Задачи: резонанс и адиабатический MSW-эффект

Введение в физику нейтрино

Автор

Дмитрий В. Наумов

← Вернуться к лекции · Все задачи курса

Задачи

Задача 13.1. Плотность солнечного резонанса

Для \(\Delta m^2_{21}=7.5\times10^{-5}\ \text{эВ}^2\), \(\sin^2\theta_{12}=0.307\), \(E=10\ \text{МэВ}\) и \(Y_e=0.70\) вычислите резонансную плотность в \(\text{г}/\text{см}^3\). Как она изменится при удвоении энергии?

Задача 13.2. Резонанс — не полная конверсия

Пусть слой находится на резонансной плотности. Постройте \(P_{e\to x}(L)\) для \(\theta=5^\circ\) и найдите первую длину полного перехода. Сравните её с вакуумной длиной осцилляций.

Задача 13.3. Два слоя

Запишите \(S_2S_1\) для двух слоёв с углами \(\theta_{m,1}\), \(\theta_{m,2}\) и фазами \(\phi_1\), \(\phi_2\). Найдите условие, при котором \(S_1\) и \(S_2\) коммутируют. Объясните, почему средняя плотность не определяет эволюцию в общем случае.

Задача 13.4. Вращение базиса

Разложите состояние по мгновенным собственным состояниям, \(\psi_f(x)=U(\theta_m(x))\,b(x)\), где \(U(\theta_m)=\begin{pmatrix}\cos\theta_m&\sin\theta_m\\-\sin\theta_m&\cos\theta_m\end{pmatrix}\). Непосредственно вычислите \(U^T(\theta_m)dU(\theta_m)/dx\) и получите внедиагональный член уравнения в мгновенном базисе

\[ i\frac{d}{dx}\binom{b_1}{b_2} = \begin{pmatrix} -\Delta_m/2&-i\,d\theta_m/dx\\ i\,d\theta_m/dx&\Delta_m/2 \end{pmatrix} \binom{b_1}{b_2}. \tag{1}\]

Объясните, почему его нельзя отбросить только на основании того, что гамильтониан диагонален в каждой отдельной точке.

Задача 13.5. Экспоненциальный профиль

Пусть \(N_e(x)=N_0e^{-x/r_0}\). Найдите \(\gamma_{\mathrm{res}}\) и оцените вероятность Ландау—Зенера для заданных \(E\), \(\Delta m^2\), \(\theta\) и \(r_0\). Проверьте, что результат безразмерен.

Задача 13.6. Два солнечных предела

Адиабатическая вероятность выживания солнечного \(\nu_e\), рождённого при угле \(\theta_m^0\), после усреднения фазы между \(\nu_1\) и \(\nu_2\) равна

\[ P_{ee}=\cos^2\theta\cos^2\theta_m^0+\sin^2\theta\sin^2\theta_m^0 =\frac12\left(1+\cos2\theta\cos2\theta_m^0\right). \tag{2}\]

Выведите из неё оба предела

\[ P_{ee}\simeq \begin{cases} 1-\dfrac12\sin^22\theta,&A_0\ll1,\\[2mm] \sin^2\theta,&A_0\gg1. \end{cases} \tag{3}\]

Для \(\sin^2\theta_{12}=0.307\) вычислите оба плато и их разность.

Задача 13.7. Сходимость послойного решения

Разбейте путь на слои длины \(\delta x\) и на каждом примените точный оператор эволюции слоя постоянной плотности с потенциалом в середине шага:

\[ \psi_f(x+\delta x)= \exp\bigl[-iH_f'\bigl(V(x+\delta x/2)\bigr)\,\delta x\bigr]\,\psi_f(x). \tag{4}\]

Реализуйте этот шаг для гладкого профиля \(V(x)\). Сравните конечные вероятности при \(N\), \(2N\) и \(4N\) слоях. Проверьте сохранение нормы на каждом шаге и найдите область параметров, где адиабатическое приближение перестаёт работать.

Задача 13.8. Пространственный и временной профиль

Сравните две установки: неподвижная граница двух диэлектриков и однородный диэлектрик, показатель преломления которого меняется во времени. Какая симметрия обеспечивает сохранение частоты в первом случае? Откуда берётся энергия изменённой частоты во втором? Перенесите ответ на нейтрино в статическом и меняющемся во времени веществе.

Задача 13.9. Условие параметрического резонанса

Оператор эволюции слоя \(k\) постоянной плотности

\[ S_k=\cos\phi_k-i\sin\phi_k\,\mathbf n_k\boldsymbol\sigma, \qquad \mathbf n_k=(\sin2\theta_{m,k},\,0,\,-\cos2\theta_{m,k}), \qquad \phi_k=\frac{\Delta_{m,k}L_k}{2}. \tag{5}\]

Перемножьте операторы двух слоёв с произвольными фазами \(\phi_1\), \(\phi_2\) и запишите результат как \(S_2S_1=Y-i\,\mathbf X\boldsymbol\sigma\). Покажите, что максимальная вероятность перехода после многих пар равна \(1-X_3^2/|\mathbf X|^2\), и получите условие параметрического резонанса

\[ \sin\phi_1\cos\phi_2\cos2\theta_{m1}+\cos\phi_1\sin\phi_2\cos2\theta_{m2}=0. \tag{6}\]

Проверьте, что полупериодные слои ему удовлетворяют. Для стопки из \(N\) полуволновых пластинок с осями \(\pm\rho\) найдите угол поворота поляризации и условие \(\rho=\pi/4N\).

Задача 13.10. Резонансная кривая и избегаемое пересечение

В 1984 году А. Ю. Смирнов построил высоту максимумов \(\sin^22\theta_m\) как функцию \(A=2EV/\Delta m^2\) и увидел резонансный пик шириной \(\sin2\theta\). Разберите эту кривую и связанную с ней картину уровней. Сравните два угла: солнечный \(\sin^2\theta_{12}=0.309\) и малый \(\sin^2\theta_{13}=0.022\).

  1. Покажите, что

    \[ \sin^22\theta_m(A)= \frac{\sin^22\theta}{(A-\cos2\theta)^2+\sin^22\theta}, \tag{7}\]

    — лоренцева кривая с центром \(A=\cos2\theta\) и полушириной на половине высоты \(\sin2\theta\). Найдите для обоих углов центр, точки половинной высоты и относительную ширину \(2\tan2\theta\). Почему для \(\theta_{12}\) резонанс — не узкий пик, а вакуум (\(A=0\)) уже лежит выше половины высоты?

  2. Без смешивания уровни \(\nu_e\) и \(\nu_x\) равны \(\lambda_{e,x}=\pm\tfrac12\Delta(A-\cos2\theta)\) и пересекаются при \(A=\cos2\theta\). Покажите, что смешивание раздвигает их в \(\lambda_\pm=\pm\tfrac12\Delta_m\) с наименьшим зазором \(\Delta_{m,\min}=\Delta\sin2\theta\). Вычислите \(\Delta_{m,\min}/\Delta\) для обоих углов. Численно (например, на Python) постройте \(\lambda_{e,x}(A)\) и \(\lambda_\pm(A)\) при \(-1\le A\le4\).

  3. Доля \(\nu_e\) в верхнем уровне \(\nu_{2m}\) равна

    \[ |\langle\nu_e|\nu_{2m}\rangle|^2=\sin^2\theta_m= \frac12\left(1-\frac{\cos2\theta-A}{R}\right), \qquad R=\sqrt{(\cos2\theta-A)^2+\sin^22\theta}. \tag{8}\]

    Найдите её при \(A=0\), \(A=\cos2\theta\), \(A=\cos2\theta\pm\sin2\theta\) и \(A=2\). Покажите, что в точках \(A=\cos2\theta\pm\sin2\theta\) ответ не зависит от угла.

  4. Покажите, что при \(A\gg1\) выполнено \(\sin^22\theta_m\simeq\sin^22\theta/A^2\), а при \(A<0\) (антинейтрино при \(\Delta m^2\cos2\theta>0\)) кривая монотонно спадает и пика нет.

  5. Для \(\theta_{13}\) и \(\Delta m^2=2.5\times10^{-3}\ \text{эВ}^2\) найдите резонансную энергию в мантии (\(\rho Y_e\simeq2.2\ \text{г/см}^3\)) и в ядре Земли (\(\rho Y_e\simeq5.4\ \text{г/см}^3\)), используя \(2EV=1.53\times10^{-4}\ \text{эВ}^2\cdot\rho Y_e\,E/\text{ГэВ}\).

Сформулируйте главный физический вывод: почему при малом угле резонанс узкий, а зазор мал, и что это значит для нейтрино, которое проходит резонанс в плавно меняющейся плотности?