Осцилляции в вакууме. Три флэйвора и матрица PMNS
Введение в физику нейтрино
Поль Дирак и Этторе Майорана
1902–1984. Релятивистское уравнение Дирака описало фермион со спином \(1/2\) и привело к предсказанию античастицы электрона. В 1933 году Дирак разделил Нобелевскую премию по физике с Эрвином Шрёдингером.
1906 — исчез в 1938 году. В 1937 году Майорана построил теорию нейтрального фермиона, совпадающего со своей античастицей. О том, применимо ли это описание к нейтрино, должен сказать эксперимент.
Сесилия Ярлског
В 1985 году Ярлског предложила для кварков величину, которая не меняется при переопределении фаз полей:
\[ \boxed{ J_{\rm CP} =\operatorname{Im} \left(U_{e2}^*U_{\mu2}U_{e1}U_{\mu1}^*\right) }. \]
В стандартной параметризации
\[ \boxed{ J_{\rm CP} =c_{12}s_{12}c_{23}s_{23}c_{13}^2s_{13}\sin\delta_{\rm CP} }. \]
\(J_{\rm CP}\ne0\), только если все три угла отличны от \(0\) и \(90^\circ\), а \(\sin\delta_{\rm CP}\ne0\).
Напоминание
Перефазировка полей \(\ell_\alpha\to e^{i\varphi_\alpha}\ell_\alpha\), \(\nu_i\to e^{i\psi_i}\nu_i\) не меняет физику (вкладка «Частица Дирака»).
- Фазы полей произвольны: \(U_{\alpha i}\to e^{i(\varphi_\alpha-\psi_i)}U_{\alpha i}\).
- Один элемент меняет фазу, поэтому его фаза ненаблюдаема.
- Из двух элементов инвариантна только пара \(U_{\alpha i}U_{\alpha i}^*=|U_{\alpha i}|^2\), а она вещественна.
- Строки \(\alpha\ne\beta\) и столбцы \(i\ne j\) дают четвёрку
\[ Q_{\alpha\beta}^{ij}=U_{\alpha i}U_{\beta j}U_{\alpha j}^*U_{\beta i}^*. \]
- Каждый индекс входит один раз в \(U\) и один раз в \(U^*\): фазы сокращаются, а \(Q\) может быть комплексным.
- Для антинейтрино \(U\to U^*\), поэтому \(\operatorname{Im}Q\to-\operatorname{Im}Q\): это CP-нечётная величина.
Символ Леви-Чивиты
\(\varepsilon_{e\mu\tau}=\varepsilon_{123}=1\).
Перестановка двух индексов меняет знак; если два индекса совпадают, \(\varepsilon=0\).
- Пару строк \(\{\alpha,\beta\}\) можно выбрать тремя способами, пару столбцов \(\{i,j\}\) тоже тремя.
- Получается \(3\cdot3=9\) подматриц \(2\times2\) и девять четвёрок \(Q\).
Утверждение. При трёх флэйворах их мнимые части совпадают с точностью до знака:
\[ \boxed{ \operatorname{Im}Q_{\alpha\beta}^{ij} =J_{\rm CP}\sum_{\gamma,k}\varepsilon_{\alpha\beta\gamma}\,\varepsilon_{ijk} }, \qquad J_{\rm CP}=\operatorname{Im}Q_{e\mu}^{12}. \]
- Знак задаёт произведение \(\varepsilon_{\alpha\beta\gamma}\varepsilon_{ijk}\).
- Значит, у трёх флэйворов один CP-нечётный инвариант смешивания.
Нужно
Ортогональность строк: \(\sum_iU_{\alpha i}U_{\beta i}^*=0\) при \(\alpha\ne\beta\).
\(\operatorname{Im}|z|^2=0\), \(\operatorname{Im}(w z^*)=-\operatorname{Im}(z w^*)\).
- Для строк \(\alpha\ne\beta\) положим \(z_i=U_{\alpha i}U_{\beta i}^*\). Ортогональность: \(z_1+z_2+z_3=0\).
- Произведение двух слагаемых даёт четвёрку: \(z_1z_2^*=Q_{\alpha\beta}^{12}\).
- Подставим \(z_3=-(z_1+z_2)\):
\[ z_2z_3^*=-z_2z_1^*-|z_2|^2 \;\Rightarrow\; \operatorname{Im}(z_2z_3^*)=\operatorname{Im}(z_1z_2^*). \]
- Так же \(\operatorname{Im}(z_3z_1^*)=\operatorname{Im}(z_1z_2^*)\), а перестановка столбцов меняет знак.
- Ортогональность столбцов повторяет шаги 1–4 для пар строк. \(\square\)
- \(z_1+z_2+z_3=0\): три вектора замыкают треугольник унитарности.
- Треугольник — половина параллелограмма на \(z_1\) и \(z_2\):
\[ \boxed{ S=\frac12\left|z_1\times z_2\right| =\frac12\left|\operatorname{Im}(z_1^*z_2)\right| =\frac12|J_{\rm CP}| }. \]
- Площадь одна у всех шести треугольников: трёх по строкам и трёх по столбцам.
- \(J_{\rm CP}=0\): треугольник вырождается в отрезок.
Напоминание
\(X_{\alpha\beta}^{ij}=U_{\alpha i}^*U_{\beta i}U_{\alpha j}U_{\beta j}^*\) входит в вероятность с \(\sin2\Delta_{ij}\) (слайд «Квадрат амплитуды»).
- Два флэйвора: \(z_1+z_2=0\), треугольник вырожден, CP сохраняется.
- Осцилляции: \(X^{ij}_{\alpha\beta}\) тоже четвёрка, \(\operatorname{Im}X^{ij}_{\alpha\beta}=\pm J_{\rm CP}\). Поэтому \(P(\nu_\alpha\to\nu_\beta)-P(\bar\nu_\alpha\to\bar\nu_\beta)\propto J_{\rm CP}\) (следующий слайд).
- Нужны три различные массы: при \(\Delta m^2_{ij}=0\) разность исчезает.
- Выживание: \(\varepsilon_{\alpha\alpha\gamma}=0\), асимметрии нет.
- Майорановские фазы столбцов в каждой четвёрке сокращаются.
- \(N\) флэйворов: \((N-1)(N-2)/2\) дираковских фаз; при \(N\ge4\) одного \(J_{\rm CP}\) не хватает.
Ярлског, 1985
Для кварков
\[ \det[H_u,H_d]\propto iJ\,D_uD_d, \]
где \(H=MM^\dagger\), а \(D_q\) — произведение разностей квадратов масс. Нужны и фаза, и невырожденные массы.
\[ J_{\rm CP}=\frac18\sin2\theta_{12}\sin2\theta_{23} \sin2\theta_{13}\cos\theta_{13}\sin\delta_{\rm CP}. \]
- Максимум: \(\theta_{12}=\theta_{23}=45^\circ\), \(|\sin\delta_{\rm CP}|=1\), а \(c_{13}^2s_{13}=(1-x)\sqrt x\) максимален при \(x=\sin^2\theta_{13}=1/3\):
\[ |J_{\rm CP}|\le\frac1{6\sqrt3}\approx0.096,\qquad |U_{\alpha i}|^2=\frac13. \]
- Лептоны (NuFIT 6.1): \(J_{\rm CP}\approx0.034\sin\delta_{\rm CP}\); в лучшей точке NO \(J_{\rm CP}\approx-0.018\).
- Кварки: \(J\approx3\cdot10^{-5}\).
Профили: солнечный сектор
- Положение минимума даёт лучшее значение.
- Ширина показывает точность после учёта остальных параметров.
Профили: атмосферный сектор
Профиль \(\theta_{23}\) допускает решения по обе стороны \(45^\circ\). При сравнении NO и IO следите за обозначением \(\Delta m_{3\ell}^2\): для NO это \(\Delta m_{31}^2\), для IO — \(\Delta m_{32}^2\).
Красный: NO; синий: IO. Сплошные кривые: без табулированных SK-atm; пунктирные: с ними.
Профили: \(\theta_{13}\) и CP-фаза
У \(\theta_{13}\) узкий минимум. Профиль фазы гораздо шире, и его вид заметно меняется при выборе набора атмосферных данных.
Красный: NO; синий: IO. Сплошные кривые: без табулированных SK-atm; пунктирные: с ними. Источник графика.
Треугольник унитарности: что показывает рисунок
\[ U_{e1}U_{\mu1}^*+U_{e2}U_{\mu2}^*+U_{e3}U_{\mu3}^*=0. \]
Три комплексных слагаемых замыкают треугольник. На рисунке NuFIT замыкание наложено заранее, и показаны формы треугольника, разрешённые в унитарной модели. Для прямого теста замыкание оставляют свободным.
