Задачи: осцилляции нейтрино в веществе, показатель преломления

Введение в физику нейтрино

Автор

Дмитрий В. Наумов

← Вернуться к лекции · Все задачи курса

Задачи

Задача 11.1. Первая зона Френеля

Кольца слоя с границами \(r_m=z+m\lambda/2\) называют зонами Френеля. Найдите радиус \(b_1\) первой зоны при \(z\gg\lambda\) и число рассеивателей в ней для слоя толщины \(dz\) и концентрации \(\mathcal N\). Объясните, почему рост площади кольца компенсирует множитель \(1/r\) сферической волны, и проверьте, что при \(z\gg ka^2\) амплитуда рассеяния почти не меняется на первой зоне.

Задача 11.2. Фаза и ослабление

Пусть \(f(0)=a+ib\), где \(a,b>0\), а среда однородна на длине \(D\).

  1. Найдите дополнительную фазу прошедшей волны.
  2. Найдите отношение интенсивностей \(I(D)/I(0)\).
  3. Используя оптическую теорему, выразите результат через полное сечение.

Задача 11.3. Два показателя преломления

Матричный показатель преломления имеет вид

\[ \mathbf n=n_0\mathbb I+ \begin{pmatrix}\delta&\kappa\\\kappa&-\delta\end{pmatrix}. \tag{1}\]

  1. Найдите два собственных показателя преломления.
  2. Найдите угол поворота от исходного базиса к собственным состояниям.
  3. Покажите, что при \(\delta=0\) исходное первое состояние полностью переходит во второе после подходящей длины пути, если \(\kappa\ne0\).

Задача 11.4. Когда когерентность теряется

Для каждого процесса укажите, можно ли включить его в вещественный показатель преломления проходящей волны, или он требует описания потери когерентности:

  • упругое рассеяние строго вперёд без изменения состояния атома;
  • возбуждение атома;
  • рассеяние на конечный угол;
  • упругое рассеяние на двух неразличимых центрах;
  • поглощение нейтрино.

Для каждого ответа сформулируйте физический критерий различимости альтернатив.

Задача 11.5. Пластинка и накопленная фаза

Рассмотрите прозрачный слой с действительным показателем преломления. Отражением на границах пренебрегите.

  1. При фиксированной частоте получите отношения \(\lambda_{\mathrm{med}}/\lambda_0\) и \(v_{\mathrm{ph}}/c\).
  2. Покажите, что после выхода из слоя толщины \(D\) добавочная фаза равна \(\Delta\varphi=2\pi(n-1)D/\lambda_0\), хотя длина волны снова равна \(\lambda_0\).
  3. Вычислите фазу для \(n=1.08\) и \(D=1.5\lambda_0\). Какой должна быть толщина при том же \(n\), чтобы получить сдвиг \(\pi\)?
  4. Разбейте слой на \(M\) частей и найдите предел \([1+i\Delta\varphi/M]^M\) при \(M\to\infty\). Почему малая добавка каждого слоя допускает большую полную фазу?
  5. Проверьте расчёт апплетом. Найдите две пары \(n,D\) с одинаковой фазой на выходе. Одинаковы ли волны внутри пластинки?

Задача 11.6. Два собственных состояния

Пусть при постоянной плотности

\[ \begin{aligned} |\nu_e\rangle&=c_m|\nu_{\mathrm{mat},1}\rangle+s_m|\nu_{\mathrm{mat},2}\rangle,\\ |\nu_x\rangle&=-s_m|\nu_{\mathrm{mat},1}\rangle+c_m|\nu_{\mathrm{mat},2}\rangle, \end{aligned} \qquad c_m=\cos\theta_m,\quad s_m=\sin\theta_m. \tag{2}\]

Обозначим \(\Phi=E(n_{\mathrm{mat},1}-n_{\mathrm{mat},2})z\).

  1. Запишите состояние на расстоянии \(z\) для начального \(\nu_e\). Проекцией на \(\nu_x\) получите амплитуду и вероятность \(P_{e\to x}=\sin^22\theta_m\sin^2(\Phi/2)\).
  2. Покажите, что общий сдвиг \(n_{\mathrm{mat},i}\to n_{\mathrm{mat},i}+C\) меняет только общую фазу. Разложите добавку \(\operatorname{diag}(\delta n_e,\delta n_x)\) на общую часть и часть, различающую флэйворы.
  3. Вычислите \(P_{e\to x}\) при \(\theta_m=30^\circ\) и \(\Phi=\pi\). Как меняется ответ при \(\theta_m=0\), \(\theta_m=45^\circ\) или равных показателях?
  4. Найдите первый максимум и пространственный период вероятности. Что меняет угол, а что — разность показателей?
  5. Проверьте ответы апплетом. Какие параметры заданы независимо? Как найти их для слоя заданной плотности из слабого взаимодействия?

Задача 11.7. Полуволновая пластинка и нейтрино

На входе чистое состояние \(\nu_e\), массовые оси \(\nu_1,\nu_2\) повёрнуты на \(-\theta\) от флэйворных. Разность фаз волн \(\nu_1\) и \(\nu_2\) равна \(\pi\).

  1. Найдите состояние на выходе в базисе \((\nu_e,\nu_x)\) и убедитесь, что оно повёрнуто на \(2\theta\) от входа.
  2. Вычислите \(P_{e\to x}\) для \(\theta=33.7^\circ\) и сравните с долями интенсивности света \(I_V\) и \(I_H\) для той же пластинки.
  3. Совпадает ли выход с одной из осей кристалла? При каком \(\theta\) он совпадёт с \(\nu_x\)?

Задача 11.8. Оператор показателя преломления

  1. Исходя из \(\hat n_{\mathrm{vac}}=\sum_i n_i|\nu_i\rangle\langle\nu_i|\) и матрицы \(U\) получите матрицу \([\hat n_{\mathrm{vac}}]_f\) во флэйворном базисе.
  2. Покажите, что её след и определитель не зависят от \(\theta\).
  3. Добавьте \(\delta\hat n=\mathrm{diag}(\delta n_e,\delta n_x)\) и найдите угол \(\theta_m\) как функцию \(\theta\), \(n_2-n_1\) и \(\delta n_e-\delta n_x\). При каком соотношении этих величин \(\theta_m=45^\circ\)?

Задача 11.9. Вакуум и Солнце: два кристалла одного масштаба

Нейтрино с энергией \(E=10\) МэВ, два флэйвора, \(\Delta m^2=m_2^2-m_1^2= 7.5\times10^{-5}\) эВ\(^2\), \(\theta=33.7^\circ\). Постоянные: \(\hbar c=1.973\times10^{-7}\) эВ\(\cdot\)м, \(G_F=1.166\times10^{-5}\) ГэВ\(^{-2}\), радиус Солнца \(R_\odot=6.96\times10^{8}\) м. В центре Солнца концентрация электронов \(\mathcal N_e=6.08\times10^{25}\) см\(^{-3}\), а заряженный ток даёт различие добавок (при \(\hbar=c=1\); формулу примите как данную)

\[ \delta n_e-\delta n_x=-\frac{\sqrt2\,G_F\mathcal N_e}{E}. \tag{3}\]

  1. Найдите длину волны нейтрино \(\lambda=2\pi\hbar c/E\). Сколько длин волн укладывается от центра Солнца до поверхности?
  2. Вакуумный кристалл. Из \(n_i\simeq1-m_i^2/(2E^2)\) найдите \(n_1-n_2\). Какой из показателей больше? На какой длине \(L_{\mathrm{vac}}\) разность фаз \(E(n_1-n_2)z\) достигает \(2\pi\) и сколько длин волн в ней помещается?
  3. Сравните с оптикой: у кальцита \(n_o-n_e=0.172\) при \(\lambda_0=589\) нм. Найдите толщину полуволновой пластинки из кальцита и длину нейтринной «полуволновой пластинки» в вакууме. Выразите обе в длинах волн.
  4. Вещество. Вычислите \(V=\sqrt2\,G_F\mathcal N_e\) в эВ (концентрацию переведите в естественные единицы множителем \((\hbar c)^3\)) и \(\delta n_e-\delta n_x\). Найдите отношение \[ A=\frac{\delta n_x-\delta n_e}{n_1-n_2}. \tag{4}\]
  5. Если бы плотность центра сохранялась до поверхности, какую разность фаз \(E|\delta n_e-\delta n_x|R_\odot\) набрало бы нейтрино? В настоящем Солнце плотность падает к краю, и набегает около \(4\times10^{3}\) рад. Какой длине пути с центральной плотностью это соответствует?
  6. Собственные состояния суммы при постоянной плотности центра определяются соотношениями \[ \tan2\theta_m=\frac{\sin2\theta}{\cos2\theta-A}, \qquad \frac{n_{\mathrm{mat},1}-n_{\mathrm{mat},2}}{n_1-n_2} =\sqrt{(\cos2\theta-A)^2+\sin^22\theta}. \tag{5}\] Найдите \(\theta_m\) (в каком квадранте лежит \(2\theta_m\)?), размах \(\sin^22\theta_m\) и период \(L_{\mathrm{mat}}\). Сравните с вакуумом. Какая доля \(\nu_e\) приходится на \(\nu_{\mathrm{mat},2}\)?

Сформулируйте главный физический вывод: почему различие показателей порядка \(10^{-19}\) не означает малого эффекта и почему в центре Солнца нельзя пренебречь ни вакуумом, ни веществом.

Задача 11.10. Показатель преломления меньше единицы

Электрон в атоме — осциллятор с собственной частотой \(\omega_0\) и затуханием \(\gamma\). В гауссовых единицах, \(r_e=e^2/(mc^2)=2.818\times10^{-13}\) см,

\[ f(0)=r_e\,\frac{\omega^2}{\omega_0^2-\omega^2-i\gamma\omega}, \qquad n-1=\frac{2\pi\mathcal N f(0)}{k^2}, \tag{6}\]

где \(\mathcal N\) — концентрация электронов. Рассмотрите кремний: \(\rho=2.33\) г/см\(^3\), молярная масса \(M=28.09\) г/моль, \(Z=14\), рентгеновская линия \(\lambda=0.154\) нм (\(\hbar\omega\approx8.05\) кэВ, все \(\omega_0\) атома много меньше \(\omega\)).

  1. Пренебрегая \(\gamma\), найдите знак \(n-1\) при \(\omega<\omega_0\) и при \(\omega>\omega_0\). Покажите, что при \(\omega<\omega_0\) показатель растёт с частотой. Какой свет призма отклоняет сильнее — красный или синий?
  2. Покажите, что при \(\omega\gg\omega_0\) \[ n=1-\delta,\qquad \delta=\frac{\mathcal N r_e\lambda^2}{2\pi}, \tag{7}\] и \(\omega_0\) из ответа выпадает. Найдите \(\mathcal N\) и \(\delta\) для кремния.
  3. «Парадокс»: при \(n<1\) фазовая скорость \(c/n\) больше \(c\). Запишите \(\delta=\omega_p^2/(2\omega^2)\), где \(\omega_p^2=4\pi\mathcal Ne^2/m\), и из \(k=n\omega/c\) найдите групповую скорость \(v_g=d\omega/dk\). Покажите, что \(v_g<c\) и \(v_{\mathrm{ph}}v_g\simeq c^2\). Вычислите \(\hbar\omega_p\).
  4. Луч рентгена падает из вакуума на гладкую поверхность кремния под скользящим углом \(\alpha\) к ней. Из закона Снеллиуса покажите, что при \(\alpha<\alpha_c\), \(\cos\alpha_c=n\), преломлённого луча нет и происходит полное внешнее отражение. Найдите \(\alpha_c\approx\sqrt{2\delta}\) в мрад и градусах. Почему зеркала рентгеновских телескопов ставят почти вдоль пучка?

Сформулируйте главный вывод: что задаёт знак \(n-1\) и почему показатель нейтрино, меньший единицы, не противоречит причинности.