Осцилляции в веществе. Интерференция и маятники
Введение в физику нейтрино
ОИЯИ
От формулы к механизму
Парадокс фиксированного базиса
Высокоэнергетическое солнечное \(\nu_e\) рождается почти как \(\nu_{2m}\) и при адиабатическом выходе становится почти чистым вакуумным \(\nu_2\).
Но если всё время раскладывать состояние по вакуумным модам,
\[ |\psi(x)\rangle=c_1(x)|\nu_1\rangle+c_2(x)|\nu_2\rangle, \]
то вещество непрерывно создаёт амплитуды переходов в обе стороны. Почему же на выходе \(c_1\simeq0\)?
Нужно увидеть не только перенос амплитуды, но и фазы всех путей, приходящих в один и тот же конечный канал.
Две картины одной динамики
- полный пропагатор в вакуумном массовом базисе;
- амплитуды «выживания» и «перехода»;
- деструктивная интерференция в канале \(\nu_1\);
- конструктивная интерференция в канале \(\nu_2\).
- две связанные координаты;
- две мгновенные нормальные моды;
- ускорение подвеса или изменение длины как управляющий потенциал;
- адиабатическое превращение одной вакуумной моды в другую.
Куда пропадает \(\nu_1\)?
Парадокс фиксированного базиса
Высокоплотностное \(\nu_e\simeq\nu_{2m}\) в вакуумном массовом базисе равно
\[ |\nu_{2m}(x_0)\rangle =\sin\alpha_0|\nu_1\rangle +\cos\alpha_0|\nu_2\rangle, \qquad \alpha_0=\theta_m(x_0)-\theta. \]
На выходе адиабатическое состояние почти чистое \(|\nu_2\rangle\).
Как коэффициент при \(\nu_1\) стал нулём, если \(H_{12}^{(m)}=H_{21}^{(m)}\)?
Ответ состоит из двух взаимно совместимых картин:
- в мгновенном базисе вращается занятая мода;
- в фиксированном базисе полные амплитуды интерферируют.
Сначала: чего не происходит в вакууме
В вакуумном массовом базисе
\[ H_m'(V=0)=\frac12 \begin{pmatrix}-\Delta&0\\0&\Delta\end{pmatrix}. \]
Поэтому свободные on-shell волны \(\nu_1\) и \(\nu_2\) не совершают постоянных переходов друг в друга. Каждая набирает свою фазу.
В веществе же
\[ H_{12}^{(m)}=\frac V2\sin2\theta\ne0, \]
потому что электронный фон не диагонален в вакуумном массовом базисе.
Dyson-ряд можно рисовать как последовательность вставок \(\nu_1\leftrightarrow\nu_2\), но физична когерентная сумма всех историй — полный пропагатор.
Эрмитовость не означает нулевой ток
Пусть
\[ \psi_m=\binom{c_1}{c_2}, \qquad i\dot c_1=H_{11}c_1+H_{12}c_2, \qquad i\dot c_2=H_{21}c_1+H_{22}c_2. \]
\[ \frac d{dx}|c_1|^2 =c_1^*\dot c_1+\dot c_1^*c_1. \]
Диагональные члены сокращаются, и при \(H_{21}=H_{12}^*\):
\[ \boxed{ \frac d{dx}|c_1|^2 =2\operatorname{Im}(H_{12}c_1^*c_2)}. \]
Определим ток из 1 в 2:
\[ \boxed{ J_{1\to2} \equiv\frac d{dx}|c_2|^2 =-2\operatorname{Im}(H_{12}c_1^*c_2)}. \]
Тогда
\[ \frac d{dx}(|c_1|^2+|c_2|^2)=0. \]
Равенство матричных элементов обеспечивает обратимость и сохранение нормы. Направление мгновенного потока задаёт фаза
\[ \arg(c_2)-\arg(c_1)+\arg H_{12}. \]
Поэтому симметричная связь вполне совместима с \(P_1\downarrow\) и \(P_2\uparrow\) на данном участке траектории.
Полный пропагатор: где именно интерференция?
В фиксированном массовом базисе
\[ \boxed{ U_m(x,0)=\mathcal T \exp\!\left[-i\int_0^xH_m(x')dx'\right]}. \]
Первая конечная амплитуда равна
\[ c_1(x)=U_{11}c_1(0)+U_{12}c_2(0). \]
Назовём
\[ \boxed{d(x)\equiv U_{11}(x,0)c_1(0)}, \qquad \boxed{f(x)\equiv U_{12}(x,0)c_2(0)}. \]
\(d\) — сумма всех историй, начинающихся в \(\nu_1\) и заканчивающихся в \(\nu_1\); \(f\) — всех историй из начального \(\nu_2\) в конечное \(\nu_1\).
\[ \boxed{ P_1=|d+f|^2 =|d|^2+|f|^2+2\operatorname{Re}(df^*)}. \]
Исчезновение \(P_1\) требует не исчезновения каждого пути, а
\[ |d|\simeq|f|, \qquad \arg(f/d)\simeq\pi. \]
Для профиля готовой анимации на выходе:
\[ |d|=0.48516, \qquad |f|=0.48580, \]
\[ \arg(f/d)=(-1+0.00221)\pi. \]
В результате
\[ |c_1|=0.00343, \qquad \boxed{P_1=1.18\times10^{-5}}. \]
Почему отмена точна в адиабатическом пределе
- Поворот относительно вакуума
- Адиабатический пропагатор
- Начальная верхняя мода
- Два вклада в \(c_1\)
- Точная отмена
Пусть
\[ W(\alpha)= \begin{pmatrix}\cos\alpha&\sin\alpha\\-\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}, \qquad \alpha=\theta_m-\theta. \]
Он переводит мгновенные массовые амплитуды в фиксированные вакуумные:
\[ \psi_m=W(\alpha)b. \]
Если переходами между ветвями можно пренебречь,
\[ \boxed{ U_{\rm ad}(x,0)= W(\alpha_x) \begin{pmatrix}E_1&0\\0&E_2\end{pmatrix} W^T(\alpha_0)}, \]
где \(|E_1|=|E_2|=1\) — накопленные фазы.
Начальное состояние
\[ \psi_m(0)=W(\alpha_0)e_2 =\binom{\sin\alpha_0}{\cos\alpha_0}. \]
На выходе в вакуум \(\alpha_x=0\), поэтому
\[ U_{\rm ad}(x,0)= \begin{pmatrix}E_1&0\\0&E_2\end{pmatrix} W^T(\alpha_0). \]
Из первой строки пропагатора:
\[ U_{11}=E_1\cos\alpha_0, \qquad U_{12}=-E_1\sin\alpha_0. \]
Значит,
\[ d=E_1\cos\alpha_0\sin\alpha_0, \]
\[ f=-E_1\sin\alpha_0\cos\alpha_0. \]
\[ \boxed{c_1=d+f=0}. \]
Оба вклада несут одну и ту же динамическую фазу \(E_1\), поэтому их противофаза не требует случайной настройки длины пути.
Угол \(180^\circ\) возникает из ортогональности вращающегося базиса, а не из подбора интеграла фазы к специальному значению.
Исчезновение фиксированной моды — кадр за кадром
Один тонкий слой: волны и фазоры одновременно
Тонкий резонансный слой — аналитически
В подходящей фазе картины взаимодействия резонансный слой имеет
\[ \boxed{S(\gamma)=\cos\gamma\,\mathbb I-i\sin\gamma\,\sigma_x}. \]
Пусть входные амплитуды
\[ c_1=A, \qquad c_2=Be^{-i\varepsilon}. \]
\[ c_1'=\underbrace{A\cos\gamma}_{\rm survival} \underbrace{-iBe^{-i\varepsilon}\sin\gamma}_{\rm conversion}. \]
Конверсионная стрелка отстаёт от первой на
\[ 90^\circ+\varepsilon, \]
поэтому интерференция в канале \(\nu_1\) деструктивна.
\[ c_2'=\underbrace{Be^{-i\varepsilon}\cos\gamma}_{\rm survival} \underbrace{-iA\sin\gamma}_{\rm conversion}. \]
Теперь относительный угол равен
\[ 90^\circ-\varepsilon, \]
и интерференция конструктивна.
Для \(A=B=1/\sqrt{2}\):
\[ \boxed{P_1=\frac12[1-\sin2\gamma\sin\varepsilon]}, \]
\[ \boxed{P_2=\frac12[1+\sin2\gamma\sin\varepsilon]}. \]
Один и тот же унитарный слой уменьшает одну проекцию ровно настолько, насколько увеличивает другую.
Квантово-полевая формулировка
Вакуум — основное состояние нейтринных полей. Рождение создаёт когерентное одночастичное возбуждение массовых полей, если альтернативы неразличимы.
Свободный пропагатор диагонален по массовым полям: постоянного физического \(\nu_1\leftrightarrow\nu_2\) превращения в пустом вакууме нет.
Электронный фон добавляет к пропагатору матричную собственную энергию. Её полюса и собственные векторы определяют моды в веществе \(\nu_{1m},\nu_{2m}\).
В бесстолкновительном ультрарелятивистском пределе уравнение для этих коллективных амплитуд редуцируется к использованному \(2\times2\) уравнению Шрёдингера.
Разложение по степеням взаимодействия содержит любое число вставок среды. Но отдельная диаграмма не является вероятностью перехода. Сначала суммируются все комплексные амплитуды, и только затем берётся квадрат модуля.
Именно это не-пертурбативно делает
\[ \mathcal T\exp\!\left[-i\int H_mdx\right]. \]
Фраза «\(\nu_1\) исчезло» означает только
\[ \langle\nu_1|\psi_{\rm out}\rangle=0. \]
Ни поле \(\nu_1\), ни норма состояния не исчезают. Обращение профиля в идеальной когерентной системе обратило бы процесс.
Механическая аналогия
Сначала явление
Два слабо связанных маятника передают энергию друг другу, если их частоты достаточно близки. Расстройка частот подавляет передачу. Управляя частотой одного маятника, можно:
- войти в резонанс при постоянных параметрах;
- медленно провести систему через избегаемое пересечение;
- следовать одной мгновенной нормальной моде.
Резонанс и подавление — в движении
Точные уравнения малых колебаний
Пусть \(x_1,x_2\) — малые горизонтальные смещения грузов, а \(q_i=\sqrt{m_i}x_i\) — нормированные на массу координаты.
Тогда
\[ \ddot{\mathbf q}+D(t)\mathbf q=0, \qquad \mathbf q=\binom{q_1}{q_2}. \]
Симметричная матрица \(D\) играет роль квадрата частот.
Для горизонтальной пружины жёсткости \(k\):
\[ D_0= \begin{pmatrix} g/L+k/m_1&-\kappa\\ -\kappa&g/L+k/m_2 \end{pmatrix}, \]
где
\[ \kappa=\frac{k}{\sqrt{m_1m_2}}. \]
Нормальные моды \(D_0\) — механические аналоги вакуумных массовых состояний.
Возбудить только первый физический маятник — аналог приготовить определённый флэйвор. Это возбуждение является суперпозицией двух нормальных мод.
Их частоты различны, поэтому относительная фаза меняется и энергия периодически переходит между маятниками.
Потенциал вещества должен изменить только один диагональный элемент:
\[ D(t)=D_0+ \begin{pmatrix}u(t)&0\\0&0\end{pmatrix}. \]
Здесь \(u(t)\) — механический аналог флэйвор-селективного потенциала.
Два способа создать один потенциал
Пусть длина первого маятника равна \(\ell(t)\). Для горизонтального смещения \(x_1=\ell\vartheta_1\) точное линейное уравнение содержит
\[ \boxed{ \ddot x_1+ \frac{g-\ddot\ell(t)}{\ell(t)}x_1 +\frac{k}{m_1}(x_1-x_2)=0}. \]
Важно: при быстром управлении нельзя выбросить член \(-\ddot\ell/\ell\).
Оставим длину \(L\) постоянной, но сообщим первой опоре вертикальное ускорение \(a(t)\) вверх. В сопутствующей системе
\[ g\longrightarrow g+a(t), \]
и
\[ \boxed{ \ddot x_1+ \frac{g+a(t)}{L}x_1 +\frac{k}{m_1}(x_1-x_2)=0}. \]
Два линейных уравнения идентичны, если
\[ \boxed{ \frac{g+a(t)}{L} =\frac{g-\ddot\ell(t)}{\ell(t)}}. \]
То есть
\[ \boxed{ a(t)=L\frac{g-\ddot\ell(t)}{\ell(t)}-g}. \]
Это точное соответствие вторых порядков, а не только медленных огибающих.
Если \(|\ddot\ell|\ll g\),
\[ \boxed{ a(t)\simeq g\left(\frac L{\ell(t)}-1\right)}. \]
Более короткий маятник эквивалентен ускорению его опоры вверх.
Удобство реализаций разное: постоянную расстройку легко задать длиной, а постоянное ускорение потребовало бы неограниченного перемещения опоры.
Проверка эквивалентности двух управлений
От второго порядка к двум амплитудам
Выберем опорную частоту \(\omega_c\) и представим
\[ \mathbf q(t)=\operatorname{Re} \left[\boldsymbol\psi(t)e^{-i\omega_ct}\right], \]
где \(\boldsymbol\psi\) меняется медленно по сравнению с периодом маятника.
При \(|\dot\psi|\ll\omega_c|\psi|\) и слабой связи уравнение второго порядка переходит в
\[ i\dot{\boldsymbol\psi}=H_{\rm mech}(t)\boldsymbol\psi. \]
После удаления общего фазового сдвига
\[ \boxed{ H_{\rm mech}=\frac1{4\omega_c} \begin{pmatrix} \delta(t)&2\kappa\\ 2\kappa&-\delta(t) \end{pmatrix}}. \]
Сравнение с нейтринным гамильтонианом даёт
\[ \boxed{V(t)\longleftrightarrow\frac{u(t)}{2\omega_c}}, \]
\[ \boxed{\Delta\sin2\theta\longleftrightarrow\frac\kappa{\omega_c}}, \]
\[ \boxed{V-\Delta\cos2\theta \longleftrightarrow\frac{\delta}{2\omega_c}}. \]
Для ускоренной опоры
\[ \boxed{V_a(t)=\frac{a(t)}{2\omega_cL}}, \]
а для переменной длины
\[ \boxed{ V_\ell(t)=\frac1{2\omega_c} \left[\frac{g-\ddot\ell(t)}{\ell(t)}-\frac gL\right]}. \]
Одинаковый \(V(t)\) означает одинаковую динамику медленных амплитуд.
Адиабатическое следование маятника
Нейтрино:
\[ |\nu_{2m}(x)\rangle \longrightarrow|\nu_2\rangle. \]
Маятники:
\[ |\text{верхняя нормальная мода}(t)\rangle \longrightarrow|\text{вакуумная мода 2}\rangle. \]
Одна мгновенная мода остаётся занятой, но её рисунок движения непрерывно меняется.
Куда делась первая нормальная мода?
В конце амплитуда фиксированной вакуумной моды 1 — сумма двух откликов:
\[ q_{\rm mode\,1}^{\rm out}=d_{\rm mech}+f_{\rm mech}. \]
При адиабатическом проходе они равны по модулю и противоположны по фазе. Поэтому исчезает проекция движения на первую нормальную моду, а не механическая энергия всей системы.
Маятники делают видимыми обе картины сразу: мгновенная нормальная мода вращается, а две составляющие фиксированной моды интерферируют деструктивно.
Где аналогия перестаёт быть точной
Точное соответствие предполагает горизонтальную связь, не меняющуюся при управлении. Пружина непосредственно между грузами может менять направление и эффективную жёсткость при разных высотах опор.
Уравнение второго порядка остаётся точным, но редукция к медленной шрёдингеровской огибающей требует
\[ |\dot\psi|\ll\omega_c|\psi|. \]
Слишком быстрое управление создаёт контрвращающиеся компоненты.
Квантовая вероятность соответствует норме огибающей. Механическая энергия маятника лишь приближённо пропорциональна \(|\psi_i|^2\) после усреднения по быстрому периоду; кроме того, привод может совершать работу.
Механическая модель воспроизводит унитарную двухуровневую структуру, резонанс и адиабатическое следование. Она не утверждает, что нейтрино — маленький маятник или что среда буквально ускоряет частицу.
Модель с медленно меняющейся длиной известна в литературе. Селективно ускоренная опора здесь полезна как эквивалентная реализация того же диагонального управления и как способ обсудить работу внешнего привода.
Итоги: где именно исчезла мода?
Один ответ в трёх языках
Мгновенный базис
Состояние остаётся на одной собственной ветви, а сама ветвь поворачивается.
Вакуумный массовый базис
В \(c_1\) складываются несколько комплексных амплитуд, взаимно гасящих друг друга.
Маятники
Сохраняется мгновенная нормальная мода, хотя её проекции на исходные моды меняются.
«Исчезновение \(\nu_1\)» — не потеря частицы и не необратимый процесс. Это обнуление проекции унитарно эволюционирующего состояния на выбранную фиксированную моду.
Соседние лекции
