Источники нейтрино. Солнце

Введение в физику нейтрино · Лекция 22

Дмитрий В. Наумов

ОИЯИ

Зачем изучать солнечные нейтрино

Два послания из центра Солнца

Солнечный свет сообщает, что происходит с поверхностью Солнца сейчас.

Солнечные нейтрино сообщают, что происходило с ядром Солнца несколько минут назад.

\[ t_{\nu}\simeq\frac{1~\mathrm{а.е.}}{c}\simeq 8.3~\mathrm{мин}. \]

Энергия фотона многократно поглощается и переизлучается, прежде чем покинуть Солнце. Нейтрино после рождения почти свободно проходит через вещество.

Солнечные нейтрино одновременно проверяют термоядерные реакции, модель Солнца и превращения флэйвора в веществе.

От уравнения переноса к \(D(r)\)

Фундаментальная величина — спектральная интенсивность \(I_\nu(\boldsymbol r,\hat{\boldsymbol n},t)\). Схематически уравнение переноса имеет вид

\[ \boxed{ \frac1c\frac{\partial I_\nu}{\partial t} +\hat{\boldsymbol n}\!\cdot\!\boldsymbol\nabla I_\nu =\rho\kappa_\nu\bigl(S_\nu-I_\nu\bigr) }. \]

\(\kappa_\nu(T,\rho,X_i)\) зависит от частоты, термодинамического состояния и состава; \(S_\nu\) содержит испускание и перераспределение излучения веществом. Решение \(I_\nu\) удобно сворачивать в его угловые моменты

\[ u_\nu=\frac1c\int I_\nu\,d\Omega, \qquad \boldsymbol F_\nu=\int I_\nu\hat{\boldsymbol n}\,d\Omega, \]

то есть спектральные плотность энергии и поток.

На этом уровне энергия фотона не потеряна: она задаётся \(E_\gamma=h\nu\). Цена — зависимость от времени, трёх координат, двух углов и частоты.

В глубине Солнца пробег микроскопичен, а поглощение и переизлучение быстры. В локальном термодинамическом равновесии (LTE)

\[ S_\nu=B_\nu[T(r)], \qquad I_\nu^{(0)}=B_\nu[T(r)], \qquad u_\nu^{(0)}=\frac{4\pi}{c}B_\nu[T(r)]. \]

Нулевой порядок изотропен и не переносит энергию. Поток возникает как малая анизотропная поправка, вызванная градиентом температуры.

После каждого поглощения спектр локально возвращается к планковскому. Поэтому нет сохраняющего индивидуальность фотона с траекторией \(E_\gamma(r)\).

Разложение по малой длине свободного пробега даёт

\[ I_\nu\simeq B_\nu -\frac{1}{\rho\kappa_\nu} \hat{\boldsymbol n}\!\cdot\!\boldsymbol\nabla B_\nu. \]

Первый угловой момент — спектральный поток:

\[ \boxed{ \boldsymbol F_\nu =\int I_\nu\hat{\boldsymbol n}\,d\Omega =-\frac{4\pi}{3\rho\kappa_\nu} \frac{\partial B_\nu}{\partial T}\boldsymbol\nabla T }. \]

Частоты с меньшей \(\kappa_\nu\) проходят легче и несут непропорционально большую долю потока.

Интегрирование \(\boldsymbol F_\nu\) по частоте вводит росселандову среднюю:

\[ \frac1{\kappa_R} =\frac{\displaystyle\int_0^\infty \kappa_\nu^{-1}\frac{\partial B_\nu}{\partial T}\,d\nu} {\displaystyle\int_0^\infty \frac{\partial B_\nu}{\partial T}\,d\nu}. \]

Поскольку \(u=\int u_\nu d\nu=aT^4\),

\[ \boxed{ \boldsymbol F =-\frac{16\sigma_{\rm SB}T^3}{3\rho\kappa_R}\boldsymbol\nabla T =-\underbrace{\frac{c}{3\rho\kappa_R}}_{D(r)}\boldsymbol\nabla u }. \]

Зависимость от энергии не выброшена — она сжата в \(\kappa_R\) с весом, зависящим от локальной температуры.

Стационарную структуру определяют

\[ \frac{dm}{dr}=4\pi r^2\rho, \qquad \frac{dP}{dr}=-\frac{Gm\rho}{r^2}, \]

\[ \frac{dL}{dr}=4\pi r^2\rho\varepsilon, \qquad \frac{dT}{dr}=\frac{T}{P}\nabla\frac{dP}{dr}. \]

Замыкание дают:

  • уравнение состояния \(P(\rho,T,X_i)\);
  • скорости реакций \(\varepsilon(\rho,T,X_i)\);
  • таблицы \(\kappa_R(T,\rho,X_i)\);
  • радиационный или конвективный \(\nabla\).

Решение даёт профили \(m(r),P(r),L(r),T(r),\rho(r),X_i(r)\).

Мы используем уже вычисленную композицию функций

\[ \boxed{ \kappa_R(r)\equiv \kappa_R\!\left[T(r),\rho(r),X_i(r)\right], \qquad D(r)=\frac{c}{3\rho(r)\kappa_R(r)} }. \]

Профили взяты из модели Guenther 2010: OPAL 2005, при низких температурах — таблицы Ferguson. То есть \(T(r)\) участвует в нашем расчёте через солнечную модель и спектральное усреднение непрозрачности, хотя не стоит отдельным аргументом в финальном интеграле времени.

Среднее время выхода лучистой энергии

В ядерной реакции рождается \(\gamma\)-квант, но он почти сразу поглощается:

\[ \gamma+\mathrm{плазма} \rightleftarrows \mathrm{плазма}^{*} \rightleftarrows \gamma'+\mathrm{плазма}. \]

Рассматриваем малую добавку лучистой энергии \(u\) на фиксированном фоне стандартной солнечной модели. Из сохранения энергии и закона Фика

\[ \frac{\partial u}{\partial t}+\boldsymbol\nabla\!\cdot\!\boldsymbol F=0, \qquad \boldsymbol F=-D(r)\boldsymbol\nabla u \]

следует

\[ \boxed{ \frac{\partial u}{\partial t} =\boldsymbol\nabla\!\cdot\!\left[D(r)\boldsymbol\nabla u\right] }. \]

Это время первого выхода пакета энергии, а не возраст фотона и не время тепловой перестройки всего Солнца.

Транспортная длина свободного пробега

\[ \ell(r)=\frac{1}{\kappa_R(r)\rho(r)}, \qquad D(r)=\frac{c\ell(r)}{3}. \]

В использованной модели:

\[ \ell(0)=0.051~\mathrm{мм}, \qquad \ell(r_{\rm cz})=2.53~\mathrm{мм}. \]

Локальная транспортная длина свободного пробега фотона в зависимости от солнечного радиуса

Это график шага диффузии. Диффузионная длина за заданное время была бы \(L_D(t)=\sqrt{6D(r)t}\) и без выбора \(t\) не определена. Область \(r>0.99R_\odot\) не показана: вблизи фотосферы диффузионное приближение разрушается.

Пусть \(\tau(r)\) — среднее время достижения сферы \(R\) при старте на радиусе \(r\). Обратное уравнение диффузии:

\[ -1=\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr} \left[r^2D(r)\frac{d\tau}{dr}\right], \qquad \tau(R)=0, \qquad \tau'(0)=0. \]

После первого интегрирования

\[ \frac{d\tau}{dr}=-\frac{r}{3D(r)} =-\frac{r\kappa_R(r)\rho(r)}{c}, \]

поэтому

\[ \boxed{ \tau(r_0)=\frac1c\int_{r_0}^{R} r\,\kappa_R(r)\rho(r)\,dr }. \]

В интеграл подставлены \(\rho(r)\) и \(\kappa_R(r)\) из стандартной солнечной модели Guenther 2010.

Старт и граница Среднее время
центр \(\to r_{\rm cz}=0.713R_\odot\) 31.6 тыс. лет
центр \(\to\) фотосфера, чистая диффузия 41.4 тыс. лет
рождение по профилю \(dL/dr\to\) фотосфера 36.1 тыс. лет

Последняя строка усредняет \(\tau(r_0)\) по месту рождения энергии. В чисто радиационном продолжении 76% времени приходится на область до \(r_{\rm cz}\), 24% — на внешние слои. Последние 9.8 тыс. лет — контрольная экстраполяция, а не время реальной конвекции.

  • Частотное уравнение переноса заменено серым коэффициентом \(\kappa_R\).
  • Фоновое \(T(r),\rho(r),X_i(r)\) не эволюционирует вместе с пакетом энергии.
  • За \(r_{\rm cz}\) реальное Солнце переносит энергию преимущественно конвекцией.
  • Возле фотосферы LTE и обычная диффузия перестают быть хорошим приближением.

Да: медленное звено — радиационная зона. После \(r_{\rm cz}\) конвективный перенос намного быстрее, но наша диффузионная модель его не вычисляет. 41.4 тыс. лет — контрольный ответ при искусственном продолжении фотонной диффузии до поверхности.

Почему говорят «около 100 тысяч лет»?

Если заменить всё Солнце одной эффективной длиной шага, получается только оценка порядка величины:

\[ t_{\rm diff}\sim\frac{R^2}{c\ell_{\rm eff}}. \]

Но \(\ell(r)\) меняется по радиусу на много порядков, а ответ особенно чувствителен к плотным внутренним слоям. Выбор \(\ell_{\rm eff}=0.5{-}1~\mathrm{см}\) давал в старых учебниках \(3\times10^3{-}3\times10^4\) лет.

Одно «среднее \(\ell\)» не является средним по объёму: каждый слой надо взвешивать временем, проведённым в нём.

Mitalas и Sills (1992) взяли радиальный профиль солнечной модели и получили эффективный шаг

\[ \overline\ell=0.090~\mathrm{см}, \]

около \(10^{25}\) взаимодействий и

\[ \boxed{t_d=1.7\times10^5~\mathrm{лет}}. \]

Эта короткая статья исправила явно слишком большой учебниковый шаг и стала источником популярной фразы «свету нужно примерно сто тысяч лет».

В расчёте 1992 года использовалась нормировка

\[ 3\langle r^2\rangle=N\langle s^2\rangle, \]

и фиксированные шаги внутри оболочки. Для трёхмерной изотропной диффузии радиальное смещение уже удовлетворяет \(\langle r^2\rangle=N\langle s^2\rangle\), а реальные свободные пробеги распределены экспоненциально:

\[ \langle s^2\rangle=2\langle s\rangle^2. \]

Поэтому для постоянного \(\ell\)

\[ T_{\mathrm{FP}}(0)=\frac{R^2}{2c\ell}, \qquad T_{1992}=\frac{3R^2}{c\ell}=6T_{\mathrm{FP}}. \]

Тот же коэффициент шесть сохраняется при интегрировании нашего радиального профиля. Подробный first-passage разбор дан в технической заметке Mandel, Price и Levin (2025, draft).

Для определённой модели first passage:

  • 31.6 тыс. лет до конвективной зоны;
  • 41.4 тыс. лет до поверхности при искусственном продолжении диффузии;
  • 36.1 тыс. лет после усреднения места рождения.

Почему встречаются другие числа:

  • иная солнечная модель и непрозрачность;
  • постоянный вместо профильного шага;
  • иная геометрическая нормировка;
  • фотонная диффузия, конвекция и тепловая релаксация смешиваются в одну фразу.

«\(10^5\) лет» — полезная историческая оценка порядка величины, но не универсальная постоянная Солнца. Нужно сначала сказать, какое время и в какой модели мы определяем.

Светимость

Светимость Солнца равна

\[ L_\odot\simeq 3.83\times10^{26}~\mathrm{Вт}. \]

Эквивалентная потеря массы составляет

\[ \dot M_\odot=\frac{L_\odot}{c^2} \simeq 4.3\times10^9~\mathrm{кг\,с^{-1}}. \]

Это около четырёх миллионов тонн в секунду, но лишь малая доля массы Солнца за всё время его жизни.

Средняя плотность энерговыделения невелика:

\[ \frac{L_\odot}{(4\pi/3)R_\odot^3} \simeq0.27~\mathrm{Вт\,м^{-3}}. \]

Солнце яркое не потому, что каждый кубический метр чрезвычайно мощный, а потому, что объём огромен и горение продолжается миллиарды лет.

Суммарная реакция

В современном Солнце превращение водорода в гелий можно суммарно записать как

\[ 4\,{}^1\mathrm H \longrightarrow {}^4\mathrm{He}+2e^++2\nu_e+Q. \]

По атомным массам

\[ Q\simeq 4m_{\mathrm H}-m_{{}^4\mathrm{He}} \simeq 26.73~\mathrm{МэВ}. \]

Часть энергии уносят два нейтрино:

\[ Q_\gamma = Q-\langle E_{\nu_1}+E_{\nu_2}\rangle. \]

Поэтому фотонная светимость и нейтринные потоки связаны, но связь зависит от ветви термоядерного цикла.

Почему Солнце горит

Классический барьер

Для двух ядер с зарядами \(Z_ae\) и \(Z_be\)

\[ U_C(r)=\frac{Z_aZ_b\alpha}{r} \simeq 1.44\,Z_aZ_b~\mathrm{МэВ} \left(\frac{1~\mathrm{фм}}{r}\right). \]

В центре Солнца

\[ T_c\sim1.5\times10^7~\mathrm K, \qquad k_BT_c\sim1.3~\mathrm{кэВ}. \]

Следовательно,

\[ k_BT_c\ll U_C(1~\mathrm{фм}). \]

Классическая частица почти никогда не преодолевает кулоновский барьер.

Классическая оценка не работает

Вероятность найти протон в нужном хвосте распределения Максвелла была бы порядка

\[ \exp\!\left[-\frac{1.44~\mathrm{МэВ}}{1.29~\mathrm{кэВ}}\right] \approx e^{-1110}\approx10^{-484}. \]

Даже при заведомо завышенной геометрической частоте столкновений

\[ \dot N_{\rm geom}\sim4\times10^{64}~\mathrm{с^{-1}} \]

классическая скорость реакций была бы

\[ \dot N_{\rm class}\sim6\times10^{-420}~\mathrm{с^{-1}}. \]

Классически Солнце гореть не может. Солнечный реактор работает благодаря квантовому туннелированию.

Подбарьерное проникновение

В запрещённой области \(U(r)>E\) введём

\[ \kappa(r)=\sqrt{2\mu[U(r)-E]}, \]

где \(\mu\) — приведённая масса двух ядер. В приближении ВКБ

\[ P(E)\sim \exp\!\left[ -2\int_{r_N}^{r_C}\kappa(r)\,dr \right]. \]

Для кулоновского потенциала получаем фактор Гамова:

\[ P(E)\simeq e^{-2\pi\eta(E)} = \exp\!\left[-\sqrt{\frac{E_G}{E}}\right], \]

\[ E_G=2\mu(\pi\alpha Z_aZ_b)^2. \]

Астрофизический \(S\)-фактор

Сечение реакции удобно представить как

\[ \boxed{ \sigma(E)=\frac{S(E)}{E} \exp\!\left[-\sqrt{\frac{E_G}{E}}\right] }. \]

Экспонента содержит быстро меняющееся кулоновское подавление.

\(S(E)\) содержит ядерную физику и обычно меняется с энергией гораздо медленнее.

Эксперимент измеряет \(S(E)\) при доступных энергиях. Для солнечных условий его приходится экстраполировать к энергиям, где скорость счёта чрезвычайно мала.

Температурное усреднение

Скорость реакции на пару частиц равна

\[ \langle\sigma v\rangle = \left(\frac{8}{\pi\mu}\right)^{1/2} \frac{1}{(k_BT)^{3/2}} \int_0^\infty \sigma(E)E e^{-E/k_BT}\,dE. \]

Подынтегральная функция содержит два конкурирующих множителя:

\[ \langle\sigma v\rangle \propto S(E) \underbrace{e^{-E/k_BT}}_{\text{тепловой хвост}} \underbrace{e^{-\sqrt{E_G/E}}}_{\text{туннелирование}}. \]

Их произведение образует пик Гамова, а существенный диапазон энергий — окно Гамова.

Окно Гамова

При росте \(Z_aZ_b\) окно сдвигается к более высоким энергиям: кулоновский барьер становится сильнее.

Стандартная солнечная модель

Уравнения структуры

Масса внутри сферы радиуса \(r\):

\[ \frac{dM}{dr}=4\pi r^2\rho. \]

Здесь \(\rho(r)\) — плотность вещества, а \(M(r)\) — масса всех внутренних слоёв.

Гидростатическое равновесие:

\[ \frac{dP}{dr}=-\frac{GM(r)\rho(r)}{r^2}. \]

Градиент давления удерживает вещество от гравитационного коллапса.

Для стационарной модели

\[ \frac{dL}{dr}=4\pi r^2\rho\,\epsilon, \]

где \(\epsilon\) — скорость энерговыделения на единицу массы.

В эволюционной модели добавляются изменение внутренней энергии и работа сжатия.

Температурный градиент записывают как

\[ \frac{dT}{dr} = \nabla\frac{T}{P}\frac{dP}{dr}, \qquad \nabla=\frac{d\ln T}{d\ln P}. \]

Значение \(\nabla\) определяется излучением, теплопроводностью и конвекцией.

Что замыкает систему

Четырёх дифференциальных уравнений недостаточно. Нужна микрофизика:

\[ \rho=\rho(P,T,\{X_a\}), \]

\[ \kappa=\kappa(P,T,\{X_a\}), \qquad \epsilon=\epsilon(P,T,\{X_a\}). \]

  • уравнение состояния;
  • непрозрачность \(\kappa\);
  • скорости ядерных реакций;
  • химический состав \(X_a\);
  • диффузия элементов;
  • модель конвекции.

Модель калибруют так, чтобы в возрасте Солнца получить наблюдаемые \(L_\odot\), \(R_\odot\) и поверхностное отношение металлов к водороду.

От модели к нейтрино

Для каждого источника \(i\) солнечная модель предсказывает

\[ \Phi_i, \qquad f_i(E_\nu), \qquad g_i(r), \qquad n_e(r). \]

  • \(\Phi_i\) — полный поток на Земле;
  • \(f_i(E_\nu)\) — нормированная форма спектра;
  • \(g_i(r)\) — распределение мест рождения;
  • \(n_e(r)\) — электронная плотность для расчёта MSW.

PEANUTS читает таблицы стандартной солнечной модели, возвращает потоки, спектры и профили рождения, а затем вычисляет распространение нейтрино в Солнце и Земле.

В задачах к лекции эти величины не вводятся вручную: они извлекаются непосредственно из локальной установки PEANUTS.

Электронная плотность

Плотность максимальна в центре и падает к поверхности.

Именно \(n_e(r)\) задаёт потенциал Вольфенштейна

\[ V_e(r)=\sqrt2G_Fn_e(r). \]

Источники солнечных нейтрино

Протон-протонная цепочка

В современном Солнце pp-цепочка даёт основную часть энергии и нейтринного потока.

Первый шаг

\[ p+p\to d+e^++\nu_e \]

идёт через слабое взаимодействие и определяет медленный темп горения.

Ветви pp-цепочки

Непрерывный pp-спектр:

\[ p+p\to d+e^++\nu_e, \qquad E_\nu^{\max}\simeq0.42~\mathrm{МэВ}. \]

Почти моноэнергетическая pep-линия:

\[ p+e^-+p\to d+\nu_e, \qquad E_\nu\simeq1.44~\mathrm{МэВ}. \]

\[ p+d\to{}^3\mathrm{He}+\gamma, \]

\[ {}^3\mathrm{He}+{}^3\mathrm{He} \to{}^4\mathrm{He}+2p. \]

Эта ветвь не содержит \(^7\)Be- и \(^8\)B-нейтрино.

\[ {}^3\mathrm{He}+{}^4\mathrm{He} \to{}^7\mathrm{Be}+\gamma, \]

\[ {}^7\mathrm{Be}+e^- \to{}^7\mathrm{Li}+\nu_e. \]

Основные линии:

\[ E_\nu\simeq0.862~\mathrm{МэВ}, \qquad 0.384~\mathrm{МэВ}. \]

\[ {}^7\mathrm{Be}+p\to{}^8\mathrm{B}+\gamma, \]

\[ {}^8\mathrm{B}\to{}^8\mathrm{Be}^{*}+e^++\nu_e. \]

Поток мал, но спектр простирается до высоких энергий. Поэтому именно \(^8\)B-нейтрино доминируют в водных черенковских экспериментах.

\[ {}^3\mathrm{He}+p \to{}^4\mathrm{He}+e^++\nu_e. \]

hep-реакция даёт самые энергичные солнечные нейтрино, но поток чрезвычайно мал.

CNO-цикл

Углерод, азот и кислород работают как катализаторы превращения водорода в гелий.

Нейтрино рождаются в \(\beta^+\)-распадах

\[ {}^{13}\mathrm N, \quad{}^{15}\mathrm O, \quad{}^{17}\mathrm F. \]

CNO-нейтрино измеряют содержание тяжёлых элементов в ядре Солнца и проверяют проблему солнечной металличности.

Иерархия потоков

Самый большой поток — pp.

Самый важный для высокопороговых детекторов — \(^8\)B.

Самый высокоэнергичный хвост — hep.

Числа на рисунке относятся к выбранной стандартной солнечной модели. Для точного анализа нужно явно указывать модель и её состав.

Спектр из PEANUTS

Для непрерывного источника

\[ \frac{d\Phi_i}{dE_\nu} =\Phi_i f_i(E_\nu), \qquad \int f_i(E_\nu)dE_\nu=1. \]

Линейные источники \(^7\)Be и pep показаны вертикальными линиями с интегральным потоком.

Рисунок построен скриптом generate_peanuts_solar_spectrum.py из таблиц B16-AGSS09, поставляемых с PEANUTS.

Где рождаются нейтрино

Температурно-чувствительные реакции сильнее сосредоточены к центру.

Профиль рождения важен дважды:

  1. он проверяет солнечную модель;
  2. он задаёт плотность вещества в точке рождения и тем самым эффект MSW.

Поток не равен числу событий

Для источника \(i\) вклад в детектор имеет структуру

\[ \frac{dN_i}{dE_{\rm rec}} \propto \int dE_\nu\, \underbrace{\frac{d\Phi_i}{dE_\nu}}_{\text{Солнце}} \underbrace{P_{ee}(E_\nu)}_{\text{распространение}} \underbrace{\frac{d\sigma}{dE_{\rm true}}}_{\text{взаимодействие}} \underbrace{R(E_{\rm rec}|E_{\rm true})\epsilon(E_{\rm rec})}_{\text{детектор}}. \]

Большой низкоэнергетический поток может быть невидим для детектора с высоким порогом.

Превращение флэйвора

Потенциал вещества

Когерентное рассеяние вперёд на электронах создаёт для \(\nu_e\) дополнительный потенциал

\[ V_e(r)=\sqrt2G_Fn_e(r). \]

После вычитания несущественного следа двухфлэйворный гамильтониан равен

\[ H_f(r)= \frac{\Delta m_{21}^2}{4E_\nu} \begin{pmatrix} -\cos2\theta_{12} & \sin2\theta_{12}\\ \sin2\theta_{12} & \cos2\theta_{12} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} V_e(r)&0\\0&0 \end{pmatrix}. \]

Для антинейтрино \(V_e\to-V_e\).

Смешивание в веществе

Введём

\[ A(E_\nu,r)=\frac{2E_\nu V_e(r)}{\Delta m_{21}^2}. \]

Тогда

\[ \tan2\theta_m = \frac{\sin2\theta_{12}} {\cos2\theta_{12}-A}, \]

\[ \Delta m_m^2 = \Delta m_{21}^2 \sqrt{(\cos2\theta_{12}-A)^2+\sin^22\theta_{12}}. \]

Резонанс соответствует

\[ A=\cos2\theta_{12}, \qquad \theta_m=\frac{\pi}{4}. \]

Адиабатическое прохождение

Если плотность меняется медленно по сравнению с локальной длиной осцилляций, нейтрино остаётся в одном мгновенном собственном состоянии гамильтониана.

После усреднения фаз

\[ P_{ee}^{2\nu}(E_\nu,r) = \frac12 + \frac12\cos2\theta_{12}\cos2\theta_m(E_\nu,r). \]

Наблюдаемая вероятность дополнительно усредняется по профилю рождения:

\[ \overline P_{ee}(E_\nu) = \frac{\int dr\,g_i(r)P_{ee}(E_\nu,r)} {\int dr\,g_i(r)}. \]

Два предела

Низкие энергии: вакуумное усреднение

\[ P_{ee}^{\rm low} \simeq 1-\frac12\sin^22\theta_{12}. \]

Высокие энергии: адиабатический MSW

\[ P_{ee}^{\rm high} \simeq \sin^2\theta_{12}. \]

Почему осцилляций не видно

Солнечные нейтрино рождаются

  • в протяжённой области;
  • с непрерывным спектром;
  • на расстоянии около одной астрономической единицы.

Размер источника, разрешение по энергии и разделение волновых пакетов усредняют быстро меняющиеся фазы.

Поэтому детектор получает некогерентную смесь массовых состояний:

\[ P_{ee} = \sum_i P(\nu_e\to\nu_i\text{ на выходе из Солнца}) |U_{ei}|^2. \]

Мы наблюдаем плавную зависимость \(P_{ee}(E_\nu)\), а не осцилляционные полосы.

День и ночь

Ночью нейтрино проходят через Землю. Земное вещество частично регенерирует электронный флэйвор:

\[ \Delta P_{ee}^{\oplus} = P_{ee}^{\rm night}-P_{ee}^{\rm day}. \]

Эффект мал, но его энергетическая и угловая зависимости дают дополнительную чувствительность к \(\Delta m_{21}^2\).

Как регистрируют солнечные нейтрино

Основные каналы

Нейтрино превращает ядро в радиоактивный изотоп:

\[ \nu_e+{}^{37}\mathrm{Cl}\to{}^{37}\mathrm{Ar}+e^-, \]

\[ \nu_e+{}^{71}\mathrm{Ga}\to{}^{71}\mathrm{Ge}+e^-. \]

После длительной экспозиции отдельные атомы извлекают химически и считают их распады.

Измеряется интегральная скорость, но нет направления и энергии каждого события.

\[ \nu_\alpha+e^-\to\nu_\alpha+e^-. \]

Электрон отдачи сохраняет информацию о направлении на Солнце.

\(\nu_e\) взаимодействует через CC и NC, а \(\nu_{\mu,\tau}\) — только через NC, поэтому

\[ \sigma(\nu_e e)>\sigma(\nu_{\mu,\tau}e). \]

В тяжёлой воде SNO измерял

\[ \nu_e+d\to p+p+e^-. \]

Канал чувствителен только к электронному флэйвору и даёт спектральную информацию.

SNO также измерял

\[ \nu_x+d\to p+n+\nu_x. \]

Этот канал одинаково чувствителен ко всем активным флэйворам. Он измеряет полный поток \(^8\)B-нейтрино независимо от превращений флэйвора.

Сечение \(\nu e\)

Для нейтрино энергии \(E_\nu\) и электрона отдачи с кинетической энергией \(T_e\)

\[ \frac{d\sigma}{dT_e} = \frac{2G_F^2m_e}{\pi} \left[ g_L^2+g_R^2\left(1-\frac{T_e}{E_\nu}\right)^2 -g_Lg_R\frac{m_eT_e}{E_\nu^2} \right]. \]

Кинематический предел:

\[ 0\le T_e\le T_e^{\max} = \frac{2E_\nu^2}{m_e+2E_\nu}. \]

Водный черенковский детектор

Черенковское излучение возникает при

\[ \beta_en>1. \]

Для воды \(n\simeq1.33\), поэтому физический порог равен примерно

\[ T_e^{\rm Ch} = m_e\left(\frac{1}{\sqrt{1-1/n^2}}-1\right) \simeq0.26~\mathrm{МэВ}. \]

Практический порог анализа выше из-за радиоактивных фонов, разрешения и эффективности отбора.

Направление черенковского конуса позволяет выделить избыток событий, направленных от Солнца.

От первого дефицита к доказательству

Хлорный радиохимический эксперимент Р. Дэвиса впервые устойчиво увидел поток меньше предсказанного стандартной солнечной моделью.

Это стало солнечной нейтринной проблемой: ошибка модели Солнца, сечений или новая физика нейтрино?

GALLEX/GNO и SAGE снизили порог до pp-области.

Тем самым было показано, что дефицит относится не только к редкому высокоэнергетическому хвосту \(^8\)B.

Kamiokande, а затем Super-Kamiokande зарегистрировали направление электронов отдачи на Солнце и измерили спектр \(^8\)B-нейтрино в реальном времени.

Солнечное происхождение сигнала стало геометрически очевидным.

Сравнение CC, NC и упругого рассеяния показало:

  • поток \(\nu_e\) уменьшен;
  • полный поток активных нейтрино согласуется с солнечной моделью;
  • недостающие \(\nu_e\) превратились в \(\nu_\mu\) и \(\nu_\tau\).

Жидкосцинтилляционный Borexino измерил низкоэнергетические компоненты, включая pp, \(^7\)Be, pep и CNO.

Это превратило солнечную нейтринную физику из задачи «есть дефицит или нет» в спектроскопию отдельных реакций Солнца.

Экспериментальная карта

Подземная лаборатория Homestake
Homestake
хлор, интегральный поток
Эксперимент SAGE
SAGE
галлий, pp-область
Super-Kamiokande
Super-Kamiokande
направление и спектр
Sudbury Neutrino Observatory
SNO
CC + NC + ES
Borexino
Borexino
низкие энергии и CNO

Логика решения проблемы

Пусть \(\Phi_e\) — электронный поток, а \(\Phi_{\rm active}\) — сумма активных флэйворов.

Радиохимия и CC измеряют в основном

\[ \Phi_e. \]

NC в дейтерии измеряет

\[ \Phi_e+\Phi_\mu+\Phi_\tau. \]

Наблюдение

\[ \Phi_e<\Phi_{\rm active}\simeq\Phi_{\rm SSM} \]

отделило астрофизику от физики нейтрино: источник даёт ожидаемый полный поток, но его флэйворный состав меняется по пути.

От потока к данным

Ожидаемое число событий

Для истинного бина энергии отдачи \([T_j,T_{j+1}]\)

\[ \mu_j = N_eT_{\rm live} \int_{T_j}^{T_{j+1}}dT_e \int dE_\nu\, \frac{d\Phi_{^8\mathrm B}}{dE_\nu} \left[ P_{ee}\frac{d\sigma_e}{dT_e} +(1-P_{ee})\frac{d\sigma_x}{dT_e} \right]. \]

Для воды массой \(M\)

\[ N_e=10N_A\frac{M}{18~\mathrm g}. \]

Множитель 10 — число электронов в молекуле \(\mathrm H_2\mathrm O\).

Ответ детектора

Регистрируемая энергия отличается от истинной:

\[ \mu_k^{\rm rec} = \sum_j R_{kj}\,\epsilon_j\,\mu_j+b_k. \]

  • \(R_{kj}\) — миграция между бинами;
  • \(\epsilon_j\) — эффективность;
  • \(b_k\) — ожидаемый фон;
  • порог определяет доступную часть спектра.

Псевдоэксперимент

Для проверки анализа генерируют

\[ n_j\sim\operatorname{Pois}(\mu_j^{\rm true}). \]

Псевдоданные позволяют проверить смещение оценки, покрытие интервалов, устойчивость к порогу и бинированию до анализа настоящих данных.

Пуассоновская статистика

Для наблюдаемых \(n_j\) и ожиданий \(\mu_j(\boldsymbol\theta)\)

\[ q(\boldsymbol\theta) = 2\sum_j \left[ \mu_j-n_j+n_j\ln\frac{n_j}{\mu_j} \right]. \]

При \(n_j=0\) логарифмический член принимается равным нулю.

Параметры могут включать

\[ \sin^2\theta_{12}, \qquad \Delta m_{21}^2, \qquad \alpha_{^8\mathrm B}, \qquad \text{систематические параметры}. \]

Профили и контуры

Для двух параметров

\[ \Delta q(\theta_1,\theta_2) = q(\theta_1,\theta_2)-q_{\min}. \]

Обычные асимптотические уровни:

\[ \Delta q=2.30, \qquad 6.18 \]

для приблизительных областей \(1\sigma\) и \(2\sigma\).

Одномерный профиль получается минимизацией по остальным параметрам.

Что измеряет форма

Полное число событий чувствительно к потоку \(^8\)B, экспозиции, эффективности и средней вероятности выживания.

Если свободна нормировка \(\alpha_{^8\mathrm B}\), часть информации о \(\sin^2\theta_{12}\) теряется.

Переход между вакуумным и MSW-режимами изменяет форму \(P_{ee}(E_\nu)\), а значит и спектр электронов отдачи.

Эффект частично сглаживается интегрированием по \(E_\nu\) и разрешением детектора.

Земная регенерация особенно полезна для \(\Delta m_{21}^2\), поскольку добавляет зависимость от длины пути и профиля плотности Земли.

Порог, энергетическая шкала, разрешение, фон и неопределённость формы \(^8\)B могут имитировать спектральные изменения.

Их необходимо включать в модель и профилировать.

Практическая цепочка PEANUTS

От солнечной модели до фита

\[ \boxed{ \text{PEANUTS: }\Phi_i,\ f_i(E_\nu),\ g_i(r),\ n_e(r) } \]

\[ \Downarrow \]

\[ P_{ee}(E_\nu) \quad\Longrightarrow\quad \frac{d\sigma}{dT_e} \quad\Longrightarrow\quad \mu_j \quad\Longrightarrow\quad n_j \quad\Longrightarrow\quad q(\boldsymbol\theta). \]

Задачи к лекции воспроизводят всю цепочку: сначала реальные таблицы солнечной модели из PEANUTS, затем спектр, MSW, детектор и статистический фит.

Что проверить численно

  • потоки восьми источников;
  • нормировку непрерывных спектров;
  • две линии \(^7\)Be и линию pep;
  • радиальные профили рождения.
  • \(P_{ee}(E_\nu)\) для pp, \(^7\)Be и \(^8\)B;
  • низко- и высокоэнергетические пределы;
  • зависимость от \(\sin^2\theta_{12}\) и \(\Delta m_{21}^2\);
  • земную регенерацию.
  • спектр электронов отдачи;
  • пороги \(3\), \(4.5\) и \(6~\mathrm{МэВ}\);
  • вклад \(\nu_e\) и \(\nu_{\mu,\tau}\);
  • влияние разрешения и эффективности.
  • пуассоновские псевдоданные;
  • минимум \(q\);
  • одномерные профили;
  • двумерные контуры;
  • устойчивость к бинированию и порогу.

Итоги

Что мы узнали о Солнце

  • Энергия Солнца возникает в термоядерных реакциях pp-цепочки и CNO-цикла.
  • Квантовое туннелирование определяет скорости реакций при солнечных температурах.
  • Нейтринные потоки проверяют температуру, состав и структуру ядра.
  • Измерение CNO-компоненты открывает прямой доступ к металличности центральной области.

Что мы узнали о нейтрино

  • Солнечный дефицит не был дефицитом полного активного потока.
  • Электронные нейтрино превращаются в \(\nu_\mu\) и \(\nu_\tau\).
  • Энергетическая зависимость \(P_{ee}\) демонстрирует переход от вакуумного усреднения к адиабатическому MSW.
  • Эффект день — ночь проверяет распространение в веществе Земли.

Главная формула лекции

\[ \boxed{ \text{данные} = \text{солнечная модель} \otimes \text{осцилляции} \otimes \text{сечение} \otimes \text{ответ детектора} } \]

Ни один из этих множителей нельзя интерпретировать изолированно.

Литература и код

В формулах использованы естественные единицы \(\hbar=c=1\), если явно не указаны практические единицы таблиц.