Осцилляции в веществе. Постоянная плотность
Введение в физику нейтрино
ОИЯИ
От вакуума к веществу
Главная идея
В вакууме состояния с определённой фазовой скоростью — массовые:
\[ |\nu_1\rangle,\qquad |\nu_2\rangle. \]
В веществе электронное нейтрино испытывает дополнительное когерентное рассеяние вперёд. Гамильтониан меняется, а его собственными векторами становятся новые волны:
\[ |\nu_{1m}\rangle,\qquad |\nu_{2m}\rangle. \]
MSW-эффект начинается не с поглощения, а с когерентного изменения собственных мод.
Маршрут лекции
- Отделим рассеяние вперёд от обычного рассеяния.
- Вычислим \(V_e=\sqrt2G_FN_e\).
- Разберём нейтральный и заряженный токи.
- Запишем один гамильтониан во флэйворном базисе.
- Перейдём в вакуумный массовый базис.
- Найдём собственные состояния вещества.
- Диагонализуем гамильтониан при \(N_e=\mathrm{const}\).
- Получим точный пропагатор и вероятность.
- Проверим все режимы в интерактивной лаборатории.
Потенциал вещества
Что значит «рассеяние вперёд»?
В обычном рассеянии частица меняет импульс, а среда получает отдачу.
В когерентном рассеянии вперёд:
\[ \mathbf q=\mathbf p_{\rm out}-\mathbf p_{\rm in}=0, \]
различить отдельный атом невозможно. Амплитуды рассеяния на всех частицах среды складываются до возведения в квадрат.
Результат — не столкновения, а изменение дисперсионного соотношения:
\[ E\simeq p+\frac{m^2}{2E}+V. \]
фаза меняется
Потенциал вещества — действительная часть когерентной амплитуды вперёд, усреднённой по среде.
Низкоэнергетическое взаимодействие
При \(E\ll m_W\) обмен \(W\) заменяется локальным взаимодействием Ферми:
\[ \mathcal L_{\rm CC}^{\nu_e e} =-\frac{G_F}{\sqrt{2}} \bigl[\bar e\gamma_\mu(1-\gamma^5)\nu_e\bigr] \bigl[\bar\nu_e\gamma^\mu(1-\gamma^5)e\bigr]. \]
После перестановки Фирца ток нейтрино умножается на электронный ток:
\[ \mathcal L_{\rm CC}^{\nu_e e} =-\frac{G_F}{\sqrt{2}} \bigl[\bar\nu_e\gamma_\mu(1-\gamma^5)\nu_e\bigr] \bigl[\bar e\gamma^\mu(1-\gamma^5)e\bigr]. \]
Пусть вещество электрически нейтрально, неполяризовано и покоится. Пространственный и аксиальный токи в среднем исчезают:
\[ \langle\bar e\gamma^i e\rangle=0, \qquad \langle\bar e\gamma^\mu\gamma^5e\rangle=0. \]
Остаётся только плотность электронов:
\[ \boxed{\langle\bar e\gamma^0e\rangle=N_e}. \]
Поэтому среда действует как однородное классическое поле для \(\nu_e\).
Матричный элемент эффективного гамильтониана равен
\[ \boxed{V_{\rm CC}=\sqrt{2}\,G_FN_e}. \]
Он есть только у электронного флэйвора:
\[ H_{\rm CC}^{(f)}= \begin{pmatrix}V_{\rm CC}&0\\0&0\end{pmatrix}_{(\nu_e,\nu_x)}. \]
Это и есть флэйворная асимметрия, способная изменить осцилляции.
Все активные флэйворы одинаково рассеиваются через \(Z\). В обычном электронно-ядерном веществе электронный и протонный вклады в векторный ток взаимно сокращаются, а нейтроны дают
\[ V_{\rm NC}=-\frac{G_F}{\sqrt{2}}N_n. \]
Для активной пары \((\nu_e,\nu_\mu)\) или \((\nu_e,\nu_\tau)\):
\[ H_{\rm mat}^{(f)}= V_{\rm NC}\,\mathbb I+ \begin{pmatrix}V_{\rm CC}&0\\0&0\end{pmatrix}. \]
Слагаемое \(V_{\rm NC}\mathbb I\) умножает всё состояние на общую фазу:
\[ e^{-iV_{\rm NC}L}\,|\psi(L)\rangle. \]
Оно не меняет флэйворные вероятности, поэтому для осцилляций активных нейтрино можно оставить только
\[ \boxed{V\equiv V_{\rm CC}=\sqrt{2}G_FN_e}. \]
Для перехода в стерильное состояние нейтральный ток уже не общий и должен быть сохранён.
Размер эффекта
Если массовая плотность вещества равна \(\rho\), а электронная доля
\[ Y_e\equiv\frac{N_e}{N_p+N_n}, \]
то
\[ N_e=Y_e\,\frac{\rho}{m_N}. \]
Удобная численная формула:
\[ \boxed{ V=7.63\times10^{-14}\ {\rm eV}\; Y_e\frac{\rho}{\mathrm{g\,cm^{-3}}} }. \]
Вакуумную фазу задаёт
\[ \Delta\equiv\frac{\Delta m^2}{2E}. \]
Поэтому естественный безразмерный параметр вещества
\[ \boxed{A\equiv\frac{V}{\Delta}=\frac{2EV}{\Delta m^2}}. \]
Именно \(A\), а не одна плотность, определяет режим: одна и та же среда сильнее действует на более энергичные нейтрино.
\[ \boxed{ 2EV=1.526\times10^{-4}\ {\rm eV^2}\; Y_e\frac{\rho}{\mathrm{g\,cm^{-3}}} \frac{E}{\mathrm{GeV}} }. \]
Для солнечного нейтрино \(E=10\) MeV при \(\rho=100\ \mathrm{g\,cm^{-3}}\), \(Y_e=0.7\):
\[ 2EV\simeq1.1\times10^{-4}\ \mathrm{eV^2}, \]
что сравнимо с \(\Delta m^2_{21}\simeq7.5\times10^{-5}\ \mathrm{eV^2}\).
Для антинейтрино амплитуда вперёд меняет знак:
\[ \boxed{\bar V=-V}, \qquad \boxed{\bar A=-A}. \]
Это не потеря энергии и не поглощение. Знак меняется в действительной части слабой self-energy антинейтрино.
В двухфлэйворной задаче без фундаментальной CP-фазы вся разница \(\nu\leftrightarrow\bar\nu\) в веществе сводится к \(V\to -V\).
Быстрая проверка
Что из перечисленного способно менять вероятность \(P_{e\to x}\)?
- \(V_{\rm NC}\mathbb I\) для двух активных флэйворов;
- \(\operatorname{diag}(V,0)\);
- общий сдвиг всех \(m_i^2\);
- замена \(V\to -V\).
Показать ответ
2 и 4. Только разность диагональных элементов влияет на относительную фазу и смешивание. Общие сдвиги дают общую фазу.
Один гамильтониан — три базиса
Начинаем в вакуумном массовом базисе
Для двух нейтрино выберем
\[ U(\theta)= \begin{pmatrix} \cos\theta&\sin\theta\\ -\sin\theta&\cos\theta \end{pmatrix}, \qquad \binom{\nu_e}{\nu_x}=U(\theta)\binom{\nu_1}{\nu_2}. \]
Иными словами,
\[ |\nu_e\rangle=c_\theta|\nu_1\rangle+s_\theta|\nu_2\rangle, \quad |\nu_x\rangle=-s_\theta|\nu_1\rangle+c_\theta|\nu_2\rangle. \]
В ультрарелятивистском пределе
\[ H_{\rm vac}^{(m)} =p\mathbb I+\frac{1}{2E} \begin{pmatrix}m_1^2&0\\0&m_2^2\end{pmatrix}. \]
Вычтем общую часть \([p+(m_1^2+m_2^2)/(4E)]\mathbb I\) и введём
\[ \Delta\equiv\frac{\Delta m^2}{2E}, \qquad \Delta m^2=m_2^2-m_1^2. \]
Тогда
\[ \boxed{H_{\rm vac}^{(m)\prime}=\frac12 \begin{pmatrix}-\Delta&0\\0&\Delta\end{pmatrix}}. \]
Амплитуды связаны как
\[ \psi_f=U(\theta)\psi_m, \]
поэтому
\[ H_{\rm vac}^{(f)\prime} =U(\theta)H_{\rm vac}^{(m)\prime}U^T(\theta). \]
Перемножая матрицы, получаем
\[ \boxed{ H_{\rm vac}^{(f)\prime}=\frac{\Delta}{2} \begin{pmatrix} -\cos2\theta&\sin2\theta\\ \sin2\theta&\cos2\theta \end{pmatrix}}. \]
Во флэйворном базисе потенциал особенно прост:
\[ H_{\rm mat}^{(f)}= \begin{pmatrix}V&0\\0&0\end{pmatrix} =\frac{V}{2}\mathbb I+ \frac{V}{2}\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}. \]
Отбросив ещё одну общую фазу, получаем центральный гамильтониан лекции:
\[ \boxed{ H_f'=\frac12 \begin{pmatrix} V-\Delta\cos2\theta&\Delta\sin2\theta\\ \Delta\sin2\theta&-V+\Delta\cos2\theta \end{pmatrix}}. \]
Почему вычитание следа законно?
Пусть
\[ H=h_0\mathbb I+H', \qquad \operatorname{tr}H'=0. \]
Если \(h_0\) постоянно, то
\[ e^{-iHL}=e^{-ih_0L}e^{-iH'L}. \]
Если \(h_0=h_0(L)\), он всё равно коммутирует со всем:
\[ |\psi(L)\rangle= e^{-i\int_0^Lh_0(x)dx}\,|\psi'(L)\rangle. \]
Для осцилляций важна не абсолютная энергия двух компонент, а разность диагоналей и внедиагональная связь.
Тот же гамильтониан в вакуумном массовом базисе
Поскольку \(\psi_m=U^T\psi_f\),
\[ H_m'=U^T(\theta)H_f'U(\theta). \]
Вакуумная часть сразу диагональна. Потенциал превращается в
\[ U^T \frac V2\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} U =\frac V2 \begin{pmatrix} \cos2\theta&\sin2\theta\\ \sin2\theta&-\cos2\theta \end{pmatrix}. \]
\[ \boxed{ H_m'=\frac12 \begin{pmatrix} -\Delta+V\cos2\theta&V\sin2\theta\\ V\sin2\theta&\Delta-V\cos2\theta \end{pmatrix}}. \]
Теперь видно буквально:
- в вакууме, \(V=0\), состояния \(\nu_1,\nu_2\) не переходят друг в друга;
- в веществе, \(V\ne0\), фиксированные вакуумные моды связаны;
- равенство \(H_{12}=H_{21}\) означает эрмитовость, а не равенство «потоков вероятности» в каждый момент.
Во флэйворном базисе вещество диагонально, а смешивание находится в вакуумной части:
\[ H_f'= \underbrace{\frac{\Delta}{2} \begin{pmatrix}-c_{2\theta}&s_{2\theta}\\s_{2\theta}&c_{2\theta}\end{pmatrix}} _{\text{вакуум смешивает флэйворы}} + \underbrace{\frac V2\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}} _{\text{вещество различает флэйворы}}. \]
В массовом базисе вакуум диагонален, а смешивание находится в веществе:
\[ H_m'= \underbrace{\frac12\begin{pmatrix}-\Delta&0\\0&\Delta\end{pmatrix}} _{\text{свободные моды}} + \underbrace{\frac V2 \begin{pmatrix}c_{2\theta}&s_{2\theta}\\s_{2\theta}&-c_{2\theta}\end{pmatrix}} _{\text{среда связывает }\nu_1,\nu_2}. \]
Оба описания — один и тот же унитарный процесс.
Диагонализуем гамильтониан вещества
Обозначим
\[ B_x=\Delta\sin2\theta, \qquad B_z=\Delta\cos2\theta-V. \]
Тогда
\[ H_f'=\frac12\begin{pmatrix}-B_z&B_x\\B_x&B_z\end{pmatrix}. \]
Из \(\det(H_f'-\lambda\mathbb I)=0\):
\[ \lambda_\pm=\pm\frac12\sqrt{B_z^2+B_x^2}. \]
Введём
\[ \boxed{\Delta_m\equiv \sqrt{(\Delta\cos2\theta-V)^2+(\Delta\sin2\theta)^2}}. \]
Или через \(A=V/\Delta\):
\[ \boxed{\Delta_m=\Delta R}, \qquad R\equiv\sqrt{(\cos2\theta-A)^2+\sin^22\theta}. \]
Собственные значения равны \(-\Delta_m/2\) и \(+\Delta_m/2\).
Определим \(0\le\theta_m\le\pi/2\) так, чтобы
\[ H_f'=U(\theta_m) \frac12\begin{pmatrix}-\Delta_m&0\\0&\Delta_m\end{pmatrix} U^T(\theta_m). \]
Сравнение элементов даёт
\[ \boxed{\sin2\theta_m=\frac{\sin2\theta}{R}}, \qquad \boxed{\cos2\theta_m=\frac{\cos2\theta-A}{R}}. \]
Квадрант нельзя терять: практически \(2\theta_m=\operatorname{atan2}(\sin2\theta,\cos2\theta-A)\).
\[ \boxed{ \binom{\nu_e}{\nu_x} =U(\theta_m) \binom{\nu_{1m}}{\nu_{2m}}}. \]
То есть
\[ |\nu_{1m}\rangle=c_m|\nu_e\rangle-s_m|\nu_x\rangle, \qquad |\nu_{2m}\rangle=s_m|\nu_e\rangle+c_m|\nu_x\rangle. \]
Именно они набирают определённые фазы при постоянной плотности.
Карта трёх базисов
\[ \boxed{\psi_f=U(\theta)\psi_m}. \]
- \(\nu_e,\nu_x\) — состояния рождения и детектирования;
- \(\nu_1,\nu_2\) — собственные моды в вакууме;
- угол между базисами — постоянный вакуумный угол \(\theta\).
\[ \boxed{\psi_f=U(\theta_m)\psi_{m,\rm inst}}. \]
- \(\nu_{1m},\nu_{2m}\) — собственные моды локального гамильтониана;
- при постоянной плотности \(\theta_m\) постоянен;
- при профиле \(N_e(x)\) сам базис вращается с координатой.
Из равенства двух выражений для \(\psi_f\):
\[ \psi_m=U^T(\theta)U(\theta_m)\psi_{m,\rm inst}. \]
Поэтому
\[ \boxed{\psi_m=U(\alpha)\psi_{m,\rm inst}}, \qquad \boxed{\alpha\equiv\theta_m-\theta}. \]
Например,
\[ \boxed{|\nu_{2m}\rangle =\sin\alpha\,|\nu_1\rangle+\cos\alpha\,|\nu_2\rangle}. \]
При \(V\to0\):
\[ A\to0,\qquad \theta_m\to\theta,\qquad \alpha\to0. \]
Следовательно,
\[ |\nu_{1m}\rangle\to|\nu_1\rangle, \qquad |\nu_{2m}\rangle\to|\nu_2\rangle. \]
Это граничное условие позже даст ответ на вопрос о выходе нейтрино из Солнца.
Слой постоянной плотности
Собственные волны в веществе
При \(V=\mathrm{const}\) мгновенные состояния становятся обычными стационарными модами:
\[ i\frac{d}{dx}\binom{b_1}{b_2} =\frac12 \begin{pmatrix}-\Delta_m&0\\0&\Delta_m\end{pmatrix} \binom{b_1}{b_2}. \]
Поэтому
\[ b_1(x)=e^{+i\Delta_mx/2}b_1(0), \qquad b_2(x)=e^{-i\Delta_mx/2}b_2(0). \]
В постоянной среде \(\nu_{1m}\) и \(\nu_{2m}\) — две двухкомпонентные волны с определёнными локальными волновыми числами. Осцилляции возникают при их проекции обратно на флэйвор.
Решение для начального \(\nu_e\)
В начале слоя
\[ |\nu_e\rangle =\cos\theta_m|\nu_{1m}\rangle +\sin\theta_m|\nu_{2m}\rangle. \]
Значит,
\[ \binom{b_1(0)}{b_2(0)} =\binom{\cos\theta_m}{\sin\theta_m}. \]
Через расстояние \(L\):
\[ |\psi(L)\rangle= c_m e^{+i\phi_m}|\nu_{1m}\rangle +s_m e^{-i\phi_m}|\nu_{2m}\rangle, \]
где
\[ \boxed{\phi_m\equiv\frac{\Delta_mL}{2}}. \]
Наблюдаемая разность фаз двух мод равна \(2\phi_m=\Delta_mL\).
Из
\[ |\nu_x\rangle=-s_m|\nu_{1m}\rangle+c_m|\nu_{2m}\rangle \]
получаем
\[ \begin{aligned} \mathcal A_{e\to x} &=\langle\nu_x|\psi(L)\rangle\\ &=-s_mc_m e^{+i\phi_m}+c_ms_m e^{-i\phi_m}\\ &=-i\sin2\theta_m\sin\phi_m. \end{aligned} \]
По правилу Борна
\[ \boxed{ P_{e\to x}(L)= \sin^22\theta_m\, \sin^2\!\left(\frac{\Delta_mL}{2}\right)}. \]
И по унитарности
\[ \boxed{P_{e\to e}=1-P_{e\to x}}. \]
Амплитуду задаёт \(\theta_m\), период — \(\Delta_m\).
\[ \boxed{ P_{e\to x}= \frac{\sin^22\theta} {(\cos2\theta-A)^2+\sin^22\theta} \sin^2\!\left[ \frac{\Delta L}{2} \sqrt{(\cos2\theta-A)^2+\sin^22\theta} \right]}. \]
Это точное двухфлэйворное решение однородного слоя.
Полный пропагатор слоя
Для бесследовой матрицы
\[ H_f'=\frac{\Delta_m}{2}\, \mathbf n_m\boldsymbol\sigma, \qquad (\mathbf n_m\boldsymbol\sigma)^2=\mathbb I, \]
ряд экспоненты разделяется на чётные и нечётные степени:
\[ \boxed{ S(L)=e^{-iH_f'L} =\cos\phi_m\,\mathbb I -i\sin\phi_m\,\frac{2H_f'}{\Delta_m}}. \]
\[ \boxed{ S_f(L)= \begin{pmatrix} \cos\phi_m+i\cos2\theta_m\sin\phi_m &-i\sin2\theta_m\sin\phi_m\\ -i\sin2\theta_m\sin\phi_m &\cos\phi_m-i\cos2\theta_m\sin\phi_m \end{pmatrix}}. \]
Она унитарна и имеет \(\det S_f=1\) после удаления общей фазы.
Для
\[ \psi_f(0)=\binom{a_e}{a_x} \]
полное решение — просто
\[ \boxed{\psi_f(L)=S_f(L)\psi_f(0)}. \]
Это важно для многослойной среды:
\[ S_{\rm total}=S_N S_{N-1}\cdots S_2S_1. \]
Порядок слоёв существенен, потому что их гамильтонианы обычно не коммутируют.
Из точного \(S_f\) немедленно следуют четыре теста:
\[ S_f(0)=\mathbb I, \qquad S_f^\dagger S_f=\mathbb I, \]
\[ V\to0\quad\Rightarrow\quad S_f\to S_{\rm vac}, \]
\[ \theta\to0\quad\Rightarrow\quad P_{e\to x}\to0. \]
Любой численный решатель должен проходить их до физической интерпретации.
Длина осцилляций в веществе
Период \(\sin^2(\Delta_mL/2)\) соответствует
\[ \boxed{L_m=\frac{2\pi}{\Delta_m}} =\boxed{\frac{L_{\rm vac}}{R}}, \qquad L_{\rm vac}=\frac{2\pi}{\Delta}=\frac{4\pi E}{\Delta m^2}. \]
На резонансе смешивание максимально. Значит ли это, что осцилляции там самые быстрые?
Показать ответ
Нет. При резонансе (R=sin2\theta), поэтому (L_m=L_{\rm vac}/\sin2\theta). При малом вакуумном угле резонанс даёт полную амплитуду, но длинный период.
MSW-резонанс
Смешивание максимально, когда диагональная разность исчезает:
\[ \Delta\cos2\theta-V=0. \]
Следовательно,
\[ \boxed{V_{\rm res}=\Delta\cos2\theta}, \qquad \boxed{A_{\rm res}=\cos2\theta}. \]
Тогда \(\theta_m=45^\circ\) и \(\sin^22\theta_m=1\).
Подставляя \(V=\sqrt{2}G_FN_e\):
\[ \boxed{ N_{e,\rm res} =\frac{\Delta m^2\cos2\theta}{2\sqrt{2}G_FE}}. \]
Или
\[ \boxed{ \rho_{\rm res} =\frac{\Delta m^2\cos2\theta} {2\sqrt{2}G_FEY_em_N}}. \]
Разные энергии проходят резонанс на разных радиусах Солнца.
\(\theta_m=45^\circ\) означает лишь максимальную амплитуду возможных осцилляций в однородном слое.
Для полной конверсии ещё нужна правильная фаза:
\[ \frac{\Delta_mL}{2}=\frac\pi2,\frac{3\pi}{2},\ldots \]
В медленно меняющейся среде механизм другой: состояние следует вращающемуся собственному вектору, и настройка полного числа полупериодов не требуется.
Физическая плотность положительна, поэтому резонанс возможен, только если
\[ \boxed{V\,\Delta m^2\cos2\theta>0}. \]
Для солнечного сектора \(\Delta m^2_{21}>0\), \(\theta_{12}<45^\circ\):
- обычные нейтрино имеют 1–2 резонанс;
- антинейтрино в обычном веществе — нет.
Знак резонанса тем самым несёт информацию о порядке уровней.
Все режимы постоянной плотности
| Режим | \(A\) | \(\theta_m\) | Амплитуда | Физическая картина |
|---|---|---|---|---|
| Вакуум | \(0\) | \(\theta\) | \(\sin^22\theta\) | обычные осцилляции |
| Резонанс | \(\cos2\theta\) | \(45^\circ\) | \(1\) | максимальное смешивание |
| Высокая \(N_e\) | \(A\gg1\) | \(90^\circ\) | \(\sim\sin^22\theta/A^2\) | флэйвор почти собственная мода |
| Антинейтрино | \(A<0\) | \(<\theta\) | подавлена | для solar-пары резонанса нет |
| Инверсия знака \(\Delta m^2\) | \(A\) эффективно меняет знак | зависит от канала | резонанс мигрирует | чувствительность к порядку масс |
Высокая плотность сама по себе не «усиливает осцилляции»: далеко за резонансом она, наоборот, замораживает флэйвор.
Избегаемое пересечение уровней
Если бы смешивания не было, \(\sin2\theta=0\), диагональные уровни
\[ \lambda_{e,x}=\pm\frac\Delta2(A-\cos2\theta) \]
пересеклись бы при \(A=\cos2\theta\).
При ненулевом смешивании минимальный зазор
\[ \boxed{\Delta_{m,\min}=\Delta\sin2\theta} \]
не позволяет уровням пересечься.
Резонанс MSW — центр избегаемого пересечения, а адиабатическая конверсия — следование одной непрерывной ветви через него.
Интерактив: постоянная плотность
Лаборатория одного слоя
Как читать лабораторию
Нажмите «вакуум». Должно получиться
\[ \theta_m=\theta,\qquad \Delta_m=\Delta,\qquad L_m=L_{\rm vac}. \]
Синяя кривая совпадает с пунктирной вакуумной. Это проверка нормировки интерактива.
Нажмите «резонанс». Красная горизонтальная огибающая достигает единицы:
\[ \sin^22\theta_m=1. \]
Но период обычно становится длиннее:
\[ L_m/L_{\rm vac}=1/\sin2\theta. \]
Нажмите «\(A\gg1\)». Верхняя собственная мода становится почти чистым \(\nu_e\), однако вероятность перехода мала:
\[ \sin^22\theta_m\sim\frac{\sin^22\theta}{A^2}. \]
Плотность далеко за резонансом подавляет осцилляции.
Кнопка «антинейтрино» задаёт отрицательный \(A\). Для \(\Delta m^2>0\) и \(\theta<45^\circ\) точка удаляется от солнечного резонанса.
Математически это тот же график, пройденный по отрицательной стороне оси потенциала.
При изменении \(A\) одновременно меняются:
- огибающая \(\sin^22\theta_m\);
- период \(L_m/L_{\rm vac}=1/R\).
По одному кадру вероятности нельзя сказать, усилило вещество смешивание или только сдвинуло фазу. Нужно смотреть обе величины.
Численная реализация слоя
Можно непосредственно вычислить
\[ S(L)=\exp[-iH_f'(A)L] \]
матричной экспонентой. Для двух уровней аналитическая формула быстрее, но этот путь легко обобщается на три флэйвора.
Или построить
\[ S(L)=U(\theta_m) \begin{pmatrix}e^{+i\phi_m}&0\\0&e^{-i\phi_m}\end{pmatrix} U^T(\theta_m). \]
Оба метода должны совпадать до машинной точности.
Для кусочно-постоянного профиля:
\[ S_{\rm total}=\prod_{k=N}^{1} U(\theta_{m,k}) \begin{pmatrix}e^{+i\phi_k}&0\\0&e^{-i\phi_k}\end{pmatrix} U^T(\theta_{m,k}). \]
Так рассчитывают прохождение через слоистую Землю.
Даже если каждый слой отдельно даёт малый переход, произведение некоммутирующих матриц может накопить большую амплитуду:
\[ [H(A_1),H(A_2)]\ne0. \]
Это основа castle-wall профилей и параметрического усиления.
Периодическая плотность: не просто среднее
Чередование двух подавляющих слоёв может дать полный переход: фазы и оси вращения складываются когерентно, поэтому усреднение плотности теряет эффект.
Итоги постоянной плотности
Цепочка решения
\[ N_e\ \longrightarrow\ V_e=\sqrt2G_FN_e \ \longrightarrow\ H_f \ \longrightarrow\ (\theta_m,\Delta_m) \ \longrightarrow\ S(L)=e^{-iH_fL}. \]
Физика слоя
- вещество выбирает флэйворное направление;
- собственные волны в веществе не совпадают с вакуумными;
- на резонансе смешивание максимально;
- далеко от резонанса оно может быть подавлено.
Метод решения
- убрать часть гамильтониана, пропорциональную единичной матрице;
- диагонализовать оставшуюся матрицу \(2\times2\);
- накопить две собственные фазы;
- повернуть ответ обратно во флэйворный базис.
Следующий шаг: разрешить плотности меняться и спросить, успевает ли состояние следовать за поворачивающимся мгновенным базисом.
Продолжение
