Осцилляции в веществе. Три флэйвора
Введение в физику нейтрино
ОИЯИ
Три флэйвора в веществе
Гамильтониан \(3\times3\)
Во флэйворном базисе \((\nu_e,\nu_\mu,\nu_\tau)\)
\[ \boxed{ i\frac{d\psi}{dx}=H\psi,\qquad H=\frac1{2E}\, U\begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&\Delta m^2_{21}&0\\ 0&0&\Delta m^2_{31} \end{pmatrix}U^\dagger +\begin{pmatrix}V&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}, \qquad V=\sqrt2G_FN_e. \]
- Первое слагаемое пришло из лекции 10, второе из лекции 12.
- Слагаемые, пропорциональные единичной матрице, дают общую фазу. Поэтому в \(H\) нет \(m_1^2\) и нейтрального тока.
- Для антинейтрино \[ \boxed{U\to U^*,\qquad V\to-V}. \]
Что вещество не меняет
Потенциал одинаков для \(\nu_\mu\) и \(\nu_\tau\). Поэтому он коммутирует с поворотом \(R_{23}\) и с фазовой матрицей \(W=\mathrm{diag}(1,1,e^{i\delta_{\rm CP}})\). Из \(U=R_{23}\,W R_{13}W^\dagger\,R_{12}\) следует
\[ \boxed{H=R_{23}W\,H'\,W^\dagger R_{23}^{\dagger}}, \qquad H'=\frac1{2E}R_{13}R_{12}\, \mathrm{diag}(0,\Delta m^2_{21},\Delta m^2_{31})\, R_{12}^{T}R_{13}^{T} +\mathrm{diag}(V,0,0). \]
- Матрица \(H'\) вещественна, в ней нет \(\theta_{23}\) и \(\delta_{\rm CP}\). Вещество меняет только её собственные числа и векторы.
- \(\theta_{23}\) и \(\delta_{\rm CP}\) входят во внешние повороты, как в вакууме. Угол \(\theta_{23}\) делит неэлектронную часть состояния между \(\nu_\mu\) и \(\nu_\tau\).
- Вероятность \(P_{ee}\) не зависит ни от \(\theta_{23}\), ни от \(\delta_{\rm CP}\).
Два резонанса
Два масштаба
Расщепления различаются в тридцать раз:
\[ \frac{\Delta m^2_{21}}{|\Delta m^2_{31}|}\approx0.03. \]
Для каждой пары введём параметр \(A\) из лекции 12:
\[ A_{21}=\frac{2EV}{\Delta m^2_{21}}, \qquad A_{31}=\frac{2EV}{\Delta m^2_{31}}. \]
Резонансы лежат там, где каждый из них близок к косинусу своего угла:
\[ \boxed{\text{L}:\ A_{21}\cos^2\theta_{13}\simeq\cos2\theta_{12}}, \qquad \boxed{\text{H}:\ A_{31}\simeq\cos2\theta_{13}}. \]
| среда | \(\rho Y_e\), г/см³ | L-резонанс | H-резонанс |
|---|---|---|---|
| центр Солнца | \(\approx100\) | \(\approx2\) МэВ | |
| мантия Земли, хорда 8000 км | \(\approx2.15\) | \(\approx7\) ГэВ | |
| ядро Земли | \(\approx5.5\) | \(\approx3\) ГэВ |
\(V=7.63\cdot10^{-14}\ \text{эВ}\times\rho Y_e/(\text{г/см}^3)\), параметры NuFIT 6.1. Земля по PREM: \(\rho=4.35\) г/см³ по хорде 8000 км и \(11.9\) г/см³ в ядре, \(Y_e=0.495\) и \(0.47\). A. M. Dziewonski, D. L. Anderson, Phys. Earth Planet. Inter. 25, 297 (1981).
Три уровня в веществе
Собственные значения \(2EH\) при убывающей плотности. Электронное нейтрино, рождённое в плотной среде, адиабатически следует за своей ветвью и проходит через H- и L-резонансы.
Порядок масс выбирает канал
H-резонанс требует \(A_{31}>0\), то есть \(V\) и \(\Delta m^2_{31}\) одного знака.
| нормальный порядок, \(\Delta m^2_{31}>0\) | обратный порядок, \(\Delta m^2_{31}<0\) | |
|---|---|---|
| \(\nu\) | L и H | только L |
| \(\bar\nu\) | нет резонансов | только H |
После адиабатического выхода из плотной среды \(\nu_e\) становится одним массовым состоянием:
| нормальный порядок | обратный порядок | |
|---|---|---|
| \(\nu_e\) | \(\nu_3\), \(P_{ee}=\lvert U_{e3}\rvert^2\approx0.02\) | \(\nu_2\), \(P_{ee}=\lvert U_{e2}\rvert^2\approx0.30\) |
| \(\bar\nu_e\) | \(\bar\nu_1\), \(P_{ee}=\lvert U_{e1}\rvert^2\approx0.68\) | \(\bar\nu_3\), \(P_{ee}=\lvert U_{e3}\rvert^2\approx0.02\) |
Так спектр нейтрино сверхновой несёт след порядка масс. Коллективные осцилляции в сверхновой могут его исказить (лекция 30).
Два предела
Солнце: третья мода отщепляется
При \(E\lesssim15\) МэВ в Солнце \(|A_{31}|\lesssim0.1\). Третья мода почти не чувствует вещество, и задача сводится к двум уровням:
\[ \boxed{ P_{ee}^{3\nu} \simeq\sin^4\theta_{13} +\cos^4\theta_{13}\, P_{ee}^{2\nu}\bigl(N_e\cos^2\theta_{13};\ \theta_{12},\ \Delta m^2_{21}\bigr)}. \]
- \(\sin^4\theta_{13}\) приходит от доли \(\nu_3\), которая проходит Солнце без изменений.
- В двухуровневой формуле лекции 13 плотность умножается на \(\cos^2\theta_{13}\approx0.98\).
Земля: нейтрино ГэВ через мантию
При \(E\sim\) ГэВ можно положить \(\Delta m^2_{21}=0\). Остаются два уровня с углом \(\theta_{13}\):
\[ \sin^22\theta_{13}^{m} =\frac{\sin^22\theta_{13}}{(\cos2\theta_{13}-A_{31})^2+\sin^22\theta_{13}}, \qquad P(\nu_\mu\to\nu_e)\simeq\sin^2\theta_{23}\,\sin^22\theta_{13}^{m}\, \sin^2\frac{\Delta m^2_{31,m}L}{4E}, \]
где \(\Delta m^2_{31,m}=\Delta m^2_{31}\sqrt{(\cos2\theta_{13}-A_{31})^2+\sin^22\theta_{13}}\).
Путь \(8000\) км через мантию, \(\rho Y_e=2.15\) г/см³ (PREM), нормальный порядок:
| \(E\), ГэВ | 3 | 6 | 10 |
|---|---|---|---|
| \(P(\nu_\mu\to\nu_e)\) | 0.07 | 0.35 | 0.16 |
| \(P(\bar\nu_\mu\to\bar\nu_e)\) | 0.01 | 0.01 | 0.00 |
В вакууме \(P(\nu_\mu\to\nu_e)\le\sin^2\theta_{23}\sin^22\theta_{13}\approx0.04\). При обратном порядке усиление переходит к антинейтрино. На этом основан поиск порядка масс по атмосферным нейтрино.
CP-асимметрия в веществе
Две причины для \(P\ne\bar P\)
Фаза матрицы смешивания
\[ U\to U^* \quad\Longleftrightarrow\quad \delta_{\rm CP}\to-\delta_{\rm CP}. \]
Фаза входит в лагранжиан. Её измеряют T2K и NOvA, следом придут DUNE и Hyper-K.
Вещество Земли
\[ V\to-V. \]
В Земле есть электроны и нет позитронов. Поэтому среда сама нарушает CP-симметрию.
Асимметрия
\[ \mathcal A_{\rm CP}=\frac{P(\nu_\mu\to\nu_e)-P(\bar\nu_\mu\to\bar\nu_e)} {P(\nu_\mu\to\nu_e)+P(\bar\nu_\mu\to\bar\nu_e)} \]
в веществе отлична от нуля даже при \(\delta_{\rm CP}=0\). Для DUNE (\(L=1300\) км, \(E=2.5\) ГэВ) вещество даёт \(\mathcal A_{\rm CP}\approx\pm0.42\), максимальная CP-фаза в вакууме даёт \(0.32\). Опыты T2K, NOvA и DUNE сравниваются в лекции 24.
Две амплитуды
Канал \(\nu_\mu\to\nu_e\) собирается из «атмосферной» и «солнечной» амплитуд:
\[ \boxed{ P(\nu_\mu\to\nu_e)\simeq \Bigl|\sqrt{P_{\rm atm}}\,e^{-i(\Delta_{32}+\delta_{\rm CP})}+\sqrt{P_{\rm sol}}\Bigr|^2}, \qquad \Delta_{ij}=\frac{\Delta m^2_{ij}L}{4E}, \quad a=\frac V2, \]
\[ \sqrt{P_{\rm atm}}=\sin\theta_{23}\sin2\theta_{13}\, \frac{\sin(\Delta_{31}-aL)}{\Delta_{31}-aL}\,\Delta_{31}, \qquad \sqrt{P_{\rm sol}}=\cos\theta_{23}\sin2\theta_{12}\, \frac{\sin aL}{aL}\,\Delta_{21}. \]
- Для антинейтрино \(a\to-a\) и \(\delta_{\rm CP}\to-\delta_{\rm CP}\).
- Вещество меняет модули амплитуд. Знак эффекта задаёт знак \(\Delta_{31}\).
- Фаза \(\delta_{\rm CP}\) входит только в интерференционный член \(2\sqrt{P_{\rm atm}P_{\rm sol}}\cos(\Delta_{32}+\delta_{\rm CP})\).
Формула верна при \(\sin\theta_{13}\ll1\) и \(\Delta m^2_{21}/\Delta m^2_{31}\ll1\); для T2K, NOvA и DUNE отличие от точного расчёта не больше 3%. H. Nunokawa, S. Parke, J. W. F. Valle, Prog. Part. Nucl. Phys. 60, 338 (2008).
Лаборатория: \(\nu\) и \(\bar\nu\) в веществе
Выберите DUNE и поставьте \(\rho=0\): два эллипса совпадут. Верните плотность и найдите \(\delta_{\rm CP}\), при которых нормальный и обратный порядки дают одну точку \((P,\bar P)\) для T2K. Почему для DUNE такой точки нет?
Солнечные нейтрино ночью
Земля как второй слой вещества
Днём \(^8\)B-нейтрино приходит в детектор почти чистым \(\nu_2\). Ночью оно проходит через Землю, и часть \(\nu_e\) восстанавливается. Для слоя постоянной плотности в двухфлэйворном приближении
\[ \boxed{ P_{2e}^{\oplus} =\sin^2\theta_{12}+ \sin2\theta_{12}^{m}\, \sin\bigl(2\theta_{12}^{m}-2\theta_{12}\bigr)\, \sin^2\!\frac{\Delta_m L}{2}}, \]
где \(\theta_{12}^m\) и \(\Delta_m\) берутся при плотности Земли. Второе слагаемое называют регенерацией. Для \(E\sim10\) МэВ оно положительно, и ночной поток \(\nu_e\) больше дневного на несколько процентов.
Асимметрия день–ночь
Super-Kamiokande определяет асимметрию так:
\[ A_{\rm D/N} =\frac{\Phi_{\rm day}-\Phi_{\rm night}} {\tfrac12(\Phi_{\rm day}+\Phi_{\rm night})}. \]
Регенерация даёт \(A_{\rm D/N}<0\). В литературе встречается и \((N-D)/(N+D)\), поэтому знак без определения сравнивать нельзя.
Фазы I–IV, 5805 суток:
\[ \boxed{ A_{\rm D/N} =-0.0286\pm0.0085_{\rm stat}\pm0.0032_{\rm syst}}, \]
отличие от нуля \(3.2\sigma\).
Super-Kamiokande Collaboration, Phys. Rev. D 109, 092001 (2024). Солнечные данные подробно разобраны в лекции 22.
Итоги модуля
Пять лекций о веществе
- Рассеяние вперёд создаёт потенциал \(V=\sqrt2G_FN_e\), для антинейтрино \(V\to-V\) (лекции 11, 12).
- В слое постоянной плотности смешивание и расщепление заменяются на \(\theta_m\) и \(\Delta_m\). Резонанс наступает при \(A=\cos2\theta\) (лекция 12).
- В плавном профиле состояние следует за своей ветвью. Солнце выпускает \(^8\)B-нейтрино в состоянии \(\nu_2\) (лекция 13).
- Проекция на фиксированное \(\nu_1\) гаснет из-за интерференции амплитуд (лекция 14).
- В трёх флэйворах два резонанса. Знак \(\Delta m^2_{31}\) решает, у \(\nu\) или у \(\bar\nu\) есть H-резонанс, а вещество создаёт CP-асимметрию при \(\delta_{\rm CP}=0\).
К началу модуля: откуда берётся преломление · Предыдущая лекция: интерференция и маятники · Апплет: три флэйвора в веществе
