Осцилляции в веществе. Откуда берётся преломление
Введение в физику нейтрино
ОИЯИ
Свет в прозрачном веществе
Что меняется в стекле?
Пропустим монохроматический свет через прозрачную пластинку. На выходе остаётся свет той же частоты, но меняется его фаза.
- Поле волны заставляет связанные электроны колебаться.
- Колеблющиеся заряды излучают на той же частоте.
- За пластинкой складываются исходное поле и поле, созданное веществом:
\[ E_{\rm out}=E_{\rm in}+E_{\rm atoms}. \]
Из этой суммы и возникает показатель преломления. Сначала рассмотрим настолько тонкий слой, что его вклад мал.
Р. Фейнман. Происхождение показателя преломления, §31.1–31.2.
Один тонкий слой
Пусть слой толщины \(dz\) почти не поглощает свет. Его вторичная волна в направлении вперёд добавляет к исходной малую амплитуду. В выбранном соглашении \(e^{-i\omega t+ikz}\):
\[ E(z+dz)=e^{ikdz}\,[1+i\,d\varphi]\,E(z), \qquad |d\varphi|\ll1. \]
Множитель \(i\) поворачивает комплексную амплитуду на малый угол \(d\varphi\). Частота при прохождении неподвижного слоя сохраняется.
Нам нужна величина \(d\varphi/dz\): добавочная фаза на единицу пути. Её вычислим из волн, испущенных частицами слоя.
Один рассеиватель
Для расчёта фазы достаточно скалярной волновой модели. Вдали от небольшого рассеивателя волна имеет вид
\[ \psi(\mathbf r)=e^{ikz}+f(\vartheta)\frac{e^{ikr}}{r}. \]
- \(e^{ikz}\) — падающая плоская волна;
- \(f(\vartheta)e^{ikr}/r\) — расходящаяся волна;
- \(f(\vartheta)\) — комплексная амплитуда рассеяния, имеющая размерность длины.
Поле света векторное, но для сложения фаз в направлении прохождения скалярной модели хватает.
Почему важна амплитуда вперёд?
Возьмём слой толщины \(dz\) с концентрацией рассеивателей \(\mathcal N\). Точка наблюдения находится на расстоянии \(L\) за слоем. Для рассеивателя на поперечном расстоянии \(b\)
\[ R_b=\sqrt{L^2+b^2}\simeq L+\frac{b^2}{2L}. \]
При большом \(b\) фаза \(e^{ikR_b}\) быстро меняется, и вклады соседних областей гасят друг друга. Остаётся область около направления \(\vartheta=0\). Поэтому в сумме появляется \(f(0)\).
\[ \begin{aligned} d\psi_{\rm sc} &\simeq \mathcal N\,dz\,f(0)\,\frac{e^{ikL}}{L} \int d^2b\,e^{ikb^2/(2L)}\\ &=i\,\frac{2\pi\mathcal N}{k}f(0)\,dz\,e^{ikL}. \end{aligned} \]
Множитель \(L\) от поперечной суммы сокращает \(1/L\) сферической волны: тонкий слой, протяжённый поперёк пучка, создаёт плоскую добавку вперёд.
Много слоёв: однородное вещество
Добавим свободное распространение через \(dz\) к результату предыдущего слайда:
\[ \psi(z+dz)=e^{ikdz} \left[1+i\,\frac{2\pi\mathcal N}{k}f(0)\,dz\right]\psi(z). \]
Разобьём толщу \(D\) на \(M\) слоёв по \(dz=D/M\). Произведение добавочных множителей имеет предел
\[ \left(1+i\,\frac{2\pi\mathcal N f(0)}{k}\frac{D}{M}\right)^M \xrightarrow[M\to\infty]{} \exp\!\left(i\,\frac{2\pi\mathcal N f(0)}{k}D\right). \]
Поэтому в однородной среде
\[ \psi(z)=e^{ik_{\rm med}z}\psi(0), \qquad k_{\rm med}=k+\frac{2\pi\mathcal N}{k}f(0). \]
Определение \(k_{\rm med}=nk\) даёт
\[ \boxed{n=1+\frac{2\pi\mathcal N}{k^2}f(0)}. \]
Экспонента учла все порядки по \(\mathcal N D\), а \(n-1\) найдено в первом порядке по концентрации независимых рассеивателей. В плотном стекле на атом действует ещё поле соседних атомов (формула Лоренц–Лоренца), но смысл \(n\) тот же.
Что сообщает число \(n\)?
В прозрачной среде \(n\) можно считать действительным. Для света \(k=\omega/c\) в вакууме, а внутри вещества \(k_{\rm med}=n\omega/c\). Поэтому
\[ \lambda_{\rm med}=\frac{\lambda_0}{n}, \qquad v_{\rm ph}=\frac{c}{n}, \qquad \Delta\varphi=k(n-1)L. \]
- Частота монохроматической волны сохраняется в неподвижном веществе.
- На длине \(L\) накапливается добавочная фаза \(\Delta\varphi\).
- На границе сред фаза должна совпадать вдоль поверхности. Отсюда \(n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2\).
Так одна величина описывает сдвиг интерференционных полос и преломление луча.
Тонкий слой и накопленная фаза
Добавочная фаза на выходе: 0.75 рад. Частота по обе стороны слоя одинакова.
Если показатель преломления комплексен
Пусть \(n=n_R+i n_I\). Тогда
\[ \psi(z)\propto e^{ikn_Rz}\,e^{-kn_Iz}, \qquad \frac{I(z)}{I(0)}=e^{-2kn_Iz}. \]
Действительная часть \(f(0)\) задаёт фазу, мнимая — ослабление когерентного пучка. Оптическая теорема связывает её с полным сечением:
\[ \sigma_{\rm tot}=\frac{4\pi}{k}\operatorname{Im}f(0) \quad\Longrightarrow\quad \frac{I(z)}{I(0)}=e^{-\mathcal N\sigma_{\rm tot}z}. \]
Среда может почти не поглощать волну и при этом заметно менять её фазу. Для нейтрино это различие окажется решающим.
Две компоненты нейтринной волны
Почему прозрачное Солнце влияет на нейтрино?
Вероятность отдельного столкновения мала.
При упругом рассеянии строго вперёд частица среды остаётся в том же состоянии, а нейтрино сохраняет направление.
Рассеянная вперёд волна когерентно складывается с волной, прошедшей без рассеяния.
Каждая частица среды даёт очень малую добавку к амплитуде. Огромное число таких добавок меняет фазу нейтрино на всём пути.
В обычном веществе электронное нейтрино получает от рассеяния на электронах дополнительный вклад, которого нет у \(\nu_\mu\) и \(\nu_\tau\).
В следующей лекции мы вычислим этот вклад \(V\) из слабого взаимодействия. Для антинейтрино он меняет знак: \(V\to-V\).
Показатель преломления становится матрицей
Пусть \(\Psi=(\psi_e,\psi_x)^{\mathsf T}\), где \(x=\mu\) или \(\tau\).
Для этих двух амплитуд повторим расчёт тонкого слоя с общим опорным волновым числом \(k\simeq E\) в единицах \(\hbar=c=1\):
\[ \Psi(z+dz)=e^{ikdz} \Bigl[\mathbb I+i\,\frac{2\pi}{k}\sum_a\mathcal N_a \mathbf F_a(0)\,dz\Bigr]\Psi(z). \]
- \(\mathbf F_a(0)\) — матрица амплитуд упругого рассеяния вперёд на частицах сорта \(a=e,p,n\) с концентрацией \(\mathcal N_a\). Вклады сортов складываются, и матричный показатель равен
\[ \boxed{\mathbf n=\mathbb I+ \frac{2\pi}{k^2}\sum_a\mathcal N_a\mathbf F_a(0)}. \]
В обычном веществе каждая \(\mathbf F_a(0)\) диагональна во флэйворном базисе: \(\mathbf F_a(0)=\operatorname{diag}(f_{ea}(0),f_{xa}(0))\).
Поэтому \(\nu_e\) и \(\nu_x\) набирают разные фазы, а вакуумное смешивание связывает их при распространении.
Общая фаза и разность фаз
В стационарной среде энергия \(E\) сохраняется, а вещество меняет набег фазы на единицу пути. Поэтому сравниваем волновые числа при фиксированном \(E\).
Добавка вещества к волновым числам во флэйворном базисе:
\[ \delta\mathbf K=k(\mathbf n-\mathbb I)= \begin{pmatrix}\delta k_e&0\\0&\delta k_x\end{pmatrix} =\delta k_x\mathbb I+ \begin{pmatrix}\delta k_e-\delta k_x&0\\0&0\end{pmatrix}. \]
Первое слагаемое умножает всю волну на общую фазу и выпадает из вероятностей.
Второе различает \(\nu_e\) и \(\nu_x\).
При \(k\simeq E\) то же можно записать через показатели преломления: \(n_e-n_x=(\delta k_e-\delta k_x)/k\).
В стекле \(n>1\), а для \(\nu_e\) на электронах \(\operatorname{Re}f_{ee}(0)<0\): в лекции 12 получим \(n_e-n_x=-V/E<0\), где \(V=\sqrt2\,G_FN_e\).
Какие волны распространяются в веществе?
В вакууме собственные волны — массовые состояния \(\nu_1,\nu_2\).
Вещество различает флэйворы, поэтому в общем случае его собственные волны не совпадают с вакуумными.
При фиксированной энергии и постоянной плотности обозначим собственные волны вещества через \(\mathbf v_1,\mathbf v_2\), а их волновые числа через \(k_{1m},k_{2m}\).
Ещё не вычисляя этих величин, можно записать прошедшую волну:
\[ \Psi(L)=a_1\mathbf v_1e^{ik_{1m}L} +a_2\mathbf v_2e^{ik_{2m}L}. \]
При регистрации складываются две амплитуды. Результат интерференции задаёт относительная фаза
\[ \Delta\varphi=(k_{2m}-k_{1m})L. \]
Общий сдвиг обоих волновых чисел на вероятности не влияет.
Две волны и один детектор
Вклады волн: \(-\sin\theta_m\cos\theta_m\) (1) и \(\sin\theta_m\cos\theta_m\,e^{i\Delta\varphi}\) (2); длина стрелок 0.433, вероятность \(|A|^2=\) 0.596.
Здесь \(\theta_m\) и \(k_{2m}-k_{1m}\) заданы вручную; в лекции 12 мы их вычислим. Общий множитель \(e^{ik_{1m}L}\) вынесен, поэтому при \(\Delta\varphi=0\) стрелки 1 и 2 сокращаются. Открыть апплет отдельно.
Что уже следует из этой картины
Пусть флэйворный базис повёрнут относительно базиса собственных волн на угол \(\theta_m\). Сложение двух амплитуд даёт
\[ P_{e\to x}= \sin^2 2\theta_m\, \sin^2\!\frac{(k_{2m}-k_{1m})L}{2}. \]
- При одинаковых волновых числах относительная фаза не набегает.
- При \(\theta_m=0\) электронный флэйвор сам становится собственной волной.
- В веществе меняются и угол между базисами, и разность волновых чисел.
Обе величины вычислим в лекции 12, а медленно меняющуюся плотность рассмотрим в лекции 13.
