Осцилляции в веществе. Постоянная плотность
Введение в физику нейтрино
ОИЯИ
Потенциал вещества
Что осталось вычислить
В лекции 11 волна в веществе была разложена по двум собственным волнам вещества. Вероятность перехода
\[ P_{e\to x}=\sin^22\theta_m\, \sin^2\!\frac{(k_{2m}-k_{1m})L}{2}. \]
Угол \(\theta_m\) и разность волновых чисел там задавались вручную.
- Сначала найдём из слабого взаимодействия, чем \(\nu_e\) отличается в обычном веществе от \(\nu_\mu\) и \(\nu_\tau\).
- Затем диагонализуем гамильтониан \(2\times2\) и получим точное решение для слоя постоянной плотности.
\(\hbar=c=1\). Два флэйвора: \(\nu_e\) и \(\nu_x\), где \(x=\mu\) или \(\tau\).
Заряженный ток
При \(E\ll m_W\) обмен \(W\)-бозоном между \(\nu_e\) и электроном сводится к четырёхфермионному взаимодействию. После перестановки Фирца
\[ \mathcal L_{\rm CC} =-\frac{G_F}{\sqrt{2}} \bigl[\bar\nu_e\gamma_\mu(1-\gamma^5)\nu_e\bigr] \bigl[\bar e\gamma^\mu(1-\gamma^5)e\bigr]. \]
При рассеянии вперёд электрон остаётся в прежнем состоянии, и электронный ток заменяется средним по веществу. В покоящемся веществе с неполяризованными электронами
\[ \langle\bar e\gamma^i e\rangle=0, \qquad \langle\bar e\gamma^\mu\gamma^5e\rangle=0, \qquad \langle\bar e\gamma^0e\rangle=N_e, \]
\[ \mathcal H_{\rm CC}=-\mathcal L_{\rm CC} =\frac{G_F}{\sqrt2}N_e\,\bar\nu_e\gamma^0(1-\gamma^5)\nu_e =\sqrt2\,G_FN_e\,\nu_{eL}^\dagger\nu_{eL}. \]
Левое электронное нейтрино получает добавку к энергии \(\boxed{V_{\rm CC}=\sqrt2\,G_FN_e}\).
Нейтральный ток и общая фаза
Обмен \(Z\)-бозоном одинаков для \(\nu_e\), \(\nu_\mu\) и \(\nu_\tau\). В нейтральном веществе вклады электронов и протонов сокращаются, остаются нейтроны:
\[ V_{\rm NC}=-\frac{G_F}{\sqrt2}N_n, \qquad H_{\rm mat}=V_{\rm NC}\,\mathbb I+ \begin{pmatrix}V_{\rm CC}&0\\0&0\end{pmatrix}. \]
Слагаемое с \(\mathbb I\) коммутирует с любым гамильтонианом и умножает состояние на общий множитель \(\exp\bigl(-i\int_0^L V_{\rm NC}\,dx\bigr)\). Вероятности от него не зависят. По той же причине из гамильтониана можно убрать любую часть, пропорциональную \(\mathbb I\).
Для осцилляций активных нейтрино остаётся
\[ \boxed{V\equiv V_{\rm CC}=\sqrt2\,G_FN_e}. \]
При переходе в стерильное нейтрино \(V_{\rm NC}\) уже не общий для двух состояний и остаётся в гамильтониане. Нейтральный ток взят в древесном приближении. Петлевые поправки различают \(\nu_\mu\) и \(\nu_\tau\), но малы: \(V_{\mu\tau}\approx5\cdot10^{-5}\,V_{\rm CC}\) при \(N_n\approx N_p\). Здесь они не нужны. F. J. Botella, C. S. Lim, W. J. Marciano, Phys. Rev. D 35, 896 (1987).
Величина потенциала
Электронная плотность \(N_e=Y_e\rho/m_N\), где \(Y_e\) — число электронов на нуклон. Численно
\[ \boxed{V=7.63\times10^{-14}\ \mathrm{эВ}\cdot Y_e\, \frac{\rho}{\mathrm{г/см^3}}}. \]
Сравним потенциал с вакуумным расщеплением \(\Delta\equiv\Delta m^2/2E\):
\[ \boxed{A\equiv\frac{V}{\Delta}=\frac{2EV}{\Delta m^2}}, \qquad 2EV=1.53\times10^{-4}\ \mathrm{эВ^2}\cdot Y_e\,\frac{\rho}{\mathrm{г/см^3}}\,\frac{E}{\mathrm{ГэВ}}. \]
- Центр Солнца, \(\rho Y_e\approx100\ \mathrm{г/см^3}\), \(E=10\) МэВ: \(A\approx2\) для \(\Delta m^2_{21}=7.537\times10^{-5}\ \mathrm{эВ^2}\).
- Мантия Земли, \(\rho Y_e\approx2.2\ \mathrm{г/см^3}\), \(E=1\) ГэВ: \(A\approx0.13\) для \(\Delta m^2_{31}=2.5\times10^{-3}\ \mathrm{эВ^2}\).
Одна и та же среда сильнее действует на нейтрино большей энергии. Для антинейтрино амплитуда рассеяния вперёд меняет знак: \(\bar V=-V\), \(\bar A=-A\).
Гамильтониан и собственные волны
Уравнение распространения
При фиксированной энергии волновое число собственной волны равно \(k=E-\lambda\). Здесь \(\lambda\) — собственное значение гамильтониана в уравнении
\[ i\frac{d\psi_f}{dx}=H_f'\,\psi_f, \qquad \psi_f=\binom{a_e}{a_x}, \qquad \psi_f=U(\theta)\,\psi_m, \qquad U(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}. \]
Вакуумная часть \(U(\theta)\,\tfrac12\operatorname{diag}(-\Delta,\Delta)\,U^T(\theta)\) и потенциал \(\operatorname{diag}(V,0)\) без общей фазы дают
\[ H_f'= \underbrace{\frac{\Delta}{2} \begin{pmatrix}-\cos2\theta&\sin2\theta\\\sin2\theta&\cos2\theta\end{pmatrix}} _{\textstyle\text{вакуум смешивает флэйворы}} + \underbrace{\frac V2\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}} _{\textstyle\text{вещество различает флэйворы}} \]
\[ \boxed{ H_f'=\frac12 \begin{pmatrix} V-\Delta\cos2\theta&\Delta\sin2\theta\\ \Delta\sin2\theta&\Delta\cos2\theta-V \end{pmatrix}}. \]
Тот же гамильтониан в массовом базисе
Перейдём к вакуумным массовым состояниям: \(H_m'=U^T(\theta)\,H_f'\,U(\theta)\).
\[ H_m'= \underbrace{\frac12\begin{pmatrix}-\Delta&0\\0&\Delta\end{pmatrix}} _{\textstyle\text{свободные волны}} + \underbrace{\frac V2 \begin{pmatrix}\cos2\theta&\sin2\theta\\\sin2\theta&-\cos2\theta\end{pmatrix}} _{\textstyle\text{вещество связывает }\nu_1,\,\nu_2} \]
- В вакууме \(\nu_1\) и \(\nu_2\) распространяются независимо.
- В веществе внедиагональный элемент \(\tfrac12V\sin2\theta\) связывает их. Поэтому \(\nu_1\) и \(\nu_2\) перестают быть собственными волнами.
Собственные волны вещества приходится искать заново. Обозначим их \(\nu_{1m}\) и \(\nu_{2m}\).
Собственные значения
Уравнение \(\det(H_f'-\lambda\mathbb I)=0\) даёт \(\lambda_\pm=\pm\Delta_m/2\), где
\[ \boxed{\Delta_m= \sqrt{(\Delta\cos2\theta-V)^2+(\Delta\sin2\theta)^2}=\Delta R}, \qquad R\equiv\sqrt{(\cos2\theta-A)^2+\sin^22\theta}. \]
Разность волновых чисел двух собственных волн равна разности собственных значений:
\[ |k_{2m}-k_{1m}|=\Delta_m. \]
При \(V=0\) получаем \(R=1\) и \(\Delta_m=\Delta=\Delta m^2/2E\), как в вакууме. Наименьшее значение \(\Delta_m=\Delta\sin2\theta\) достигается при \(A=\cos2\theta\).
Угол смешивания в веществе
Запишем \(H_f'\) в виде поворота диагональной матрицы:
\[ H_f'=U(\theta_m)\, \frac12\begin{pmatrix}-\Delta_m&0\\0&\Delta_m\end{pmatrix} U^T(\theta_m), \qquad 0\le\theta_m\le\frac\pi2. \]
Сравнение элементов матриц даёт
\[ \boxed{\sin2\theta_m=\frac{\sin2\theta}{R}, \qquad \cos2\theta_m=\frac{\cos2\theta-A}{R}}, \qquad \tan2\theta_m=\frac{\sin2\theta}{\cos2\theta-A}. \]
Тангенс не различает \(\theta_m\) и \(\theta_m+\pi/2\). В расчётах \(2\theta_m=\operatorname{atan2}(\sin2\theta,\ \cos2\theta-A)\).
Собственные волны вещества:
\[ |\nu_e\rangle=\cos\theta_m|\nu_{1m}\rangle+\sin\theta_m|\nu_{2m}\rangle, \qquad |\nu_x\rangle=-\sin\theta_m|\nu_{1m}\rangle+\cos\theta_m|\nu_{2m}\rangle. \]
Три базиса одной задачи
- Флэйворные состояния \(\nu_e,\nu_x\) рождаются и регистрируются.
- Массовые состояния \(\nu_1,\nu_2\) распространяются в вакууме. С флэйворным базисом их связывает угол \(\theta\).
- Собственные волны вещества \(\nu_{1m},\nu_{2m}\) распространяются в однородной среде. С флэйворным базисом их связывает угол \(\theta_m\).
Из \(\psi_f=U(\theta)\psi_m=U(\theta_m)\psi_{\rm mat}\) следует \(\psi_m=U(\alpha)\psi_{\rm mat}\), \(\alpha\equiv\theta_m-\theta\):
\[ |\nu_{2m}\rangle=\sin\alpha\,|\nu_1\rangle+\cos\alpha\,|\nu_2\rangle. \]
При \(V\to0\) получаем \(\theta_m\to\theta\) и \(\nu_{im}\to\nu_i\). При \(A\gg1\) получаем \(\theta_m\to\pi/2\) и \(\nu_{2m}\to\nu_e\). Оба предела понадобятся в лекции 13 для нейтрино, выходящих из Солнца.
Слой постоянной плотности
Решение для начального \(\nu_e\)
При постоянной плотности \(\nu_{1m}\) и \(\nu_{2m}\) — стационарные волны:
\[ b_1(L)=e^{+i\phi_m}b_1(0), \qquad b_2(L)=e^{-i\phi_m}b_2(0), \qquad \phi_m\equiv\frac{\Delta_mL}{2}. \]
Начальное \(\nu_e\) задаёт \(b_1(0)=\cos\theta_m\), \(b_2(0)=\sin\theta_m\). Проецируем на \(\nu_x\):
\[ \mathcal A_{e\to x} =-\sin\theta_m\cos\theta_m\,e^{+i\phi_m} +\cos\theta_m\sin\theta_m\,e^{-i\phi_m} =-i\sin2\theta_m\sin\phi_m. \]
\[ \boxed{ P_{e\to x}(L)=\sin^22\theta_m\, \sin^2\!\frac{\Delta_mL}{2}}, \qquad P_{e\to e}=1-P_{e\to x}. \]
Это формула лекции 11. Теперь \(\theta_m\) и \(k_{2m}-k_{1m}\) выражены через \(\theta\), \(\Delta m^2\), \(E\) и \(N_e\).
Амплитуда и длина осцилляций
Через \(A=2EV/\Delta m^2\):
\[ \boxed{ P_{e\to x}= \frac{\sin^22\theta} {(\cos2\theta-A)^2+\sin^22\theta}\, \sin^2\!\left[ \frac{\Delta m^2L}{4E} \sqrt{(\cos2\theta-A)^2+\sin^22\theta} \right]}. \]
Длина осцилляций в веществе
\[ \boxed{L_m=\frac{2\pi}{\Delta_m}=\frac{L_{\rm vac}}{R}}, \qquad L_{\rm vac}=\frac{4\pi E}{\Delta m^2}. \]
Вещество меняет и высоту максимумов \(\sin^22\theta_m\), и период \(L_m\). При \(A=\cos2\theta\) высота максимумов равна единице, а период \(L_{\rm vac}/\sin2\theta\) наибольший.
Пропагатор слоя
Бесследовый гамильтониан пропорционален матрицам Паули:
\[ H_f'=\frac{\Delta_m}{2}\,\mathbf n\boldsymbol\sigma, \qquad \mathbf n=(\sin2\theta_m,\ 0,\ -\cos2\theta_m), \qquad (\mathbf n\boldsymbol\sigma)^2=\mathbb I. \]
Ряд экспоненты разделяется на чётные и нечётные степени:
\[ \boxed{ S(L)=e^{-iH_f'L}=\cos\phi_m\,\mathbb I-i\sin\phi_m\,\mathbf n\boldsymbol\sigma =\begin{pmatrix} \cos\phi_m+i\cos2\theta_m\sin\phi_m &-i\sin2\theta_m\sin\phi_m\\ -i\sin2\theta_m\sin\phi_m &\cos\phi_m-i\cos2\theta_m\sin\phi_m \end{pmatrix}}. \]
Для любого входного состояния \(\psi_f(L)=S(L)\,\psi_f(0)\). Проверки: \(S(0)=\mathbb I\), \(S^\dagger S=\mathbb I\), \(\det S=1\), при \(V\to0\) получается вакуумный пропагатор.
Резонанс
MSW-резонанс
Диагональные элементы \(H_f'\) обращаются в нуль при
\[ \boxed{A_{\rm res}=\cos2\theta}, \qquad \theta_m=45^\circ, \qquad \sin^22\theta_m=1, \qquad \boxed{N_{e,\rm res}=\frac{\Delta m^2\cos2\theta}{2\sqrt2\,G_FE}}. \]
Для солнечных параметров NuFIT 6.1 (\(\sin^2\theta_{12}=0.3088\), \(\Delta m^2_{21}=7.537\times10^{-5}\ \mathrm{эВ^2}\)) резонанс приходится на \(\rho Y_e\approx19\ \mathrm{г/см^3}\cdot(10\ \text{МэВ}/E)\). В центре Солнца \(\rho Y_e\approx100\ \mathrm{г/см^3}\), поэтому резонанс внутри Солнца есть при \(E\gtrsim1.9\) МэВ.
Плотность положительна, и резонанс возможен только при
\[ \boxed{V\,\Delta m^2\cos2\theta>0}. \]
В солнечном секторе его испытывают нейтрино, а антинейтрино нет. Для \(\Delta m^2_{31}\) резонанс испытывают нейтрино при нормальном порядке масс и антинейтрино при обратном. Так вещество позволяет измерить знак \(\Delta m^2\).
В однородном слое резонанс делает максимальной амплитуду. Для полного перехода нужна ещё фаза \(\Delta_mL/2=\pi/2\). Переход в плавно меняющейся плотности устроен иначе (лекция 13).
Режимы постоянной плотности
| Режим | \(A\) | \(\theta_m\) | \(\sin^22\theta_m\) | \(L_m/L_{\rm vac}\) |
|---|---|---|---|---|
| вакуум | \(0\) | \(\theta\) | \(\sin^22\theta\) | \(1\) |
| резонанс | \(\cos2\theta\) | \(45^\circ\) | \(1\) | \(1/\sin2\theta\) |
| высокая плотность | \(A\gg1\) | \(\to90^\circ\) | \(\approx\sin^22\theta/A^2\) | \(\approx1/A\) |
| антинейтрино, \(\Delta m^2>0\) | \(A<0\) | \(<\theta\) | \(<\sin^22\theta\) | \(<1\) |
Далеко за резонансом \(\nu_e\) почти совпадает с собственной волной \(\nu_{2m}\). Высокая плотность подавляет переход, хотя потенциал велик.
Избегаемое пересечение уровней
Без смешивания, \(\sin2\theta=0\), уровни \(\nu_e\) и \(\nu_x\)
\[ \lambda_{e,x}=\pm\frac\Delta2\,(A-\cos2\theta) \]
пересекались бы при \(A=\cos2\theta\). Смешивание оставляет между уровнями \(\pm\Delta_m/2\) зазор не меньше
\[ \boxed{\Delta_{m,\min}=\Delta\sin2\theta}. \]
Верхний уровень \(\nu_{2m}\) при \(A\ll\cos2\theta\) состоит в основном из \(\nu_x\), а при \(A\gg\cos2\theta\) почти совпадает с \(\nu_e\). Состав меняется в полосе \(|A-\cos2\theta|\lesssim\sin2\theta\) около резонанса.
В лекции 13 плотность будет меняться вдоль пути. Нейтрино, рождённое в центре Солнца на верхнем уровне, сможет пройти эту полосу, оставаясь на нём.
Лаборатория одного слоя
«Вакуум»: синяя кривая совпадает с пунктирной. «Резонанс»: огибающая поднимается до единицы, а период растёт в \(1/\sin2\theta\) раз. \(A\gg1\) и «антинейтрино»: переход подавлен, период короче вакуумного. Открыть апплет отдельно.
Несколько слоёв
Кусочно-постоянный профиль
Для последовательности однородных слоёв пропагаторы перемножаются:
\[ S_{\rm total}=S_N\cdots S_2S_1, \qquad S_k=U(\theta_{m,k}) \begin{pmatrix}e^{+i\phi_k}&0\\0&e^{-i\phi_k}\end{pmatrix} U^T(\theta_{m,k}). \]
Порядок слоёв важен: при \(A_1\ne A_2\) гамильтонианы слоёв не коммутируют. Так считают прохождение нейтрино через мантию и ядро Земли.
Пусть каждый слой длится полпериода своей осцилляции, \(\phi_k=\pi/2\). Тогда \(S_k=-i\,\mathbf n_k\boldsymbol\sigma\), и пара слоёв даёт поворот
\[ S_2S_1=-(\mathbf n_2\boldsymbol\sigma)(\mathbf n_1\boldsymbol\sigma) =-U(\beta), \qquad \beta=2(\theta_{m2}-\theta_{m1}). \]
После \(N\) пар слоёв
\[ \boxed{P_{e\to x}=\sin^2\bigl[2N(\theta_{m2}-\theta_{m1})\bigr]}. \]
Параметрическое усиление
\(\theta=8^\circ\), \(A_1=1.6\), \(A_2=4.0\), обе среды выше резонанса. По отдельности они дают \(P_{e\to x}\le0.16\) и \(P_{e\to x}\le0.01\), среда средней плотности \(P_{e\to x}\le0.06\). Полупериодные слои отражают состояние относительно своих осей \(\nu_{2m}\), и за пять пар слоёв \(\nu_e\) полностью переходит в \(\nu_x\). Параметрическое усиление в Земле: E. Kh. Akhmedov, Nucl. Phys. B 538, 25 (1999); S. T. Petcov, Phys. Lett. B 434, 321 (1998).
Итоги
Что получено
\[ N_e\ \longrightarrow\ V=\sqrt2\,G_FN_e \ \longrightarrow\ H_f' \ \longrightarrow\ (\theta_m,\ \Delta_m) \ \longrightarrow\ S(L)=e^{-iH_f'L}. \]
- В обычном веществе флэйворы различает только заряженный ток на электронах. Нейтральный ток даёт общую фазу.
- Режим задаёт \(A=2EV/\Delta m^2\). Вещество меняет амплитуду \(\sin^22\theta_m\) и длину осцилляций \(L_m=L_{\rm vac}/R\).
- При \(A=\cos2\theta\) смешивание максимально. Резонанс есть, если \(V\Delta m^2\cos2\theta>0\).
- Слой постоянной плотности решается точно, слоистая среда описывается произведением матриц слоёв.
В лекции 13 плотность будет меняться плавно, и вместе с ней будут поворачиваться собственные волны вещества.
