Осцилляции в веществе. Откуда берётся преломление
Введение в физику нейтрино
ОИЯИ
Влияет ли вещество на осцилляции нейтрино?
Нейтрино взаимодействует очень слабо
- Длина взаимодействия нейтрино с энергией \(E_\nu=1\) МэВ в веществе Солнца порядка двух миллиардов солнечных диаметров.
- Солнце практически прозрачно для нейтрино
- Неужели вещество может влиять на осцилляции нейтрино?!
- Да, может! Об этом мы и поговорим в этой и следующих лекциях.
Свет в прозрачной среде
- Свет в прозрачной среде почти не поглощается, но его фазовая скорость меняется.
- Вещество действует на свет через когерентное рассеяние вперёд на атомах.
- В результате волна света приобретает новую фазу.
- Вещество действует на нейтрино очень похоже, через когерентное рассеяние вперёд на электронах.
Понимаете ли вы причину преломления света в стекле?
От вакуума к веществу
Главная идея
В вакууме состояния с определённой фазовой скоростью — массовые:
\[ |\nu_1\rangle,\qquad |\nu_2\rangle. \]
В веществе электронное нейтрино испытывает дополнительное когерентное рассеяние вперёд. Гамильтониан меняется, а его собственными векторами становятся новые волны:
\[ |\nu_{1m}\rangle,\qquad |\nu_{2m}\rangle. \]
MSW-эффект начинается не с поглощения, а с когерентного изменения собственных мод.
Маршрут лекции
- Просуммируем исходную и когерентно рассеянную вперёд волны.
- Получим показатель преломления через \(f(0)\).
- Заменим число \(n\) на матрицу для двух нейтрино.
- Свяжем \(f(0)\) с эффективным взаимодействием в веществе.
- Вычислим \(V_e=\sqrt2G_FN_e\).
- Разберём нейтральный и заряженный токи.
- Запишем один гамильтониан во флэйворном базисе.
- Перейдём в вакуумный массовый базис.
- Найдём собственные состояния вещества.
- Диагонализуем гамильтониан при \(N_e=\mathrm{const}\).
- Получим точный пропагатор и вероятность.
- Проверим все режимы в интерактивной лаборатории.
Среда как показатель преломления
Главная идея
Среда меняет волну не только через редкие реальные столкновения.
В направлении вперёд складываются амплитуды
- исходной волны;
- волн, когерентно рассеянных на частицах среды.
Результат — не отклонение траектории, а накопление фазы:
\[ \psi(z)\propto e^{iknz}. \]
фаза меняется
Показатель преломления — это макроскопическая запись когерентного рассеяния вперёд.
Один рассеиватель
Для падающей плоской волны вдали от локализованного рассеивателя:
\[ \psi(\mathbf r)=e^{ikz}+f(\theta)\frac{e^{ikr}}{r}, \qquad \frac{d\sigma}{d\Omega}=|f(\theta)|^2. \]
Здесь \(e^{ikz}\) — исходная волна, а \(f(\theta)e^{ikr}/r\) — сферическая рассеянная волна.
Для показателя преломления нас интересует направление вперёд:
\[ \theta\to 0. \]
Именно там конечное состояние неотличимо от «нейтрино просто прошло дальше».
Среда действует на проходящую волну через амплитуду рассеяния вперёд
\[ \boxed{f(0)}. \]
Для преломления ключевой объект — не всё \(f(\theta)\), а именно амплитуда вперёд \(f(0)\).
Тонкий слой вещества
Пусть слой толщины \(dz\) расположен при \(z=0\), а точка наблюдения — на оси на расстоянии \(L\).
Рассеиватель находится на поперечном расстоянии \(b\) от оси. Тогда его вклад
\[ d\psi_{\rm sc}(L)= \mathcal N\,dz\,d^2b\; f(\theta_b)\frac{e^{ikR_b}}{R_b}, \]
где
\[ R_b=\sqrt{L^2+b^2}, \qquad \theta_b\simeq \frac{b}{L}. \]
В направлении вперёд существенны только малые \(b\): при больших \(b\) фаза быстро осциллирует, и вклады взаимно сокращаются.
Поэтому можно писать
\[ R_b\simeq L+\frac{b^2}{2L}, \qquad f(\theta_b)\simeq f(0). \]
Тогда
\[ d\psi_{\rm sc}(L) \simeq \mathcal N\,dz\,f(0)\frac{e^{ikL}}{L} \int d^2b\,e^{ikb^2/(2L)}. \]
Френелевский интеграл даёт
\[ \int d^2b\,e^{ikb^2/(2L)}=\frac{2\pi iL}{k}, \]
и потому
\[ \boxed{d\psi_{\rm sc}(L)=i\frac{2\pi\mathcal N}{k}f(0)\,dz\,e^{ikL}}. \]
Тонкий слой добавляет к проходящей волне малую добавку, пропорциональную \(f(0)\,dz\).
Как возникает показатель преломления
После прохождения тонкого слоя
\[ \psi(z+dz)=e^{ikdz}\left[1+i\frac{2\pi\mathcal N}{k}f(0)\,dz\right]\psi(z). \]
В первом порядке по \(dz\)
\[ \psi(z+dz)= \exp\!\left[i\left(k+\frac{2\pi\mathcal N}{k}f(0)\right)dz\right]\psi(z). \]
Следовательно,
\[ k_{\rm med}=k+\frac{2\pi\mathcal N}{k}f(0). \]
Если определить \(k_{\rm med}=nk\), то
\[ \boxed{n=1+\frac{2\pi\mathcal N}{k^2}f(0)}. \]
Вместо вакуумной волны
\[ \psi_{\rm vac}(z,t)=A e^{-iEt+ikz} \]
получаем
\[ \boxed{\psi_{\rm med}(z,t)=A e^{-iEt+inkz}}. \]
Если \(f(0)\) комплексна, то и \(n=n_R+i n_I\).
Тогда
\[ \psi_{\rm med}\propto e^{ikn_Rz}e^{-kn_Iz}. \]
- \(\Re f(0)\) меняет фазу;
- \(\Im f(0)\) отвечает за ослабление пучка.
Среда заменяет \(e^{ikz}\) на \(e^{inkz}\): именно так волна чувствует вещество.
Если нейтрино два
Теперь волна двухкомпонентная:
\[ \Psi(z)= \begin{pmatrix} \psi_e(z)\\ \psi_x(z) \end{pmatrix}. \]
И амплитуда рассеяния вперёд тоже становится матрицей:
\[ \mathbf F(0)= \begin{pmatrix} f_{ee}(0) & f_{ex}(0)\\ f_{xe}(0) & f_{xx}(0) \end{pmatrix}. \]
Для двух состояний показатель преломления перестаёт быть числом: он становится матрицей.
Матричный показатель преломления
Для тонкого слоя
\[ \Psi(z+dz)=e^{ikdz}\left[\mathbb I+i\frac{2\pi\mathcal N}{k}\mathbf F(0)\,dz\right]\Psi(z). \]
Значит,
\[ \boxed{\mathbf n=\mathbb I+\frac{2\pi\mathcal N}{k^2}\mathbf F(0)}. \]
Вместо одной фазы появляются две связанные возможности:
- среда даёт разные фазы разным компонентам;
- собственные волны среды могут быть смесями \(\nu_e\) и \(\nu_x\).
В однородном веществе
\[ \boxed{\Psi(z)=e^{ik\mathbf n z}\Psi(0)}. \]
Если
\[ \mathbf n\,\mathbf v_\pm=n_\pm\mathbf v_\pm, \]
то
\[ \Psi_\pm(z)=\mathbf v_\pm e^{ikn_\pm z}. \]
Осцилляции в веществе — это биения двух нормальных волн с разными показателями преломления.
Какое уравнение надо решать?
Самая прямая запись — матричное волновое уравнение
\[ \boxed{\left[\frac{d^2}{dz^2}+\mathbf K^2(z)\right]\Psi(z)=0}. \]
Это точный аналог уравнения для света в среде, только волна двухкомпонентная.
\[ \boxed{\mathbf K^2(z)=U \begin{pmatrix} k_1^2&0\\ 0&k_2^2 \end{pmatrix} U^\dagger +4\pi\sum_s \mathcal N_s(z)\,\mathbf F_s(0)}. \]
Первое слагаемое описывает вакуумные моды, второе — когерентное рассеяние вперёд в среде.
- у вакуума свои нормальные моды: \(\nu_1,\nu_2\);
- у среды свои «оптические оси»;
- если эти базисы не совпадают, аромат не сохраняется при распространении.
При постоянной плотности надо диагонализовать \(\mathbf K^2\).
При медленно меняющейся плотности — отслеживать локальные собственные волны от слоя к слою.
MSW-эффект можно понимать как распространение двух волн в среде с матричным показателем преломления.
