Излучение Вавилова–Черенкова
Электрон летит в однородной, прозрачной и немагнитной среде с показателем преломления \(n > 1\). Если скорость электрона \(v > 1/n\), то становится возможным распад \(e(p) \to e(p') + \gamma(k)\), что приводит к излучению Вавилова–Черенкова. Энергия фотона \(\omega_k = |\boldsymbol{k}|/n\). Его поляризация \(\varepsilon^\mu_\lambda(\boldsymbol{k}) = (0,\boldsymbol{\varepsilon}_\lambda(\boldsymbol{k}))\).
- Покажите, что квадрат матричного элемента, просуммированный по спинам конечного электрона и усреднённый по спинам начального электрона, равен \[|\mathcal{M}|^2 = 4\pi \alpha \left( 4\left(\boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{\varepsilon}_\lambda(\boldsymbol{k})\right)^2 - k^2 \right).\]
Из этого выражения видно, что фотон поляризован в плоскости рассеяния, образованной векторами \(\boldsymbol{p}\) и \(\boldsymbol{k}\).
Покажите, что спектрально-угловое распределение излучения есть: \[\frac{d^2\Gamma}{d\omega\, d\Omega_\gamma} = \frac{|\mathcal{M}|^2}{32\pi^2 v E^2}\, \delta\left( \cos\theta - \frac{1}{vn} - \frac{\omega(n^2 - 1)}{2v n E} \right),\] из которого видно, что полярный угол вылета фотона (ось \(z\) направлена вдоль импульса начального электрона \(\boldsymbol{p}\)) фиксирован значениями энергии начального электрона и конечного фотона: \[\cos\theta \equiv \cos\theta_0 = \frac{1}{vn} + \frac{\omega(n^2 - 1)}{2vnE}.\]
Покажите, что спектральное распределение излучения есть: \[\frac{d\Gamma}{d\omega} = \alpha \left[ v \sin^2\theta_0 + \frac{\omega^2 (n^2 - 1)}{2v E^2} \right].\]
Будущий лауреат Нобелевской премии Виталий Лазаревич Гинзбург решил эту задачу в 1940 году.
Если пренебречь величинами порядка \(\omega/E\), то получим классические результаты других нобелевских лауреатов И.Е. Тамма и И.М. Франка: \[\frac{d\Gamma}{d\omega} = \alpha v \sin^2 \theta_0, \qquad \cos \theta_0 = \frac{1}{vn}.\]