Слайды RU
Программа курса с описанием лекций; слайды появятся по мере готовности.
Численные методы для физиков
Курс лекций · русский и английский языки · в подготовке
Численные методы для физиков
Курс о том, как физик решает задачи, которые не берутся аналитически. Лекция — одна физическая задача; нужные методы вводятся тогда, когда задача без них не решается. Язык — Python с Numba. Один семестр (январь–май): 17 лекций по 1.5 часа для бакалавров, семинары, общие задачи и ноутбуки.
Материалы курса
Лекции
Python, NumPy и Numba
Случайное блуждание и число π методом Монте-Карло: рабочая среда, массивы NumPy, точность чисел, генератор случайных чисел, Numba.
Корни и квадратуры
Обыкновенные дифференциальные уравнения: маятник
Собственные задачи: нормальные моды
Хаос и синхронизация
Электростатика: уравнение Пуассона и мультиполи
Диффузия и случайные силы
Волны и телеграфное уравнение
Фурье-анализ и FFT
Стационарная квантовая механика
Квантовая эволюция и осцилляции нейтрино
Интерполяция и аппроксимация
Монте-Карло в статистической физике: модель Изинга
Обратные задачи: спектр реакторных антинейтрино и SVD
Гидродинамика: ударные волны и вихри
Уравнение переноса: от Больцмана к свету в воде
Машинное обучение для дифференциальных уравнений
План курса
Согласованный план авторов — К. Базарова (КБ) и Д. В. Наумова (ДН), версия от 18.10.2026.
Курс читается один семестр (январь–май): 17 лекций по 1.5 часа и семинары; лекции записываются. Слушатели — бакалавры; квантовая механика знакома, опыт численных методов небольшой. Язык — Python (NumPy, Numba).
Как устроен курс
Лекция — одна физическая задача. Сначала решается то, что решается точно (эталон); затем вводится численный метод, проверяется на эталоне и применяется там, где аналитики нет. Методы идут от простого к сложному: корни и квадратуры, обыкновенные дифференциальные уравнения, собственные задачи, уравнения в частных производных, — но каждый появляется вместе с задачей, которая его требует. Сначала показываем, где метод работает, потом — где и почему он ошибается.
Сквозные нити:
- Аналитика как эталон. Численный результат проверяется на задаче с известным ответом до применения там, где ответа нет.
- Один инструмент — много задач. Приём, введённый в одной лекции, возвращается в других.
- Цена против точности. Для каждого метода: порядок точности, условие устойчивости, вычислительная цена, тест сходимости.
Как работают авторы
Лекции авторы пишут вместе: у каждой лекции есть ведущий автор, который её читает, второй автор проверяет, дополняет и исправляет. ДН ведёт 6 лекций, КБ — 11 лекций и семинары.
Шаблон лекции (90 минут)
- Физическая задача и вопрос, на который нужен ответ.
- Аналитическая точка отсчёта: что решается точно и где аналитика заканчивается.
- Численный метод: идея, точность, устойчивость, цена.
- Код на Python: короткие фрагменты на слайде, остальное — в ноутбуке.
- Эксперименты и ловушки.
- Итоги и три задачи: аналитический эталон, численный эксперимент, исследовательская задача.
Лекции
В скобках — имя файла лекции (slug).
Подготовка
| № | Лекция | Физическая задача | Методы | Ведёт |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Python, NumPy и Numba (python_numpy_numba) |
Случайное блуждание (\(\langle x^2\rangle=N\)) и число \(\pi\) методом Монте-Карло: зачем нужны численные методы, что такое численная ошибка и сходимость, как выбирать между точностью и временем. | Jupyter, массивы NumPy, срезы и broadcasting, типы данных и точность, генератор случайных чисел с seed, Matplotlib, измерение времени, Numba; Python против Mathematica. | ДН |
Часть I. Уравнения, матрицы, движение
| № | Лекция | Физическая задача | Методы | Ведёт |
|---|---|---|---|---|
| 2 | Корни и квадратуры (roots_and_quadratures) |
Период маятника при большой амплитуде (эллиптический интеграл) и уровни энергии в конечной яме (трансцендентное уравнение): точный ответ известен, и видно, как к нему сходятся численные методы. | бисекция, метод Ньютона, секущие; прямоугольники, трапеции, Симпсон, квадратуры Гаусса; порядок сходимости, особенности подынтегральной функции. | КБ |
| 3 | Обыкновенные дифференциальные уравнения: маятник (pendulum_and_errors) |
Маятник без приближения малых колебаний; эталон — энергия и период из лекции 2. Сначала метод работает, затем видно, где и почему он ошибается. | схемы Эйлера, Рунге–Кутты и Верле, порядок точности и тест сходимости, адаптивный шаг, события (удар, сухое трение), жёсткость и неявный Эйлер. | КБ |
| 4 | Собственные задачи: нормальные моды (coupled_oscillators) |
Цепочка из \(N\) масс и фононы; случайные массы приводят к локализации. Предел \(N\to\infty\) даёт волновое уравнение. | eigh, спектральное разложение, функции матриц (оператор эволюции), трёхдиагональные матрицы, число обусловленности. |
КБ |
| 5 | Хаос и синхронизация (chaos_double_pendulum) |
Двойной маятник, ограниченная задача трёх тел, осцилляторы Курамото. Почему «точное» решение хаотической системы невозможно и что тогда считать результатом. | адаптивные методы Рунге–Кутты (solve_ivp), показатель Ляпунова, сечение Пуанкаре, параметр порядка, ансамбли траекторий на Numba. |
КБ |
Часть II. Поля, диффузия и волны
| № | Лекция | Физическая задача | Методы | Ведёт |
|---|---|---|---|---|
| 6 | Электростатика: уравнение Пуассона и мультиполи (electrostatics_poisson) |
Потенциал проводников в коробке (эталон — конденсатор, ряд Фурье); непроводящая сфера с плотностью заряда \(\sigma(\theta,\varphi)\): поле внутри и снаружи, точное решение через сферические гармоники. | разреженные матрицы, LU и Холецкий, итерации Якоби, Зейделя и сопряжённых градиентов, мультипольное разложение, \(Y_{\ell m}\), квадратуры Гаусса–Лежандра. | КБ |
| 7 | Диффузия и случайные силы (heat_equation) |
Остывание стержня (эталон — функция Грина), нелинейная и неоднородная среда; броуновская частица под действием случайной силы — продолжение случайного блуждания из лекции 1. | явная и неявная схемы, устойчивость фон Неймана, прогонка, Кранк–Николсон, метод прямых, уравнение Ланжевена (схема Эйлера–Маруямы). | КБ |
| 8 | Волны и телеграфное уравнение (telegraph_and_waves) |
Струна (эталон — решение Даламбера) и длинная линия с потерями (сигнал Хевисайда): третий тип уравнений после Пуассона и теплопроводности. | характеристики, условие Куранта, численная дисперсия, поглощающие границы. | ДН |
| 9 | Фурье-анализ и FFT (fourier_and_fft) |
Частоты в зашумлённом сигнале; решение уравнений диффузии и волн в фурье-пространстве; импульсное представление в квантовой механике. | FFT, алиасинг, окна, свёртка, спектральные производные. | КБ |
Часть III. Квантовая механика
| № | Лекция | Физическая задача | Методы | Ведёт |
|---|---|---|---|---|
| 10 | Стационарная квантовая механика (schrodinger_stationary) |
Осциллятор (эталон), ангармонический осциллятор, двойная яма, атом водорода; рассеяние на барьере. | гамильтониан как матрица, метод стрельбы, Нумеров, вариационный метод, коэффициент прохождения, сходимость уровней. | КБ |
| 11 | Квантовая эволюция и осцилляции нейтрино (schrodinger_dynamics_neutrinos) |
Волновой пакет и туннелирование; осцилляции \(2\nu\) (точное решение) и \(3\nu\) в веществе переменной плотности. | Кранк–Николсон и унитарность, split-step с FFT, экспонента матрицы (expm). |
ДН |
Часть IV. Данные и статистическая физика
| № | Лекция | Физическая задача | Методы | Ведёт |
|---|---|---|---|---|
| 12 | Интерполяция и аппроксимация (interpolation_and_approximation) |
Восстановить функцию по точкам, когда сама функция известна (эталон), и понять, почему больше узлов — не всегда лучше. | полином Лагранжа, феномен Рунге, узлы Чебышёва, сплайны, метод наименьших квадратов, опасность экстраполяции. | КБ |
| 13 | Монте-Карло в статистической физике: модель Изинга (ising_monte_carlo) |
Двумерная модель Изинга: фазовый переход, критическая температура и термодинамические величины; эталон — точное решение Онсагера. | алгоритм Метрополиса, автокорреляция и ошибки, эффекты конечного размера, теплоёмкость и восприимчивость, ускорение на Numba. | КБ |
| 14 | Обратные задачи: спектр реакторных антинейтрино и SVD (inverse_problems_svd) |
Измерен спектр позитронов, нужен спектр антинейтрино: матрица отклика с разрешением детектора и её обращение. | сингулярное разложение, число обусловленности, псевдообратная матрица, усечённое SVD и регуляризация Тихонова, обращение свёртки. | ДН |
Часть V. Течения, перенос и машинное обучение
| № | Лекция | Физическая задача | Методы | Ведёт |
|---|---|---|---|---|
| 15 | Гидродинамика: ударные волны и вихри (hydrodynamics_shocks) |
Уравнение Бюргерса (эталон — решение Хопфа–Коула), труба Сода (задача Римана); коротко — вихри Тейлора–Грина. | консервативные схемы, конечные объёмы, схема Годунова, ограничители, псевдоспектральный метод. | ДН |
| 16 | Уравнение переноса: от Больцмана к свету в воде (radiative_transfer) |
Фотон в мутной среде: баллистика, диффузия (лекция 7), конечная скорость (лекция 8). Пример — свет в озере Байкал и нейтринный телескоп. | Монте-Карло для переноса, диффузионное приближение, разложение по угловым моментам (\(P_N\)). | ДН |
| 17 | Машинное обучение для дифференциальных уравнений (machine_learning_odes) |
Осциллятор и уравнение теплопроводности с известным решением: что даёт нейросеть и чего она стоит по сравнению с классическими методами. | нейросеть как аппроксиматор, физически информированные сети (PINN), сравнение с классическими методами по точности и цене. | КБ |
LightHit
Пакет LightHit (расчёт переноса света для нейтринного телескопа) — тема лекции 16 и коротких врезок: разложение индикатрисы по полиномам Лежандра (6), диффузионный предел (7), телеграфное уравнение и \(P_1\) (8), POD-базис ливня как малый ранг (14).
Связь с курсом статистики
Методы Монте-Карло, метод наименьших квадратов и коррелированные гауссовы величины разобраны в курсе «Статистический анализ данных». Здесь акцент на численной стороне: модель Изинга (13), аппроксимация (12), регуляризация обратной задачи (14).
Резерв
Метод конечных элементов; нелинейные волны и солитоны (КдФ); космология («замораживание» осталось задачей на жёсткое уравнение); быстрые расчёты и проверка (профилирование, кэш, бюджет ошибок).