Осцилляции в веществе. Адиабатический MSW-эффект
Введение в физику нейтрино
ОИЯИ
Мгновенный базис
Плотность меняется вдоль пути
В слое постоянной плотности угол \(\theta_m\) и расщепление \(\Delta_m\) одни на весь путь. В Солнце электронная плотность падает от центра к поверхности, и вместе с ней меняется
\[ A(x)=\frac{2E\,V(x)}{\Delta m^2}, \qquad \tan2\theta_m(x)=\frac{\sin2\theta}{\cos2\theta-A(x)}, \qquad \Delta_m(x)=\Delta R(x), \]
где \(\Delta=\Delta m^2/2E\) и \(R=\sqrt{(\cos2\theta-A)^2+\sin^22\theta}\).
В каждой точке гамильтониан диагонализуется своим поворотом:
\[ H_f'(x)=U(\theta_m(x))\, \frac12\begin{pmatrix}-\Delta_m(x)&0\\0&\Delta_m(x)\end{pmatrix} U^T(\theta_m(x)). \]
Мгновенные моды \(\nu_{1m}(x)\) и \(\nu_{2m}(x)\) поворачиваются вместе с \(\theta_m(x)\). Успевает ли нейтрино оставаться в одной из них?
Уравнение в мгновенном базисе
Разложим состояние по мгновенным модам:
\[ \psi_f(x)=U(\theta_m(x))\,b(x), \qquad b=\binom{b_1}{b_2}. \]
Подставим в \(i\psi_f'=H_f'\psi_f\) и умножим слева на \(U^T\):
\[ i b'= \left[ \frac12\begin{pmatrix}-\Delta_m&0\\0&\Delta_m\end{pmatrix} -iU^TU' \right]b. \]
Штрих обозначает производную по координате вдоль пути.
Для поворота на угол \(\theta_m(x)\)
\[ U^TU'=\theta_m'\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}, \]
поэтому
\[ \boxed{ i\frac{d}{dx}\binom{b_1}{b_2} = \begin{pmatrix} -\Delta_m/2&-i\theta_m'\\ i\theta_m'&\Delta_m/2 \end{pmatrix} \binom{b_1}{b_2}}. \]
Моды связывает только скорость поворота базиса \(\theta_m'\).
Адиабатическое следование
Если базис поворачивается медленно,
\[ \boxed{|\theta_m'|\ll\Delta_m}, \]
внедиагональный член мал по сравнению с расщеплением мод, и переходов между ними нет:
\[ |b_1(x)|^2\simeq{\rm const}, \qquad |b_2(x)|^2\simeq{\rm const}. \]
Каждая мода набирает свою фазу:
\[ b_{1,2}(x)\simeq e^{\pm i\Phi(x)}\,b_{1,2}(x_0), \qquad \Phi(x)=\frac12\int_{x_0}^{x}\Delta_m(x')\,dx'. \]
Номер занятой моды сохраняется. Сама мода меняется: её разложение по \(\nu_e,\nu_x\) и по \(\nu_1,\nu_2\) следует за углом \(\theta_m(x)\).
Где следование нарушается
Параметр адиабатичности
Угол \(2\theta_m=\operatorname{atan2}(\sin2\theta,\cos2\theta-A)\) поворачивается вместе с \(A(x)\):
\[ \theta_m'=\frac{\sin2\theta}{2R^2}\,A'. \]
Отношение скорости поворота к расщеплению
\[ \boxed{ \eta(x)\equiv\frac{|\theta_m'|}{\Delta_m} =\frac{\sin2\theta\,|A'|}{2\Delta R^3}} \]
быстро растёт при малом \(R\). Опаснее всего резонанс \(A=\cos2\theta\), где \(R=\sin2\theta\). Там вводят параметр адиабатичности
\[ \boxed{ \gamma\equiv\frac{1}{2\eta_{\rm res}} =\frac{\Delta\sin^22\theta} {\cos2\theta\,|d\ln N_e/dx|_{\rm res}}}. \]
Следование выполняется при \(\gamma\gg1\).
Перескок между ветвями
Если \(\gamma\) невелико, нейтрино с вероятностью \(P_c\) переходит на другую мгновенную ветвь. Для линейного хода \(A(x)\) через резонанс задача Ландау–Зинера решается точно:
\[ \boxed{P_c=e^{-\pi\gamma/2}}. \]
Для экспоненциального профиля \(N_e\propto e^{-x/r_0}\) и рождения при \(A\gg\cos2\theta\) точный ответ нашёл Петков:
\[ P_c=\frac{e^{-\pi\gamma F/2}-e^{-\pi\gamma F/(2\sin^2\theta)}} {1-e^{-\pi\gamma F/(2\sin^2\theta)}}, \qquad F=1-\tan^2\theta . \]
При \(\gamma=0.5\) и \(\sin^2\theta_{12}=0.3088\) Ландау–Зинер даёт \(P_c=0.46\), формула Петкова \(0.53\). В фильме ниже профиль начинается при \(A_0=6\), и \(P_c=0.55\).
В Солнце \(N_e\propto e^{-r/r_0}\), \(r_0\simeq R_\odot/10.5\). При \(E=10\) МэВ и \(\Delta m^2_{21}=7.537\times10^{-5}\ {\rm эВ^2}\)
\[ \gamma\simeq3\times10^3, \qquad P_c\simeq0. \]
Выход нейтрино из Солнца адиабатичен во всём солнечном спектре.
S. T. Petcov, Phys. Lett. B 200 (1988) 373. В этом виде формула приведена в обзоре M. C. Gonzalez-Garcia, Y. Nir, Rev. Mod. Phys. 75 (2003) 345.
Выход из Солнца
От центра до поверхности
Центр
\(A_0\gg\cos2\theta\), поэтому \(\theta_m(x_0)\to90^\circ\):
\[ |\nu_e\rangle\simeq|\nu_{2m}(x_0)\rangle. \]
Путь
\(\gamma\gg1\), поэтому
\[ b_1\simeq0, \qquad |b_2|=1. \]
Поверхность
\(A\to0\), поэтому \(\theta_m\to\theta\):
\[ |\nu_{2m}\rangle\to|\nu_2\rangle. \]
\[ \boxed{ |\nu_e\rangle_{\rm центр}\longrightarrow e^{-i\Phi}|\nu_2\rangle_{\rm поверхность}}, \qquad \boxed{P_{ee}=|\langle\nu_e|\nu_2\rangle|^2=\sin^2\theta\simeq0.31}. \]
До Земли летит одно массовое состояние, поэтому вероятность не зависит от расстояния.
Для \(^8\)B при 10 МэВ условие \(A_0\gg\cos2\theta\) выполнено грубо: \(A_0\simeq2\), \(\theta_m^0\simeq75^\circ\). Примесь \(\nu_{1m}\) с весом \(\cos^2\theta_m^0\simeq0.06\) даёт \(P_{ee}=\sin^2\theta+\cos2\theta\cos^2\theta_m^0\simeq0.33\).
Поворот мгновенного базиса
Вероятность выживания \(\nu_e\)
В центре \(|\nu_e\rangle=\cos\theta_m^0|\nu_{1m}\rangle+\sin\theta_m^0|\nu_{2m}\rangle\). Каждая мода адиабатически переходит в свою вакуумную, а фаза между \(\nu_1\) и \(\nu_2\) на пути до Земли усредняется:
\[ \boxed{ P_{ee}=\cos^2\theta_m^0\cos^2\theta+\sin^2\theta_m^0\sin^2\theta =\frac12\left(1+\cos2\theta\cos2\theta_m^0\right)}. \]
| pp | \(^7\)Be | \(^8\)B | |
|---|---|---|---|
| \(E\), МэВ | 0.3 | 0.86 | 10 |
| \(A_0\) | 0.06 | 0.18 | 2.0 |
| \(\theta_m^0\) | \(35^\circ\) | \(39^\circ\) | \(75^\circ\) |
| \(P_{ee}\) | 0.56 | 0.54 | 0.33 |
Предельные значения:
- \(A_0\ll1\): \(P_{ee}\to1-\tfrac12\sin^22\theta\simeq0.57\);
- \(A_0\gg1\): \(P_{ee}\to\sin^2\theta\simeq0.31\).
С перескоком \(P_c\) на резонансе
\[ P_{ee}=\frac12+\left(\frac12-P_c\right)\cos2\theta\cos2\theta_m^0. \]
Два флэйвора, NuFIT 6.1: \(\sin^2\theta_{12}=0.3088\), \(\Delta m^2_{21}=7.537\times10^{-5}\ {\rm эВ^2}\), рождение в центре Солнца при \(\rho Y_e=100\ {\rm г/см^3}\). Поправку от \(\theta_{13}\) учтём в лекции 15.
Сохраняется ли энергия?
Солнце за время пролёта нейтрино не меняется: \(N_e=N_e(r)\) и \(\partial H/\partial t=0\). Поэтому
\[ \frac{d}{dt}\langle H\rangle=\left\langle\frac{\partial H}{\partial t}\right\rangle=0. \]
Уравнение по координате решаем при фиксированной энергии \(E\):
\[ i\frac{d\psi}{dx}=H(x;E)\,\psi. \]
Здесь \(H(x;E)\) задаёт набег фазы на единицу пути, то есть поправку к локальному волновому числу. В статическом профиле энергия нейтрино сохраняется, а меняются локальный импульс и состав мод. Для антинейтрино \(V_{\bar\nu}=-V_\nu\): закон дисперсии сдвигается в другую сторону, и энергия тоже сохраняется.
Если плотность меняется со временем, \(\partial H/\partial t\ne0\), и энергию нейтрино может менять внешний источник. Сохраняется энергия всей системы.
Интерактив
Медленный и быстрый профиль
- «адиабатично»: \(P_{2m}\simeq1\) на всём пути, а \(P_2\) растёт до 1. Переходов нет, поворачивается сама мода.
- «быстро»: при \(\eta_{\max}\sim1\) состояние частично перескакивает на нижнюю ветвь, и \(P_{2m}\) на выходе меньше единицы.
- «малый \(\theta\)»: зазор \(\Delta_{m,\min}=\Delta\sin2\theta\) сужается, и для следования нужен более длинный профиль.
Итоги
Итоги
- Уравнение в мгновенном базисе связывает моды только через \(\theta_m'\).
- При \(|\theta_m'|\ll\Delta_m\), или \(\gamma\gg1\) на резонансе, занятая мода сохраняется, а её состав поворачивается вместе с \(\theta_m(x)\).
- Солнечное \(\nu_e\) высокой энергии рождается почти как \(\nu_{2m}\) и выходит как \(\nu_2\):
\[ \boxed{P_{ee}=\frac12+\left(\frac12-P_c\right)\cos2\theta\cos2\theta_m^0}, \qquad P_c=e^{-\pi\gamma/2}\simeq0. \]
Подробнее в апплете адиабатического перехода.
Назад: постоянная плотность · Далее: интерференция и маятники
