]
Включите электрическое поле \(A^1\), постоянное в пространстве и медленно меняющееся со временем. Найдите гамильтониан и его собственные значения, считая, что ось \(x\) имеет конечную длину \(L\) и накладывая периодические граничные условия. Нарисуйте спектр энергий для левых и правых фермионов.
Что произойдет со спектром энергии, если медленно изменить \(A^1\) на \[\Delta A^1 = \frac{2\pi}{eL}?\]