Ширина нестабильных частиц
В нерелятивистской квантовой механике нестабильность частицы описывается комплексным потенциалом или функцией \(\psi(t) \sim e^{-iEt - \Gamma t/2}\). В квантовой теории поля ширина распада возникает из мнимой части собственной энергии.
В этом проекте вы проследите, как ширина появляется из диаграмм и как она связана с наблюдаемыми величинами.
Теоретическая часть
Пусть скалярное поле \(\phi\) взаимодействует с лёгким полем \(\chi\) через: \[\mathcal{L}_{\text{int}} = -g \phi \chi^2.\] Нарисуйте диаграмму собственной энергии \(\phi\) второго порядка по \(g\). Вычислите мнимую часть петли с помощью оптической теоремы.
Покажите, что полю \(\phi\) соответствует модифицированный пропагатор: \[\frac{i}{p^2 - m^2 + i m\Gamma}.\] Объясните физический смысл \(\Gamma\), сравнив с экспоненциальным законом распада.
Покажите, что наблюдаемое сечение рассеяния на резонансе имеет форму Брейта–Вигнера: \[\sigma(E) \propto \frac{1}{(E - m)^2 + (\Gamma/2)^2}.\] Выведите это выражение из полной амплитуды с промежуточным состоянием поля \(\phi\).
Объясните, почему нельзя говорить о фиксированной массе нестабильной частицы. Каков смысл диаграммы с распадом \(A \to B\phi \to B\chi\chi\)?
Обсудите, как ширина распада связана с измерением массы: почему масса \(Z\)-бозона определяется по положению пика сечения \(e^+e^-\to f\bar f\), а ширина — по его форме?
Численный пример
Рассчитайте ширину распада гипотетического скалярного поля \(\phi \to \chi\chi\) при \(m_\phi = 1\) ГэВ, \(m_\chi = 0.2\) ГэВ, \(g = 1\) ГэВ.
Постройте график \(\sigma(E)\) вблизи резонанса и покажите, как изменяется форма пика при увеличении \(\Gamma\). Как ширина зависит от массы и связи?
Найдите ширину реальных резонансов \(\rho\), \(K^*\), \(\Delta\) из таблиц PDG. Сравните с формулой Брейта–Вигнера. Почему в некоторых случаях она плохо работает?