Осцилляции в вакууме. Три флэйвора и матрица PMNS
Введение в физику нейтрино
ОИЯИ
Три флэйвора
Почему теперь нужны три флэйвора
Заряженное слабое взаимодействие различает три состояния по заряженному лептону, который рождается вместе с нейтрино:
\[ \boxed{ \alpha=e,\mu,\tau }, \qquad \boldsymbol\nu_f= \begin{pmatrix} |\nu_e\rangle\\ |\nu_\mu\rangle\\ |\nu_\tau\rangle \end{pmatrix}. \]
Это флэйворный базис рождения и регистрации.
Свободно распространяются три собственных состояния гамильтониана:
\[ \widehat H_0|\nu_i\rangle=E_i|\nu_i\rangle, \qquad i=1,2,3, \]
\[ \boldsymbol\nu_m= \begin{pmatrix} |\nu_1\rangle\\ |\nu_2\rangle\\ |\nu_3\rangle \end{pmatrix}. \]
При распространении каждая компонента приобретает свою фазу \(e^{-iE_it}\).
Вынесем общую фазу первой компоненты:
\[ \begin{pmatrix} e^{-iE_1t}\\ e^{-iE_2t}\\ e^{-iE_3t} \end{pmatrix} =e^{-iE_1t} \begin{pmatrix} 1\\ e^{-i(E_2-E_1)t}\\ e^{-i(E_3-E_1)t} \end{pmatrix}. \]
Общая фаза ненаблюдаема. Поэтому независимы только две разности фаз; третья связана с ними:
\[ \Delta E_{31}=\Delta E_{32}+\Delta E_{21}. \]
одна разность фаз;
матрицу можно выбрать вещественной.
две разности фаз;
одна неустранимая комплексная фаза.
Именно комплексная фаза делает возможным CP-нарушение в вакуумных осцилляциях.
Флэйворный и массовый базисы
Пусть
\[ \alpha,\beta\in\{e,\mu,\tau\}, \qquad i,j\in\{1,2,3\}. \]
Матрица смешивания
\[ U= \begin{pmatrix} U_{e1}&U_{e2}&U_{e3}\\ U_{\mu1}&U_{\mu2}&U_{\mu3}\\ U_{\tau1}&U_{\tau2}&U_{\tau3} \end{pmatrix} \]
переводит один ортонормированный базис в другой.
Почему комплексное сопряжение?
Для рождения \(W^+\to\ell_\alpha^++\nu_i\) амплитуда пропорциональна \(U_{\alpha i}^*\).
Для антинейтрино все элементы сопрягаются ещё раз.
Флэйворное состояние является когерентной суперпозицией трёх масс:
\[ \boxed{ |\nu_\alpha\rangle =\sum_{i=1}^3U_{\alpha i}^*|\nu_i\rangle }. \]
В матричном виде
\[ \boxed{ \boldsymbol\nu_f=U^*\boldsymbol\nu_m }. \]
Обратное преобразование имеет вид
\[ \boxed{ |\nu_i\rangle =\sum_{\alpha=e,\mu,\tau}U_{\alpha i}|\nu_\alpha\rangle }. \]
Действительно,
\[ \begin{aligned} \sum_\alpha U_{\alpha j}|\nu_\alpha\rangle &=\sum_{\alpha,i} U_{\alpha j}U_{\alpha i}^*|\nu_i\rangle\\ &=\sum_i\delta_{ji}|\nu_i\rangle =|\nu_j\rangle. \end{aligned} \]
Равенство базисов по размерности и сохранение нормы требуют
\[ \boxed{U^\dagger U=UU^\dagger=I}. \]
Поэтому строки и столбцы ортонормированы:
\[ \sum_iU_{\alpha i}U_{\beta i}^*=\delta_{\alpha\beta}, \qquad \sum_\alpha U_{\alpha i}^*U_{\alpha j}=\delta_{ij}. \]
В частности,
\[ \langle\nu_\beta|\nu_\alpha\rangle =\delta_{\alpha\beta}. \]
Три поворота и одна фаза
Стандартное соглашение:
\[ \boxed{ U=R_{23}\,U_{13}(\delta)\,R_{12} }. \]
Короткие обозначения
\[ \begin{aligned} c_{ij}&=\cos\theta_{ij},\\ s_{ij}&=\sin\theta_{ij}. \end{aligned} \]
- \(R_{12}\) смешивает направления \(1\) и \(2\);
- \(U_{13}\) смешивает \(1\) и \(3\) и содержит фазу \(\delta\);
- \(R_{23}\) смешивает направления \(2\) и \(3\).
Каждый множитель унитарен, поэтому их произведение автоматически унитарно.
\[ \boxed{ R_{12}= \begin{pmatrix} c_{12}&s_{12}&0\\ -s_{12}&c_{12}&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} }. \]
Третье направление не меняется. При \(\theta_{13}=\theta_{23}=0\) это обычная двухфлэйворная матрица смешивания состояний \(1\) и \(2\).
\[ \boxed{ U_{13}(\delta)= \begin{pmatrix} c_{13}&0&s_{13}e^{-i\delta}\\ 0&1&0\\ -s_{13}e^{i\delta}&0&c_{13} \end{pmatrix} }. \]
Сопряжённые фазы в симметричных позициях обеспечивают \(U_{13}^\dagger U_{13}=I\).
\[ \boxed{ R_{23}= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&c_{23}&s_{23}\\ 0&-s_{23}&c_{23} \end{pmatrix} }. \]
Первое направление не меняется. Этот поворот распределяет третью массовую компоненту между \(\nu_\mu\) и \(\nu_\tau\).
Перемножаем повороты
Сначала умножим два правых множителя:
\[ V\equiv U_{13}R_{12}. \]
Построчно получаем
\[ \boxed{ V= \begin{pmatrix} c_{13}c_{12}&c_{13}s_{12}&s_{13}e^{-i\delta}\\ -s_{12}&c_{12}&0\\ -s_{13}c_{12}e^{i\delta}&-s_{13}s_{12}e^{i\delta}&c_{13} \end{pmatrix} }. \]
Теперь \(U=R_{23}V\). Вторая строка равна \(c_{23}\), умноженному на вторую строку \(V\), плюс \(s_{23}\), умноженному на третью:
\[ \begin{aligned} U_{\mu1} &=c_{23}(-s_{12}) +s_{23}(-s_{13}c_{12}e^{i\delta}),\\ U_{\mu2} &=c_{23}c_{12} +s_{23}(-s_{13}s_{12}e^{i\delta}),\\ U_{\mu3} &=s_{23}c_{13}. \end{aligned} \]
Третья строка равна минус \(s_{23}\), умноженному на вторую строку \(V\), плюс \(c_{23}\), умноженному на третью:
\[ \begin{aligned} U_{\tau1} &=s_{23}s_{12} -c_{23}s_{13}c_{12}e^{i\delta},\\ U_{\tau2} &=-s_{23}c_{12} -c_{23}s_{13}s_{12}e^{i\delta},\\ U_{\tau3} &=c_{23}c_{13}. \end{aligned} \]
\[ \boxed{ U= \begin{pmatrix} c_{12}c_{13}&s_{12}c_{13}&s_{13}e^{-i\delta}\\ -s_{12}c_{23}-c_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta} &c_{12}c_{23}-s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta} &s_{23}c_{13}\\ s_{12}s_{23}-c_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta} &-c_{12}s_{23}-s_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta} &c_{23}c_{13} \end{pmatrix} }. \]
- Если \(\theta_{12}=\theta_{13}=\theta_{23}=0\), то \(U=I\).
- Если \(\delta=0\) или \(\pi\), матрица становится вещественной.
- Если \(s_{13}=0\), фаза \(\delta\) полностью исчезает.
- Поскольку каждый множитель унитарен,
\[ U^\dagger U =R_{12}^\dagger U_{13}^\dagger R_{23}^\dagger R_{23}U_{13}R_{12} =I. \]
Что означают четыре параметра
Из первой строки матрицы
\[ U_{e1}=c_{12}c_{13}, \qquad U_{e2}=s_{12}c_{13}. \]
Поэтому
\[ \boxed{ \frac{|U_{e2}|}{|U_{e1}|}=\tan\theta_{12} }. \]
\(\theta_{12}\) задаёт относительные доли состояний \(\nu_1\) и \(\nu_2\) в электронном флэйворе.
Элемент в правом верхнем углу особенно прост:
\[ \boxed{|U_{e3}|=s_{13}}. \]
Следовательно, \(\theta_{13}\) непосредственно задаёт примесь третьего массового состояния в \(\nu_e\).
Если \(s_{13}=0\), третье состояние отделяется от электронной строки, а CP-фаза становится ненаблюдаемой.
В третьем столбце
\[ U_{\mu3}=s_{23}c_{13}, \qquad U_{\tau3}=c_{23}c_{13}. \]
Поэтому
\[ \boxed{ \frac{|U_{\mu3}|}{|U_{\tau3}|}=\tan\theta_{23} }. \]
\(\theta_{23}\) определяет распределение состояния \(\nu_3\) между мюонным и тау-флэйворами.
Фаза входит не как отдельная вероятность, а в интерференционные произведения элементов \(U\).
\[ e^{i\delta}=\cos\delta+i\sin\delta. \]
- члены с \(\cos\delta\) CP-чётны;
- члены с \(\sin\delta\) меняют знак при \(U\to U^*\).
Подробно это проявится после вывода общей вероятности перехода.
Сколько физических параметров?
Произвольная унитарная матрица \(3\times3\) содержит девять вещественных параметров:
\[ \boxed{ 9=3\ \text{угла}+6\ \text{фаз} }. \]
Однако фазы самих полей можно переопределять, не меняя наблюдаемые величины. Поэтому не все шесть фаз физически различимы.
Можно переопределить фазы трёх заряженных лептонов и трёх нейтрино. Одна общая замена ничего не меняет, поэтому удаляются
\[ 3+3-1=5 \]
фаз. Остаётся
\[ \boxed{3\ \text{угла}+1\ \text{дираковская фаза }\delta}. \]
Майорановские массовые поля нельзя независимо перефазировать. Тогда полная матрица записывается как
\[ \boxed{ \widetilde U =U\, \operatorname{diag} \left(1,e^{i\alpha_{21}/2},e^{i\alpha_{31}/2}\right) }. \]
Появляются две дополнительные фазы \(\alpha_{21}\) и \(\alpha_{31}\).
Пусть \(\widetilde U_{\alpha i}=U_{\alpha i}e^{i\eta_i}\). В осцилляционной амплитуде элементы одного столбца входят как
\[ \widetilde U_{\beta i}\widetilde U_{\alpha i}^* =\left(U_{\beta i}e^{i\eta_i}\right) \left(U_{\alpha i}^*e^{-i\eta_i}\right) =U_{\beta i}U_{\alpha i}^*. \]
Следовательно,
\[ \boxed{\text{майорановские фазы из осцилляций сокращаются}}. \]
В вакуумных осцилляциях трёх активных нейтрино остаются
\[ \boxed{ \theta_{12},\ \theta_{13},\ \theta_{23},\ \delta; \qquad \Delta m_{21}^2,\ \Delta m_{31}^2 }. \]
Абсолютная шкала масс и майорановские фазы в этот список не входят.
Три флэйвора означают не «ещё один синус», а новую структуру: три угла, две частоты и физическую комплексную фазу.
Амплитуда перехода
Источник создаёт нейтрино определённого флэйвора \(\alpha\):
\[ \boxed{ |\nu_\alpha;0\rangle =\sum_{i=1}^{3}U_{\alpha i}^*|\nu_i\rangle }. \]
Массовые состояния являются собственными состояниями свободного гамильтониана:
\[ H|\nu_i\rangle=E_i|\nu_i\rangle. \]
Следовательно, каждая компонента будет набирать собственную фазу.
Через время \(t\) состояние становится
\[ |\nu_\alpha;t\rangle =\sum_i U_{\alpha i}^*e^{-iE_it}|\nu_i\rangle. \]
При распространении плоской волны на расстояние \(L\):
\[ |\nu_\alpha;L,t\rangle =\sum_i U_{\alpha i}^* e^{-i(E_it-p_iL)}|\nu_i\rangle. \]
Знак фазы следует из \(e^{-ip\cdot x}=e^{-i(Et-\mathbf p\cdot\mathbf x)}\).
Детектор ищет флэйвор \(\beta\). Комплексное сопряжение даёт
\[ |\nu_\beta\rangle =\sum_jU_{\beta j}^*|\nu_j\rangle \quad\Longrightarrow\quad \langle\nu_\beta| =\sum_jU_{\beta j}\langle\nu_j|. \]
Поэтому
\[ \mathcal A_{\alpha\to\beta}(L,t) =\langle\nu_\beta|\nu_\alpha;L,t\rangle. \]
Остаётся подставить оба разложения в эту проекцию.
После подстановки
\[ \mathcal A_{\alpha\to\beta} =\sum_{i,j}U_{\beta j}U_{\alpha i}^* e^{-i(E_it-p_iL)}\langle\nu_j|\nu_i\rangle. \]
Но массовые состояния ортонормированы:
\[ \langle\nu_j|\nu_i\rangle=\delta_{ji}. \]
Двойная сумма превращается в одинарную:
\[ \boxed{ \mathcal A_{\alpha\to\beta}(L,t) =\sum_i U_{\beta i}U_{\alpha i}^* e^{-i(E_it-p_iL)} }. \]
Для ультрарелятивистского нейтрино при \(t\simeq L\) предыдущий вывод даёт
\[ E_it-p_iL =\text{общая фаза}+\frac{m_i^2L}{2E}. \]
Общая фаза исчезает из квадрата модуля. Поэтому можно записать
\[ \boxed{ \mathcal A_{\alpha\to\beta}(L,E) =\sum_iU_{\beta i}U_{\alpha i}^* \exp\!\left(-i\frac{m_i^2L}{2E}\right) }. \]
Идеализации с равными импульсами и равными энергиями дают эту фазу в одном ведущем порядке.
Вынесем фазу первой компоненты:
\[ \mathcal A_{\alpha\to\beta} =e^{-im_1^2L/(2E)} \sum_iU_{\beta i}U_{\alpha i}^* e^{-i\Delta m_{i1}^2L/(2E)}. \]
Первый множитель имеет единичный модуль. Введём
\[ \boxed{ \Delta_{ij}\equiv\frac{\Delta m_{ij}^2L}{4E}}, \qquad \Delta m_{ij}^2\equiv m_i^2-m_j^2. \]
Тогда наблюдаемая относительная фаза равна \(2\Delta_{ij}\).
При \(L=0\) унитарность сразу даёт
\[ \mathcal A_{\alpha\to\beta}(0) =\sum_iU_{\beta i}U_{\alpha i}^* =\delta_{\alpha\beta}. \]
Возводим амплитуду в квадрат
Обозначим
\[ \phi_i\equiv\frac{m_i^2L}{2E}. \]
Вероятность перехода равна
\[ P_{\alpha\to\beta} =|\mathcal A_{\alpha\to\beta}|^2 =\mathcal A_{\alpha\to\beta} \mathcal A_{\alpha\to\beta}^*. \]
Комплексно-сопряжённая амплитуда:
\[ \mathcal A_{\alpha\to\beta}^* =\sum_jU_{\beta j}^*U_{\alpha j}e^{+i\phi_j}. \]
Перемножая две суммы, получаем
\[ \begin{aligned} P_{\alpha\to\beta} &=\sum_{i,j} U_{\beta i}U_{\alpha i}^* U_{\beta j}^*U_{\alpha j} e^{-i(\phi_i-\phi_j)}. \end{aligned} \]
Введём компактное обозначение
\[ \boxed{ X_{\alpha\beta}^{ij} \equiv U_{\alpha i}^*U_{\beta i} U_{\alpha j}U_{\beta j}^* }. \]
Поскольку \(\phi_i-\phi_j=2\Delta_{ij}\),
\[ P_{\alpha\to\beta} =\sum_{i,j}X_{\alpha\beta}^{ij}e^{-2i\Delta_{ij}}. \]
При \(i=j\) фаза равна нулю, а
\[ X_{\alpha\beta}^{ii} =|U_{\alpha i}|^2|U_{\beta i}|^2. \]
Поэтому диагональная часть равна
\[ P_{\rm diag} =\sum_i|U_{\alpha i}|^2|U_{\beta i}|^2. \]
Она сама по себе не зависит от \(L\), но не является всей вероятностью: нужно добавить интерференцию разных массовых компонент.
Для \(i\ne j\) два переставленных слагаемых комплексно сопряжены:
\[ X_{\alpha\beta}^{ji} =\left(X_{\alpha\beta}^{ij}\right)^*, \qquad \Delta_{ji}=-\Delta_{ij}. \]
Их сумма при \(i>j\) равна
\[ \begin{aligned} &X_{\alpha\beta}^{ij}e^{-2i\Delta_{ij}} +X_{\alpha\beta}^{ji}e^{-2i\Delta_{ji}} \\[1mm] &\hspace{22mm} =2\operatorname{Re} \!\left[X_{\alpha\beta}^{ij}e^{-2i\Delta_{ij}}\right]. \end{aligned} \]
Пусть \(X=a+ib\). Тогда
\[ \operatorname{Re}\!\left[Xe^{-2i\Delta}\right] =a\cos2\Delta+b\sin2\Delta. \]
Следовательно,
\[ \begin{aligned} P_{\alpha\to\beta} ={}&\sum_i|U_{\alpha i}|^2|U_{\beta i}|^2\\ &+2\sum_{i>j}\operatorname{Re}X_{\alpha\beta}^{ij} \cos2\Delta_{ij}\\ &+2\sum_{i>j}\operatorname{Im}X_{\alpha\beta}^{ij} \sin2\Delta_{ij}. \end{aligned} \]
Общая вероятность в вакууме
При \(L=0\) амплитуда равна \(\delta_{\alpha\beta}\). Поэтому
\[ \begin{aligned} \delta_{\alpha\beta} &=\left|\sum_iU_{\beta i}U_{\alpha i}^*\right|^2\\ &=\sum_i|U_{\alpha i}|^2|U_{\beta i}|^2 +2\sum_{i>j}\operatorname{Re}X_{\alpha\beta}^{ij}. \end{aligned} \]
Здесь использовано \(\delta_{\alpha\beta}^2=\delta_{\alpha\beta}\).
Используем
\[ \cos2\Delta=1-2\sin^2\Delta. \]
Тогда CP-чётная часть предыдущего результата принимает вид
\[ \begin{aligned} &\sum_i|U_{\alpha i}|^2|U_{\beta i}|^2 +2\sum_{i>j}\operatorname{Re}X^{ij}_{\alpha\beta}\cos2\Delta_{ij} \\ &\qquad =\delta_{\alpha\beta} -4\sum_{i>j}\operatorname{Re}X^{ij}_{\alpha\beta} \sin^2\Delta_{ij}. \end{aligned} \]
Собирая действительную и мнимую части, получаем
\[ \boxed{ \begin{aligned} P_{\alpha\to\beta}(L,E) ={}&\delta_{\alpha\beta} -4\sum_{i>j}\operatorname{Re}X_{\alpha\beta}^{ij} \sin^2\Delta_{ij} \\ &+2\sum_{i>j}\operatorname{Im}X_{\alpha\beta}^{ij} \sin2\Delta_{ij}, \end{aligned}} \]
где
\[ X_{\alpha\beta}^{ij} =U_{\alpha i}^*U_{\beta i}U_{\alpha j}U_{\beta j}^*, \qquad \Delta_{ij}=\frac{\Delta m_{ij}^2L}{4E}. \]
Если \(\beta=\alpha\), то
\[ X_{\alpha\alpha}^{ij} =|U_{\alpha i}|^2|U_{\alpha j}|^2 \]
вещественно. Мнимая часть исчезает:
\[ \boxed{ P_{\alpha\to\alpha} =1-4\sum_{i>j}|U_{\alpha i}|^2|U_{\alpha j}|^2 \sin^2\Delta_{ij} }. \]
Таким образом, CP-нечётный член возможен только в каналах появления.
Просуммируем по всем регистрируемым флэйворам \(\beta\):
\[ \begin{aligned} \sum_\beta X_{\alpha\beta}^{ij} &=U_{\alpha i}^*U_{\alpha j} \sum_\beta U_{\beta i}U_{\beta j}^*\\ &=U_{\alpha i}^*U_{\alpha j}\,\delta_{ij}. \end{aligned} \]
Для \(i>j\) это ноль. Поэтому
\[ \boxed{\sum_\beta P_{\alpha\to\beta}=1}. \]
Вероятность не теряется, а перераспределяется между тремя флэйворами.
Если один массовый компонент не участвует, остаётся единственная пара \(i,j\). Матрицу смешивания можно выбрать вещественной, поэтому \(\operatorname{Im}X^{ij}=0\).
Общая формула сводится к уже полученному результату
\[ P_{\alpha\to\beta} =\sin^22\theta\,\sin^2\Delta, \qquad \alpha\ne\beta. \]
Новая физика трёх флэйворов находится в одновременной интерференции трёх пар массовых состояний и в мнимой части произведений элементов \(U\).
Две части вероятности
Полезно записать
\[ P_{\alpha\to\beta} =P_{\alpha\beta}^{\rm even} +P_{\alpha\beta}^{\rm odd}, \]
где
\[ \begin{aligned} P_{\alpha\beta}^{\rm even} &=\delta_{\alpha\beta} -4\sum_{i>j}\operatorname{Re}X_{\alpha\beta}^{ij} \sin^2\Delta_{ij},\\[1mm] P_{\alpha\beta}^{\rm odd} &=2\sum_{i>j}\operatorname{Im}X_{\alpha\beta}^{ij} \sin2\Delta_{ij}. \end{aligned} \]
При комплексном сопряжении матрицы смешивания
\[ U\longrightarrow U^* \]
действительная часть \(X_{\alpha\beta}^{ij}\) не меняется. Поэтому
\[ P_{\alpha\beta}^{\rm even} \longrightarrow P_{\alpha\beta}^{\rm even}. \]
Эта часть содержит обычную зависимость \(\sin^2\Delta_{ij}\) и присутствует уже при двух флэйворах.
При \(U\to U^*\)
\[ \operatorname{Im}X_{\alpha\beta}^{ij} \longrightarrow -\operatorname{Im}X_{\alpha\beta}^{ij}. \]
Значит,
\[ P_{\alpha\beta}^{\rm odd} \longrightarrow -P_{\alpha\beta}^{\rm odd}. \]
Именно эта часть позволит вероятностям нейтрино и антинейтрино различаться в вакууме.
Для ненулевого нечётного вклада одновременно нужны
- комплексная фаза в матрице \(U\);
- ненулевые углы смешивания;
- невырожденные массовые состояния;
- канал появления \(\alpha\ne\beta\).
CP-нарушение — не дополнительная частота: это различие знака одной интерференционной части общей трёхфлэйворной вероятности.
Почему разностей масс только две
Амплитуду можно умножить на любую общую фазу без изменения вероятности:
\[ \left|e^{-i\chi}\mathcal A_{\alpha\to\beta}\right|^2 =|\mathcal A_{\alpha\to\beta}|^2. \]
Поэтому абсолютные фазы \(m_i^2L/(2E)\) ненаблюдаемы. Измеримы только их разности.
Три массовых состояния образуют три пары:
\[ (2,1),\qquad(3,1),\qquad(3,2). \]
Им соответствуют
\[ \Delta m_{21}^2,\qquad \Delta m_{31}^2,\qquad \Delta m_{32}^2. \]
Но эти величины не независимы.
Непосредственно из определений
\[ \begin{aligned} \Delta m_{31}^2 &=m_3^2-m_1^2\\ &=(m_3^2-m_2^2)+(m_2^2-m_1^2)\\ &=\Delta m_{32}^2+\Delta m_{21}^2. \end{aligned} \]
Следовательно,
\[ \boxed{\Delta_{31}=\Delta_{32}+\Delta_{21}}. \]
Удобный независимый набор:
\[ \boxed{\Delta m_{21}^2,\qquad\Delta m_{31}^2}. \]
Вместо второй величины можно использовать \(\Delta m_{32}^2\) или специально определённую «атмосферную» разность масс.
Три интерференционные пары дают три члена в вероятности, но только две независимые осцилляционные частоты.
Три вероятности на одном рисунке
Каждому моменту эволюции соответствует тройка
\[ \mathbf P_\alpha(L,E) = \left(P_{\alpha e},P_{\alpha\mu},P_{\alpha\tau}\right), \qquad P_{\alpha e}+P_{\alpha\mu}+P_{\alpha\tau}=1. \]
Это барицентрические координаты точки внутри треугольника:
- вершина \(e\) означает \((1,0,0)\);
- вершина \(\mu\) означает \((0,1,0)\);
- вершина \(\tau\) означает \((0,0,1)\).
Чем ближе точка к вершине, тем больше вероятность соответствующего флэйвора. В начале она находится в выбранной начальной вершине.
В интерактиве использованы лучшие значения NuFIT 6.1 для нормального порядка с атмосферными данными IC24 и Super-Kamiokande:
\[ \begin{aligned} \sin^2\theta_{12}&=0.3088,& \sin^2\theta_{23}&=0.470,& \sin^2\theta_{13}&=0.02248,\\ \Delta m^2_{21}&=7.537\times10^{-5}\ {\rm эВ}^2,& \Delta m^2_{31}&=2.511\times10^{-3}\ {\rm эВ}^2,& \delta_{\rm CP}&=212^\circ. \end{aligned} \]
Фазу \(\delta_{\rm CP}\) можно менять, чтобы непосредственно сравнить траектории нейтрино и антинейтрино.
NuFIT 6.1: таблица параметров, данные по ноябрь 2025 года.
Эволюция в массовом базисе унитарна:
\[ S(L)=U\, \operatorname{diag} \left(e^{-i\phi_1},e^{-i\phi_2},e^{-i\phi_3}\right) U^\dagger, \qquad S^\dagger S=1. \]
Поэтому для фиксированного начального флэйвора \(\alpha\)
\[ \sum_\beta P_{\alpha\to\beta} =\sum_\beta|S_{\beta\alpha}|^2 =(S^\dagger S)_{\alpha\alpha} =1. \]
Треугольник показывает не три независимые величины, а одно нормированное распределение вероятностей измерения во флэйворном базисе.
CP-нарушение
Что именно сравниваем
Операция \(C\) заменяет частицу соответствующей античастицей:
\[ C:\qquad \nu_\alpha\longleftrightarrow\bar\nu_\alpha. \]
Заряды и внутренние квантовые числа меняют знак, а координаты и импульсы не изменяются.
Для нейтрино одной операции \(C\) недостаточно: слабое взаимодействие различает левые и правые состояния.
Операция \(P\) меняет знак пространственных координат и импульса:
\[ P:\qquad \mathbf x\to-\mathbf x, \qquad \mathbf p\to-\mathbf p. \]
Спин как аксиальный вектор знака не меняет. Поэтому спиральность
\[ h=\frac{\mathbf S\cdot\mathbf p}{|\mathbf p|} \]
меняет знак.
Комбинированное преобразование переводит процесс
\[ \nu_\alpha\longrightarrow\nu_\beta \]
в CP-сопряжённый процесс
\[ \bar\nu_\alpha\longrightarrow\bar\nu_\beta. \]
Если CP сохраняется, их вероятности в вакууме одинаковы.
Определим вакуумную CP-асимметрию
\[ \boxed{ A_{\alpha\beta}^{\rm CP}(L,E) \equiv P(\nu_\alpha\to\nu_\beta) -P(\bar\nu_\alpha\to\bar\nu_\beta) }. \]
Ненулевое значение означает, что CP-сопряжённые переходы происходят с разными вероятностями.
Сравниваются одинаковые начальный и конечный флэйворы, но частицы заменены античастицами.
Нейтрино и антинейтрино
Для нейтрино мы получили
\[ \mathcal A_{\alpha\to\beta} =\sum_iU_{\beta i}U_{\alpha i}^*e^{-i\phi_i}, \qquad \phi_i=\frac{m_i^2L}{2E}. \]
Коэффициент при каждой массовой компоненте содержит
\[ \underbrace{U_{\alpha i}^*}_{\text{рождение}} \qquad\text{и}\qquad \underbrace{U_{\beta i}}_{\text{регистрация}}. \]
Для античастиц матрица смешивания комплексно сопрягается:
\[ |\bar\nu_\alpha\rangle =\sum_iU_{\alpha i}|\bar\nu_i\rangle. \]
Поэтому
\[ \boxed{ \overline{\mathcal A}_{\alpha\to\beta} =\sum_iU_{\beta i}^*U_{\alpha i}e^{-i\phi_i} } \]
получается из нейтринной амплитуды заменой \(U\to U^*\).
Напомним
\[ X_{\alpha\beta}^{ij} =U_{\alpha i}^*U_{\beta i}U_{\alpha j}U_{\beta j}^*. \]
При \(U\to U^*\):
\[ X_{\alpha\beta}^{ij}\longrightarrow \left(X_{\alpha\beta}^{ij}\right)^*. \]
Значит,
\[ \operatorname{Re}X^{ij}\to\operatorname{Re}X^{ij}, \qquad \operatorname{Im}X^{ij}\to-\operatorname{Im}X^{ij}. \]
Для нейтрино
\[ P_{\alpha\beta} =P_{\alpha\beta}^{\rm even} +2\sum_{i>j}\operatorname{Im}X_{\alpha\beta}^{ij} \sin2\Delta_{ij}, \]
а для антинейтрино
\[ \overline P_{\alpha\beta} =P_{\alpha\beta}^{\rm even} -2\sum_{i>j}\operatorname{Im}X_{\alpha\beta}^{ij} \sin2\Delta_{ij}. \]
Вычитая две вероятности, получаем
\[ \boxed{ A_{\alpha\beta}^{\rm CP} =4\sum_{i>j} \operatorname{Im}X_{\alpha\beta}^{ij} \sin2\Delta_{ij} }. \]
CP-чётная часть полностью сократилась. Осталась только мнимая часть интерференционных произведений.
Для выживания \(\alpha=\beta\) все \(X_{\alpha\alpha}^{ij}\) вещественны, поэтому
\[ A_{\alpha\alpha}^{\rm CP}=0. \]
Сесилия Ярлског
Фото: Rebeca Romero Escrivà / Lund University. Источник
- Шведская физик-теоретик, профессор-эмерита Лундского университета.
- В 1985 году предложила не зависящую от выбора фаз меру CP-нарушения в теории смешивания.
- Её инвариант применяется и к кварковой матрице CKM, и к лептонной матрице PMNS.
- В 2023 году получила премию EPS по физике высоких энергий и частиц за работы по CP-нарушению.
\[ \boxed{ J_{\rm CP} =c_{12}s_{12}c_{23}s_{23}c_{13}^{2}s_{13}\sin\delta }. \]
Исходная работа: C. Jarlskog, Phys. Rev. Lett. 55, 1039 (1985), DOI: 10.1103/PhysRevLett.55.1039.
Инвариант Ярлског
Зафиксируем знак определением
\[ \boxed{ J_{\rm CP} \equiv \operatorname{Im} \!\left( U_{e2}^*U_{\mu2}U_{e1}U_{\mu1}^* \right) }. \]
Это мнимая часть «квартета»: произведения четырёх элементов из двух строк и двух столбцов матрицы \(U\).
При допустимом изменении фаз состояний
\[ U_{\alpha i} \longrightarrow e^{i\chi_\alpha}U_{\alpha i}e^{-i\eta_i} \]
в квартете возникают множители
\[ e^{-i\chi_e+i\eta_2} e^{+i\chi_\mu-i\eta_2} e^{+i\chi_e-i\eta_1} e^{-i\chi_\mu+i\eta_1}=1. \]
Поэтому \(J_{\rm CP}\) не зависит от условного выбора фаз строк и столбцов.
Из стандартной параметризации
\[ \begin{aligned} U_{e1}&=c_{12}c_{13},& U_{e2}&=s_{12}c_{13},\\ U_{\mu1}&=-s_{12}c_{23}-c_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta},& U_{\mu2}&=c_{12}c_{23}-s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta}. \end{aligned} \]
Следовательно,
\[ J_{\rm CP} =c_{12}s_{12}c_{13}^2 \operatorname{Im}\!\left(U_{\mu2}U_{\mu1}^*\right). \]
Перемножим только два сложных элемента:
\[ \begin{aligned} U_{\mu2}U_{\mu1}^* ={}&(c_{12}c_{23}-s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta})\\ &\times(-s_{12}c_{23}-c_{12}s_{23}s_{13}e^{-i\delta}). \end{aligned} \]
В мнимую часть входят лишь перекрёстные члены:
\[ \operatorname{Im}(U_{\mu2}U_{\mu1}^*) =(c_{12}^2+s_{12}^2)c_{23}s_{23}s_{13}\sin\delta. \]
Поскольку \(c_{12}^2+s_{12}^2=1\),
\[ \boxed{ J_{\rm CP} =c_{12}s_{12}c_{23}s_{23}c_{13}^{2}s_{13}\sin\delta }. \]
Эквивалентно,
\[ \boxed{ J_{\rm CP} =\frac18 \sin2\theta_{12}\sin2\theta_{23}\sin2\theta_{13} \cos\theta_{13}\sin\delta }. \]
Инвариант обращается в ноль, если
\[ \sin\delta=0 \]
или исчезает смешивание хотя бы с одним необходимым направлением:
\[ s_{12}s_{23}s_{13}c_{12}c_{23}c_{13}=0. \]
Ненулевая комплексная запись матрицы сама по себе недостаточна: важна неустранимая, репараметризационно-инвариантная мнимая часть.
CP-асимметрия в вакууме
Для выбранного определения \(J_{\rm CP}\) три мнимые части равны
\[ \operatorname{Im}X_{e\mu}^{21}=+J_{\rm CP}, \qquad \operatorname{Im}X_{e\mu}^{31}=-J_{\rm CP}, \qquad \operatorname{Im}X_{e\mu}^{32}=+J_{\rm CP}. \]
Поэтому
\[ A_{e\mu}^{\rm CP} =4J_{\rm CP} \left( \sin2\Delta_{21}-\sin2\Delta_{31}+\sin2\Delta_{32} \right). \]
Положим
\[ a=\Delta_{21}, \qquad b=\Delta_{32}. \]
Поскольку \(\Delta_{31}=\Delta_{32}+\Delta_{21}\),
\[ \Delta_{31}=a+b. \]
Тогда скобка в асимметрии имеет вид
\[ \sin2a+\sin2b-\sin2(a+b). \]
Используем
\[ \sin2a+\sin2b =2\sin(a+b)\cos(a-b) \]
и
\[ \sin2(a+b)=2\sin(a+b)\cos(a+b). \]
Разность равна
\[ 2\sin(a+b)\,[\cos(a-b)-\cos(a+b)] =4\sin a\sin b\sin(a+b). \]
Следовательно,
\[ \boxed{ A_{e\mu}^{\rm CP} =16J_{\rm CP} \sin\Delta_{21}\sin\Delta_{32}\sin\Delta_{31} }. \]
Для обратного канала знак меняется:
\[ A_{\mu e}^{\rm CP}=-A_{e\mu}^{\rm CP}. \]
Циклические каналы \(e\to\mu\), \(\mu\to\tau\), \(\tau\to e\) имеют один знак; обратные — противоположный.
Эффект исчезает, если
- \(J_{\rm CP}=0\);
- любые две массы вырождены;
- одна из трёх фаз \(\Delta_{21}\), \(\Delta_{32}\), \(\Delta_{31}\) попадает в целое число \(\pi\);
- система фактически сводится к двум смешивающимся состояниям.
Вакуумное CP-нарушение требует согласованной интерференции всех трёх массовых компонент.
Почему двух флэйворов недостаточно
Унитарная матрица \(2\times2\) содержит
\[ 1\ \text{угол}+3\ \text{фазы}. \]
Для дираковских частиц можно перефазировать два флэйворных и два массовых поля. Одна общая замена избыточна, поэтому удаляются
\[ 2+2-1=3 \]
фазы — все имеющиеся.
После перефазировок матрица имеет вид
\[ U^{(2)}= \begin{pmatrix} \cos\theta&\sin\theta\\ -\sin\theta&\cos\theta \end{pmatrix}. \]
Все её элементы вещественны. Следовательно, для любого квартета
\[ \operatorname{Im} \left(U_{\alpha i}^*U_{\beta i}U_{\alpha j}U_{\beta j}^*\right)=0. \]
При двух флэйворах остаётся только CP-чётная часть:
\[ P_{\alpha\to\beta} =\delta_{\alpha\beta} -4\operatorname{Re}X_{\alpha\beta}^{21}\sin^2\Delta_{21}. \]
Поэтому
\[ P(\nu_\alpha\to\nu_\beta) =P(\bar\nu_\alpha\to\bar\nu_\beta) \]
для вакуумных осцилляций двух дираковских нейтрино.
В трёх измерениях после всех допустимых перефазировок остаётся одна дираковская фаза \(\delta\). Она образует ненулевой инвариант \(J_{\rm CP}\).
\[ \boxed{ \text{Для фундаментального CP-нарушения в осцилляциях нужны} \quad N\ge3 }. \]
Майорановские фазы этого вывода не меняют: в осцилляционных амплитудах они сокращаются.
Параметры осцилляций сегодня
Что именно требуется измерить
Для трёх активных нейтрино вакуумные осцилляции задаются шестью непрерывными параметрами:
задают модули элементов матрицы PMNS.
задают две независимые разности фаз.
отвечает за CP-нечётную интерференцию.
Абсолютная масса не входит: осцилляции чувствительны только к разностям квадратов масс.
Глобальные данные показывают две резко различные частоты:
\[ \Delta m^2_{21}\simeq 7.54\times10^{-5}\ \mathrm{eV}^2, \qquad |\Delta m^2_{3\ell}|\simeq 2.5\times10^{-3}\ \mathrm{eV}^2. \]
Их отношение равно примерно
\[ \frac{|\Delta m^2_{3\ell}|}{\Delta m^2_{21}}\simeq 33. \]
При одной и той же энергии
\[ L_{\rm osc}^{(21)}\simeq 33\,L_{\rm osc}^{(3\ell)}. \]
Поэтому один эксперимент обычно особенно чувствителен лишь к одному из двух масштабов, а второй проявляется как медленная поправка.
Солнечные данные устанавливают знак
\[ \boxed{\Delta m^2_{21}=m_2^2-m_1^2>0}, \]
но остаётся определить, где находится третье состояние:
\[ \begin{aligned} \text{NO:}&\quad m_1<m_2<m_3, &\Delta m^2_{3\ell}=\Delta m^2_{31}>0,\\ \text{IO:}&\quad m_3<m_1<m_2, &\Delta m^2_{3\ell}=\Delta m^2_{32}<0. \end{aligned} \]
NO и IO — две разные гипотезы, а не два значения одного непрерывного параметра.
Даже идеальное измерение вакуумных осцилляций не определит:
- абсолютную шкалу \(m_1,m_2,m_3\);
- являются ли нейтрино частицами Дирака или Майораны;
- майорановские фазы;
- число и свойства возможных стерильных состояний вне модели \(3\nu\).
Осцилляции измеряют разности фаз между распространяющимися массовыми компонентами, а не полную массу каждой компоненты.
Как читать NuFIT 6.1
Здесь используется NuFIT 6.1, опубликованный в 2025 году; на странице результатов указано, что набор данных обновлён в ноябре 2025 года.
NuFIT объединяет результаты солнечных, реакторных, ускорительных и атмосферных экспериментов в одном глобальном анализе.
Номер версии и вариант атмосферных данных — часть результата. Число без этой подписи неоднозначно.
В официальной таблице приведены два варианта анализа:
Ниже для компактности цитируются лучшие значения варианта IC24 + SK-atm. Там, где вывод заметно зависит от выбора, показываем оба.
NuFIT использует обозначение
\[ \boxed{ \Delta m^2_{3\ell}= \begin{cases} \Delta m^2_{31},&\text{NO},\\ \Delta m^2_{32},&\text{IO}. \end{cases}} \]
В обоих случаях это разность квадратов масс между крайними уровнями; \(|\Delta m^2_{3\ell}|\) является большим из двух атмосферных расщеплений.
При сравнении таблиц разных авторов сначала нужно проверить именно это соглашение.
Запись
\[ x=(x_{\rm bf})^{+\sigma_+}_{-\sigma_-} \]
показывает лучшее значение и одномерный интервал \(1\sigma\) после профилирования по остальным параметрам.
Интервал \(3\sigma\) — не «три ошибки» вокруг лучшей точки: профиль \(\chi^2\) может быть несимметричным, иметь вторичный минимум и зависеть от порядка масс.
Для дискретных гипотез приводится разность минимумов
\[ \Delta\chi^2_{\rm IO-NO}=\chi^2_{\min,\rm IO}-\chi^2_{\min,\rm NO}. \]
Положительное значение означает предпочтение NO. Но для дискретного выбора нельзя без дополнительных предпосылок просто объявить \(\sqrt{\Delta\chi^2}\) числом стандартных отклонений.
Это пока предпочтение одной гипотезы, а не установленный порядок масс.
Числа NuFIT 6.1
IC24 + SK-atm; интервалы \(3\sigma\):
| Параметр | NO: лучшее | NO: 3σ | IO: лучшее |
|---|---|---|---|
| sin²θ₁₂ | 0.3088 | 0.2893–0.3295 | 0.3088 |
| θ₁₂ | 33.76° | 32.54°–35.03° | 33.76° |
| sin²θ₂₃ | 0.470 | 0.435–0.584 | 0.550 |
| θ₂₃ | 43.29° | 41.27°–49.86° | 47.90° |
| sin²θ₁₃ | 0.02248 | 0.02064–0.02418 | 0.02262 |
| θ₁₃ | 8.62° | 8.26°–8.95° | 8.64° |
\(\theta_{13}\) уже измерен весьма точно. Интервал \(\theta_{23}\) пересекает \(45^\circ\), поэтому его октант ещё не установлен.
IC24 + SK-atm:
| Параметр | Лучшее ±1σ | Интервал 3σ |
|---|---|---|
| Δm²₂₁ [10⁻⁵ eV²] | 7.537 +0.094 −0.100 | 7.236–7.823 |
| Δm²₃₁, NO [10⁻³ eV²] | +2.511 +0.021 −0.020 | +2.450–+2.576 |
| Δm²₃₂, IO [10⁻³ eV²] | −2.483 ±0.020 | −2.547–−2.421 |
Знаки последней строки — физическая часть определения IO; в длину осцилляций входит модуль расщепления.
Лучшие значения и интервалы \(3\sigma\):
\[ \begin{aligned} \text{NO:}&\quad \delta_{\rm CP}=212^{+26}_{-36}\!{}^\circ, &&125^\circ\!\rightarrow365^\circ,\\ \text{IO:}&\quad \delta_{\rm CP}=274^{+22}_{-25}\!{}^\circ, &&203^\circ\!\rightarrow335^\circ. \end{aligned} \]
Для NO интервал включает \(180^\circ\) и практически достигает \(360^\circ\equiv0^\circ\); CP-сохраняющие значения ещё не исключены.
Лучшее значение фазы не является наблюдением CP-нарушения.
Предпочтение NO зависит от набора атмосферных данных:
\[ \Delta\chi^2_{\rm IO-NO}= \begin{cases} 1.5,&\text{IC23 без SK-atm},\\ 5.9,&\text{IC24 + SK-atm}. \end{cases} \]
Такое изменение показывает, почему статус нужно формулировать осторожно:
- глобальный минимум расположен в NO;
- сила предпочтения чувствительна к составу данных;
- установленного экспериментального выбора NO/IO пока нет.
Источник: NuFIT 6.1 — таблица параметров. Слева — без SK-atm, справа — с SK-atm; NO и IO приведены отдельно.
Что показывают глобальные данные
Минимум каждой кривой даёт лучшее значение.
Ширина показывает точность после профилирования по остальным параметрам.
Вторичные минимумы указывают на вырожденные решения, особенно для октанта θ₂₃ и δCP.
Двумерная область показывает пары параметров, которые совместно описывают данные.
Наклон и изгиб контура означают корреляцию: изменение одного параметра можно частично компенсировать изменением другого.
Проекция контура на ось не обязана совпадать с одномерным профилированным интервалом.
Глобальный анализ можно перевести из углов в диапазоны модулей элементов матрицы смешивания:
Каждая строка относится к флэйвору \(e,\mu,\tau\), каждый столбец — к массовому состоянию \(1,2,3\). Особенно мал элемент \(|U_{e3}|\), но он не равен нулю — поэтому \(\theta_{13}\ne0\) и CP-чувствительная интерференция в принципе возможна.
CP и унитарность в NuFIT 6.1
Для лучшей точки NO с SK-atm
\[ J_{\rm CP}^{\max}\simeq0.0338, \qquad J_{\rm CP}\simeq-0.0179. \]
Однако профиль всё ещё допускает \(J_{\rm CP}=0\): знак и ненулевое значение инварианта не установлены.
Одна из ортогональностей строк PMNS:
\[ U_{e1}U_{\mu1}^*+U_{e2}U_{\mu2}^*+U_{e3}U_{\mu3}^*=0. \]
Три комплексных слагаемых образуют стороны замкнутого треугольника; его площадь равна \(|J_{\rm CP}|/2\).
Показанный треугольник получен внутри унитарной модели трёх нейтрино: условие замыкания уже наложено в параметризации PMNS.
Поэтому рисунок показывает разрешённую форму треугольника при предположении унитарности, но сам по себе не является независимой проверкой
\[ UU^\dagger=\mathbf1. \]
Для прямого теста унитарности нужен более общий анализ, где элементы матрицы не связаны заранее тремя углами и одной фазой.
На сегодня глобальные данные дают точные значения двух расщеплений и трёх углов, но оставляют три качественно важных вопроса:
- какой порядок масс реализован;
- в каком октанте находится \(\theta_{23}\);
- отличается ли \(\delta_{\rm CP}\) от \(0\) и \(\pi\).
Лучшие точки полезны для расчётов; утверждения об открытии должны опираться на разрешённые интервалы и сравнение гипотез.
Итоги
Что измеряют осцилляции
В унитарной модели трёх нейтрино форма вероятностей содержит
\[ \boxed{ \theta_{12},\theta_{13},\theta_{23}; \qquad \Delta m^2_{21},\Delta m^2_{3\ell}; \qquad \delta_{\rm CP} }. \]
- амплитуды переходов определяют углы смешивания;
- частоты по \(L/E\) определяют разности квадратов масс;
- различие каналов \(\nu\) и \(\bar\nu\) позволяет искать дираковскую CP-фазу.
Дискретный порядок масс устанавливается сравнением полной картины разных экспериментов; роль вещества будет разобрана отдельно.
Осцилляции сами по себе не дают:
\[ \boxed{m_{\rm lightest}} \qquad\text{и}\qquad \boxed{m_1+m_2+m_3}, \]
не различают природу Дирака и Майораны и не чувствительны к майорановским фазам.
Для этих вопросов нужны другие наблюдаемые: кинематика \(\beta\)-распада, безнейтринный двойной \(\beta\)-распад и космология.
Сдвинем все квадраты масс на одну величину:
\[ m_i^2\longrightarrow m_i^2+C. \]
Тогда амплитуда превращается в
\[ \mathcal A_{\alpha\to\beta} \longrightarrow e^{-iCL/(2E)} \mathcal A_{\alpha\to\beta}. \]
Это одна общая фаза, поэтому
\[ |\mathcal A_{\alpha\to\beta}|^2 \longrightarrow |\mathcal A_{\alpha\to\beta}|^2. \]
Наблюдаемы только разности \(m_i^2-m_j^2\).
Здесь использовалась когерентная эволюция плоских волн в вакууме.
Два следующих уточнения намеренно вынесены отдельно:
- вещество меняет эффективный гамильтониан и смешивание;
- волновые пакеты определяют условия рождения, регистрации и потери когерентности.
Формула вакуумных осцилляций остаётся отправной точкой для обоих обобщений.
Пять главных выводов
