Теории Великого Объединения
Этот раздел фокусируется на попытках объединения фундаментальных взаимодействий (сильного, слабого, электромагнитного) в рамках простых калибровочных групп, таких как \(SU(5)\). Задачи включают построение модели, изучение механизма спонтанного нарушения симметрии, предсказание распада протона и генерацию масс нейтрино через минимальный оператор размерности 5.
Рассмотрите калибровочную группу Стандартной модели (СМ) \(SU(3)_c \otimes SU(2)_L \otimes U(1)_Y\). Опишите, как преобразуются поля СМ относительно калибровочных преобразований этой группы. Постройте ковариантные производные для полей СМ. Проведите процедуру спонтанного нарушения симметрии \[SU(3)_c \otimes SU(2)_L \otimes U(1)_Y \rightarrow SU(3)_c \otimes U(1)_{\text{em}}.\]
Рассмотрите группу \(SU(5)\) как группу ТВО. Покажите вложение \(SU(3)_c \otimes SU(2)_L \otimes U(1)_Y \subset SU(5)\). Перечислите представления группы \(SU(5)\), а также произведите размещение левых фермионов в \(1 + \overline{5} + 10\) представлениях. Калибровочные бозоны в \(SU(5)\).
Спонтанное нарушение симметрии в \(SU(5)\). Цепочка \[SU(5) \rightarrow SU(3)_c \otimes SU(2)_L \otimes U(1)_Y \rightarrow SU(3)_c \otimes U(1)_{\text{em}}.\] Проблема точной подстройки параметров Хиггса.
Распад протона. Рассмотрите процесс \(p \rightarrow \overline{\nu}\pi^+\) в эффективном низкоэнергетическом лагранжиане, рассчитайте среднее время жизни протона. Обсудите роль \(B-L\) симметрии. Приведите современные экспериментальные ограничения на время жизни протона и опишите принцип работы детекторов, предназначенных для его поиска.
Рассмотрите механизм seesaw (качелей) для генерации малых масс нейтрино. Ограничьтесь случаем одного поколения лептонов. Постройте наиболее общую юкавскую часть лагранжиана, включающую дираковский и майорановский массовые члены для нейтрино. Покажите, что в низкоэнергетическом эффективном действии возникает единственный массовый оператор размерности 5 (оператор Вайнберга). Получите предсказание массы нейтрино с масштабом GUT \(\sim 10^{15}\) ГэВ.