Задачи: осцилляции нейтрино в вакууме

Введение в физику нейтрино

Автор

Дмитрий В. Наумов

← Вернуться к лекции · Все задачи курса

Задачи

Задача 09.1. Общая и относительная фазы

Рассмотрите нормированную суперпозицию двух собственных состояний энергии:

\[ |\psi(t)\rangle =c_1e^{-iE_1t}|E_1\rangle+c_2e^{-iE_2t}|E_2\rangle, \qquad |c_1|^2+|c_2|^2=1. \]

  1. Покажите, что замена

    \[ |\psi(t)\rangle\longrightarrow e^{i\chi(t)}|\psi(t)\rangle \]

    не меняет среднего значения произвольного оператора \(\widehat A\).

  2. Найдите матрицу плотности \(\rho(t)=|\psi(t)\rangle\langle\psi(t)|\) в энергетическом базисе. Какие её элементы зависят от времени?

  3. Объясните, почему вероятности измерить \(E_1\) и \(E_2\) постоянны.

  4. Введите состояние

    \[ |a\rangle =\cos\eta\,|E_1\rangle +e^{i\varphi}\sin\eta\,|E_2\rangle. \]

    Вычислите \(P(a,t)=|\langle a|\psi(t)\rangle|^2\) и явно выделите интерференционный член, зависящий от \((E_2-E_1)t\).

  5. При каких условиях этот интерференционный член исчезает? Различите отсутствие одной из компонент, вырождение энергий и специальный выбор базиса измерения.

Сформулируйте главный физический вывод: почему общая фаза не наблюдаема, а относительная фаза может менять вероятности?

Задача 09.2. Энергия флэйворного состояния

Два флэйворных состояния связаны с массовыми состояниями поворотом

\[ |\nu_\alpha\rangle =c_\theta|\nu_1\rangle+s_\theta|\nu_2\rangle, \qquad |\nu_\beta\rangle =-s_\theta|\nu_1\rangle+c_\theta|\nu_2\rangle, \]

где

\[ H_0|\nu_i\rangle=E_i|\nu_i\rangle, \qquad c_\theta=\cos\theta, \quad s_\theta=\sin\theta. \]

Для каждого из двух флэйворных состояний:

  1. найдите вероятности получить результаты \(E_1\) и \(E_2\) при измерении энергии;

  2. вычислите \(\langle H_0\rangle\);

  3. вычислите \(\langle H_0^2\rangle\);

  4. получите дисперсию

    \[ \operatorname{Var}(H_0) =\langle H_0^2\rangle-\langle H_0\rangle^2; \]

  5. покажите, что

    \[ \operatorname{Var}_\alpha(H_0) =\operatorname{Var}_\beta(H_0) =\frac14\sin^2 2\theta\,(E_2-E_1)^2. \]

Объясните, почему ненулевая дисперсия указывает на наличие нескольких энергетических компонент, но не означает, что сама энергия осциллирует во времени. При каких значениях параметров дисперсия исчезает?

Задача 09.3. Полный вывод двухфлэйворной вероятности

Пусть при \(t=0\) рождено нейтрино флэйвора \(\alpha\):

\[ |\psi(0)\rangle=|\nu_\alpha\rangle. \]

  1. Разложите начальное состояние по \(|\nu_1\rangle\) и \(|\nu_2\rangle\) и проведите его временную эволюцию.

  2. Выпишите обратный поворот от массового базиса к флэйворному.

  3. Получите амплитуды

    \[ \mathcal A_{\alpha\to\alpha}(t) =c_\theta^2e^{-iE_1t}+s_\theta^2e^{-iE_2t}, \]

    \[ \mathcal A_{\alpha\to\beta}(t) =s_\theta c_\theta \left(e^{-iE_2t}-e^{-iE_1t}\right). \]

  4. Введите

    \[ \overline E=\frac{E_1+E_2}{2}, \qquad \Delta E=E_2-E_1, \]

    выделите общую фазу и получите вероятности появления и выживания.

  5. Проверьте унитарность:

    \[ P_{\alpha\to\alpha}(t)+P_{\alpha\to\beta}(t)=1. \]

  6. Найдите максимальную вероятность перехода и период осцилляций.

  7. Разложите вероятность перехода при \(|\Delta E|t\ll1\) и покажите, что

    \[ P_{\alpha\to\beta}(t) \simeq \sin^2 2\theta\,\frac{(\Delta E)^2t^2}{4}. \]

Почему вероятность вблизи \(t=0\) растёт квадратично, хотя амплитуда перехода растёт линейно?

Задача 09.4. От фазы плоской волны к зависимости от L/E

Для массовой компоненты плоской волны используйте фазу

\[ e^{-i(E_it-p_iL)}. \]

  1. Покажите, что относительная фаза двух компонент равна

    \[ \Delta\phi(t,L)=\Delta E\,t-\Delta p\,L. \]

  2. Сначала положите \(p_1=p_2=p\). Домножая разность квадратных корней на сопряжённую сумму, докажите точное равенство

    \[ \Delta E =\frac{\Delta m^2}{E_2+E_1}, \qquad \Delta m^2=m_2^2-m_1^2. \]

  3. В ультрарелятивистском пределе \(E_i\simeq p\simeq E\) и при \(t\simeq L\) получите

    \[ \Delta\phi\simeq\frac{\Delta m^2L}{2E}. \]

  4. Повторите вывод, положив \(E_1=E_2=E\). Найдите \(\Delta p\) и покажите, что теперь тот же результат возникает из члена \(-\Delta pL\).

  5. Объясните, почему две плосковолновые идеализации приводят к одинаковой фазе лишь в ведущем ультрарелятивистском порядке.

  6. Используя

    \[ \hbar c=1.97327\cdot10^{-7}~\mathrm{эВ\,м}, \]

    самостоятельно получите коэффициент \(1.267\) в формуле

    \[ P_{\alpha\to\beta} =\sin^2 2\theta\, \sin^2\!\left[ 1.267\, \frac{\Delta m^2[\mathrm{эВ}^2]L[\mathrm{км}]} {E[\mathrm{ГэВ}]} \right]. \]

  7. Наконец, для общего импульса \(p\ll m_i\) получите

    \[ \Delta E \simeq \Delta m\left(1-\frac{p^2}{2m_1m_2}\right), \qquad \Delta m=m_2-m_1. \]

    Запишите ведущую нерелятивистскую вероятность как функцию времени. Почему при переходе к расстоянию скорость входит явно и универсальная зависимость только от \(L/E\) исчезает?

Задача 09.5. Макет осцилляционного эксперимента

В некотором двухфлэйворном эксперименте максимальная вероятность перехода равна

\[ P_{\alpha\to\beta}^{\max}=0.64. \]

Первый максимум при энергии \(E=0.60~\mathrm{ГэВ}\) наблюдается на расстоянии \(L=295~\mathrm{км}\).

  1. В соглашении \(0\leq\theta\leq45^\circ\) найдите угол смешивания.

  2. Используя практическую формулу вероятности, найдите \(|\Delta m^2|\).

  3. Найдите длину осцилляций \(L_{\mathrm{osc}}\) при данной энергии.

  4. При том же расстоянии вычислите вероятности появления и выживания для

    \[ E=0.30~\mathrm{ГэВ}, \qquad E=0.60~\mathrm{ГэВ}, \qquad E=1.20~\mathrm{ГэВ}. \]

  5. Постройте \(P_{\alpha\to\beta}(E)\) и \(P_{\alpha\to\alpha}(E)\) в диапазоне \(0.2\leq E\leq1.5~\mathrm{ГэВ}\).

  6. Можно ли по этим измерениям определить знак \(\Delta m^2\)?

  7. Сравните три причины нулевой вероятности перехода:

    • \(\sin2\theta=0\);
    • \(\Delta m^2=0\);
    • \(\Delta m^2L/(4E)=n\pi\).

    Какие из них запрещают осцилляции вообще, а какая создаёт только отдельные узлы вероятности?

Задача 09.6. Связанные маятники разных масс

Два маятника одинаковой длины \(\ell\) и разных масс \(m_1\) и \(m_2\) соединены слабой пружиной жёсткости \(k\). Углы отклонения \(\varphi_i\) малы, а \(\omega_0^2=g/\ell\).

  1. Покажите, что в квадратичном приближении

    \[ T=\frac{\ell^2}{2} \left(m_1\dot\varphi_1^2+m_2\dot\varphi_2^2\right), \]

    \[ V=\frac{\ell^2}{2} \left[ \omega_0^2(m_1\varphi_1^2+m_2\varphi_2^2) +k(\varphi_1-\varphi_2)^2 \right]. \]

  2. Получите матричное уравнение

    \[ \mathsf M\ddot{\boldsymbol\varphi} +\mathsf K\boldsymbol\varphi=0 \]

    и выпишите \(\mathsf M\) и \(\mathsf K\).

  3. Введите массово-нормированные координаты

    \[ \boldsymbol x=\mathsf M^{1/2}\boldsymbol\varphi \]

    и получите вещественную симметричную матрицу \(\Omega^2\) в уравнении \(\ddot{\boldsymbol x}+\Omega^2\boldsymbol x=0\).

  4. Найдите собственные частоты и нормированные собственные векторы. Покажите, что

    \[ \omega_+^2=\omega_0^2, \qquad \omega_-^2 =\omega_0^2+k\left(\frac1{m_1}+\frac1{m_2}\right). \]

  5. Вводя угол смешивания по собственным векторам, докажите

    \[ \tan^2\theta=\frac{m_2}{m_1}, \qquad \sin^2 2\theta =\frac{4m_1m_2}{(m_1+m_2)^2}. \]

  6. Пусть \(\Omega\) — положительный квадратный корень из \(\Omega^2\). Введите

    \[ \boldsymbol a =\boldsymbol x+i\Omega^{-1}\dot{\boldsymbol x} \]

    и докажите точное уравнение \(i\dot{\boldsymbol a}=\Omega\boldsymbol a\), а также сохранение нормы \(\boldsymbol a^\dagger\boldsymbol a\).

  7. Если в начальный момент возбуждён только первый маятник, получите

    \[ P_{1\to2}(t) =\sin^2 2\theta\, \sin^2\frac{(\omega_--\omega_+)t}{2}. \]

  8. Для

    \[ \frac{m_2}{m_1}=\frac14, \qquad \frac{k}{m_1\omega_0^2}=0.10 \]

    найдите максимальное значение \(P_{1\to2}\), \(\omega_-/\omega_0\) и время первого максимума.

  9. При каком отношении масс возможна полная передача?

  10. Объясните, почему \(P_i=|a_i|^2/\|\boldsymbol a\|^2\) точно является долей нормы комплексной амплитуды, но совпадает с долей усреднённой локальной энергии только в пределе слабой связи.