Осцилляции в веществе. Интерференция и маятники
Введение в физику нейтрино
ОИЯИ
Куда исчезает \(\nu_1\)?
Вопрос лекции
Солнечное \(\nu_e\) высокой энергии рождается почти как верхняя мода вещества. В вакуумном массовом базисе (лекция 12)
\[ |\nu_{2m}(x_0)\rangle=\sin\alpha_0\,|\nu_1\rangle+\cos\alpha_0\,|\nu_2\rangle, \qquad \alpha\equiv\theta_m-\theta . \]
При адиабатическом выходе из Солнца получается почти чистое \(|\nu_2\rangle\) (лекция 13). Вещество связывает \(\nu_1\) и \(\nu_2\) симметрично, \(H_{12}^{(m)}=H_{21}^{(m)}=\tfrac V2\sin2\theta\). Как при этом коэффициент при \(\nu_1\) обращается в нуль?
Ответов два, и они совместимы.
- В мгновенном базисе состояние остаётся на одной ветви, а сама ветвь поворачивается. Это лекция 13.
- В фиксированном базисе амплитуда \(\nu_1\) складывается из двух путей, которые в конце гасят друг друга. Это сегодняшняя лекция.
Связанные маятники показывают обе картины на одной установке.
Связанные маятники
Два маятника на пружине
Грузы равной массы, длины \(\ell_1\) и \(\ell_2\), горизонтальная пружина, \(\kappa=k/m\). Для малых горизонтальных смещений
\[ \ddot{\mathbf x}+D\,\mathbf x=0, \qquad D= \begin{pmatrix} g/\ell_1+\kappa&-\kappa\\ -\kappa&g/\ell_2+\kappa \end{pmatrix}. \]
| маятники | нейтрино |
|---|---|
| нормальные моды \(D\) | массовые состояния |
| качается только маятник 1 | флэйворное состояние \(\nu_e\) |
| \(u=g/\ell_1-g/\ell_1^{\rm vac}\) | потенциал вещества \(V\) |
| угол мод, \(\tan2\theta_m=\dfrac{2\kappa}{g/\ell_2-g/\ell_1}\) | угол смешивания в веществе |
Укорачивая маятник 1, мы сдвигаем один диагональный элемент \(D\). Так вещество сдвигает энергию одного флэйвора.
Вакуум, резонанс, плотная среда
При \(\ell_1=\ell_2\) частоты равны, и энергия переходит целиком. Короткий маятник 1 расстроен, и передача подавлена, как осцилляции в плотной среде.
От маятников к уравнению Шрёдингера
Выделим быстрый носитель \(\omega_c\): \(\mathbf x=\operatorname{Re}\big[\boldsymbol\psi(t)\,e^{-i\omega_ct}\big]\). Если огибающая меняется медленно, \(|\dot{\boldsymbol\psi}|\ll\omega_c|\boldsymbol\psi|\), то
\[ i\dot{\boldsymbol\psi}=H_{\rm mech}\boldsymbol\psi, \qquad \boxed{ H_{\rm mech}=\frac1{4\omega_c} \begin{pmatrix} \delta&-2\kappa\\ -2\kappa&-\delta \end{pmatrix}}, \qquad \delta=D_{11}-D_{22}. \]
Сравнение с \(H_f'\) из лекции 12 даёт словарь
\[ V\longleftrightarrow\frac{u}{2\omega_c}, \qquad \Delta\sin2\theta\longleftrightarrow\frac{\kappa}{\omega_c}, \qquad V-\Delta\cos2\theta\longleftrightarrow\frac{\delta}{2\omega_c}. \]
Знак связи убирается заменой \(x_2\to-x_2\). Вероятности \(P_i=|\psi_i|^2\) соответствуют числу квантов (действию) в каждом маятнике.
Как создать потенциал \(u(t)\)
Пусть опора маятника 1 движется по вертикали с ускорением \(a(t)\), а длина \(\ell(t)\) меняется. Натяжение нити равно \(m(g+a-\ddot\ell)\), и
\[ \boxed{ \ddot x_1+\frac{g+a(t)-\ddot\ell(t)}{\ell(t)}\,x_1+\kappa\,(x_1-x_2)=0}. \]
Неподвижная опора, \(a=0\)
\[ \dfrac{g-\ddot\ell}{\ell} \]
При быстром управлении член \(\ddot\ell\) не мал.
Ускоренная опора, \(\ell=L\)
\[ \dfrac{g+a}{L} \]
Тот же \(u(t)\) даёт \(a=L(g-\ddot\ell)/\ell-g\).
Опора идёт за длиной, \(a=\ddot\ell\)
\[ \dfrac{g}{\ell} \]
Груз остаётся на одной высоте, пружина горизонтальна.
Одинаковый \(u(t)\) означает одинаковое движение грузов. В фильмах этой лекции используется третий способ.
Интерференция в фиксированном базисе
Симметричная связь и направленный поток
В вакуумном массовом базисе \(\psi_m=(c_1,c_2)^T\) и \(i\,dc_k/dx=\sum_l H_{kl}c_l\). Диагональные члены не меняют модулей, поэтому
\[ \boxed{ \frac{d}{dx}|c_1|^2=2\operatorname{Im}\big(H_{12}\,c_1^*c_2\big) =-\frac{d}{dx}|c_2|^2}. \]
Равенство \(H_{12}=H_{21}\) обеспечивает сохранение нормы и обратимость. Направление потока задаёт относительная фаза
\[ \arg c_2-\arg c_1+\arg H_{12}. \]
На одном участке пути \(P_1\) убывает, на другом может расти. Итог определяется тем, как складываются амплитуды.
Два пути в один канал
Полный пропагатор в фиксированном базисе
\[ U_m(x,0)=\mathcal T\exp\!\Big[-i\!\int_0^x\!H_m'(x')\,dx'\Big], \qquad c_1(x)=\underbrace{U_{11}c_1(0)}_{d}+\underbrace{U_{12}c_2(0)}_{f}. \]
\(d\) собирает все истории из \(\nu_1\) в \(\nu_1\), \(f\) собирает все истории из \(\nu_2\) в \(\nu_1\). Ряд Дайсона рисует их как цепочки вставок \(\nu_1\leftrightarrow\nu_2\), но вероятность даёт только сумма:
\[ \boxed{ P_1=|d+f|^2=|d|^2+|f|^2+2\operatorname{Re}(d f^*)}. \]
\(P_1=0\) требует
\[ |d|=|f|,\qquad \arg(f/d)=\pi . \]
Каждый путь по отдельности может быть велик.
Тонкий слой
Пусть на толщине слоя разность диагональных элементов \(H_m'\) не успевает набрать фазу: \(\chi=\int_{\rm слой}(\Delta-V\cos2\theta)\,dx\), \(|\chi|\ll1\). Так бывает при \(V\cos2\theta\simeq\Delta\) или в тонком слабом слое; резонанс MSW \(V=\Delta\cos2\theta\) этому условию не отвечает. Тогда в картине взаимодействия слой с точностью до \(O(\chi)\) действует как поворот
\[ S=\cos\varphi\,\mathbb I-i\sin\varphi\,\sigma_x, \qquad \varphi=\int_{\rm слой}\frac V2\sin2\theta\,dx . \]
На входе \(c_1=A\), \(c_2=Be^{-i\varepsilon}\).
Канал 1
\[ c_1'=A\cos\varphi-iBe^{-i\varepsilon}\sin\varphi . \]
Второй вклад отстаёт на \(90^\circ+\varepsilon\), вклады гасят друг друга.
Канал 2
\[ c_2'=Be^{-i\varepsilon}\cos\varphi-iA\sin\varphi . \]
Второй вклад отстаёт на \(90^\circ-\varepsilon\), вклады усиливают друг друга.
\[ A=B=\tfrac1{\sqrt2}: \qquad \boxed{P_{1,2}=\tfrac12\big(1\mp\sin2\varphi\,\sin\varepsilon\big)}. \]
Один унитарный слой уменьшает одну проекцию ровно на столько, на сколько увеличивает другую. Знак эффекта задаёт фаза \(\varepsilon\), набранная до слоя.
Почему гашение точное
Амплитуды мгновенного базиса \(b\) (лекция 13) связаны с вакуумными поворотом, \(\psi_m=U(\alpha)\,b\). Без переходов между ветвями
\[ U_{\rm ad}(x,0)=U(\alpha_x) \begin{pmatrix}E_1&0\\0&E_2\end{pmatrix} U^T(\alpha_0), \qquad |E_1|=|E_2|=1 . \]
Старт в верхней моде: \(\psi_m(0)=(\sin\alpha_0,\ \cos\alpha_0)^T\). На выходе \(\alpha_x=0\), первая строка пропагатора \(U_{11}=E_1\cos\alpha_0\), \(U_{12}=-E_1\sin\alpha_0\). Поэтому
\[ d=E_1\sin\alpha_0\cos\alpha_0, \qquad f=-E_1\sin\alpha_0\cos\alpha_0, \qquad \boxed{c_1=d+f=0}. \]
Оба пути проходят через нижнюю ветвь и несут одну фазу \(E_1\). Противофаза следует из ортогональности поворачивающегося базиса и не зависит от длины пути.
Гашение моды на маятниках
Медленный и быстрый проход
Опора маятника 1 поднимается за 70 с или за 3 с. При медленном проходе система остаётся на верхней ветви, и энергия уходит в маятник 2. При быстром проходе мода не успевает повернуться, и маятники продолжают обмениваться энергией.
Где гасится вакуумная мода 1
Тот же медленный проход в фиксированных модах вакуума. В начале \(|c_1|^2=\sin^2\alpha_0=0{,}79\). В конце \(|d|\simeq|f|\simeq\sin\alpha_0\cos\alpha_0=0{,}41\), \(\arg(f/d)\simeq180^\circ\) и \(|c_1|^2=4\cdot10^{-4}\).
Связанные маятники в веществе
\(u=g/\ell_1-g/\ell_1^{\rm vac}=\) с\(^{-2}\)
\(\ell_2=1\) м, \(\ell_1^{\rm vac}=1{,}95\) м
Границы аналогии
- Уравнение огибающей требует \(|\dot\psi|\ll\omega_c|\psi|\). При быстром управлении точным остаётся только уравнение второго порядка. Фильмы решают именно его.
- Аналог вероятности есть действие моды, то есть число квантов. Энергия маятников не сохраняется: привод опоры совершает работу.
- Пружина горизонтальна, только если грузы на одной высоте. Поэтому в фильмах опора маятника 1 движется вместе с длиной.
- Модель воспроизводит унитарную двухуровневую динамику, резонанс и адиабатическое следование. Нейтрино не маятник, и среда не ускоряет частицу.
Маятники с медленно меняющейся длиной как аналог MSW-перехода: E. Kh. Akhmedov, arXiv:hep-ph/0610064, рис. 6, и ссылки там. Ускоренная опора даёт тот же диагональный член и позволяет обсудить работу внешнего привода.
Итоги
Один ответ в трёх языках
Мгновенный базис
Состояние остаётся на верхней ветви, сама ветвь поворачивается от \(\nu_e\) к \(\nu_2\).
Вакуумный массовый базис
\(c_1=d+f\). Два пути приходят с равными модулями и противоположными фазами.
Маятники
Верхняя нормальная мода сохраняется. Её проекция на вакуумную моду 1 исчезает.
«Исчезновение \(\nu_1\)» означает \(\langle\nu_1|\psi_{\rm out}\rangle=0\). Норма сохраняется, поле \(\nu_1\) никуда не девается. В идеальной когерентной системе обращённый профиль вернул бы исходное состояние.
Соседние лекции
Назад: адиабатический MSW · Далее: три нейтрино в веществе
Апплет связанных маятников · Апплет «Маятники в веществе» · Апплет адиабатического прохода
