Задачи к курсу

Введение в физику нейтрино

Автор

Дмитрий В. Наумов

← Вернуться к курсу

Задачи

Задача 01.1. Насколько Вселенная прозрачна для нейтрино?

Оцените длину взаимодействия нейтрино в среде со средней барионной плотностью Вселенной для двух энергий:

\[ E_\nu=1~\mathrm{МэВ}, \qquad E_\nu=1~\mathrm{ПэВ}. \]

Используйте

\[ \lambda_\nu=\frac{1}{n\sigma}, \qquad n\simeq2.5\cdot10^{-7}~\mathrm{см}^{-3}, \]

\[ \sigma_{\nu e}(1~\mathrm{МэВ})\sim10^{-44}~\mathrm{см}^2, \qquad \sigma_{\nu N}(1~\mathrm{ПэВ})\sim10^{-33}~\mathrm{см}^2, \]

и диаметр наблюдаемой Вселенной \(D_{\mathrm{набл}}\simeq8.8\cdot10^{28}~\mathrm{см}\).

  1. Вычислите \(\lambda_\nu\) и отношение \(D_{\mathrm{набл}}/\lambda_\nu\) для обеих энергий.
  2. Интерпретируйте \(D_{\mathrm{набл}}/\lambda_\nu\) как оптическую толщину. Какова вероятность хотя бы одного взаимодействия при \(D_{\mathrm{набл}}\ll\lambda_\nu\)?
  3. Почему для этой оценки нужна плотность обычного вещества, а не полная плотность энергии Вселенной?
  4. Объясните, почему рост сечения на одиннадцать порядков всё равно не делает однородную Вселенную непрозрачной для пэвных нейтрино.

Задача 01.2. Поток солнечных нейтрино

Основная цепочка термоядерных реакций в Солнце в суммарном виде имеет вид

\[ 4p\longrightarrow{}^4\mathrm{He}+2e^++2\nu_e+Q, \qquad Q=26.7~\mathrm{МэВ}. \]

Используйте

\[ L_\odot=3.83\cdot10^{26}~\mathrm{Вт}, \qquad r_\oplus=1~\mathrm{а.е.}, \qquad r_J=5.20~\mathrm{а.е.}, \]

\[ 1~\mathrm{а.е.}=1.496\cdot10^{11}~\mathrm{м}, \qquad 1~\mathrm{эВ}=1.602\cdot10^{-19}~\mathrm{Дж}. \]

  1. Оцените число завершённых реакционных цепочек в секунду.
  2. Найдите скорость рождения нейтрино \(\dot N_\nu\).
  3. Используя \(\Phi_\nu=\dot N_\nu/(4\pi r^2)\), вычислите поток на орбитах Земли и Юпитера.
  4. Сравните поток на Земле с \(\Phi_\nu^{\mathrm{exp}}\simeq6.6\cdot10^{10}~ \mathrm{см}^{-2}\mathrm{с}^{-1}\).
  5. В оценке вся энергия \(Q\) была отождествлена со светимостью Солнца. В какую сторону изменится результат, если учесть энергию, унесённую нейтрино?

Задача 01.3. Сколько существует лёгких нейтрино?

Невидимая ширина распада \(Z\)-бозона измерена как

\[ \Gamma_{\mathrm{inv}}=499.0\pm1.5~\mathrm{МэВ}. \]

Стандартная модель предсказывает для одного лёгкого нейтрино

\[ \Gamma(Z\to\nu\bar\nu)=167.21\pm0.02~\mathrm{МэВ}. \]

  1. Вычислите

    \[ N_\nu= \frac{\Gamma_{\mathrm{inv}}} {\Gamma(Z\to\nu\bar\nu)}. \]

  2. Оцените неопределённость \(N_\nu\), считая две ошибки независимыми.

  3. Согласуется ли результат с тремя нейтринными флэйворами?

  4. Почему это измерение ограничивает число только тех нейтрино, для которых распад \(Z\to\nu\bar\nu\) кинематически разрешён?

  5. Может ли существовать дополнительное нейтрино, которое не связано с \(Z\)-бозоном? Что именно тогда означает слово «стерильное»?

Задача 01.4. Осцилляции атмосферных нейтрино

В двухфлэйворном приближении

\[ P(\nu_\mu\to\nu_\tau) = \sin^2 2\theta\, \sin^2\!\left( 1.267\, \frac{\Delta m^2[\mathrm{эВ}^2]L[\mathrm{км}]} {E_\nu[\mathrm{ГэВ}]} \right). \]

Положите

\[ E_\nu=1~\mathrm{ГэВ}, \qquad \sin^2 2\theta=1, \qquad \Delta m^2=2.5\cdot10^{-3}~\mathrm{эВ}^2. \]

  1. Найдите расстояние до первого максимума перехода.
  2. Сравните вероятности для нейтрино, пришедшего сверху (\(L=20~\mathrm{км}\)), и прошедшего через Землю (\(L=12\,742~\mathrm{км}\)).
  3. Постройте \(P(\nu_\mu\to\nu_\tau)\) как функцию \(x=L/D_\oplus\) при \(0\leq x\leq1\).
  4. На том же графике постройте \(P(\nu_\mu\to\nu_\mu)\) и проверьте унитарность.
  5. Как сместится первый максимум при увеличении энергии в десять раз?

Задача 01.5. Минимальные массы при двух порядках уровней

Используйте измеренные разности квадратов масс

\[ \Delta m_{21}^2=7.4\cdot10^{-5}~\mathrm{эВ}^2, \qquad |\Delta m_{31}^2|=2.5\cdot10^{-3}~\mathrm{эВ}^2. \]

  1. Для нормального порядка положите \(m_1=0\) и найдите \(m_2\), \(m_3\) и \(\sum_i m_i\).
  2. Для обратного порядка положите \(m_3=0\) и найдите \(m_1\), \(m_2\) и \(\sum_i m_i\).
  3. Почему осцилляции определяют разности квадратов масс, но не фиксируют массу самого лёгкого состояния?
  4. Повторите расчёт для \(m_{\mathrm{lightest}}=0.05~\mathrm{эВ}\). Насколько различимы в этом случае два порядка по самим значениям масс?
  5. Объясните смысл терминов «иерархический» и «квазиевырожденный» спектр.

Задачи для разбора на семинаре

Семинар 01.1. Сколько нейтрино проходит через человека?

Поток солнечных нейтрино у Земли равен \(\Phi_\nu=6.6\cdot10^{10}~\mathrm{см}^{-2}\mathrm{с}^{-1}\). Примите площадь поперечного сечения человека равной \(0.70~\mathrm{м}^2\), толщину тела вдоль пучка — \(0.30~\mathrm{м}\), электронную плотность воды — \(n_e=3.3\cdot10^{29}~\mathrm{м}^{-3}\), а характерное сечение взаимодействия — \(\sigma=10^{-48}~\mathrm{м}^2\).

  1. Сколько солнечных нейтрино проходит через человека за секунду?
  2. Оцените вероятность взаимодействия одного нейтрино как \(n_e\sigma l\).
  3. Как часто при этих предположениях происходит взаимодействие? Почему огромный поток нейтрино не делает их простыми для регистрации?

Семинар 01.2. Заряженный или нейтральный ток?

Для каждой реакции определите, идёт ли она через заряженный или нейтральный слабый ток:

\[ \nu_e+n\to p+e^-, \qquad \bar\nu_e+p\to n+e^+, \]

\[ \nu_\mu+e^-\to\nu_\mu+e^-, \qquad \nu+N\to\nu+N. \]

Какие реакции непосредственно указывают аромат пришедшего нейтрино, а какие лишь обнаруживают сам факт его взаимодействия? Проверьте сохранение электрического заряда в каждой реакции.

Семинар 01.3. Почему осцилляции не измеряют абсолютную массу?

Фаза интерференции двух массовых состояний имеет вид

\[ \Delta\phi_{ij}=\frac{\Delta m_{ij}^2L}{2E}. \]

  1. Покажите, что вероятности осцилляций не меняются при одновременной замене \(m_i^2\to m_i^2+C\) для всех \(i\).
  2. Какую информацию о массах всё же дают осцилляции?
  3. Какая комбинация масс измеряется по форме конца \(\beta\)-спектра?

Семинар 01.4. Какой эксперимент отвечает на какой вопрос?

Сопоставьте наблюдение и физический вопрос:

  • осцилляции нейтрино;
  • конец \(\beta\)-спектра;
  • невидимая ширина \(Z\)-бозона;
  • поиск безнейтринного двойного \(\beta\)-распада;
  • рассеяние нейтрино на веществе.

Вопросы: разности квадратов масс и смешивание; абсолютный масштаб масс; число лёгких активных нейтрино; нарушение лептонного числа и природа Майораны; структура слабого взаимодействия. Объясните, почему ни один из этих экспериментов не заменяет все остальные.

Задача 02.1. \(\tau\)–\(\theta\)-загадка

Две заряженные частицы с одинаковыми массой и временем жизни наблюдались в распадах

\[ \theta^+\to\pi^++\pi^0, \qquad \tau^+\to\pi^++\pi^++\pi^-. \]

Спин обеих частиц равен нулю, а внутренняя чётность пиона отрицательна: \(P_\pi=-1\). Считайте, что конечные пионы находятся преимущественно в состоянии с нулевым относительным орбитальным моментом.

  1. Найдите чётность двухпионного конечного состояния.
  2. Найдите чётность трёхпионного конечного состояния.
  3. Почему при сохранении пространственной чётности эти распады пришлось бы приписать двум разным частицам?
  4. Почему совпадение масс и времён жизни, напротив, указывало на одну частицу?
  5. Сформулируйте, как гипотеза Ли и Янга разрешила парадокс.

Задача 02.2. Что непосредственно измеряет опыт Ву?

Пусть угловое распределение электронов в \(\beta\)-распаде поляризованного ядра имеет вид

\[ W(\theta)=1+a\cos\theta, \]

где \(\theta\) — угол между импульсом электрона и направлением поляризации ядра.

  1. Укажите, какая из величин \(\mathbf p_e\) и \(\mathbf J\) является полярным вектором, а какая — аксиальным.

  2. Покажите, что при пространственной инверсии \(\mathbf p_e\to-\mathbf p_e\), \(\mathbf J\to\mathbf J\) и \(\cos\theta\to-\cos\theta\).

  3. Почему ненулевой коэффициент \(a\) означает нарушение чётности?

  4. Интегрируя по двум полусферам, покажите, что

    \[ N_+\propto1+\frac a2, \qquad N_-\propto1-\frac a2. \]

  5. Выразите \(a\) через измеренную полусферическую асимметрию

    \[ \mathcal A=\frac{N_+-N_-}{N_++N_-}. \]

Задача 02.3. Можно ли поляризовать ядра обычным магнитом?

Рассмотрите ядро со спином \(1/2\) и магнитным моментом \(\mu=4\mu_N\) в поле \(B=10~\mathrm{Тл}\). Используйте

\[ \mu_N=3.15\cdot10^{-8}~\mathrm{эВ/Тл}, \qquad k_B=8.617\cdot10^{-5}~\mathrm{эВ/К}. \]

Энергии двух ориентаций равны \(E_\pm=\mp\mu B\), а равновесная поляризация

\[ \mathcal P= \frac{N_+-N_-}{N_++N_-} =\tanh\!\left(\frac{\mu B}{k_BT}\right). \]

  1. Выведите эту формулу из больцмановских заселённостей.
  2. Вычислите зеемановскую энергию \(\mu B\).
  3. Найдите \(\mathcal P\) при \(T=1~\mathrm{К}\), \(10~\mathrm{мК}\) и \(1~\mathrm{мК}\).
  4. При какой температуре достигается \(\mathcal P=0.90\)?
  5. Почему большой магнит сам по себе не обеспечивает сильную ядерную поляризацию?

Задача 02.4. Адиабатическое размагничивание

Для \(N\) невзаимодействующих магнитных моментов со спином \(1/2\) в поле \(B\) введите

\[ x=\frac{\mu B}{k_BT}. \]

  1. Покажите, что статистическая сумма равна

    \[ Z_N=(2\cosh x)^N. \]

  2. Из \(F=-k_BT\ln Z_N\) получите энтропию

    \[ S=Nk_B\left[\ln(2\cosh x)-x\tanh x\right]. \]

  3. Объясните, почему при \(S=\mathrm{const}\) сохраняется отношение \(B/T\).

  4. Система начинает при

    \[ T_i=1.2~\mathrm{К}, \qquad B_i=2.0~\mathrm{Тл} \]

    и адиабатически размагничивается до \(B_f=2.0\cdot10^{-2}~\mathrm{Тл}\). Найдите \(T_f\).

  5. Какие реальные эффекты мешают температуре неограниченно падать при \(B_f\to0\)?

Задача 02.5. Как объяснить инопланетянам, где лево?

Предположим сначала, что все фундаментальные взаимодействия сохраняют пространственную чётность.

  1. Почему системы координат \((x,y,z)\) и \((-x,y,z)\) в таком мире физически эквивалентны?
  2. Почему чертёж, текстовая инструкция или радиосигнал сами по себе не позволяют передать абсолютное различие между левым и правым?
  3. Опишите установку с поляризованными ядрами и \(\beta\)-детекторами, которую могут одинаково собрать две цивилизации.
  4. Как по знаку асимметрии \(\beta\)-распада обе цивилизации выберут одну и ту же ориентацию пространства?
  5. Какую дополнительную договорённость нужно передать, чтобы процедура не перепутала вещество с антивеществом?

Задачи для разбора на семинаре

Семинар 02.1. Что меняется при отражении?

Заполните таблицу преобразований при пространственной инверсии \(\mathbf r\to-\mathbf r\) для величин

\[ \mathbf r,\quad \mathbf p,\quad \mathbf E,\quad \mathbf J,\quad \mathbf B. \]

Какие из них являются полярными, а какие — аксиальными векторами? Определите чётность величин \(\mathbf p\cdot\mathbf J\), \(\mathbf E\cdot\mathbf p\) и \(\mathbf J\cdot\mathbf B\). Какая из них может служить наблюдаемым признаком нарушения чётности?

Семинар 02.2. Асимметрия из числа событий

Угловое распределение электронов от поляризованных ядер имеет вид

\[ W(\theta)\propto 1+A_\beta P\beta\cos\theta. \]

Два одинаковых детектора, покрывающих противоположные полусферы, зарегистрировали \(N_+=11\,200\) и \(N_-=8\,800\) событий. Поляризация ядер равна \(P=0.80\), а скорость электронов — \(\beta=0.75\).

  1. Интегрированием по полусферам покажите, что \((N_+-N_-)/(N_++N_-)=A_\beta P\beta/2\).
  2. Найдите \(A_\beta\).
  3. Как изменится результат при обращении поляризации ядер?

Семинар 02.3. Как отделить физическую асимметрию от приборной?

Пусть при двух направлениях поляризации измерены асимметрии

\[ A^\uparrow=A_{\mathrm{inst}}+A_{\mathrm{phys}}, \qquad A^\downarrow=A_{\mathrm{inst}}-A_{\mathrm{phys}}. \]

  1. Выразите \(A_{\mathrm{phys}}\) и \(A_{\mathrm{inst}}\) через две измеренные величины.
  2. Найдите их для \(A^\uparrow=0.13\) и \(A^\downarrow=-0.09\).
  3. Почему обращение поляризации — более надёжная проверка, чем сравнение двух детекторов только при одном направлении поля?

Семинар 02.4. Нарушает ли чётность магнитное поле?

Ориентацию ядер создают взаимодействием

\[ U=-\boldsymbol\mu\cdot\mathbf B. \]

Покажите, что \(\boldsymbol\mu\) и \(\mathbf B\) являются аксиальными векторами, а энергия \(U\) не меняется при пространственной инверсии. Почему сама подготовка поляризованной мишени магнитным полем не является нарушением чётности, тогда как корреляция \(\mathbf J\cdot\mathbf p_e\) в распаде может его обнаружить?

Задача 03.1. Отдача ядра в опыте Голдхабера

В опыте Голдхабера электронный захват приводит к реакции

\[ {}^{152m}\mathrm{Eu}+e^- \longrightarrow {}^{152}\mathrm{Sm}^*+\nu_e. \]

Примите

\[ E_\nu\simeq1~\mathrm{МэВ}, \qquad M_{B^*}\simeq152~u, \qquad uc^2=931.5~\mathrm{МэВ}. \]

  1. Пренебрегая импульсом захваченного электрона, покажите, что \(p_{B^*}\simeq p_\nu\simeq E_\nu/c\).

  2. Вычислите энергию отдачи

    \[ T_{B^*}\simeq\frac{E_\nu^2}{2M_{B^*}c^2} \]

    и скорость ядра \(v_{B^*}=p_{B^*}/M_{B^*}\).

  3. Если ядро теряет направление отдачи на длине \(\ell=1\)–\(5~\text{Å}\), оцените \(\tau_{\mathrm{stop}}\sim\ell/v_{B^*}\).

  4. Сравните результат со временем жизни возбуждённого состояния \(\tau(B^*)\simeq0.07~\mathrm{пс}\).

  5. Почему для измерения спиральности важно, чтобы \(\gamma\)-квант был испущен до потери памяти о направлении отдачи?

Задача 03.2. Спиральность и киральность массивного нейтрино

Нейтрино, рождённое левокиральным слабым током, при \(m_\nu\ne0\) содержит малую компоненту противоположной спиральности:

\[ P_{\mathrm{opp}}=\frac{1-\beta_\nu}{2}, \qquad \beta_\nu=\frac{p_\nu}{E_\nu}. \]

  1. Используя \(E_\nu^2=p_\nu^2+m_\nu^2\), покажите, что при \(E_\nu\gg m_\nu\)

    \[ P_{\mathrm{opp}}\simeq \left(\frac{m_\nu}{2E_\nu}\right)^2. \]

  2. Для \(E_\nu=1~\mathrm{МэВ}\) и \(m_\nu<0.45~\mathrm{эВ}\) получите верхнюю оценку \(P_{\mathrm{opp}}\).

  3. Почему спиральность и киральность практически совпадают для ультрарелятивистского нейтрино, хотя это разные понятия?

  4. Какая из этих характеристик может изменить знак при переходе в другую инерциальную систему?

  5. Как массовый член уравнения Дирака связывает левую и правую киральные компоненты?

Задача 03.3. Проекции спина при электронном захвате

Рассмотрите разрешённый электронный захват

\[ A(J=0)+e^- \longrightarrow B^*(J=1)+\nu_e. \]

Ось \(z\) направьте вдоль импульса нейтрино; орбитальным моментом конечного состояния пренебрегите.

  1. Запишите закон сохранения проекции полного момента:

    \[ m_e=m_{B^*}+m_\nu. \]

  2. Перечислите допустимые значения \(m_e=\pm\tfrac12\), \(m_\nu=\pm\tfrac12\) и \(m_{B^*}=-1,0,+1\).

  3. Составьте таблицу разрешённых троек \((m_e,m_{B^*},m_\nu)\).

  4. При каких значениях \(m_{B^*}\) проекция спина ядра однозначно фиксирует спиральность нейтрино?

  5. Почему связь теряет однозначный смысл, если ось квантования выбрана не вдоль импульса нейтрино?

Задача 03.4. Доплеровский отбор \(\gamma\)-квантов

Возбуждённое ядро \(B^*\) движется со скоростью \(v\ll c\) и испускает в своей системе покоя фотон энергии \(E_\gamma\). Угол \(\theta\) отсчитывается между направлением фотона и скоростью ядра.

  1. Из преобразования

    \[ E_\gamma^{\mathrm{lab}} =\gamma E_\gamma(1+\beta\cos\theta) \]

    получите в первом порядке по \(v/c\)

    \[ E_\gamma^{\mathrm{lab}} \simeq E_\gamma \left(1+\frac vc\cos\theta\right). \]

  2. Найдите \(E_{\max}\), \(E_{\min}\) и ширину \(E_{\max}-E_{\min}\).

  3. Используя скорость из задачи 03.1, оцените относительный доплеровский сдвиг.

  4. Почему резонансное поглощение выбирает узкий диапазон углов?

  5. Объясните, как энергетический отбор превращается в отбор направления \(\gamma\)-кванта относительно отдачи ядра.

Задача 03.5. Можно ли обогнать нейтрино?

Массивное нейтрино движется вдоль оси \(z\) с энергией \(E_\nu\) и импульсом \(p_\nu\). Наблюдатель движется в том же направлении со скоростью \(u\). При продольном бусте

\[ p_\nu'=\gamma_u \left(p_\nu-\frac{uE_\nu}{c^2}\right). \]

  1. Получите условие, при котором \(p_\nu'\) меняет знак.

  2. Покажите, что для \(E_\nu\gg m_\nu c^2\)

    \[ 1-\beta_\nu\simeq \frac{m_\nu^2c^4}{2E_\nu^2}. \]

  3. Для \(E_\nu=1~\mathrm{МэВ}\) и \(m_\nu=0.10~\mathrm{эВ}/c^2\) оцените, насколько скорость наблюдателя должна отличаться от \(c\).

  4. Оцените минимальный лоренц-фактор такого наблюдателя и сравните его с \(\gamma_\nu=E_\nu/(m_\nu c^2)\).

  5. Почему после обгона спиральность меняет знак? Почему тот же мысленный эксперимент невозможен для строго безмассовой частицы?

Задачи для разбора на семинаре

Семинар 03.1. Как преобразуется спиральность?

Спиральность частицы определяется как

\[ h=\frac{\mathbf S\cdot\mathbf p}{|\mathbf p|}. \]

Проследите преобразование \(\mathbf S\), \(\mathbf p\) и \(h\) при

  1. обычном пространственном вращении;
  2. пространственной инверсии \(P\);
  3. обращении времени \(T\).

Почему предпочтение одного знака спиральности является признаком нарушения пространственной чётности?

Семинар 03.2. Логика опыта Гольдхабера

После электронного захвата возбуждённое ядро отдачи и нейтрино летят в противоположных направлениях. Затем ядро испускает \(\gamma\)-квант, круговая поляризация которого хранит информацию о проекции спина ядра отдачи.

  1. Нарисуйте направления импульсов нейтрино, ядра отдачи и отобранного \(\gamma\)-кванта.
  2. Объясните цепочку «спиральность нейтрино \(\to\) поляризация ядра отдачи \(\to\) круговая поляризация фотона» с помощью сохранения момента импульса.
  3. Почему опыт должен отбирать фотоны, летящие вдоль определённого направления отдачи? Что потеряется при регистрации фотонов со всех сторон?

Семинар 03.3. Резонанс как угловой фильтр

В первом порядке по скорости ядра энергия фотона в лаборатории равна

\[ E_{\mathrm{lab}}\simeq E_\gamma(1+\beta_R\cos\theta). \]

Поглотитель имеет резонансную энергию \(E_{\mathrm{res}}\) и ширину \(\Gamma\).

  1. Найдите направление \(\cos\theta_{\mathrm{res}}\), которое попадает в резонанс.
  2. Покажите, что ширина выбранного углового интервала по \(\cos\theta\) имеет порядок \(\Gamma/(\beta_RE_\gamma)\).
  3. Почему энергетический резонанс одновременно становится фильтром направления испускания?

Семинар 03.4. Обгон массивной частицы

Пусть частица имеет энергию \(E=5mc^2\) и движется вдоль оси \(z\).

  1. Найдите её скорость \(\beta\).
  2. Какой минимальный лоренц-фактор нужен наблюдателю, чтобы двигаться быстрее частицы в том же направлении?
  3. Что произойдёт с направлением импульса и спиральностью частицы в системе такого наблюдателя?
  4. На каком шаге рассуждение перестаёт работать при \(m=0\)?

Задача 04.1. Спектр \(\beta\)-распада

Рассмотрите разрешённый \(\beta\)-распад с одним массовым состоянием нейтрино. Пренебрегите отдачей ядра и радиационными поправками. Считайте \(F(Z,E)=1\).

Пусть \(E\) — кинетическая энергия электрона. Используйте

\[ \frac{d\Gamma}{dE} = C\,p_e(E+m_e)(E_0-E) \sqrt{(E_0-E)^2-m_\nu^2}\, \Theta(E_0-E-m_\nu), \]

где

\[ p_e=\sqrt{E^2+2m_eE}, \qquad m_e=511~\mathrm{кэВ}, \qquad E_0=18.575~\mathrm{кэВ}. \]

  1. Напишите функцию, вычисляющую ненормированный спектр \(d\Gamma/dE\).

  2. Для \(m_\nu=0\) и \(m_\nu=1~\mathrm{эВ}\) постройте две панели: весь разрешённый диапазон и последние \(5~\mathrm{эВ}\). Используйте одну и ту же нормировку для обеих масс.

  3. Определите максимальную кинетическую энергию электрона как функцию \(m_\nu\) и отметьте оба конца спектра на увеличенном графике.

  4. Для \(m_\nu=0\) вычислите долю всех распадов, попадающих в последние \(1~\mathrm{эВ}\) и \(5~\mathrm{эВ}\). Сравните численный результат с оценкой

    \[ \frac{N(E>E_0-\Delta E)}{N_{\mathrm{all}}} \sim\left(\frac{\Delta E}{E_0}\right)^3, \]

    полученной из приближения \(d\Gamma/dE\propto(E_0-E)^2\).

  5. Сверните спектр с гауссовой функцией разрешения с \(\sigma_E=0.5~\mathrm{эВ}\). Покажите, что реконструированная энергия может оказаться выше физического конца \(E_0\), хотя истинный спектр там равен нулю.

Задача 04.2. Эффективная масса и график Кури

Электронное антинейтрино рождается как смесь массовых состояний. Вблизи конца спектра положите \(E_\nu=E_0-E\) и используйте

\[ \frac{d\Gamma}{dE} =C(E)\sum_i|U_{ei}|^2E_\nu \sqrt{E_\nu^2-m_i^2}\,\Theta(E_\nu-m_i). \]

  1. При \(E_\nu\gg m_i\) разложите корень до первого порядка по \(m_i^2/E_\nu^2\).

  2. Используя \(\sum_i|U_{ei}|^2=1\), покажите, что результат имеет вид спектра с одной эффективной массой

    \[ m_\beta^2=\sum_i|U_{ei}|^2m_i^2. \]

  3. Объясните, почему здесь складываются вероятности \(|U_{ei}|^2\), а не амплитуды \(U_{ei}\).

  4. Для одного массового состояния постройте функцию Кури

    \[ K(E)\equiv \sqrt{\frac{1}{C(E)}\frac{d\Gamma}{dE}} =\sqrt{E_\nu\sqrt{E_\nu^2-m_\nu^2}}. \]

    Сравните \(m_\nu=0\) и \(m_\nu=1~\mathrm{эВ}\) в последних \(5~\mathrm{эВ}\).

  5. Почему отдельные изломы при \(E_\nu=m_i\) не разрешаются, если различия масс много меньше энергетического разрешения эксперимента?

Задача 04.3. Кулоновская фокусировка и функция Ферми

В приближении точечного кулоновского поля функцию Ферми можно записать через зоммерфельдовский параметр

\[ F(\eta)=\frac{2\pi\eta}{1-e^{-2\pi\eta}}, \qquad \eta=\pm Z_d\alpha\frac{E_e}{p_e}, \]

где \(E_e=K+m_e\) — полная энергия заряженного лептона, знак «\(+\)» относится к \(\beta^-\)-распаду, а знак «\(-\)» — к \(\beta^+\)-распаду. Используйте \(\alpha=1/137\) и \(m_e=511~\mathrm{кэВ}\).

  1. Покажите, что при \(|\eta|\ll1\)

    \[ F(\eta)=1+\pi\eta+O(\eta^2). \]

    Объясните знак первой поправки для электрона и позитрона.

  2. Получите асимптотики

    \[ F(\eta)\simeq2\pi\eta \quad (\eta\gg1), \qquad F(\eta)\simeq2\pi|\eta|e^{-2\pi|\eta|}\quad(\eta\ll-1). \]

    Свяжите их соответственно с кулоновской фокусировкой и дефокусировкой волны в области ядра.

  3. Для \(Z_d=29\) вычислите \(F(+Z_d,E_e)\) и \(F(-Z_d,E_e)\) при \(K=10~\mathrm{кэВ}\), \(100~\mathrm{кэВ}\) и \(1~\mathrm{МэВ}\). В каком диапазоне энергий плоская волна является особенно плохим приближением?

  4. Докажите тождество

    \[ \frac{F(+|\eta|)}{F(-|\eta|)}=e^{2\pi|\eta|} \]

    и объясните, почему оно не означает различия слабых матричных элементов для \(\beta^-\) и \(\beta^+\).

  5. В нерелятивистском пределе \(K\to0\) покажите, что для \(\beta^-\) произведение \(F\,p_eE_e\) стремится к конечному пределу, хотя сама \(F\) расходится как \(1/p_e\). Что происходит с тем же произведением для \(\beta^+\)?

  6. Почему в точной записи появляется зависимость \(F(Z_d,E_e;A)\), хотя в использованной формуле нет \(A\)? Назовите физический масштаб, через который входит массовое число.

Задача 04.4. Как функция Ферми меняет \(\beta^-\)- и \(\beta^+\)-спектры

Рассмотрите учебный разрешённый переход с

\[ Z_d=29,\qquad A=64,\qquad E_0=2.0~\mathrm{МэВ},\qquad m_\nu=0. \]

Используйте точечно-кулоновское приближение из задачи 04.3 и спектры

\[ S_\mp(K)\equiv\frac{d\Gamma_\mp}{dK} \propto F(\pm Z_d,E_e)\,p_eE_e(E_0-K)^2, \]

а также плосковолновой результат \(S_{\mathrm{pw}}\), получаемый при \(F=1\).

  1. Постройте \(F(+Z_d,E_e)\) и \(F(-Z_d,E_e)\) как функции \(K\) от \(0.1~\mathrm{кэВ}\) до \(E_0\).

  2. Постройте \(S_{\mathrm{pw}}\), \(S_-\) и \(S_+\), нормировав каждую кривую на единичную площадь. Объясните, почему кулоновское поле усиливает низкоэнергетическую часть \(\beta^-\)-спектра и подавляет её для \(\beta^+\).

  3. Отдельно постройте отношения \(S_-/S_{\mathrm{pw}}\) и \(S_+/S_{\mathrm{pw}}\) без перенормировки. Почему это в точности функция Ферми?

  4. Для каждого спектра постройте правильно исправленную функцию Кури

    \[ K_\mp(K)= \left[ \frac{S_\mp(K)}{F(\pm Z_d,E_e)p_eE_e} \right]^{1/2}. \]

    Убедитесь, что обе кривые пропорциональны \(E_0-K\). Затем повторите построение, ошибочно положив \(F=1\) в знаменателе. Какую кривизну создаёт эта ошибка для \(\beta^-\) и \(\beta^+\)?

  5. Почему функция Ферми меняет распределение вероятностей по энергиям, но не сдвигает кинематическую границу \(K_{\max}=E_0-m_\nu\)? Сформулируйте ответ через кулоновскую волновую функцию с уже заданной асимптотической энергией.

Задача 04.5. Плёнка, потери энергии и ложная масса нейтрино

Электрон рождается на глубине \(z\) в плёнке и выходит под углом \(\theta\) к нормали. В простой модели

\[ \ell=\frac{z}{\cos\theta}, \qquad \Delta E=a\ell, \qquad E_{\mathrm{det}}=E-\Delta E, \]

где \(a\) — постоянная тормозная способность. Считайте, что \(z\) равномерно распределена на \([0,d]\), а направления изотропны в принятом телесном угле \(0\leq\theta\leq\theta_{\max}\). Поэтому \(u=\cos\theta\) равномерно распределена на \([c,1]\), где \(c=\cos\theta_{\max}\).

  1. Найдите \(\langle\ell\rangle\) и \(\operatorname{Var}(\ell)\). Покажите, что

    \[ \langle\ell\rangle =\frac d2\frac{\ln(1/c)}{1-c}, \]

    \[ \operatorname{Var}(\ell) =d^2\left[ \frac{1}{3c} -\frac14\left(\frac{\ln(1/c)}{1-c}\right)^2 \right]. \]

    Найдите отсюда среднее и дисперсию потерь энергии.

  2. Пусть истинный спектр вблизи конца при \(m_\nu=0\) имеет вид \(S_0(E)\propto(E_0-E)^2\). Покажите, что измеряемый спектр равен

    \[ S_{\mathrm{obs}}(E_{\mathrm{det}}) =\int_0^\infty L(\Delta E)S_0(E_{\mathrm{det}}+\Delta E)\,d\Delta E, \]

    причём подынтегральное выражение автоматически обращается в нуль при \(E_{\mathrm{det}}+\Delta E>E_0\). Обозначьте \(\varepsilon=E_0-E_{\mathrm{det}}\). В области, где \(\varepsilon\) больше характерных потерь, покажите, что

    \[ S_{\mathrm{obs}}(\varepsilon) \propto (\varepsilon-\overline{\Delta E})^2 +\sigma_{\Delta E}^2. \]

    Какой параметр endpoint-фита поглощает среднюю потерю \(\overline{\Delta E}\) и почему одной поправки к \(E_0\) недостаточно?

  3. Для \(\varepsilon\gg m_\nu\) массивный спектр имеет разложение

    \[ \varepsilon\sqrt{\varepsilon^2-m_\nu^2} \simeq \varepsilon^2-\frac{m_\nu^2}{2}. \]

    Пусть истинная дисперсия потерь равна \(\sigma_{\mathrm{true}}^2\), а в анализе использовано значение \(\sigma_{\mathrm{mod}}^2\). После подгонки endpoint покажите, что

    \[ m_{\nu,\mathrm{fit}}^2 \simeq 2\left( \sigma_{\mathrm{mod}}^2- \sigma_{\mathrm{true}}^2 \right). \]

    В каком случае возникает ложное положительное \(m_\nu^2\), а в каком — отрицательное лучшее значение \(m_\nu^2\)?

  4. Пусть \(ad=40~\mathrm{эВ}\). Истинный акцептанс соответствует \(\theta_{\max}=60^\circ\), но модель использует \(75^\circ\); средняя потеря свободно поглощается подгонкой \(E_0\). Оцените ложные \(m_{\nu,\mathrm{fit}}^2\) и \(m_{\nu,\mathrm{fit}}\). Сопоставьте масштаб с историческим заявлением ИТЭФ о массе около \(30~\mathrm{эВ}\).

  5. Дополнительно. Проведите численное моделирование без разложения по моментам: сгенерируйте \(z\) и \(\cos\theta\), сверните безмассовый спектр с полученным распределением потерь и выполните фит моделью с неверным \(\theta_{\max}\). Исследуйте, как результат зависит от ширины фитируемого окна у конца спектра.

Задачи для разбора на семинаре

Семинар 04.1. Почему \(\beta\)-спектр непрерывен?

Пусть начальное ядро покоится, а энергия распада \(Q\) фиксирована.

  1. Какой была бы энергия электрона в гипотетическом двухчастичном распаде \(A\to B+e^-\)?
  2. Почему в трёхчастичном распаде \(A\to B+e^-+\bar\nu_e\) электрон может иметь непрерывный набор энергий?
  3. Где находится конец спектра, если пренебречь отдачей ядра, но оставить массу нейтрино?
  4. Что качественно изменит учёт отдачи ядра?

Семинар 04.2. Цена приближения к концу спектра

Обозначим \(\varepsilon=E_0-E\). Для безмассового нейтрино вблизи конца разрешённого спектра

\[ \frac{d\Gamma}{dE}\propto\varepsilon^2. \]

  1. Покажите, что число событий в последнем интервале ширины \(\Delta\) растёт как \(\Delta^3\).
  2. Во сколько раз увеличится статистика при расширении окна от \(1\) до \(5~\mathrm{эВ}\)?
  3. Используя \(\varepsilon\sqrt{\varepsilon^2-m_\nu^2} \simeq\varepsilon^2-m_\nu^2/2\), оцените, как относительный эффект массы зависит от \(\varepsilon\).
  4. Сформулируйте компромисс между статистикой и чувствительностью к массе.

Семинар 04.3. Что видно на графике Кюри?

Для разрешённого перехода определена функция

\[ K(E)= \left[ \frac{d\Gamma/dE}{F(Z,E)p_eE_e} \right]^{1/2}. \]

  1. Покажите, что при \(m_\nu=0\) график \(K(E)\) является прямой \(K(E)=E_0-E\).
  2. Как ненулевая масса меняет положение конца и форму последних точек?
  3. Чем этот эффект отличается от общего сдвига шкалы энергии?
  4. Как энергетические потери электрона в источнике могут имитировать изменение формы у конца спектра?

Семинар 04.4. Функция Ферми и причинность

Электрон в кулоновском поле дочернего ядра описывается не плоской волной, а состоянием рассеяния с заданной асимптотической энергией \(E_e\). Функция Ферми \(F(Z,E_e)\) сравнивает плотность этой волновой функции в области ядра с плотностью плоской волны.

  1. Почему для \(\beta^-\)-распада кулоновское притяжение усиливает спектр при малых энергиях, а для \(\beta^+\)-распада отталкивание его подавляет?
  2. Почему неверно описывать эффект как испускание электрона с одной энергией и последующее превращение её в другую?
  3. Объясните, почему энергия нейтрино и асимптотическая энергия электрона фиксируются одним законом сохранения энергии и противоречия с причинностью не возникает.

Задача 05.1. Время пролёта по винтовой траектории

Электрон с кинетической энергией \(K\) рождается при \(z=0\) в однородном поле \(\mathbf B=B\mathbf e_z\). Угол между импульсом и направлением \(+\mathbf B\) равен \(\alpha\). Детектор расположен в плоскости \(z=L\).

  1. Используя постоянство \(p_\parallel\), получите \(z(t)\), время достижения детектора \(t_L\) и полную длину траектории \(\ell=vt_L\).

  2. Выразите скорость релятивистски:

    \[ \gamma=1+\frac{K}{m_ec^2}, \qquad v=c\sqrt{1-\gamma^{-2}}. \]

  3. Для \(K=18.6~\mathrm{кэВ}\), \(B=2.0~\mathrm{мТл}\) и \(L=5.0~\mathrm{м}\) вычислите при \(\alpha=15^\circ\), \(45^\circ\) и \(75^\circ\):

    \[ t_L,\qquad \ell,\qquad T_c=\frac{2\pi\gamma m_e}{eB}, \qquad N=\frac{t_L}{T_c}. \]

    Используйте \(m_ec^2=511~\mathrm{кэВ}\), \(c=2.998\cdot10^8~\mathrm{м/с}\) и \(e/m_e=1.759\cdot10^{11}~\mathrm{Кл/кг}\).

  4. Что происходит с \(t_L\), \(\ell\) и \(N\) при \(\alpha\to90^\circ\)? Какие электроны вообще достигнут плоскости \(z=L>0\)?

  5. Какие из найденных величин зависят от \(B\), а какие нет? Объясните результат физически.

Задача 05.2. Электростатический порог и угловой акцептанс

В нерелятивистском приближении электрон с кинетической энергией \(K\) и углом \(\alpha\) к оси спектрометра имеет

\[ K_\parallel=K\cos^2\alpha, \qquad K_\perp=K\sin^2\alpha. \]

Перед детектором установлен запирающий потенциал \(U\). Электрон проходит, если \(K_\parallel>e|U|\).

  1. Для заданных \(K\) и \(U\) найдите максимальный проходной угол \(\alpha_{\max}\).

  2. Рассмотрите изотропное излучение в переднюю полусферу. Покажите, что доля прошедших направлений равна

    \[ f_\Omega=1-\cos\alpha_{\max} =1-\sqrt{\frac{e|U|}{K}}. \]

  3. Вычислите \(\alpha_{\max}\) и \(f_\Omega\) при \(K=18.6~\mathrm{кэВ}\) и \(e|U|=18.0~\mathrm{кэВ}\).

  4. Почему электроны одинаковой полной энергии, но с разными \(\alpha\), проходят разные электростатические пороги?

  5. Объясните, почему однородное магнитное поле не исправляет эту проблему и зачем перед фильтром нужна коллимация.

Задача 05.3. Направляющий центр и знак заряда

Пусть

\[ \mathbf B=B\mathbf e_z, \qquad \Omega=\frac{qB}{m}, \]

а в начальный момент

\[ x_0=y_0=0, \qquad \mathbf v_0=(v_\perp,0,v_\parallel). \]

  1. Из уравнений

    \[ \dot v_x=\Omega v_y, \qquad \dot v_y=-\Omega v_x \]

    покажите, что

    \[ X=x+\frac{v_y}{\Omega}, \qquad Y=y-\frac{v_x}{\Omega} \]

    постоянны.

  2. Найдите \((X,Y)\) и радиус орбиты для электрона \(q=-e\).

  3. Определите направление вращения, если смотреть вдоль \(+\mathbf B\). Повторите ответ для положительного заряда.

  4. Как знак \(v_\parallel\) определяет движение направляющего центра вдоль поля? Зависит ли этот ответ от знака заряда?

  5. Есть ли в однородном магнитном поле без электрического поля поперечный дрейф направляющего центра?

Задача 05.4. От фазового эллипса к переменным \((\theta,J)\)

Для поперечного циклотронного движения введены

\[ Q=x-X=-\frac{v_y}{\Omega}, \qquad P=m\dot Q=mv_x. \]

  1. Покажите, что

    \[ H_\perp(Q,P) =\frac{P^2}{2m} +\frac{m\omega_c^2Q^2}{2} =E_\perp, \qquad \omega_c=|\Omega|. \]

  2. Найдите полуоси фазового эллипса и вычислите

    \[ J=\frac{1}{2\pi}\oint P\,dQ =\frac{E_\perp}{\omega_c}. \]

  3. Введите

    \[ \theta= \operatorname{atan2}(m\omega_cQ,P) \]

    и получите обратное преобразование

    \[ Q=\sqrt{\frac{2J}{m\omega_c}}\sin\theta, \qquad P=\sqrt{2m\omega_cJ}\cos\theta. \]

  4. Прямым вычислением проверьте скобку Пуассона \(\{\theta,J\}_{Q,P}=1\).

  5. Запишите \(H_\perp\) через \(J\) и получите из уравнений Гамильтона \(\dot J\) и \(\dot\theta\). Почему при \(J=0\) угол \(\theta\) не определён?

Задача 05.5. Четыре физических смысла действия

Для нерелятивистской циклотронной орбиты используйте

\[ \rho_L=\frac{p_\perp}{eB}, \qquad J=\frac{p_\perp^2}{2eB}, \qquad L_{\mathrm{orb}}=\rho_Lp_\perp, \]

\[ \mu=\frac{p_\perp^2}{2m_eB}, \qquad \Phi=\pi\rho_L^2B. \]

  1. Докажите цепочку равенств

    \[ \boxed{ J=\frac{L_{\mathrm{orb}}}{2} =\frac{m_e}{e}\mu =\frac{e}{2\pi}\Phi }. \]

  2. Проверьте размерности всех четырёх выражений для \(J\).

  3. Для

    \[ K=1.00~\mathrm{кэВ}, \qquad \alpha=60^\circ, \qquad B=0.100~\mathrm{Тл} \]

    в нерелятивистском приближении вычислите \(\rho_L\), \(\omega_c\), \(J\), \(\mu\) и \(\Phi\). Используйте

    \[ e=1.602\cdot10^{-19}~\mathrm{Кл}, \qquad m_e=9.109\cdot10^{-31}~\mathrm{кг}. \]

  4. Численно проверьте равенства из пункта 1.

  5. Найдите \(J/\hbar\) при \(\hbar=1.055\cdot10^{-34}~\mathrm{Дж\,с}\). Что большое значение этого отношения говорит о применимости классического описания орбиты?

Задачи для разбора на семинаре

Семинар 05.1. Первый изгиб траектории

Пусть \(\mathbf B=B\mathbf e_z\), а начальная скорость частицы равна

\[ \mathbf v=(v_\perp,0,v_\parallel). \]

  1. Найдите направление силы Лоренца \(q\mathbf v\times\mathbf B\) для электрона и позитрона.
  2. Какая компонента скорости начинает меняться в первый момент?
  3. Покажите непосредственно, что магнитное поле не совершает работы.
  4. Нарисуйте начальный участок траектории для обоих знаков заряда.

Семинар 05.2. Два электрона с одинаковой энергией

Два электрона с одинаковыми энергиями входят в одно и то же однородное поле под углами \(\alpha_1=30^\circ\) и \(\alpha_2=60^\circ\) к полю.

  1. Сравните их циклотронные периоды.
  2. Найдите отношения ларморовских радиусов \(\rho_2/\rho_1\) и шагов винтовой линии \(h_2/h_1\).
  3. Найдите отношение времён, за которые электроны проходят одинаковое расстояние вдоль поля.
  4. Какие из этих различий видны в анимации, а какие требуют измерения времени?

Семинар 05.3. Почему однородное поле не коллимирует?

В однородном постоянном магнитном поле сохраняются \(p_\parallel\) и \(p_\perp\).

  1. Покажите, что питч-угол \(\tan\alpha=p_\perp/p_\parallel\) остаётся постоянным.
  2. Что именно делает поле с изотропно испущенными электронами: удерживает их около силовой линии, поворачивает вдоль поля или и то и другое?
  3. Почему одного однородного поля недостаточно, если перед электростатическим фильтром требуется малый поперечный импульс?
  4. Какое свойство поля придётся изменить в следующей задаче курса?

Семинар 05.4. Действие для двух периодических движений

Для гармонического осциллятора

\[ H=\frac{P^2}{2m}+\frac{m\omega^2Q^2}{2}=E \]

и для плоского ротатора

\[ H=\frac{L^2}{2I} \]

вычислите действие \(J=(2\pi)^{-1}\oint p\,dq\).

  1. Найдите площадь эллипса осциллятора в плоскости \((Q,P)\) и покажите, что \(J=E/\omega\).
  2. Покажите, что для ротатора \(J=L\).
  3. Циклотронная орбита эквивалентна осциллятору с \(E=E_\perp\) и \(\omega=\omega_c\). Получите \(J=E_\perp/\omega_c=p_\perp^2/(2|q|B)\).
  4. Почему для циклотронной орбиты \(J=|L_{\mathrm{mech}}|/2\), тогда как для ротатора \(J=L\)? Что в этих двух задачах играет роль периодической координаты?

Задача 06.1. Числа MAC-E-спектрометра

Пусть в источнике \(B_{\mathrm{src}}=3.6~\mathrm{Тл}\), максимальное поле равно \(B_{\max}=6.0~\mathrm{Тл}\), а в анализирующей плоскости \(B_{\min}=0.35~\mathrm{мТл}\).

  1. Из сохранения \(p_\perp^2/B\) получите условие прохождения магнитного зеркала и максимальный начальный угол

    \[ \sin^2\vartheta_{\mathrm{acc}}=\frac{B_{\mathrm{src}}}{B_{\max}}. \]

    Вычислите \(\vartheta_{\mathrm{acc}}\).

  2. Какая доля изотропно испущенных электронов передней полусферы удовлетворяет условию \(\vartheta<\vartheta_{\mathrm{acc}}\)?

  3. Для электрона с \(K=18.6~\mathrm{кэВ}\) оцените максимальную остаточную поперечную энергию в анализирующей плоскости и разрешение

    \[ \Delta K\simeq K\frac{B_{\min}}{B_{\max}}. \]

  4. Объясните одним предложением роль каждого элемента названия MAC-E: Magnetic Adiabatic Collimation with an Electrostatic filter.

Задача 07.1. Конечные состояния и рассеяние в источнике

После молекулярного распада дочерняя система оказывается в состоянии \(j\) с энергией возбуждения \(V_j\) и вероятностью \(P_j\).

  1. Запишите наблюдаемый спектр как сумму спектров с концами \(E_0-V_j\). Проверьте, что \(\sum_jP_j=1\) сохраняет полное число распадов.

  2. Пусть среднее число неупругих столкновений электрона в полном столбе газа равно \(\tau=1.4\). Вычислите

    \[ P_s=e^{-\tau}\frac{\tau^s}{s!} \]

    для \(s=0,1,2\) и вероятность хотя бы одного столкновения.

  3. Распады равномерно распределены вдоль источника. Если оставшаяся после рождения оптическая толщина \(u\) равномерна на \([0,\tau]\), покажите, что

    \[ \langle P_0\rangle =\frac{1}{\tau}\int_0^\tau e^{-u}\,du =\frac{1-e^{-\tau}}{\tau}. \]

    Вычислите это число и объясните его физический смысл.

  4. Пусть \(g(\Delta E)\) — распределение потери энергии в одном столкновении. Покажите, что функция потерь имеет вид

    \[ R(\Delta E)=\sum_{s=0}^{\infty}P_s\,g^{*s}(\Delta E), \qquad g^{*0}(\Delta E)=\delta(\Delta E), \]

    где \(g^{*s}\) означает \(s\)-кратную свёртку.

Задача 07.2. Что измеряет KATRIN

В идеальном приближении считайте MAC-E-фильтр ступенчатым:

\[ \mathcal T(E,qU)=\Theta(E-qU). \]

Тогда ожидаемая скорость счёта при задерживающей энергии \(qU\) равна

\[ R(qU)=A\int_{qU}^{E_0}\frac{d\Gamma}{dE}\,dE+b. \]

  1. Введите \(x=E_0-E\) и \(w=E_0-qU\). Для безмассового нейтрино и \(d\Gamma/dE=Cx^2\) получите

    \[ R(w)-b=\frac{AC}{3}w^3. \]

  2. Покажите, что в идеальном случае

    \[ -\frac{dR}{d(qU)} =A\left.\frac{d\Gamma}{dE}\right|_{E=qU}. \]

    Объясните, почему сканирование порога восстанавливает информацию о форме дифференциального спектра.

  3. Нарисуйте на одном графике \(R(qU)\) для \(m_\beta^2=0\) и \(m_\beta^2=1~\mathrm{эВ}^2\) в последних \(10~\mathrm{эВ}\). Используйте численное интегрирование спектра из задачи 04.1.

  4. Замените ступеньку известной функцией пропускания \(\mathcal T(E,qU)\) и запишите общий интеграл для \(R(qU)\). Затем включите функцию потерь \(R_{\mathrm{loss}}(\Delta E)\) из задачи 07.1 ещё одной свёрткой.

  5. Объясните, почему одна точка \(qU\) не позволяет одновременно определить \(m_\beta^2\), \(E_0\), нормировку \(A\) и фон \(b\), а набор порогов позволяет разделять их по различной зависимости от \(qU\).

Задача 07.3. Почему фит может дать \(m_\beta^2<0\)

Эта задача связывает физику конца спектра с курсом статистического анализа. Используйте намеренно простую модель: \(E_0\), нормировка и фон считаются известными, а единственный параметр фита — \(m_\beta^2\).

Разбейте интервал \(1<x<10~\mathrm{эВ}\), где \(x=E_0-E\), на бины ширины \(\Delta x=0.5~\mathrm{эВ}\). Для центра \(x_i\) задайте

\[ \mu_i(m_\beta^2) =A\Delta x\, \left(x_i^2-\frac{m_\beta^2}{2}\right)+b, \qquad A=3~\mathrm{эВ}^{-3},\quad b=1. \]

Это линеаризованная модель конца спектра, а не полный фит KATRIN. Выбранные диапазоны \(x\) и \(m_\beta^2\) сохраняют \(\mu_i>0\) во всех точках сканирования.

  1. Сгенерируйте независимые числа событий \(n_i\sim\operatorname{Poisson}[\mu_i(0)]\).

  2. Просканируйте \(m_\beta^2\) от \(-4\) до \(4~\mathrm{эВ}^2\) с шагом не больше \(0.02~\mathrm{эВ}^2\). Для каждой точки вычислите пуассоновский девианс

    \[ D(m_\beta^2)=2\sum_i \left[\mu_i-n_i+n_i\ln\frac{n_i}{\mu_i}\right], \]

    считая член \(n_i\ln(n_i/\mu_i)\) равным нулю при \(n_i=0\).

  3. Найдите минимум сеточного сканирования. Повторите пункты 1–2 не менее 1000 раз и постройте распределение \(\widehat m_\beta^2\). Найдите среднее, стандартное отклонение и долю результатов с \(\widehat m_\beta^2<0\).

  4. Повторите анализ, искусственно запрещая \(m_\beta^2<0\). Сравните среднее значение оценки в двух случаях и объясните смещение, возникающее у физической границы.

  5. Теперь сгенерируйте псевдоданные с неучтённым разрешением, заменив истинное ожидание на

    \[ \mu_i^{\mathrm{true}} =A\Delta x\,(x_i^2+\sigma_E^2)+b, \qquad \sigma_E=0.5~\mathrm{эВ}, \]

    но фитируйте прежней моделью без \(\sigma_E\). Покажите численно, что центр распределения смещается примерно на

    \[ \Delta m_\beta^2\simeq-2\sigma_E^2. \]

  6. Объясните результат: почему отрицательный минимум функции правдоподобия не означает тахионное нейтрино и зачем эксперименту разрешать \(m_\beta^2\) принимать отрицательные значения на этапе фита?

Задача 08.1. От фазовой модуляции к спектру CRES

Рассмотрите модель принятого сигнала

\[ V(t)=V_0\cos\!\left[2\pi f_ct+h\sin(2\pi f_zt)\right]. \]

  1. Вычислите мгновенную частоту

    \[ f_{\mathrm{inst}}(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{d\Phi}{dt} \]

    и покажите, что амплитуда её отклонения равна \(\Delta f=h f_z\).

  2. Используя тождество Якоби–Ангера

    \[ e^{ih\sin\theta}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}J_n(h)e^{in\theta}, \]

    получите частоты \(f_n=f_c+n f_z\) и относительные мощности \(J_n^2(h)\).

  3. В пределе \(h\ll1\) используйте

    \[ J_0(h)\simeq1-\frac{h^2}{4}, \qquad J_{\pm1}(h)\simeq\pm\frac h2 \]

    и найдите долю мощности в несущей и первых боковых полосах.

  4. С помощью scipy.special.jv постройте веса линий для \(h=0.2\), \(1.2\) и \(3.0\). Численно проверьте \(\sum_nJ_n^2(h)=1\).

Задача 08.2. Реальная ловушка и конечный трек CRES

Пусть вблизи центра магнитной ловушки

\[ B(z)=B_0\left(1+\frac{z^2}{L^2}\right), \qquad z(t)=z_{\max}\cos(2\pi f_zt), \]

а потерей энергии за один продольный период можно пренебречь.

  1. Подставьте \(z(t)\) в \(B(z)\) и покажите, что магнитная модуляция частоты происходит при \(2f_z\), а не при \(f_z\).

  2. Найдите среднюю циклотронную частоту и амплитуду её модуляции \(\Delta f_B\) через \(f_{c0}\) и \(z_{\max}/L\).

  3. Проинтегрируйте мгновенную частоту и покажите, что индекс магнитной фазовой модуляции равен

    \[ h_B=\frac{\Delta f_B}{2f_z}. \]

  4. Объясните, почему фаза распространения сигнала, пропорциональная \(z(t)\), создаёт также боковые полосы с шагом \(f_z\).

  5. Вычислите преобразование Фурье гармоники, наблюдаемой только на интервале \(0<t<T_{\mathrm{obs}}\), и получите форму \(T_{\mathrm{obs}}^2\operatorname{sinc}^2[\pi(f-f_n)T_{\mathrm{obs}}]\).

  6. Какое минимальное \(T_{\mathrm{obs}}\) требуется для \(\Delta K=0.10~\mathrm{эВ}\), если у конца тритиевого спектра это соответствует \(\Delta f_c=5.1~\mathrm{кГц}\)?

Задача 08.3. Калориметрический спектр \({}^{163}\mathrm{Ho}\)

В калориметрическом опыте измеряется вся энергия атомного возбуждения \(E_c\), а нейтрино уносит

\[ E_\nu=Q-E_c. \]

Используйте модель

\[ \frac{d\Gamma}{dE_c} =C\,(Q-E_c)\sqrt{(Q-E_c)^2-m_\nu^2}\, \Theta(Q-E_c-m_\nu) \sum_j w_jL_j(E_c), \]

где атомная линия имеет форму

\[ L_j(E_c)=\frac{\Gamma_j/(2\pi)} {(E_c-E_j)^2+\Gamma_j^2/4}. \]

  1. Покажите, что \(\int_{-\infty}^{\infty}L_j(E_c)\,dE_c=1\).

  2. Найдите максимальную калориметрическую энергию и объясните, почему масса нейтрино снова измеряется по форме спектра около конца.

  3. Постройте игрушечный спектр для двух линий с заданными вами \((E_j,\Gamma_j,w_j)\) при \(m_\nu=0\) и \(m_\nu=1~\mathrm{эВ}\).

  4. Пусть активность одного пикселя равна \(a\), а два импульса не разделяются, если интервал между ними меньше \(\tau_r\). Для \(a\tau_r\ll1\) покажите, что доля неразрешённых наложений имеет порядок

    \[ f_{\mathrm{pu}}\simeq a\tau_r, \]

    а их энергетический спектр пропорционален свёртке \((d\Gamma/dE_c)*(d\Gamma/dE_c)\).

  5. Оцените \(f_{\mathrm{pu}}\) для \(a=10~\mathrm{с}^{-1}\) и \(\tau_r=1~\mathrm{мкс}\). Почему увеличение активности повышает статистику, но одновременно усиливает этот фон?

  6. Сравните одним абзацем систематики спектрометра KATRIN и калориметра: где находится источник, какая энергия измеряется и почему калориметр устраняет потери при выходе электрона из источника, но получает проблему неразрешённых наложений.

Задача 09.1. Общая и относительная фазы

Рассмотрите нормированную суперпозицию двух собственных состояний энергии:

\[ |\psi(t)\rangle =c_1e^{-iE_1t}|E_1\rangle+c_2e^{-iE_2t}|E_2\rangle, \qquad |c_1|^2+|c_2|^2=1. \]

  1. Покажите, что замена

    \[ |\psi(t)\rangle\longrightarrow e^{i\chi(t)}|\psi(t)\rangle \]

    не меняет среднего значения произвольного оператора \(\widehat A\).

  2. Найдите матрицу плотности \(\rho(t)=|\psi(t)\rangle\langle\psi(t)|\) в энергетическом базисе. Какие её элементы зависят от времени?

  3. Объясните, почему вероятности измерить \(E_1\) и \(E_2\) постоянны.

  4. Введите состояние

    \[ |a\rangle =\cos\eta\,|E_1\rangle +e^{i\varphi}\sin\eta\,|E_2\rangle. \]

    Вычислите \(P(a,t)=|\langle a|\psi(t)\rangle|^2\) и явно выделите интерференционный член, зависящий от \((E_2-E_1)t\).

  5. При каких условиях этот интерференционный член исчезает? Различите отсутствие одной из компонент, вырождение энергий и специальный выбор базиса измерения.

Сформулируйте главный физический вывод: почему общая фаза не наблюдаема, а относительная фаза может менять вероятности?

Задача 09.2. Энергия флэйворного состояния

Два флэйворных состояния связаны с массовыми состояниями поворотом

\[ |\nu_\alpha\rangle =c_\theta|\nu_1\rangle+s_\theta|\nu_2\rangle, \qquad |\nu_\beta\rangle =-s_\theta|\nu_1\rangle+c_\theta|\nu_2\rangle, \]

где

\[ H_0|\nu_i\rangle=E_i|\nu_i\rangle, \qquad c_\theta=\cos\theta, \quad s_\theta=\sin\theta. \]

Для каждого из двух флэйворных состояний:

  1. найдите вероятности получить результаты \(E_1\) и \(E_2\) при измерении энергии;

  2. вычислите \(\langle H_0\rangle\);

  3. вычислите \(\langle H_0^2\rangle\);

  4. получите дисперсию

    \[ \operatorname{Var}(H_0) =\langle H_0^2\rangle-\langle H_0\rangle^2; \]

  5. покажите, что

    \[ \operatorname{Var}_\alpha(H_0) =\operatorname{Var}_\beta(H_0) =\frac14\sin^2 2\theta\,(E_2-E_1)^2. \]

Объясните, почему ненулевая дисперсия указывает на наличие нескольких энергетических компонент, но не означает, что сама энергия осциллирует во времени. При каких значениях параметров дисперсия исчезает?

Задача 09.3. Полный вывод двухфлэйворной вероятности

Пусть при \(t=0\) рождено нейтрино флэйвора \(\alpha\):

\[ |\psi(0)\rangle=|\nu_\alpha\rangle. \]

  1. Разложите начальное состояние по \(|\nu_1\rangle\) и \(|\nu_2\rangle\) и проведите его временную эволюцию.

  2. Выпишите обратный поворот от массового базиса к флэйворному.

  3. Получите амплитуды

    \[ \mathcal A_{\alpha\to\alpha}(t) =c_\theta^2e^{-iE_1t}+s_\theta^2e^{-iE_2t}, \]

    \[ \mathcal A_{\alpha\to\beta}(t) =s_\theta c_\theta \left(e^{-iE_2t}-e^{-iE_1t}\right). \]

  4. Введите

    \[ \overline E=\frac{E_1+E_2}{2}, \qquad \Delta E=E_2-E_1, \]

    выделите общую фазу и получите вероятности появления и выживания.

  5. Проверьте унитарность:

    \[ P_{\alpha\to\alpha}(t)+P_{\alpha\to\beta}(t)=1. \]

  6. Найдите максимальную вероятность перехода и период осцилляций.

  7. Разложите вероятность перехода при \(|\Delta E|t\ll1\) и покажите, что

    \[ P_{\alpha\to\beta}(t) \simeq \sin^2 2\theta\,\frac{(\Delta E)^2t^2}{4}. \]

Почему вероятность вблизи \(t=0\) растёт квадратично, хотя амплитуда перехода растёт линейно?

Задача 09.4. От фазы плоской волны к зависимости от L/E

Для массовой компоненты плоской волны используйте фазу

\[ e^{-i(E_it-p_iL)}. \]

  1. Покажите, что относительная фаза двух компонент равна

    \[ \Delta\phi(t,L)=\Delta E\,t-\Delta p\,L. \]

  2. Сначала положите \(p_1=p_2=p\). Домножая разность квадратных корней на сопряжённую сумму, докажите точное равенство

    \[ \Delta E =\frac{\Delta m^2}{E_2+E_1}, \qquad \Delta m^2=m_2^2-m_1^2. \]

  3. В ультрарелятивистском пределе \(E_i\simeq p\simeq E\) и при \(t\simeq L\) получите

    \[ \Delta\phi\simeq\frac{\Delta m^2L}{2E}. \]

  4. Повторите вывод, положив \(E_1=E_2=E\). Найдите \(\Delta p\) и покажите, что теперь тот же результат возникает из члена \(-\Delta pL\).

  5. Объясните, почему две плосковолновые идеализации приводят к одинаковой фазе лишь в ведущем ультрарелятивистском порядке.

  6. Используя

    \[ \hbar c=1.97327\cdot10^{-7}~\mathrm{эВ\,м}, \]

    самостоятельно получите коэффициент \(1.267\) в формуле

    \[ P_{\alpha\to\beta} =\sin^2 2\theta\, \sin^2\!\left[ 1.267\, \frac{\Delta m^2[\mathrm{эВ}^2]L[\mathrm{км}]} {E[\mathrm{ГэВ}]} \right]. \]

  7. Наконец, для общего импульса \(p\ll m_i\) получите

    \[ \Delta E \simeq \Delta m\left(1-\frac{p^2}{2m_1m_2}\right), \qquad \Delta m=m_2-m_1. \]

    Запишите ведущую нерелятивистскую вероятность как функцию времени. Почему при переходе к расстоянию скорость входит явно и универсальная зависимость только от \(L/E\) исчезает?

Задача 09.5. Макет осцилляционного эксперимента

В некотором двухфлэйворном эксперименте максимальная вероятность перехода равна

\[ P_{\alpha\to\beta}^{\max}=0.64. \]

Первый максимум при энергии \(E=0.60~\mathrm{ГэВ}\) наблюдается на расстоянии \(L=295~\mathrm{км}\).

  1. В соглашении \(0\leq\theta\leq45^\circ\) найдите угол смешивания.

  2. Используя практическую формулу вероятности, найдите \(|\Delta m^2|\).

  3. Найдите длину осцилляций \(L_{\mathrm{osc}}\) при данной энергии.

  4. При том же расстоянии вычислите вероятности появления и выживания для

    \[ E=0.30~\mathrm{ГэВ}, \qquad E=0.60~\mathrm{ГэВ}, \qquad E=1.20~\mathrm{ГэВ}. \]

  5. Постройте \(P_{\alpha\to\beta}(E)\) и \(P_{\alpha\to\alpha}(E)\) в диапазоне \(0.2\leq E\leq1.5~\mathrm{ГэВ}\).

  6. Можно ли по этим измерениям определить знак \(\Delta m^2\)?

  7. Сравните три причины нулевой вероятности перехода:

    • \(\sin2\theta=0\);
    • \(\Delta m^2=0\);
    • \(\Delta m^2L/(4E)=n\pi\).

    Какие из них запрещают осцилляции вообще, а какая создаёт только отдельные узлы вероятности?

Задача 09.6. Связанные маятники разных масс

Два маятника одинаковой длины \(\ell\) и разных масс \(m_1\) и \(m_2\) соединены слабой пружиной жёсткости \(k\). Углы отклонения \(\varphi_i\) малы, а \(\omega_0^2=g/\ell\).

  1. Покажите, что в квадратичном приближении

    \[ T=\frac{\ell^2}{2} \left(m_1\dot\varphi_1^2+m_2\dot\varphi_2^2\right), \]

    \[ V=\frac{\ell^2}{2} \left[ \omega_0^2(m_1\varphi_1^2+m_2\varphi_2^2) +k(\varphi_1-\varphi_2)^2 \right]. \]

  2. Получите матричное уравнение

    \[ \mathsf M\ddot{\boldsymbol\varphi} +\mathsf K\boldsymbol\varphi=0 \]

    и выпишите \(\mathsf M\) и \(\mathsf K\).

  3. Введите массово-нормированные координаты

    \[ \boldsymbol x=\mathsf M^{1/2}\boldsymbol\varphi \]

    и получите вещественную симметричную матрицу \(\Omega^2\) в уравнении \(\ddot{\boldsymbol x}+\Omega^2\boldsymbol x=0\).

  4. Найдите собственные частоты и нормированные собственные векторы. Покажите, что

    \[ \omega_+^2=\omega_0^2, \qquad \omega_-^2 =\omega_0^2+k\left(\frac1{m_1}+\frac1{m_2}\right). \]

  5. Вводя угол смешивания по собственным векторам, докажите

    \[ \tan^2\theta=\frac{m_2}{m_1}, \qquad \sin^2 2\theta =\frac{4m_1m_2}{(m_1+m_2)^2}. \]

  6. Пусть \(\Omega\) — положительный квадратный корень из \(\Omega^2\). Введите

    \[ \boldsymbol a =\boldsymbol x+i\Omega^{-1}\dot{\boldsymbol x} \]

    и докажите точное уравнение \(i\dot{\boldsymbol a}=\Omega\boldsymbol a\), а также сохранение нормы \(\boldsymbol a^\dagger\boldsymbol a\).

  7. Если в начальный момент возбуждён только первый маятник, получите

    \[ P_{1\to2}(t) =\sin^2 2\theta\, \sin^2\frac{(\omega_--\omega_+)t}{2}. \]

  8. Для

    \[ \frac{m_2}{m_1}=\frac14, \qquad \frac{k}{m_1\omega_0^2}=0.10 \]

    найдите максимальное значение \(P_{1\to2}\), \(\omega_-/\omega_0\) и время первого максимума.

  9. При каком отношении масс возможна полная передача?

  10. Объясните, почему \(P_i=|a_i|^2/\|\boldsymbol a\|^2\) точно является долей нормы комплексной амплитуды, но совпадает с долей усреднённой локальной энергии только в пределе слабой связи.

Задача 10.1. Как читать матрицу PMNS

Используйте стандартную факторизацию

\[ U=R_{23}U_{13}(\delta)R_{12}. \]

  1. Перемножьте матрицы и получите первую строку и третий столбец \(U\).

  2. Докажите соотношения

    \[ |U_{e3}|=\sin\theta_{13}, \qquad \frac{|U_{e2}|}{|U_{e1}|}=\tan\theta_{12}, \qquad \frac{|U_{\mu3}|}{|U_{\tau3}|}=\tan\theta_{23}. \]

  3. Для лучшей точки NuFIT 6.1 с нормальным порядком используйте

    \[ \sin^2\theta_{12}=0.3088, \quad \sin^2\theta_{23}=0.470, \quad \sin^2\theta_{13}=0.02248 \]

    и вычислите \(|U_{e1}|\), \(|U_{e2}|\), \(|U_{e3}|\), \(|U_{\mu3}|\) и \(|U_{\tau3}|\).

  4. Объясните, почему фаза \(\delta\) становится ненаблюдаемой при \(s_{13}=0\).

  5. Произвольная унитарная матрица \(3\times3\) содержит три угла и шесть фаз. Посчитайте, сколько фаз можно удалить перефазировкой полей в дираковском случае.

  6. Для майорановского случая положите

    \[ \widetilde U =U\operatorname{diag} \left(1,e^{i\alpha_{21}/2},e^{i\alpha_{31}/2}\right). \]

    Покажите, что дополнительные фазы сокращаются в произведении \(\widetilde U_{\beta i}\widetilde U_{\alpha i}^*\) и потому не входят в осцилляционные вероятности.

Задача 10.2. Общая трёхфлэйворная вероятность

Для трёх активных нейтрино

\[ |\nu_\alpha\rangle =\sum_{i=1}^3U_{\alpha i}^*|\nu_i\rangle. \]

  1. Проведите эволюцию массовых компонент и получите ультрарелятивистскую амплитуду

    \[ \mathcal A_{\alpha\to\beta}(L,E) =\sum_iU_{\beta i}U_{\alpha i}^* \exp\!\left(-i\frac{m_i^2L}{2E}\right). \]

  2. Возведите амплитуду в квадрат и получите двойную сумму по \(i,j\).

  3. Объедините слагаемые \((i,j)\) и \((j,i)\), введите

    \[ X_{\alpha\beta}^{ij} =U_{\alpha i}^*U_{\beta i} U_{\alpha j}U_{\beta j}^*, \qquad \Delta_{ij}=\frac{\Delta m_{ij}^2L}{4E}, \]

    и выведите общую формулу вероятности через \(\operatorname{Re}X^{ij}\) и \(\operatorname{Im}X^{ij}\).

  4. Получите формулу вероятности выживания \(P_{\alpha\to\alpha}\).

  5. Используя унитарность \(U\), докажите

    \[ \sum_\beta P_{\alpha\to\beta}=1 \]

    и покажите, что при \(L=0\) \(P_{\alpha\to\beta}=\delta_{\alpha\beta}\).

  6. Покажите, как общая формула сводится к двухфлэйворной, если одна массовая компонента не участвует.

  7. Докажите

    \[ \Delta m_{31}^2=\Delta m_{32}^2+\Delta m_{21}^2 \]

    и объясните, почему независимы только две осцилляционные частоты.

  8. Выполните замену \(m_i^2\to m_i^2+C\). Покажите, что амплитуда получает только общий фазовый множитель, а вероятность не меняется.

  9. Какие эксперименты, в отличие от осцилляций, чувствительны к абсолютному масштабу масс нейтрино?

Задача 10.3. CP-нарушение и инвариант Ярлског

  1. Покажите, что для антинейтрино осцилляционная амплитуда получается заменой \(U\to U^*\).

  2. Используя общую трёхфлэйворную вероятность, получите

    \[ A_{\alpha\beta}^{\mathrm{CP}} =P(\nu_\alpha\to\nu_\beta) -P(\bar\nu_\alpha\to\bar\nu_\beta) =4\sum_{i>j}\operatorname{Im}X_{\alpha\beta}^{ij} \sin2\Delta_{ij}. \]

  3. Докажите, что \(A_{\alpha\alpha}^{\mathrm{CP}}=0\) в вакууме.

  4. Для квартета

    \[ J_{\mathrm{CP}} =\operatorname{Im} \left(U_{e2}^*U_{\mu2}U_{e1}U_{\mu1}^*\right) \]

    проверьте инвариантность при перефазировке строк и столбцов матрицы смешивания.

  5. Из стандартной параметризации PMNS получите

    \[ J_{\mathrm{CP}} =\frac18 \sin2\theta_{12}\sin2\theta_{23}\sin2\theta_{13} \cos\theta_{13}\sin\delta_{\mathrm{CP}}. \]

  6. Используя \(\Delta_{31}=\Delta_{32}+\Delta_{21}\) и тригонометрические тождества, выведите

    \[ A_{e\mu}^{\mathrm{CP}} =16J_{\mathrm{CP}} \sin\Delta_{21}\sin\Delta_{32}\sin\Delta_{31}. \]

  7. Перечислите все условия, при которых вакуумная CP-асимметрия исчезает. Почему фундаментального CP-нарушения нет в двухфлэйворной вакуумной модели?

  8. Для лучшей точки NuFIT 6.1 с нормальным порядком используйте

    \[ \theta_{12}=33.76^\circ, \quad \theta_{23}=43.29^\circ, \quad \theta_{13}=8.62^\circ, \quad \delta_{\mathrm{CP}}=212^\circ \]

    и вычислите \(J_{\mathrm{CP}}\).

  9. Оцените \(A_{e\mu}^{\mathrm{CP}}\) в первом атмосферном максимуме, определённом условием \(\Delta_{31}=\pi/2\). Используйте

    \[ \Delta m_{21}^2=7.537\cdot10^{-5}~\mathrm{эВ}^2, \qquad \Delta m_{31}^2=2.511\cdot10^{-3}~\mathrm{эВ}^2. \]

    Почему асимметрия дополнительно подавлена малостью солнечной фазы?

Задача 10.4. Численная лаборатория трёх флэйворов

Напишите программу на Python, Julia или Mathematica, вычисляющую вакуумные осцилляции трёх активных нейтрино. Для Python можно использовать заготовку.

Используйте лучшую точку NuFIT 6.1 с нормальным порядком:

\[ \begin{aligned} \sin^2\theta_{12}&=0.3088,& \sin^2\theta_{23}&=0.470,& \sin^2\theta_{13}&=0.02248,\\ \Delta m_{21}^2&=7.537\cdot10^{-5}~\mathrm{эВ}^2,& \Delta m_{31}^2&=2.511\cdot10^{-3}~\mathrm{эВ}^2,& \delta_{\mathrm{CP}}&=212^\circ. \end{aligned} \]

  1. Постройте матрицу PMNS в стандартной параметризации и численно проверьте \(U^\dagger U=I\).

  2. Реализуйте амплитуду \(\mathcal A_{\alpha\to\beta}\). Если строки обозначают конечный флэйвор \(\beta\), а столбцы — начальный \(\alpha\), то матрично

    \[ \mathcal A =U\operatorname{diag}(e^{-i\phi_i})U^\dagger, \qquad \phi_i=2(1.267)\frac{m_i^2[\mathrm{эВ}^2]L[\mathrm{км}]} {E[\mathrm{ГэВ}]}. \]

    Можно положить \(m_1^2=0\), поскольку общая масса не наблюдается.

  3. Вычислите матрицу вероятностей \(P_{\beta\alpha}=|\mathcal A_{\beta\alpha}|^2\).

  4. Автоматически проверьте

    \[ P_{\beta\alpha}(0)=\delta_{\beta\alpha}, \qquad \sum_\beta P_{\beta\alpha}=1 \]

    с численной точностью не хуже \(10^{-12}\).

  5. Для начального \(\nu_\mu\) постройте \(P_{\mu\to e}\), \(P_{\mu\to\mu}\) и \(P_{\mu\to\tau}\) как функции \(L/E\) в диапазоне \(0\leq L/E\leq2000~\mathrm{км/ГэВ}\).

  6. Повторите расчёт для антинейтрино, заменив \(U\to U^*\), и постройте \(P_{\mu\to e}-\overline P_{\mu\to e}\).

  7. Повторите сравнение при \(\delta_{\mathrm{CP}}=0\) и объясните результат.

  8. Добавьте ко всем \(m_i^2\) одно и то же число \(C\) и численно проверьте, что вероятности не изменились.

  9. Сканированием по \(L/E\) найдите точку максимального по модулю вакуумного различия \(P_{\mu\to e}-\overline P_{\mu\to e}\) в указанном диапазоне.

  10. Представьте тройку вероятностей

    \[ (P_{\alpha\to e},P_{\alpha\to\mu},P_{\alpha\to\tau}) \]

    как траекторию внутри вероятностного треугольника. Почему траектория не может покинуть треугольник?

В реальном длиннобазовом эксперименте сравнение нейтрино и антинейтрино также изменяется веществом. В этой задаче требуется рассчитать только вакуумную часть.

Перед началом

Все вычислительные задачи выполняются в корне репозитория neutrinophysics. Используйте локальное окружение и исходный код PEANUTS:

source .venv-peanuts-py312/bin/activate
python introduction/ru/exercises/assets/22_solar_neutrinos/peanuts_starter.py

Стартовый файл: peanuts_starter.py.

В численных формулах PEANUTS использует:

  • энергии нейтрино в МэВ;
  • разности квадратов масс в \(\mathrm{эВ}^2\);
  • электронную плотность в \(\mathrm{моль\,см^{-3}}\);
  • потоки в \(\mathrm{см^{-2}\,с^{-1}}\).

Не заменяйте результаты PEANUTS придуманными аналитическими профилями. Если сравнение с приближением требуется в условии, на одном графике должны быть показаны и расчёт PEANUTS, и приближение.

Задача 22.1. Солнечная модель в PEANUTS

Создайте объект

from peanuts.solar import SolarModel

solar = SolarModel()

По умолчанию PEANUTS загружает стандартную солнечную модель B16-AGSS09.

  1. Получите потоки источников

    \[ pp,\ pep,\ hep,\ {}^7\mathrm{Be},\ {}^8\mathrm{B},\ {}^{13}\mathrm{N},\ {}^{15}\mathrm{O},\ {}^{17}\mathrm{F} \]

    с помощью solar.flux(source) и представьте их в одной таблице.

  2. Постройте потоки на логарифмической шкале. Объясните, почему порядок источников по потоку не совпадает с их порядком по числу событий в водном черенковском детекторе.

  3. Получите solar.radius() и solar.density(). Постройте электронную плотность как функцию \(r/R_\odot\).

  4. Для каждого источника получите solar.fraction(source). Проверьте численно интеграл профиля по радиусу и постройте нормированные профили рождения на одном рисунке.

  5. Для каждого источника вычислите средний радиус рождения

    \[ \left\langle\frac r{R_\odot}\right\rangle_i = \frac{\int dr\,(r/R_\odot)g_i(r)}{\int dr\,g_i(r)}. \]

  6. Упорядочите источники по \(\langle r/R_\odot\rangle_i\) и объясните результат через температурную чувствительность соответствующих реакций.

Задача 22.2. Спектр солнечных нейтрино из PEANUTS

Для непрерывного источника PEANUTS возвращает таблицу

table = solar.spectrum(source)

с колонками Energy и Spectrum.

  1. Для источников

    \[ pp,\ {}^{13}\mathrm N,\ {}^{15}\mathrm O,\ {}^{17}\mathrm F, \ {}^8\mathrm B,\ hep \]

    нормируйте форму численно:

    \[ f_i(E_\nu) = \frac{s_i(E_\nu)}{\int s_i(E_\nu)dE_\nu}. \]

  2. Постройте дифференциальные потоки

    \[ \frac{d\Phi_i}{dE_\nu}=\Phi_i f_i(E_\nu) \]

    на двойной логарифмической шкале.

  3. Численно проверьте для каждого источника

    \[ \int\frac{d\Phi_i}{dE_\nu}dE_\nu=\Phi_i. \]

  4. Найдите максимальную энергию каждого непрерывного спектра и среднюю энергию \(\langle E_\nu\rangle_i\).

  5. Добавьте линии \(^7\)Be при \(0.384\) и \(0.862~\mathrm{МэВ}\) с долями \(0.103\) и \(0.897\), а также pep-линию при \(1.445~\mathrm{МэВ}\).

  6. Воспроизведите рисунок solar-neutrino-masterclass/assets/figures/peanuts_solar_neutrino_spectrum.png только из вызовов SolarModel, не читая готовые CSV.

Почему высота вертикальной линии на таком рисунке не имеет единиц \(\mathrm{см^{-2}\,с^{-1}\,МэВ^{-1}}\) и не может напрямую сравниваться с высотой непрерывной кривой?

Задача 22.3. Окно Гамова

Для реакции двух ядер используйте

\[ \sigma(E)=\frac{S(E)}{E} \exp\!\left[-\sqrt{\frac{E_G}{E}}\right], \]

\[ E_G=2\mu(\pi\alpha Z_1Z_2)^2, \]

и температурный множитель \(e^{-E/k_BT}\).

  1. Найдите положение максимума

    \[ E_0=\left(\frac{E_G(k_BT)^2}{4}\right)^{1/3}. \]

  2. Получите эту формулу дифференцированием показателя экспоненты.

  3. При \(k_BT=1.30~\mathrm{кэВ}\) вычислите \(E_0\) для

    \[ p+p, \qquad {}^3\mathrm{He}+{}^4\mathrm{He}, \qquad {}^7\mathrm{Be}+p, \qquad {}^{14}\mathrm N+p. \]

  4. Постройте отдельно тепловой множитель, туннельный множитель и их произведение. Сравните с интерактивом в лекции.

  5. Для одной солнечной реакции найдите экспериментальные измерения \(S(E)\) и кратко укажите: диапазон измеренных энергий, расстояние до солнечного окна Гамова и основной источник ошибки экстраполяции.

Задача 22.4. Вероятность выживания из PEANUTS

Используйте прямой вызов PEANUTS:

from peanuts.pmns import PMNS
from peanuts.solar import Psolar

pmns = PMNS(theta12, theta13, theta23, delta_cp)
probabilities = Psolar(
    pmns,
    dm21,
    dm3l,
    energy_mev,
    solar.radius(),
    solar.density(),
    solar.fraction(source),
)
pee = probabilities[0]

Возьмите в качестве исходной точки

\[ \sin^2\theta_{12}=0.307, \qquad \sin^2\theta_{13}=0.022, \]

\[ \Delta m_{21}^2=7.42\times10^{-5}~\mathrm{эВ}^2, \qquad \Delta m_{3\ell}^2=2.51\times10^{-3}~\mathrm{эВ}^2. \]

  1. Постройте \(P_{ee}(E_\nu)\) для pp, \(^7\)Be, \(^8\)B и \(^{15}\)O на диапазоне энергий соответствующего источника.

  2. Объясните различие кривых при одной и той же энергии через разные радиальные профили рождения.

  3. Сравните численный результат с пределами

    \[ P_{ee}^{\mathrm{low}}\simeq 1-\frac12\sin^22\theta_{12}, \qquad P_{ee}^{\mathrm{high}}\simeq\sin^2\theta_{12}. \]

  4. Повторите расчёт для трёх значений \(\sin^2\theta_{12}\) и трёх значений \(\Delta m_{21}^2\). Укажите, какой параметр сильнее меняет высоту, а какой положение переходной области.

  5. Проверьте, что сумма возвращаемых вероятностей электронного, мюонного и тау-флэйворов равна единице с численной точностью.

Задача 22.5. SK-подобный спектр электронов отдачи

Используйте \(^8\)B-спектр и поток, непосредственно полученные из PEANUTS, а табличные сечения из solar-neutrino-masterclass/data/student/nu_electron_recoil_cross_sections.csv.

Ожидание в бине \(j\) равно

\[ \mu_j = N_eT_{\mathrm{live}} \int_{T_j}^{T_{j+1}}dT_e \int dE_\nu\, \Phi_{^8\mathrm B}f_{^8\mathrm B}(E_\nu) \left[ P_{ee}\frac{d\sigma_e}{dT_e} +(1-P_{ee})\frac{d\sigma_x}{dT_e} \right]. \]

  1. Проверьте кинематическое условие

    \[ T_e\leq\frac{2E_\nu^2}{m_e+2E_\nu}. \]

  2. Постройте отдельно вклады \(\nu_e\) и \(\nu_{\mu,\tau}\).

  3. Постройте суммарный спектр для PEANUTS \(P_{ee}(E_\nu)\) и для гипотезы без превращения флэйвора, \(P_{ee}=1\).

  4. Вычислите полное число событий при порогах

    \[ T_{\min}=3,\ 4.5,\ 6~\mathrm{МэВ}. \]

  5. Объясните, почему изменение порога меняет не только статистику, но и чувствительность к форме \(P_{ee}(E_\nu)\).

  6. Подключите detector_response.csv, учтите эффективность и энергетическое размытие. Проверьте сохранение полного числа событий матрицей миграции.

Задача 22.6. Псевдоданные и нормировка \(^8\)B

Пусть \(m_j\) — рассчитанный шаблон, а нормировка потока равна \(\alpha_B\):

\[ \mu_j(\alpha_B)=\alpha_Bm_j. \]

  1. Сгенерируйте один псевдоэксперимент

    \[ n_j\sim\operatorname{Pois}(m_j) \]

    с явно записанным seed.

  2. Просканируйте \(\alpha_B\) и вычислите

    \[ q(\alpha_B)= 2\sum_j\left[ \mu_j-n_j+n_j\ln\frac{n_j}{\mu_j} \right]. \]

  3. Найдите \(\widehat\alpha_B\) и интервал \(\Delta q=1\).

  4. Проверьте результат аналитической оценкой

    \[ \widehat\alpha_B=\frac{\sum_jn_j}{\sum_jm_j}. \]

  5. Повторите много псевдоэкспериментов. Проверьте смещение оценки и закон

    \[ \sigma_{\alpha_B}\propto\frac1{\sqrt{N}}. \]

Задача 22.7. Фит осцилляционных параметров

Постройте двухпараметрическую модель

\[ \mu_j\left(\sin^2\theta_{12},\Delta m_{21}^2\right) \]

так, чтобы \(P_{ee}(E_\nu)\) в каждой точке сетки вычислялся PEANUTS. Для ускорения сначала сохраните вычисленную сетку, а затем интерполируйте её при свёртке с сечением.

  1. Выберите диапазоны и шаги сетки. Обоснуйте, что минимум не упирается в границу.

  2. Сгенерируйте открытые псевдоданные и найдите лучшую точку.

  3. Постройте двумерные контуры

    \[ \Delta q=2.30, \qquad \Delta q=6.18. \]

  4. Постройте одномерные профили по каждому параметру.

  5. Повторите фит для порогов \(3\) и \(6~\mathrm{МэВ}\), а также для более грубого и более мелкого бинирования.

  6. Добавьте свободную нормировку \(\alpha_B\) и профилируйте её. Объясните, какая информация об осцилляциях теряется.

Почему спектр электронов отдачи обычно слабее ограничивает \(\Delta m_{21}^2\), чем \(\sin^2\theta_{12}\)?

Задача 22.8. Эффект день — ночь

Используйте PEANUTS с распространением через Землю либо подготовленную им таблицу solar-neutrino-masterclass/data/project/earth_regeneration_parameter_scan.csv.

  1. Постройте

    \[ \Delta P_{ee}^{\oplus} =P_{ee}^{\mathrm{night}}-P_{ee}^{\mathrm{day}} \]

    как функцию \(E_\nu\) для нескольких надирных углов.

  2. Найдите энергии и траектории, где регенерация максимальна.

  3. Исследуйте зависимость от \(\Delta m_{21}^2\).

  4. Переведите изменение вероятности в асимметрию числа событий

    \[ A_{DN}=2\frac{N-D}{N+D}. \]

  5. Добавьте дневной и ночной спектры в совместный фит и оцените, насколько изменяется профиль \(\Delta m_{21}^2\).

Задача 22.9. Интегральный проект

Соберите один воспроизводимый анализ

\[ \text{PEANUTS solar model} \to \Phi_{^8\mathrm B}f_{^8\mathrm B}(E_\nu) \to P_{ee}(E_\nu) \to \nu e \to \mu_j \to n_j \to \text{fit}. \]

Обязательные результаты:

  1. таблица потоков и рисунок полного солнечного спектра;
  2. профили рождения и \(P_{ee}(E_\nu)\) из PEANUTS;
  3. SK-подобный спектр электронов отдачи;
  4. один открытый псевдоэксперимент;
  5. фит \(\alpha_B\);
  6. фит \((\sin^2\theta_{12},\Delta m_{21}^2)\);
  7. одномерные профили и двумерные контуры;
  8. проверка порога и бинирования;
  9. краткое обсуждение систематических ошибок;
  10. расширение день — ночь.

В отчёте должны быть указаны версии кода, единицы всех таблиц, случайное зерно, выбранные диапазоны сетки и команда, полностью воспроизводящая расчёт.

Готовый рисунок из masterclass можно использовать только как контроль. Зачётный результат должен начинаться с вызовов локального PEANUTS.