Задачи: вещество постоянной плотности

Введение в физику нейтрино

Автор

Дмитрий В. Наумов

← Вернуться к лекции · Все задачи курса

Задачи

Задача 12.1. Общая фаза

Пусть гамильтониан заменён на \(H'=H+C(x)\mathbb I\). Покажите, что решения связаны общей фазой и дают одинаковые флэйворные вероятности. Сохраняется ли это утверждение, если \(C\) комплексно?

Задача 12.2. Проверки оператора эволюции

Оператор эволюции слоя постоянной плотности длины \(L\) во флэйворном базисе равен

\[ S_f(L)= \begin{pmatrix} \cos\phi_m+i\cos2\theta_m\sin\phi_m& -i\sin2\theta_m\sin\phi_m\\ -i\sin2\theta_m\sin\phi_m& \cos\phi_m-i\cos2\theta_m\sin\phi_m \end{pmatrix}, \qquad \phi_m=\frac{\Delta_mL}{2}, \tag{1}\]

где \(\theta_m\) и \(\Delta_m\) — угол смешивания и расщепление собственных значений в веществе. Для этой матрицы:

  1. проверьте \(S_f(0)=\mathbb I\);
  2. проверьте \(S_f^\dagger S_f=\mathbb I\);
  3. найдите предел \(V\to0\);
  4. покажите, что при \(\theta\to0\) вероятность перехода исчезает, если система не находится в точном вырожденном пределе.

Задача 12.3. Потенциал в числах и длина рефракции

Потенциал электронного нейтрино в веществе \(V=\sqrt2\,G_FN_e\). Используйте \(G_F=1.166\times10^{-5}\ \text{ГэВ}^{-2}\), \(\hbar c=1.973\times10^{-5}\ \text{эВ}\cdot\text{см}\), \(N_A=6.022\times10^{23}\) и массу нуклона \(m_N\simeq1/N_A\) г.

  1. Пусть \(Y_e\) — число электронов на нуклон. Покажите, что \(N_e=Y_eN_A\,\rho/(\text{г/см}^3)\ \text{см}^{-3}\), и получите

    \[ V=7.63\times10^{-14}\ \text{эВ}\cdot Y_e\,\frac{\rho}{\text{г/см}^3}. \tag{2}\]

  2. Вычислите \(V\) для трёх сред: центр Солнца (\(\rho Y_e\simeq100\ \text{г/см}^3\)), мантия Земли (\(\rho=4.5\ \text{г/см}^3\), \(Y_e=0.5\)), ядро Земли (\(\rho=11.5\ \text{г/см}^3\), \(Y_e=0.47\)).

  3. Добавка к показателю преломления \(\nu_e\) по модулю равна \(V/E\). Оцените её для \(E=10\) МэВ в центре Солнца. Почему столь малая добавка вообще заметна?

  4. Введите длину рефракции — расстояние, на котором потенциал набирает фазу \(2\pi\):

    \[ l_0=\frac{2\pi}{V}. \tag{3}\]

    Получите \(l_0\simeq1.6\times10^{4}\ \text{км}/(\rho Y_e)\) и найдите \(l_0\) для трёх сред из п. 2. Сравните с диаметром Земли \(12\,742\) км.

  5. Покажите, что отношение потенциала к вакуумному расщеплению \(\Delta=\Delta m^2/2E\) равно отношению двух длин:

    \[ A\equiv\frac{V}{\Delta}=\frac{L_{\rm vac}}{l_0}, \qquad L_{\rm vac}=\frac{4\pi E}{\Delta m^2}. \tag{4}\]

    Вычислите \(L_{\rm vac}\) и \(A\) в центре Солнца для \(E=10\) МэВ и \(\Delta m^2=7.537\times10^{-5}\ \text{эВ}^2\).

Сформулируйте главный физический вывод: от чего зависит \(l_0\), от чего не зависит и когда вещество сильнее вакуума?

Задача 12.4. Когда нейтральный ток перестаёт быть общей фазой

Векторный заряд фермиона в нейтральном токе \(g_V^f=T_3^f-2Q_f\sin^2\theta_W\), вклад частиц сорта \(f\) в потенциал \(V_{\rm NC}^f=\sqrt2\,G_F\,g_V^fN_f\). Возьмите \(\sin^2\theta_W=0.231\).

  1. Вычислите \(g_V\) для \(u\), \(d\), электрона, протона (\(uud\)) и нейтрона (\(udd\)). Покажите, что \(g_V^e+g_V^p=0\) при любом \(\theta_W\).

  2. Для электрически нейтральной среды (\(N_p=N_e\)) получите

    \[ V_{\rm NC}=-\frac{G_F}{\sqrt2}\,N_n, \qquad \frac{V_{\rm NC}}{V_{\rm CC}}=-\frac{1-Y_e}{2Y_e}. \tag{5}\]

    Найдите это отношение для мантии (\(Y_e=0.5\)) и ядра Земли (\(Y_e=0.47\)). Почему для осцилляций \(\nu_e\leftrightarrow\nu_\mu\) его всё равно можно отбросить, хотя он не мал?

  3. Стерильное нейтрино \(\nu_s\) не участвует ни в заряженном, ни в нейтральном токе. Запишите матрицу потенциалов в базисах \((\nu_e,\nu_s)\) и \((\nu_\mu,\nu_s)\). Покажите, что в обоих случаях она имеет вид \(\operatorname{diag}(V_{\alpha s},\,0)\), как для пары \((\nu_e,\nu_x)\), но нейтральный ток теперь не выпадает:

    \[ V_{es}=\sqrt2\,G_F\Bigl(N_e-\frac{N_n}{2}\Bigr), \qquad V_{\mu s}=-\frac{G_F}{\sqrt2}\,N_n. \tag{6}\]

  4. Вычислите \(V_{es}/V_{\rm CC}\) и \(V_{\mu s}/V_{\rm CC}\) в мантии. Пусть в канале \(\nu_\mu\leftrightarrow\nu_s\) выполнено \(\Delta m^2>0\) и \(\cos2\theta>0\). Какой знак у \(A\) для нейтрино? У кого угол смешивания в веществе больше вакуумного — у нейтрино или у антинейтрино?

Сформулируйте главный физический вывод: почему эффекты вещества позволяют отличить переход \(\nu_\mu\to\nu_\tau\) от перехода \(\nu_\mu\to\nu_s\), хотя в вакууме оба описываются одной формулой?

Задача 12.5. Гамильтониан как вектор

Любую эрмитову матрицу \(2\times2\) с нулевым следом можно записать как \(\tfrac12\mathbf B\boldsymbol\sigma\), где \(\boldsymbol\sigma\) — матрицы Паули. Гамильтониан двух флэйворов в веществе (без общей фазы)

\[ H_f'=\frac12 \begin{pmatrix} V-\Delta\cos2\theta&\Delta\sin2\theta\\ \Delta\sin2\theta&\Delta\cos2\theta-V \end{pmatrix}, \qquad \Delta=\frac{\Delta m^2}{2E}. \tag{7}\]

  1. Найдите \(\mathbf B\) во флэйворном базисе. Покажите, что \(\mathbf B=\mathbf B_{\rm vac}+V\hat{\mathbf z}\), где \(\mathbf B_{\rm vac}=\Delta(\sin2\theta,\,0,\,-\cos2\theta)\).

  2. Используя \((\mathbf B\boldsymbol\sigma)^2=|\mathbf B|^2\,\mathbb I\), найдите собственные значения \(H_f'\) и покажите, что \(|\mathbf B|=\Delta_m=\Delta\sqrt{(\cos2\theta-A)^2+\sin^22\theta}\), \(A=V/\Delta\).

  3. Запишите \(\mathbf B=\Delta_m(\sin2\theta_m,\,0,\,-\cos2\theta_m)\) и найдите \(\sin2\theta_m\) и \(\cos2\theta_m\). Нарисуйте \(\mathbf B_{\rm vac}\) и \(\mathbf B\) на плоскости \((B_x,B_z)\) для \(A=0\), \(A=\cos2\theta\), \(A\gg1\) и \(A<0\). Какой угол с осью \(-\hat{\mathbf z}\) образует \(\mathbf B\) в каждом случае?

  4. Перейдите в массовый базис, \(H_m'=U^T(\theta)H_f'U(\theta)\). Проверьте

    \[ U^T\sigma_zU=\cos2\theta\,\sigma_z+\sin2\theta\,\sigma_x, \qquad U^T\sigma_xU=\cos2\theta\,\sigma_x-\sin2\theta\,\sigma_z, \tag{8}\]

    где \(U(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\), и получите \(\mathbf B_m=(V\sin2\theta,\,0,\,V\cos2\theta-\Delta)\). Покажите, что \(|\mathbf B_m|=|\mathbf B|\), а угол \(\mathbf B_m\) с осью \(-\hat{\mathbf z}\) равен \(2(\theta_m-\theta)\).

  5. Введите вектор Блоха \(\mathbf r=\psi^\dagger\boldsymbol\sigma\psi\) для нормированного \(\psi=(\psi_e,\psi_x)^T\). Из \(i\,d\psi/dx=\tfrac12\mathbf B\boldsymbol\sigma\,\psi\) и \([\sigma_j,\sigma_k]=2i\varepsilon_{jkl}\sigma_l\) выведите

    \[ \frac{d\mathbf r}{dx}=\mathbf B\times\mathbf r. \tag{9}\]

  6. В постоянной плотности \(\mathbf r\) равномерно вращается вокруг \(\mathbf B\). Начав с \(\mathbf r(0)=\hat{\mathbf z}\) (чистое \(\nu_e\)) и используя \(P_{e\to x}=\tfrac12(1-r_z)\), получите геометрически \(P_{e\to x}=\sin^22\theta_m\sin^2(\Delta_mL/2)\).

Сформулируйте главный физический вывод: что вещество делает с вектором \(\mathbf B_{\rm vac}\) и почему три базиса задачи — это три выбора осей для одного и того же вектора?

Задача 12.6. Различает ли вещество \(\theta\) и \(90^\circ-\theta\)?

Угол смешивания в веществе определяется равенствами

\[ \sin2\theta_m=\frac{\sin2\theta}{R}, \qquad \cos2\theta_m=\frac{\cos2\theta-A}{R}, \qquad R=\sqrt{(\cos2\theta-A)^2+\sin^22\theta}, \tag{10}\]

с \(0\le\theta_m\le\pi/2\); длина осцилляций \(L_m=L_{\rm vac}/R\).

  1. Покажите, что вакуумная вероятность \(P_{e\to x}=\sin^22\theta\sin^2(\Delta m^2L/4E)\) одинакова для \(\theta\) и \(\pi/2-\theta\). Какие комбинации параметров измеряет вакуумный опыт?
  2. Возьмите \(\sin^2\theta=0.309\) (\(\theta=33.8^\circ\)) и \(\theta'=90^\circ-\theta=56.2^\circ\), \(A=2\) (центр Солнца, \(E=10\) МэВ). Для каждого угла вычислите \(\theta_m\) через \(2\theta_m=\operatorname{atan2}(\sin2\theta,\ \cos2\theta-A)\), \(\sin^22\theta_m\) и \(L_m/L_{\rm vac}\).
  3. Покажите, что замена \(\theta\to\pi/2-\theta\) меняет \(\sin^22\theta_m\) и \(L_m\) так же, как замена \(A\to-A\), а угол переходит в \(\theta_m\to\pi/2-\theta_m(-A)\). Проверьте это на числах п. 2.
  4. Покажите, что одновременная замена \(\Delta m^2\to-\Delta m^2\), \(\theta\to\pi/2-\theta\) меняет у \(H_f'\) только знак внедиагональных элементов. Почему такая замена не меняет ни одной вероятности, в том числе в веществе?

Сформулируйте главный физический вывод: какую величину, недоступную вакуумным осцилляциям, измеряют эффекты вещества?

Задача 12.7. Почему вещество не видно в тонком слое

Вероятность перехода в слое постоянной плотности \(P_{e\to x}=\sin^22\theta_m\sin^2(\Delta_mL/2)\).

  1. Из определения \(\theta_m\) и \(\Delta_m=\Delta R\) покажите, что

    \[ \Delta_m\sin2\theta_m=\Delta\sin2\theta. \tag{11}\]

  2. Разложите амплитуду \(-i\sin2\theta_m\sin(\Delta_mL/2)\) при \(\Delta_mL\ll1\) и покажите, что в ведущем порядке \(P_{e\to x}\simeq(\Delta\sin2\theta\,L/2)^2\): от потенциала ответ не зависит. Объясните это первым порядком теории возмущений: какой матричный элемент \(H_f'\) отвечает за переход и есть ли в нём \(V\)?

  3. Удержите следующий член и получите

    \[ \frac{P_{e\to x}}{P_{e\to x}^{\rm vac}} \simeq1-\frac{(\Delta L)^2}{12}\bigl(A^2-2A\cos2\theta\bigr). \tag{12}\]

    Какой знак у поправки для нейтрино и для антинейтрино при малом \(|A|\)?

  4. Покажите, что \(A=VL/(\Delta L)\). В первом вакуумном максимуме \(\Delta L=\pi\), поэтому силу эффекта вещества задаёт фаза \(VL\), не зависящая от энергии. Вычислите \(VL\) и \(A\) для баз \(L=295\) км и \(L=1300\) км в коре с \(\rho=2.7\ \text{г/см}^3\), \(Y_e=0.5\) (\(\hbar c=1.973\times10^{-7}\ \text{эВ}\cdot\text{м}\)).

Сформулируйте главный физический вывод: почему для эффектов вещества нужна длинная база, а не высокая энергия?

Задача 12.8. Нейтрино и антинейтрино в одном слое

Двухфлэйворная модель \(\nu_e\leftrightarrow\nu_x\) с параметрами, близкими к сектору \(\theta_{13}\): \(\Delta m^2=+2.5\times10^{-3}\ \text{эВ}^2\), \(\sin^22\theta=0.086\). Слой постоянной плотности \(\rho=2.8\ \text{г/см}^3\), \(Y_e=0.5\), длина \(L=1300\) км, энергия \(E=2.5\) ГэВ. Используйте

\[ 2EV=1.53\times10^{-4}\ \text{эВ}^2\cdot Y_e\frac{\rho}{\text{г/см}^3} \frac{E}{\text{ГэВ}}, \qquad P_{e\to x}=\sin^22\theta_m\sin^2\!\left[1.267\, \frac{\Delta m^2[\text{эВ}^2]\,L[\text{км}]}{E[\text{ГэВ}]}\,R\right]. \tag{13}\]

  1. Вычислите \(A\) для нейтрино и антинейтрино.
  2. Для вакуума, нейтрино и антинейтрино найдите \(R\), \(\sin^22\theta_m\) и \(L_m=L_{\rm vac}/R\).
  3. Вычислите три вероятности при \(L=1300\) км и асимметрию \((P-\bar P)/(P+\bar P)\).
  4. Численно (например, на Python) постройте \(P_{e\to x}(E)\) для \(0.5\le E\le8\) ГэВ в трёх случаях. Найдите положение и высоту первого максимума. Куда и почему сдвигается максимум для нейтрино и для антинейтрино?
  5. Что изменится при \(\Delta m^2<0\)?
  6. В двух флэйворах нет CP-фазы, а \(P\ne\bar P\). Объясните, почему это не нарушение CP в лагранжиане. Какой объект в этой задаче CP-несимметричен?

Сформулируйте главный физический вывод: что можно узнать, сравнивая нейтрино и антинейтрино на длинной базе в двух флэйворах?

Задача 12.9. Массовое состояние входит в слой

Солнечные нейтрино высокой энергии приходят к Земле почти в массовом состоянии \(|\nu_2\rangle=\sin\theta|\nu_e\rangle+\cos\theta|\nu_x\rangle\). Пусть такое состояние входит в слой постоянной плотности. В массовом базисе оператор эволюции слоя

\[ S_m=\cos\phi_m\,\mathbb I-i\sin\phi_m\,\mathbf n\boldsymbol\sigma, \qquad \mathbf n=(\sin2\alpha,\,0,\,-\cos2\alpha), \qquad \alpha=\theta_m-\theta, \qquad \phi_m=\frac{\Delta_mL}{2}. \tag{14}\]

  1. Найдите вероятность перехода \(\nu_2\to\nu_1\) в слое. Почему в вакууме она равна нулю?

  2. Разложите \(|\nu_2\rangle\) по собственным состояниям вещества и покажите, что \(b(0)=(-\sin\alpha,\ \cos\alpha)^T\). Проведите эволюцию и получите

    \[ P_{2e}(L)=\sin^2\theta+\sin2\theta_m\sin2(\theta_m-\theta)\, \sin^2\frac{\Delta_mL}{2}. \tag{15}\]

  3. Найдите \(P_{1e}(L)\) и проверьте \(P_{1e}+P_{2e}=1\).

  4. При \(A\ll1\) покажите, что \(\theta_m-\theta\simeq\tfrac12A\sin2\theta\) и добавка к \(\sin^2\theta\) равна \(A\sin^22\theta\sin^2(\Delta_mL/2)\).

  5. Числа: \(E=10\) МэВ, мантия \(\rho=4.5\ \text{г/см}^3\), \(Y_e=0.5\), \(\Delta m^2=7.537\times10^{-5}\ \text{эВ}^2\), \(\sin^2\theta=0.309\). Вычислите \(A\), \(L_m\), амплитуду добавки и её среднее по \(\sin^2(\Delta_mL/2)\). На сколько процентов \(P_{2e}\) в среднем больше \(\sin^2\theta\)? Почему здесь законно усреднять?

Сформулируйте главный физический вывод: почему вещество возвращает часть \(\nu_e\), хотя в вакууме \(\nu_2\) стационарно, и почему эффект порядка \(A\)?