Задачи: солнечные нейтрино

Введение в физику нейтрино

Автор

Дмитрий В. Наумов

← Вернуться к лекции · Все задачи курса

Задачи

Перед началом

Все вычислительные задачи выполняются в корне репозитория neutrinophysics. Используйте локальное окружение и исходный код PEANUTS:

source .venv-peanuts-py312/bin/activate
python introduction/ru/exercises/assets/22_solar_neutrinos/peanuts_starter.py

Стартовый файл: peanuts_starter.py.

В численных формулах PEANUTS использует:

  • энергии нейтрино в МэВ;
  • разности квадратов масс в \(\mathrm{эВ}^2\);
  • электронную плотность в \(\mathrm{моль\,см^{-3}}\);
  • потоки в \(\mathrm{см^{-2}\,с^{-1}}\).

Не заменяйте результаты PEANUTS придуманными аналитическими профилями. Если сравнение с приближением требуется в условии, на одном графике должны быть показаны и расчёт PEANUTS, и приближение.

Задача 22.1. Солнечная модель в PEANUTS

Создайте объект

from peanuts.solar import SolarModel

solar = SolarModel()

По умолчанию PEANUTS загружает стандартную солнечную модель B16-AGSS09.

  1. Получите потоки источников

    \[ pp,\ pep,\ hep,\ {}^7\mathrm{Be},\ {}^8\mathrm{B},\ {}^{13}\mathrm{N},\ {}^{15}\mathrm{O},\ {}^{17}\mathrm{F} \]

    с помощью solar.flux(source) и представьте их в одной таблице.

  2. Постройте потоки на логарифмической шкале. Объясните, почему порядок источников по потоку не совпадает с их порядком по числу событий в водном черенковском детекторе.

  3. Получите solar.radius() и solar.density(). Постройте электронную плотность как функцию \(r/R_\odot\).

  4. Для каждого источника получите solar.fraction(source). Проверьте численно интеграл профиля по радиусу и постройте нормированные профили рождения на одном рисунке.

  5. Для каждого источника вычислите средний радиус рождения

    \[ \left\langle\frac r{R_\odot}\right\rangle_i = \frac{\int dr\,(r/R_\odot)g_i(r)}{\int dr\,g_i(r)}. \]

  6. Упорядочите источники по \(\langle r/R_\odot\rangle_i\) и объясните результат через температурную чувствительность соответствующих реакций.

Задача 22.2. Спектр солнечных нейтрино из PEANUTS

Для непрерывного источника PEANUTS возвращает таблицу

table = solar.spectrum(source)

с колонками Energy и Spectrum.

  1. Для источников

    \[ pp,\ {}^{13}\mathrm N,\ {}^{15}\mathrm O,\ {}^{17}\mathrm F, \ {}^8\mathrm B,\ hep \]

    нормируйте форму численно:

    \[ f_i(E_\nu) = \frac{s_i(E_\nu)}{\int s_i(E_\nu)dE_\nu}. \]

  2. Постройте дифференциальные потоки

    \[ \frac{d\Phi_i}{dE_\nu}=\Phi_i f_i(E_\nu) \]

    на двойной логарифмической шкале.

  3. Численно проверьте для каждого источника

    \[ \int\frac{d\Phi_i}{dE_\nu}dE_\nu=\Phi_i. \]

  4. Найдите максимальную энергию каждого непрерывного спектра и среднюю энергию \(\langle E_\nu\rangle_i\).

  5. Добавьте линии \(^7\)Be при \(0.384\) и \(0.862~\mathrm{МэВ}\) с долями \(0.103\) и \(0.897\), а также pep-линию при \(1.445~\mathrm{МэВ}\).

  6. Воспроизведите рисунок solar-neutrino-masterclass/assets/figures/peanuts_solar_neutrino_spectrum.png только из вызовов SolarModel, не читая готовые CSV.

Почему высота вертикальной линии на таком рисунке не имеет единиц \(\mathrm{см^{-2}\,с^{-1}\,МэВ^{-1}}\) и не может напрямую сравниваться с высотой непрерывной кривой?

Задача 22.3. Окно Гамова

Для реакции двух ядер используйте

\[ \sigma(E)=\frac{S(E)}{E} \exp\!\left[-\sqrt{\frac{E_G}{E}}\right], \]

\[ E_G=2\mu(\pi\alpha Z_1Z_2)^2, \]

и температурный множитель \(e^{-E/k_BT}\).

  1. Найдите положение максимума

    \[ E_0=\left(\frac{E_G(k_BT)^2}{4}\right)^{1/3}. \]

  2. Получите эту формулу дифференцированием показателя экспоненты.

  3. При \(k_BT=1.30~\mathrm{кэВ}\) вычислите \(E_0\) для

    \[ p+p, \qquad {}^3\mathrm{He}+{}^4\mathrm{He}, \qquad {}^7\mathrm{Be}+p, \qquad {}^{14}\mathrm N+p. \]

  4. Постройте отдельно тепловой множитель, туннельный множитель и их произведение. Сравните с интерактивом в лекции.

  5. Для одной солнечной реакции найдите экспериментальные измерения \(S(E)\) и кратко укажите: диапазон измеренных энергий, расстояние до солнечного окна Гамова и основной источник ошибки экстраполяции.

Задача 22.4. Вероятность выживания из PEANUTS

Используйте прямой вызов PEANUTS:

from peanuts.pmns import PMNS
from peanuts.solar import Psolar

pmns = PMNS(theta12, theta13, theta23, delta_cp)
probabilities = Psolar(
    pmns,
    dm21,
    dm3l,
    energy_mev,
    solar.radius(),
    solar.density(),
    solar.fraction(source),
)
pee = probabilities[0]

Возьмите в качестве исходной точки

\[ \sin^2\theta_{12}=0.307, \qquad \sin^2\theta_{13}=0.022, \]

\[ \Delta m_{21}^2=7.42\times10^{-5}~\mathrm{эВ}^2, \qquad \Delta m_{3\ell}^2=2.51\times10^{-3}~\mathrm{эВ}^2. \]

  1. Постройте \(P_{ee}(E_\nu)\) для pp, \(^7\)Be, \(^8\)B и \(^{15}\)O на диапазоне энергий соответствующего источника.

  2. Объясните различие кривых при одной и той же энергии через разные радиальные профили рождения.

  3. Сравните численный результат с пределами

    \[ P_{ee}^{\mathrm{low}}\simeq 1-\frac12\sin^22\theta_{12}, \qquad P_{ee}^{\mathrm{high}}\simeq\sin^2\theta_{12}. \]

  4. Повторите расчёт для трёх значений \(\sin^2\theta_{12}\) и трёх значений \(\Delta m_{21}^2\). Укажите, какой параметр сильнее меняет высоту, а какой положение переходной области.

  5. Проверьте, что сумма возвращаемых вероятностей электронного, мюонного и тау-флэйворов равна единице с численной точностью.

Задача 22.5. SK-подобный спектр электронов отдачи

Используйте \(^8\)B-спектр и поток, непосредственно полученные из PEANUTS, а табличные сечения из solar-neutrino-masterclass/data/student/nu_electron_recoil_cross_sections.csv.

Ожидание в бине \(j\) равно

\[ \mu_j = N_eT_{\mathrm{live}} \int_{T_j}^{T_{j+1}}dT_e \int dE_\nu\, \Phi_{^8\mathrm B}f_{^8\mathrm B}(E_\nu) \left[ P_{ee}\frac{d\sigma_e}{dT_e} +(1-P_{ee})\frac{d\sigma_x}{dT_e} \right]. \]

  1. Проверьте кинематическое условие

    \[ T_e\leq\frac{2E_\nu^2}{m_e+2E_\nu}. \]

  2. Постройте отдельно вклады \(\nu_e\) и \(\nu_{\mu,\tau}\).

  3. Постройте суммарный спектр для PEANUTS \(P_{ee}(E_\nu)\) и для гипотезы без превращения флэйвора, \(P_{ee}=1\).

  4. Вычислите полное число событий при порогах

    \[ T_{\min}=3,\ 4.5,\ 6~\mathrm{МэВ}. \]

  5. Объясните, почему изменение порога меняет не только статистику, но и чувствительность к форме \(P_{ee}(E_\nu)\).

  6. Подключите detector_response.csv, учтите эффективность и энергетическое размытие. Проверьте сохранение полного числа событий матрицей миграции.

Задача 22.6. Псевдоданные и нормировка \(^8\)B

Пусть \(m_j\) — рассчитанный шаблон, а нормировка потока равна \(\alpha_B\):

\[ \mu_j(\alpha_B)=\alpha_Bm_j. \]

  1. Сгенерируйте один псевдоэксперимент

    \[ n_j\sim\operatorname{Pois}(m_j) \]

    с явно записанным seed.

  2. Просканируйте \(\alpha_B\) и вычислите

    \[ q(\alpha_B)= 2\sum_j\left[ \mu_j-n_j+n_j\ln\frac{n_j}{\mu_j} \right]. \]

  3. Найдите \(\widehat\alpha_B\) и интервал \(\Delta q=1\).

  4. Проверьте результат аналитической оценкой

    \[ \widehat\alpha_B=\frac{\sum_jn_j}{\sum_jm_j}. \]

  5. Повторите много псевдоэкспериментов. Проверьте смещение оценки и закон

    \[ \sigma_{\alpha_B}\propto\frac1{\sqrt{N}}. \]

Задача 22.7. Фит осцилляционных параметров

Постройте двухпараметрическую модель

\[ \mu_j\left(\sin^2\theta_{12},\Delta m_{21}^2\right) \]

так, чтобы \(P_{ee}(E_\nu)\) в каждой точке сетки вычислялся PEANUTS. Для ускорения сначала сохраните вычисленную сетку, а затем интерполируйте её при свёртке с сечением.

  1. Выберите диапазоны и шаги сетки. Обоснуйте, что минимум не упирается в границу.

  2. Сгенерируйте открытые псевдоданные и найдите лучшую точку.

  3. Постройте двумерные контуры

    \[ \Delta q=2.30, \qquad \Delta q=6.18. \]

  4. Постройте одномерные профили по каждому параметру.

  5. Повторите фит для порогов \(3\) и \(6~\mathrm{МэВ}\), а также для более грубого и более мелкого бинирования.

  6. Добавьте свободную нормировку \(\alpha_B\) и профилируйте её. Объясните, какая информация об осцилляциях теряется.

Почему спектр электронов отдачи обычно слабее ограничивает \(\Delta m_{21}^2\), чем \(\sin^2\theta_{12}\)?

Задача 22.8. Эффект день — ночь

Используйте PEANUTS с распространением через Землю либо подготовленную им таблицу solar-neutrino-masterclass/data/project/earth_regeneration_parameter_scan.csv.

  1. Постройте

    \[ \Delta P_{ee}^{\oplus} =P_{ee}^{\mathrm{night}}-P_{ee}^{\mathrm{day}} \]

    как функцию \(E_\nu\) для нескольких надирных углов.

  2. Найдите энергии и траектории, где регенерация максимальна.

  3. Исследуйте зависимость от \(\Delta m_{21}^2\).

  4. Переведите изменение вероятности в асимметрию числа событий

    \[ A_{DN}=2\frac{N-D}{N+D}. \]

  5. Добавьте дневной и ночной спектры в совместный фит и оцените, насколько изменяется профиль \(\Delta m_{21}^2\).

Задача 22.9. Интегральный проект

Соберите один воспроизводимый анализ

\[ \text{PEANUTS solar model} \to \Phi_{^8\mathrm B}f_{^8\mathrm B}(E_\nu) \to P_{ee}(E_\nu) \to \nu e \to \mu_j \to n_j \to \text{fit}. \]

Обязательные результаты:

  1. таблица потоков и рисунок полного солнечного спектра;
  2. профили рождения и \(P_{ee}(E_\nu)\) из PEANUTS;
  3. SK-подобный спектр электронов отдачи;
  4. один открытый псевдоэксперимент;
  5. фит \(\alpha_B\);
  6. фит \((\sin^2\theta_{12},\Delta m_{21}^2)\);
  7. одномерные профили и двумерные контуры;
  8. проверка порога и бинирования;
  9. краткое обсуждение систематических ошибок;
  10. расширение день — ночь.

В отчёте должны быть указаны версии кода, единицы всех таблиц, случайное зерно, выбранные диапазоны сетки и команда, полностью воспроизводящая расчёт.

Готовый рисунок из masterclass можно использовать только как контроль. Зачётный результат должен начинаться с вызовов локального PEANUTS.