Численные методы для физиков

Курс лекций

Курс лекций · в подготовке

Численные методы для физиков

Курс о том, как физик решает задачи, которые не берутся аналитически. Лекция — одна физическая задача: маятник и хаос, цепочка осцилляторов, электростатика, теплопроводность, волны, квантовая механика, космология, гидродинамика, перенос излучения. Нужные методы (собственные задачи, разреженные системы, FFT, сферические гармоники, SVD) вводятся тогда, когда задача без них не решается. Язык — Python с Numba.

NeutrinoHit Страница курса Все задачи Апплеты: готовится Литература: готовится

Карточка курса на карте NeutrinoHit: готовится.

Авторы курса — Кирилл Базаров и Дмитрий В. Наумов (профиль на NeutrinoHit).

Лекции курса

Подготовка

01Python, NumPy и Numba

Случайное блуждание (\(\langle x^2\rangle=N\)) и число \(\pi\) методом Монте-Карло: зачем нужны численные методы, что такое численная ошибка и сходимость, как выбирать между точностью и временем.

Инструменты: Jupyter, массивы NumPy, срезы и broadcasting, типы данных и точность, генератор случайных чисел с seed, Matplotlib, измерение времени, Numba; Python против Mathematica.

Ведущий автор: Дмитрий В. Наумов.

Открыть лекцию Ноутбук Скачать .ipynb Задачи

Часть I. Уравнения, матрицы, движение

02Корни и квадратуры

Период маятника при большой амплитуде (эллиптический интеграл) и уровни энергии в конечной яме (трансцендентное уравнение): точный ответ известен, и видно, как к нему сходятся численные методы.

Инструменты: бисекция, метод Ньютона, секущие; прямоугольники, трапеции, Симпсон, квадратуры Гаусса; порядок сходимости, особенности подынтегральной функции.

Ведущий автор: Кирилл Базаров.

готовится

03Обыкновенные дифференциальные уравнения: маятник

Маятник без приближения малых колебаний; эталон — энергия и период из лекции 2. Сначала метод работает, затем видно, где и почему он ошибается.

Инструменты: схемы Эйлера, Рунге–Кутты и Верле, порядок точности и тест сходимости, адаптивный шаг, события (удар, сухое трение), жёсткость и неявный Эйлер.

Ведущий автор: Кирилл Базаров.

готовится

04Собственные задачи: нормальные моды

Цепочка из \(N\) масс и фононы; случайные массы приводят к локализации. Предел \(N\to\infty\) даёт волновое уравнение.

Инструменты: eigh, спектральное разложение, функции матриц (оператор эволюции), трёхдиагональные матрицы, число обусловленности.

Ведущий автор: Кирилл Базаров.

готовится

05Хаос и синхронизация

Двойной маятник, ограниченная задача трёх тел, осцилляторы Курамото. Почему «точное» решение хаотической системы невозможно и что тогда считать результатом.

Инструменты: адаптивные методы Рунге–Кутты (solve_ivp), показатель Ляпунова, сечение Пуанкаре, параметр порядка, ансамбли траекторий на Numba.

Ведущий автор: Кирилл Базаров.

готовится

Часть II. Поля, диффузия и волны

06Электростатика: уравнение Пуассона и мультиполи

Потенциал проводников в коробке (эталон — конденсатор, ряд Фурье); непроводящая сфера с плотностью заряда \(\sigma(\theta,\varphi)\): поле внутри и снаружи, точное решение через сферические гармоники.

Инструменты: разреженные матрицы, LU и Холецкий, итерации Якоби, Зейделя и сопряжённых градиентов, мультипольное разложение, \(Y_{\ell m}\), квадратуры Гаусса–Лежандра.

Ведущий автор: Кирилл Базаров.

готовится

07Диффузия и случайные силы

Остывание стержня (эталон — функция Грина), нелинейная и неоднородная среда; броуновская частица под действием случайной силы — продолжение случайного блуждания из лекции 1.

Инструменты: явная и неявная схемы, устойчивость фон Неймана, прогонка, Кранк–Николсон, метод прямых, уравнение Ланжевена (схема Эйлера–Маруямы).

Ведущий автор: Кирилл Базаров.

готовится

08Волны и телеграфное уравнение

Струна (эталон — решение Даламбера) и длинная линия с потерями (сигнал Хевисайда): третий тип уравнений после Пуассона и теплопроводности.

Инструменты: характеристики, условие Куранта, численная дисперсия, поглощающие границы.

Ведущий автор: Дмитрий В. Наумов.

готовится

09Фурье-анализ и FFT

Частоты в зашумлённом сигнале; решение уравнений диффузии и волн в фурье-пространстве; импульсное представление в квантовой механике.

Инструменты: FFT, алиасинг, окна, свёртка, спектральные производные.

Ведущий автор: Кирилл Базаров.

готовится

Часть III. Квантовая механика

10Стационарная квантовая механика

Осциллятор (эталон), ангармонический осциллятор, двойная яма, атом водорода; рассеяние на барьере.

Инструменты: гамильтониан как матрица, метод стрельбы, Нумеров, вариационный метод, коэффициент прохождения, сходимость уровней.

Ведущий автор: Кирилл Базаров.

готовится

11Квантовая эволюция и осцилляции нейтрино

Волновой пакет и туннелирование; осцилляции \(2\nu\) (точное решение) и \(3\nu\) в веществе переменной плотности.

Инструменты: Кранк–Николсон и унитарность, split-step с FFT, экспонента матрицы (expm).

Ведущий автор: Дмитрий В. Наумов.

готовится

Часть IV. Данные и статистическая физика

12Интерполяция и аппроксимация

Восстановить функцию по точкам, когда сама функция известна (эталон), и понять, почему больше узлов — не всегда лучше.

Инструменты: полином Лагранжа, феномен Рунге, узлы Чебышёва, сплайны, метод наименьших квадратов, опасность экстраполяции.

Ведущий автор: Кирилл Базаров.

готовится

13Монте-Карло в статистической физике: модель Изинга

Двумерная модель Изинга: фазовый переход, критическая температура и термодинамические величины; эталон — точное решение Онсагера.

Инструменты: алгоритм Метрополиса, автокорреляция и ошибки, эффекты конечного размера, теплоёмкость и восприимчивость, ускорение на Numba.

Ведущий автор: Кирилл Базаров.

готовится

14Обратные задачи: спектр реакторных антинейтрино и SVD

Измерен спектр позитронов, нужен спектр антинейтрино: матрица отклика с разрешением детектора и её обращение.

Инструменты: сингулярное разложение, число обусловленности, псевдообратная матрица, усечённое SVD и регуляризация Тихонова, обращение свёртки.

Ведущий автор: Дмитрий В. Наумов.

готовится

Часть V. Течения, перенос и машинное обучение

15Гидродинамика: ударные волны и вихри

Уравнение Бюргерса (эталон — решение Хопфа–Коула), труба Сода (задача Римана); коротко — вихри Тейлора–Грина.

Инструменты: консервативные схемы, конечные объёмы, схема Годунова, ограничители, псевдоспектральный метод.

Ведущий автор: Дмитрий В. Наумов.

готовится

16Уравнение переноса: от Больцмана к свету в воде

Фотон в мутной среде: баллистика, диффузия (лекция 7), конечная скорость (лекция 8). Пример — свет в озере Байкал и нейтринный телескоп.

Инструменты: Монте-Карло для переноса, диффузионное приближение, разложение по угловым моментам (\(P_N\)).

Ведущий автор: Дмитрий В. Наумов.

готовится

17Машинное обучение для дифференциальных уравнений

Осциллятор и уравнение теплопроводности с известным решением: что даёт нейросеть и чего она стоит по сравнению с классическими методами.

Инструменты: нейросеть как аппроксиматор, физически информированные сети (PINN), сравнение с классическими методами по точности и цене.

Ведущий автор: Кирилл Базаров.

готовится