Осцилляции в веществе. Адиабатический MSW-эффект
Введение в физику нейтрино
ОИЯИ
От слоя к профилю
Вопрос этой лекции
При постоянной плотности мы один раз находили угол \(\theta_m\) и расщепление \(\Delta_m\). Теперь
\[ N_e=N_e(x),\qquad \theta_m=\theta_m(x),\qquad \Delta_m=\Delta_m(x). \]
Значит, в каждой точке есть свой мгновенный массовый базис. Может ли нейтрино остаться в одной мгновенной моде, пока сама мода непрерывно поворачивается?
Адиабатический MSW-эффект — это следование за собственной модой, а не непрерывное «измерение флэйвора».
Что берём из предыдущей лекции
\[ \tan2\theta_m(x)= \frac{\Delta\sin2\theta} {\Delta\cos2\theta-V(x)}, \]
\[ \Delta_m(x)=\sqrt{(\Delta\cos2\theta-V)^2+ (\Delta\sin2\theta)^2}. \]
Локально гамильтониан диагонален, но вращение базиса добавляет новый член:
\[ H_{\rm inst}=W^\dagger H W-iW^\dagger\frac{dW}{dx}. \]
Именно второй член способен переводить \(\nu_{1m}\leftrightarrow\nu_{2m}\).
Маршрут лекции
- Выведем уравнение в мгновенном базисе.
- Получим критерий адиабатичности и переход Ландау–Зенера.
- Решим выход солнечного нейтрино аналитически и численно.
- Обсудим, какую «энергию» мы сохраняем в статическом профиле.
Плотность меняется
Локальная диагонализация
Пусть \(V=V(x)\). В каждой точке всё ещё можно решить локальную задачу:
\[ H_f'(x)=U(\theta_m(x)) \frac12\begin{pmatrix}-\Delta_m(x)&0\\0&\Delta_m(x)\end{pmatrix} U^T(\theta_m(x)). \]
Но теперь поворот зависит от координаты. Запишем
\[ \psi_f(x)=U(\theta_m(x))\,b(x). \]
Можно ли просто добавить локальные фазы \(e^{\mp i\int\Delta_m dx/2}\) и считать \(b_1,b_2\) независимыми?
Ответ зависит от скорости вращения базиса.
Уравнение в мгновенном базисе
Из
\[ i\frac{d\psi_f}{dx}=H_f'\psi_f, \qquad \psi_f=U_m b \]
следует
\[ i\bigl(\dot U_m b+U_m\dot b\bigr)=H_f'U_mb. \]
Здесь точка обозначает производную по координате вдоль луча.
\[ i\dot b+iU_m^T\dot U_m b =\frac12\begin{pmatrix}-\Delta_m&0\\0&\Delta_m\end{pmatrix}b. \]
Следовательно,
\[ \boxed{ i\dot b= \left[ \frac12\begin{pmatrix}-\Delta_m&0\\0&\Delta_m\end{pmatrix} -iU_m^T\dot U_m \right]b}. \]
Для вещественного поворота
\[ U_m^T\dot U_m= \begin{pmatrix}0&\dot\theta_m\\-\dot\theta_m&0\end{pmatrix}. \]
Поэтому
\[ \boxed{ i\frac d{dx}\binom{b_1}{b_2} = \begin{pmatrix} -\Delta_m/2&-i\dot\theta_m\\ i\dot\theta_m&\Delta_m/2 \end{pmatrix} \binom{b_1}{b_2}}. \]
Именно вращение базиса способно вызвать переход \(\nu_{1m}\leftrightarrow\nu_{2m}\).
Если
\[ \boxed{|\dot\theta_m|\ll\Delta_m}, \]
внедиагональный член мал по сравнению с расщеплением. Тогда
\[ |b_1(x)|^2\simeq\mathrm{const}, \qquad |b_2(x)|^2\simeq\mathrm{const}. \]
Меняется не номер занятой мгновенной моды, а сама форма её собственного вектора во флэйворном и вакуумном базисах.
Где адиабатичность наиболее уязвима?
Из
\[ 2\theta_m=\operatorname{atan2}(\sin2\theta,\cos2\theta-A) \]
получаем
\[ \boxed{ \frac{d\theta_m}{dx} =\frac{\sin2\theta}{2R^2}\frac{dA}{dx}}. \]
Угол вращается быстрее всего вблизи избегаемого пересечения.
Удобная мера неадиабатичности:
\[ \boxed{ \eta(x)\equiv \frac{|\dot\theta_m|}{\Delta_m} =\frac{|dA/dx|\sin2\theta}{2\Delta R^3}}. \]
- \(\eta\ll1\): адиабатическое следование;
- \(\eta\gtrsim1\): возможен скачок между ветвями.
При \(A=\cos2\theta\) имеем \(R=\sin2\theta\):
\[ \eta_{\rm res} =\frac{|dA/dx|_{\rm res}} {2\Delta\sin^22\theta}. \]
Обратную величину часто записывают как параметр адиабатичности
\[ \boxed{ \gamma_{\rm res} =\frac{\Delta\sin^22\theta} {\cos2\theta\,|d\ln N_e/dx|_{\rm res}}}. \]
Эти определения связаны \(\eta_{\rm res}=1/(2\gamma_{\rm res})\).
Для линейного пересечения, продолженного достаточно далеко по обе стороны, вероятность неадиабатического скачка приближённо равна
\[ \boxed{P_c\simeq e^{-\pi\gamma_{\rm res}/2}}. \]
Это полезная оценка, но не универсальная формула для произвольного профиля. Надёжный путь — решить исходное уравнение с реальным \(N_e(x)\).
Солнечный выход: геометрия решения
В ядре Солнца для достаточно энергичного \(\nu_e\)
\[ A_0\gg\cos2\theta, \qquad \theta_m(x_0)\simeq90^\circ. \]
Поэтому
\[ \boxed{|\nu_e\rangle\simeq|\nu_{2m}(x_0)\rangle}. \]
Начально почти вся амплитуда занимает верхнюю мгновенную ветвь.
Если \(\eta\ll1\), то
\[ b_2(x)=e^{-i\Phi_2(x)}b_2(x_0), \qquad b_1(x)\simeq0, \]
где
\[ \Phi_2(x)=\int_{x_0}^{x}\frac{\Delta_m(x')}{2}\,dx' \]
с точностью до отброшенной общей фазы.
Когда \(N_e\to0\),
\[ \theta_m\to\theta, \qquad |\nu_{2m}\rangle\to|\nu_2\rangle. \]
Следовательно,
\[ \boxed{|\nu_e\rangle_{\rm core} \longrightarrow e^{-i\Phi_2}|\nu_2\rangle_{\rm vacuum}}. \]
Это адиабатическая MSW-конверсия.
Вероятность обнаружить вышедшее \(\nu_2\) как \(\nu_e\):
\[ \boxed{P_{ee}^{\rm high\ E}\simeq |\langle\nu_e|\nu_2\rangle|^2=\sin^2\theta}. \]
В солнечном секторе это около \(0.30\), а не вакуумно усреднённые \(1-\tfrac12\sin^22\theta\simeq0.57\).
Один солнечный выход — три базиса
Общая адиабатическая вероятность Солнца
Пусть нейтрино родилось как \(\nu_e\) при угле \(\theta_m^0\). После потери когерентности между \(\nu_1\) и \(\nu_2\) на пути к Земле:
\[ P_{ee} =|U_{e1}|^2|U^m_{e1}(x_0)|^2 +|U_{e2}|^2|U^m_{e2}(x_0)|^2. \]
То есть
\[ \boxed{ P_{ee}^{\rm ad,decoh} =\cos^2\theta\cos^2\theta_m^0 +\sin^2\theta\sin^2\theta_m^0} \]
или
\[ \boxed{ P_{ee}^{\rm ad,decoh} =\frac12\left(1+\cos2\theta\cos2\theta_m^0\right)}. \]
Два предела солнечного спектра
Низкая энергия
\(A_0\ll1\), поэтому \(\theta_m^0\simeq\theta\):
\[ \boxed{P_{ee}\simeq 1-\frac12\sin^22\theta}. \]
Это вакуумные осцилляции после усреднения фазы.
Высокая энергия
\(A_0\gg1\), поэтому \(\theta_m^0\simeq90^\circ\):
\[ \boxed{P_{ee}\simeq\sin^2\theta}. \]
Это адиабатическая MSW-конверсия.
«Upturn» — плавный переход между этими пределами, а не узкий пик вероятности на резонансной энергии.
Если эволюция неадиабатична
С вероятностью \(P_c\) состояние перескакивает между мгновенными ветвями. После декогеренции обобщение Парка даёт
\[ \boxed{ P_{ee}=\frac12+ \left(\frac12-P_c\right) \cos2\theta_m^0\cos2\theta}. \]
- \(P_c=0\) — адиабатический результат;
- \(P_c\to1\) — почти полный скачок ветви;
- точное \(P_c\) зависит от профиля плотности.
Для LMA-параметров и основной части солнечного спектра распространение в Солнце чрезвычайно адиабатично.
Интерактив: профиль плотности
Следование через избегаемое пересечение
Что должно быть видно
Нажмите «адиабатично»:
\[ P_{2m}(x)\simeq1 \]
на всём пути. Но в фиксированном вакуумном базисе
\[ P_1(x)\downarrow0, \qquad P_2(x)\uparrow1. \]
Это не скачок между модами в веществе: вращается сама \(\nu_{2m}(x)\).
Нажмите «быстро». Теперь \(|\dot\theta_m|\) сравнимо с \(\Delta_m\):
\[ P_{2m}(x)<1. \]
Состояние уже не успевает поворачиваться вместе с собственным вектором; появляется настоящий переход между мгновенными ветвями.
Нажмите «малый \(\theta\)». Минимальный зазор
\[ \Delta_{m,\min}=\Delta\sin2\theta \]
сужается. Для сохранения адиабатичности нужен более длинный и плавный профиль.
В левом графике одно и то же точное состояние показано как:
- \(P_e\) — флэйворная проекция;
- \(P_2\) — проекция на фиксированную вакуумную массу;
- \(P_{2m}\) — проекция на локальную собственную моду.
Разные кривые — не разные физические процессы, а разные координаты одного вектора состояния.
Как устроен численный расчёт
Интерактив использует гладкий спад
\[ A(s)=A_0[1-3s^2+2s^3], \qquad 0\le s\le1, \]
а физическая координата равна \(x=Xs\). Производная обращается в ноль на концах, чтобы не создавать искусственных скачков границы.
Вход выбирается точной верхней собственной модой начального гамильтониана:
\[ \psi_f(0)= \binom{\sin\theta_m(0)}{\cos\theta_m(0)}. \]
Это отделяет неадиабатичность распространения от ошибки приготовления начального состояния.
На каждом малом участке потенциал берётся в середине, а состояние умножается на точную экспоненту постоянного слоя:
\[ \psi(x+\delta x)= \exp[-iH(A_{\rm mid})\delta x],\psi(x). \]
Метод унитарен на каждом шаге: норма не дрейфует.
Одновременно вычисляются
\[ \psi_m=U^T(\theta)\psi_f, \qquad b=U^T(\theta_m)\psi_f. \]
Численно проверяется
\[ |\psi_e|^2+|\psi_x|^2 =|c_1|^2+|c_2|^2 =|b_1|^2+|b_2|^2=1. \]
Тот же процесс как готовая анимация
А что с энергией?
Провокация
Если потенциал для нейтрино и антинейтрино имеет противоположный знак, а вещество в приближении остаётся неизменным, не нарушили ли мы сохранение энергии?
Короткий ответ: нет для статической среды, но нужно различать три постановки задачи.
\(V=\mathrm{const}\)
Генератор эволюции не зависит от параметра распространения.
\(V=V(\mathbf x)\), среда статична
Энергия сохраняется, локальный импульс и состав мод меняются.
\(V=V(t)\), фон задан извне
Подсистема нейтрино может обмениваться энергией с приводом или средой.
Теорема для настоящего времени
Для нормированного состояния, подчиняющегося уравнению
\[ i\frac d{dt}|\psi\rangle=H(t)|\psi\rangle, \]
имеем
\[ \frac d{dt}\langle H\rangle =\langle\dot\psi|H|\psi\rangle +\langle\psi|\dot H|\psi\rangle +\langle\psi|H|\dot\psi\rangle. \]
Подставляя
\[ |\dot\psi\rangle=-iH|\psi\rangle, \qquad \langle\dot\psi|=i\langle\psi|H, \]
получаем
\[ \boxed{ \frac d{dt}\langle H\rangle =\left\langle\frac{\partial H}{\partial t}\right\rangle}. \]
Коммутатор \(i\langle[H,H]\rangle\) равен нулю.
Если полный эффективный гамильтониан не зависит от времени,
\[ \frac{\partial H}{\partial t}=0, \]
то
\[ \boxed{\langle H\rangle=\mathrm{const}}. \]
Это верно и для постоянного вещества. Противоположный знак \(V\) у антинейтрино задаёт другую дисперсию, но не отменяет временную симметрию.
Если плотность действительно меняется со временем или опора маятника принудительно ускоряется,
\[ \frac{\partial H}{\partial t}\ne0. \]
Тогда энергия подсистемы не обязана сохраняться. Недостающую энергию получает или отдаёт источник внешнего поля. В полной системе «нейтрино + среда + привод» энергия сохраняется.
Статический профиль: энергия или волновое число?
В солнечной задаче среда практически стационарна, но меняется с координатой:
\[ N_e=N_e(r). \]
Мы решаем уравнение распространения
\[ i\frac d{dx}\psi=H_{\rm osc}(x;E)\psi \]
при фиксированной лабораторной энергии \(E\). Здесь \(H_{\rm osc}\) — генератор фазы по расстоянию, то есть поправка к локальному волновому числу.
При прохождении статически неоднородной среды сохраняется энергия. Меняются локальный импульс, фазовая скорость и собственные векторы распространения.
Почему среда «не замечает» нейтрино?
В приближении Ферми среду заменяют её средним током:
\[ \bar e\gamma^0 e\longrightarrow N_e. \]
Это приближение не утверждает, что фундаментально обратного действия нет. Оно утверждает, что одна нейтринная волна практически не меняет макроскопический профиль.
Для вклада в потенциал выбирается канал с нулевой переданной четырёхимпульсной разностью. Среда остаётся в том же квантовом состоянии; возникает фаза, а не наблюдаемая отдача отдельному электрону.
Неупругое рассеяние, поглощение и столкновения дают мнимую часть собственной энергии и кинетические члены. Тогда одной унитарной двухуровневой матрицы недостаточно: нужно уравнение переноса или матрица плотности.
Знак
\[ V_\nu=+\sqrt{2}G_FN_e, \qquad V_{\bar\nu}=-\sqrt{2}G_FN_e \]
следует из слабой амплитуды вперёд. Он меняет фазу и резонансное условие, а не закон сохранения энергии.
Четыре утверждения — какие верны?
- В однородной неподвижной среде энергия нейтрино не сохраняется.
- В статическом профиле при фиксированном \(E\) меняется локальное волновое число.
- При заданном \(V(t)\) подсистема нейтрино может получать энергию от фона.
- Знак \(V_{\bar\nu}=-V_\nu\) сам по себе означает нарушение энергии.
Показать ответ
Верны 2 и 3. Первое противоречит временной однородности, четвёртое смешивает знак дисперсионной поправки с законом сохранения.
Итоги адиабатического MSW
Логика решения
Медленный профиль
\[ \left|\frac{d\theta_m}{dx}\right|\ll\Delta_m \]
Мгновенные компоненты почти не смешиваются. Меняются их представления во флэйворном и вакуумном массовом базисах.
Быстрый профиль
Геометрический член уже нельзя отбросить. Возникают переходы между мгновенными ветвями, а вероятность выхода зависит от \(P_c\).
Статический профиль сохраняет частоту стационарной волны; эффективный двухуровневый гамильтониан описывает фазовую эволюцию на фоне среды, которую мы считаем неизменной.
Соседние лекции
Назад: постоянная плотность · Далее: интерференция и маятники
