Задачи: три флэйвора и матрица PMNS

Лекция 10 · Введение в физику нейтрино

Автор

Дмитрий В. Наумов

← Вернуться к лекции · Все задачи курса

Задачи

Задача 10.1. Как читать матрицу PMNS

Используйте стандартную факторизацию

\[ U=R_{23}U_{13}(\delta)R_{12}. \]

  1. Перемножьте матрицы и получите первую строку и третий столбец \(U\).

  2. Докажите соотношения

    \[ |U_{e3}|=\sin\theta_{13}, \qquad \frac{|U_{e2}|}{|U_{e1}|}=\tan\theta_{12}, \qquad \frac{|U_{\mu3}|}{|U_{\tau3}|}=\tan\theta_{23}. \]

  3. Для лучшей точки NuFIT 6.1 с нормальным порядком используйте

    \[ \sin^2\theta_{12}=0.3088, \quad \sin^2\theta_{23}=0.470, \quad \sin^2\theta_{13}=0.02248 \]

    и вычислите \(|U_{e1}|\), \(|U_{e2}|\), \(|U_{e3}|\), \(|U_{\mu3}|\) и \(|U_{\tau3}|\).

  4. Объясните, почему фаза \(\delta\) становится ненаблюдаемой при \(s_{13}=0\).

  5. Произвольная унитарная матрица \(3\times3\) содержит три угла и шесть фаз. Посчитайте, сколько фаз можно удалить перефазировкой полей в дираковском случае.

  6. Для майорановского случая положите

    \[ \widetilde U =U\operatorname{diag} \left(1,e^{i\alpha_{21}/2},e^{i\alpha_{31}/2}\right). \]

    Покажите, что дополнительные фазы сокращаются в произведении \(\widetilde U_{\beta i}\widetilde U_{\alpha i}^*\) и потому не входят в осцилляционные вероятности.

Задача 10.2. Общая трёхфлэйворная вероятность

Для трёх активных нейтрино

\[ |\nu_\alpha\rangle =\sum_{i=1}^3U_{\alpha i}^*|\nu_i\rangle. \]

  1. Проведите эволюцию массовых компонент и получите ультрарелятивистскую амплитуду

    \[ \mathcal A_{\alpha\to\beta}(L,E) =\sum_iU_{\beta i}U_{\alpha i}^* \exp\!\left(-i\frac{m_i^2L}{2E}\right). \]

  2. Возведите амплитуду в квадрат и получите двойную сумму по \(i,j\).

  3. Объедините слагаемые \((i,j)\) и \((j,i)\), введите

    \[ X_{\alpha\beta}^{ij} =U_{\alpha i}^*U_{\beta i} U_{\alpha j}U_{\beta j}^*, \qquad \Delta_{ij}=\frac{\Delta m_{ij}^2L}{4E}, \]

    и выведите общую формулу вероятности через \(\operatorname{Re}X^{ij}\) и \(\operatorname{Im}X^{ij}\).

  4. Получите формулу вероятности выживания \(P_{\alpha\to\alpha}\).

  5. Используя унитарность \(U\), докажите

    \[ \sum_\beta P_{\alpha\to\beta}=1 \]

    и покажите, что при \(L=0\) \(P_{\alpha\to\beta}=\delta_{\alpha\beta}\).

  6. Покажите, как общая формула сводится к двухфлэйворной, если одна массовая компонента не участвует.

  7. Докажите

    \[ \Delta m_{31}^2=\Delta m_{32}^2+\Delta m_{21}^2 \]

    и объясните, почему независимы только две осцилляционные частоты.

  8. Выполните замену \(m_i^2\to m_i^2+C\). Покажите, что амплитуда получает только общий фазовый множитель, а вероятность не меняется.

  9. Какие эксперименты, в отличие от осцилляций, чувствительны к абсолютному масштабу масс нейтрино?

Задача 10.3. CP-нарушение и инвариант Ярлског

  1. Покажите, что для антинейтрино осцилляционная амплитуда получается заменой \(U\to U^*\).

  2. Используя общую трёхфлэйворную вероятность, получите

    \[ A_{\alpha\beta}^{\mathrm{CP}} =P(\nu_\alpha\to\nu_\beta) -P(\bar\nu_\alpha\to\bar\nu_\beta) =4\sum_{i>j}\operatorname{Im}X_{\alpha\beta}^{ij} \sin2\Delta_{ij}. \]

  3. Докажите, что \(A_{\alpha\alpha}^{\mathrm{CP}}=0\) в вакууме.

  4. Для квартета

    \[ J_{\mathrm{CP}} =\operatorname{Im} \left(U_{e2}^*U_{\mu2}U_{e1}U_{\mu1}^*\right) \]

    проверьте инвариантность при перефазировке строк и столбцов матрицы смешивания.

  5. Из стандартной параметризации PMNS получите

    \[ J_{\mathrm{CP}} =\frac18 \sin2\theta_{12}\sin2\theta_{23}\sin2\theta_{13} \cos\theta_{13}\sin\delta_{\mathrm{CP}}. \]

  6. Используя \(\Delta_{31}=\Delta_{32}+\Delta_{21}\) и тригонометрические тождества, выведите

    \[ A_{e\mu}^{\mathrm{CP}} =16J_{\mathrm{CP}} \sin\Delta_{21}\sin\Delta_{32}\sin\Delta_{31}. \]

  7. Перечислите все условия, при которых вакуумная CP-асимметрия исчезает. Почему фундаментального CP-нарушения нет в двухфлэйворной вакуумной модели?

  8. Для лучшей точки NuFIT 6.1 с нормальным порядком используйте

    \[ \theta_{12}=33.76^\circ, \quad \theta_{23}=43.29^\circ, \quad \theta_{13}=8.62^\circ, \quad \delta_{\mathrm{CP}}=212^\circ \]

    и вычислите \(J_{\mathrm{CP}}\).

  9. Оцените \(A_{e\mu}^{\mathrm{CP}}\) в первом атмосферном максимуме, определённом условием \(\Delta_{31}=\pi/2\). Используйте

    \[ \Delta m_{21}^2=7.537\cdot10^{-5}~\mathrm{эВ}^2, \qquad \Delta m_{31}^2=2.511\cdot10^{-3}~\mathrm{эВ}^2. \]

    Почему асимметрия дополнительно подавлена малостью солнечной фазы?

Задача 10.4. Численная лаборатория трёх флэйворов

Напишите программу на Python, Julia или Mathematica, вычисляющую вакуумные осцилляции трёх активных нейтрино. Для Python можно использовать заготовку.

Используйте лучшую точку NuFIT 6.1 с нормальным порядком:

\[ \begin{aligned} \sin^2\theta_{12}&=0.3088,& \sin^2\theta_{23}&=0.470,& \sin^2\theta_{13}&=0.02248,\\ \Delta m_{21}^2&=7.537\cdot10^{-5}~\mathrm{эВ}^2,& \Delta m_{31}^2&=2.511\cdot10^{-3}~\mathrm{эВ}^2,& \delta_{\mathrm{CP}}&=212^\circ. \end{aligned} \]

  1. Постройте матрицу PMNS в стандартной параметризации и численно проверьте \(U^\dagger U=I\).

  2. Реализуйте амплитуду \(\mathcal A_{\alpha\to\beta}\). Если строки обозначают конечный флэйвор \(\beta\), а столбцы — начальный \(\alpha\), то матрично

    \[ \mathcal A =U\operatorname{diag}(e^{-i\phi_i})U^\dagger, \qquad \phi_i=2(1.267)\frac{m_i^2[\mathrm{эВ}^2]L[\mathrm{км}]} {E[\mathrm{ГэВ}]}. \]

    Можно положить \(m_1^2=0\), поскольку общая масса не наблюдается.

  3. Вычислите матрицу вероятностей \(P_{\beta\alpha}=|\mathcal A_{\beta\alpha}|^2\).

  4. Автоматически проверьте

    \[ P_{\beta\alpha}(0)=\delta_{\beta\alpha}, \qquad \sum_\beta P_{\beta\alpha}=1 \]

    с численной точностью не хуже \(10^{-12}\).

  5. Для начального \(\nu_\mu\) постройте \(P_{\mu\to e}\), \(P_{\mu\to\mu}\) и \(P_{\mu\to\tau}\) как функции \(L/E\) в диапазоне \(0\leq L/E\leq2000~\mathrm{км/ГэВ}\).

  6. Повторите расчёт для антинейтрино, заменив \(U\to U^*\), и постройте \(P_{\mu\to e}-\overline P_{\mu\to e}\).

  7. Повторите сравнение при \(\delta_{\mathrm{CP}}=0\) и объясните результат.

  8. Добавьте ко всем \(m_i^2\) одно и то же число \(C\) и численно проверьте, что вероятности не изменились.

  9. Сканированием по \(L/E\) найдите точку максимального по модулю вакуумного различия \(P_{\mu\to e}-\overline P_{\mu\to e}\) в указанном диапазоне.

  10. Представьте тройку вероятностей

    \[ (P_{\alpha\to e},P_{\alpha\to\mu},P_{\alpha\to\tau}) \]

    как траекторию внутри вероятностного треугольника. Почему траектория не может покинуть треугольник?

В реальном длиннобазовом эксперименте сравнение нейтрино и антинейтрино также изменяется веществом. В этой задаче требуется рассчитать только вакуумную часть.