Осцилляции в вакууме. Два флэйвора
Введение в физику нейтрино
ОИЯИ
Простыми словами
Нейтринные осцилляции — (квази)периодическое изменение вероятности обнаружить распространяющееся нейтрино с тем или иным флэйвором.
\[ \nu_\alpha \quad\xrightarrow{\qquad L\qquad}\quad \begin{cases} \nu_\alpha & \text{с вероятностью }P_{\alpha\to\alpha}(L,E),\\[2mm] \nu_\beta & \text{с вероятностью }P_{\alpha\to\beta}(L,E). \end{cases} \]
- В простейшей двухфлэйворной системе эти вероятности периодичны по \(L/E\).
- Для трёх флэйворов накладываются несколько осцилляционных частот.
Что именно осциллирует? Не масса и не «вещество» нейтрино, а вероятности результатов флэйворного измерения.
Нейтрино — квантовый хамелеон
Квантовый хамелеон
Периодичность — в вероятностях
Когда осцилляций нет
Состояние с определённой энергией
\(\hbar=c=1\),
гамильтониан
не зависит
от времени.
Состояние имеет определённую энергию \(E\), если оно является собственным состоянием гамильтониана:
\[ \widehat{H}|E\rangle=E|E\rangle. \]
Пусть в начальный момент
\[ |\psi(0)\rangle=|E\rangle. \]
Его эволюция определяется уравнением
\[ i\frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle=\widehat{H}|\psi(t)\rangle. \]
Ищем решение в виде
\[ |\psi(t)\rangle=f(t)|E\rangle. \]
Подстановка даёт
\[ i\dot f(t)|E\rangle = f(t)\widehat{H}|E\rangle = E f(t)|E\rangle, \]
то есть
\[ i\dot f(t)=Ef(t). \]
При начальном условии \(f(0)=1\):
\[ f(t)=e^{-iEt}. \]
Следовательно,
\[ \boxed{ |\psi(t)\rangle=e^{-iEt}|E\rangle }. \]
Зависимость от времени есть, но всё состояние умножается на один и тот же фазовый множитель.
\[ |\psi(t)\rangle=e^{-iEt}|\psi(0)\rangle. \]
Число \(e^{-iEt}\) имеет единичный модуль:
\[ \left|e^{-iEt}\right|=1. \]
Оно меняет представление вектора состояния, но не меняет ни одной вероятности измерения.
Собственное состояние энергии приобретает только общую фазу и потому физически стационарно.
Почему общая фаза не наблюдаема
Пусть \(|a\rangle\) — произвольный возможный результат измерения.
Амплитуда результата \(a\):
\[ \langle a|\psi(t)\rangle = e^{-iEt}\langle a|E\rangle. \]
По правилу Борна:
\[ \begin{aligned} P(a,t) &= \left|\langle a|\psi(t)\rangle\right|^2 \\ &= \left|e^{-iEt}\right|^2 \left|\langle a|E\rangle\right|^2 \\ &= P(a,0). \end{aligned} \]
Для любого оператора \(A\) без явной зависимости от времени:
\[ \begin{aligned} \langle A\rangle_t &= \langle\psi(t)|A|\psi(t)\rangle \\ &= e^{+iEt}e^{-iEt} \langle E|A|E\rangle \\ &= \langle A\rangle_0. \end{aligned} \]
Фазы бра и кета взаимно сокращаются.
Физическое чистое состояние можно записать как
\[ \rho(t)=|\psi(t)\rangle\langle\psi(t)|. \]
Для состояния с определённой энергией
\[ \begin{aligned} \rho(t) &=e^{-iEt}|E\rangle\langle E|e^{+iEt} \\ &=|E\rangle\langle E| =\rho(0). \end{aligned} \]
Значит, начальное и эволюционировавшее состояния физически неразличимы.
Состояния
\[ |\psi\rangle \quad\text{и}\quad e^{i\varphi}|\psi\rangle \]
описывают один и тот же физический луч в гильбертовом пространстве.
Наблюдаема не сама фаза квантовой амплитуды, а разность фаз между компонентами суперпозиции.
Что может осциллировать?
Обе волновые функции зависят от времени. Почему слева ничего наблюдаемого не меняется, а справа вероятность осциллирует?
Суперпозиция двух энергий
Рассмотрим нормированную суперпозицию двух состояний с разными энергиями:
\[ |\psi(0)\rangle = c_1|E_1\rangle+c_2|E_2\rangle, \qquad |c_1|^2+|c_2|^2=1, \]
где
\[ \widehat{H}|E_i\rangle=E_i|E_i\rangle, \qquad E_1\ne E_2. \]
Измерение энергии по-прежнему даёт постоянные вероятности
\[ P(E_1)=|c_1|^2, \qquad P(E_2)=|c_2|^2. \]
Каждая компонента приобретает собственную фазу:
\[ |\psi(t)\rangle = c_1e^{-iE_1t}|E_1\rangle + c_2e^{-iE_2t}|E_2\rangle. \]
Теперь нельзя вынести один фазовый множитель так, чтобы внутри скобок осталось начальное состояние.
У двух компонент разные угловые скорости вращения в комплексной плоскости:
\[ \omega_1=E_1, \qquad \omega_2=E_2. \]
Вынесем фазу первой компоненты:
\[ |\psi(t)\rangle = e^{-iE_1t} \left[ c_1|E_1\rangle + c_2e^{-i(E_2-E_1)t}|E_2\rangle \right]. \]
Общий множитель \(e^{-iE_1t}\) не наблюдаем. Внутри скобок остаётся относительная фаза
\[ \boxed{ \Delta\phi(t)\equiv\phi_2-\phi_1=-\Delta E\,t, \qquad \Delta E=E_2-E_1 }. \]
Распределение энергии не меняется:
\[ P(E_i,t)=|c_i|^2. \]
Но амплитуда любого состояния \(|a\rangle\), содержащего обе энергетические компоненты, включает интерференцию:
\[ \langle a|\psi(t)\rangle = c_1e^{-iE_1t}\langle a|E_1\rangle + c_2e^{-iE_2t}\langle a|E_2\rangle. \]
Поэтому \(P(a,t)\) может зависеть от \(\Delta E\,t\).
Для осцилляций нужны как минимум две компоненты с разными энергиями и измерение в базисе, отличном от энергетического.
Двухуровневая система: полный результат
Введём ортонормированный базис наблюдаемых состояний как поворот энергетического базиса:
\[ \begin{pmatrix} |\alpha\rangle\\[2pt] |\beta\rangle \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta\\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} |E_1\rangle\\[2pt] |E_2\rangle \end{pmatrix}. \]
То есть
\[ \begin{aligned} |\alpha\rangle &=c_\theta|E_1\rangle+s_\theta|E_2\rangle, \\ |\beta\rangle &=-s_\theta|E_1\rangle+c_\theta|E_2\rangle, \end{aligned} \]
где \(c_\theta\equiv\cos\theta\) и \(s_\theta\equiv\sin\theta\).
Пусть в момент \(t=0\) приготовлено состояние \(|\alpha\rangle\):
\[ |\psi(0)\rangle=|\alpha\rangle =c_\theta|E_1\rangle+s_\theta|E_2\rangle. \]
Через время \(t\):
\[ |\psi(t)\rangle = c_\theta e^{-iE_1t}|E_1\rangle + s_\theta e^{-iE_2t}|E_2\rangle. \]
В энергетическом базисе меняются только фазы. В базисе \((|\alpha\rangle,|\beta\rangle)\) меняются вероятности.
Амплитуда перехода \(\alpha\to\beta\):
\[ \begin{aligned} \mathcal A_{\alpha\to\beta}(t) &=\langle\beta|\psi(t)\rangle \\ &=s_\theta c_\theta \left(e^{-iE_2t}-e^{-iE_1t}\right). \end{aligned} \]
Введём
\[ \overline E=\frac{E_1+E_2}{2}, \qquad \Delta E=E_2-E_1. \]
Тогда
\[ \boxed{ \mathcal A_{\alpha\to\beta}(t) = -i\,e^{-i\overline E t} \sin2\theta\, \sin\frac{\Delta E\,t}{2} }. \]
Общая фаза \(e^{-i\overline E t}\) исчезает при вычислении квадрата модуля:
\[ \boxed{ P_{\alpha\to\beta}(t) = \sin^22\theta\, \sin^2\left(\frac{\Delta E\,t}{2}\right) }. \]
Амплитуда выживания равна
\[ \mathcal A_{\alpha\to\alpha}(t) = c_\theta^2e^{-iE_1t} +s_\theta^2e^{-iE_2t}, \]
а вероятность
\[ \boxed{ P_{\alpha\to\alpha}(t) =1-P_{\alpha\to\beta}(t) }. \]
Амплитуда перехода
\[ P_{\alpha\to\beta}^{\max} =\sin^22\theta. \]
- \(\theta=0\): базисы совпадают;
- \(\theta=\pi/4\): возможен полный переход.
Период вероятности
\[ T_{\mathrm{osc}} =\frac{2\pi}{|\Delta E|}. \]
- \(\Delta E=0\): относительная фаза не набегает;
- чем больше \(|\Delta E|\), тем быстрее осцилляции.
Смешивание определяет глубину осцилляций, а расщепление энергий — их частоту.
Два флэйвора
Что означает флэйвор
Флэйвор нейтрино определяется заряженным лептоном в слабом взаимодействии:
\[ W^+\longrightarrow \ell_\alpha^++\nu_\alpha, \qquad \nu_\alpha+N\longrightarrow \ell_\alpha^-+X, \]
где \(\alpha=e,\mu,\tau\) и \(\ell_\alpha=e,\mu,\tau\).
Рождение
Наблюдаемый лептон \(\ell_\alpha\) задаёт приготовленное состояние \(|\nu_\alpha\rangle\).
Регистрация
Лептон \(\ell_\beta\) в во взаимодействии по каналу с обменом \(W\) бозоном означает регистрацию флэйвора \(\nu_\beta\).
Два базиса
Свободный гамильтониан диагонален в базисе массовых состояний:
\[ \widehat H_0|\nu_i\rangle=E_i|\nu_i\rangle, \qquad E_i(p)=\sqrt{p^2+m_i^2}, \qquad i=1,2. \]
Состояния \(|\nu_1\rangle\) и \(|\nu_2\rangle\) имеют определённые массы и при распространении приобретают фазы \(e^{-iE_it}\).
В двухфлэйворном приближении
\[ \boxed{ \begin{pmatrix} |\nu_\alpha\rangle\\[2pt] |\nu_\beta\rangle \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta\\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} |\nu_1\rangle\\[2pt] |\nu_2\rangle \end{pmatrix} }. \]
То есть
\[ |\nu_\alpha\rangle=c_\theta|\nu_1\rangle+s_\theta|\nu_2\rangle, \qquad |\nu_\beta\rangle=-s_\theta|\nu_1\rangle+c_\theta|\nu_2\rangle. \]
Поскольку матрица поворота ортогональна,
\[ \begin{aligned} |\nu_1\rangle &=c_\theta|\nu_\alpha\rangle-s_\theta|\nu_\beta\rangle, \\ |\nu_2\rangle &=s_\theta|\nu_\alpha\rangle+c_\theta|\nu_\beta\rangle. \end{aligned} \]
- \(\theta=0\): флэйворный и массовый базисы совпадают;
- \(\theta=\pi/4\): каждое флэйворное состояние содержит равные доли двух масс.
Во флэйворном базисе
\[ H_f =\overline E\,I +\frac{\Delta E}{2} \begin{pmatrix} -\cos2\theta & \sin2\theta\\ \sin2\theta & \cos2\theta \end{pmatrix}, \]
где
\[ \overline E=\frac{E_1+E_2}{2}, \qquad \Delta E=E_2-E_1. \]
Член \(\overline E I\) даёт только общую фазу, а внедиагональные элементы приводят к переходам между флэйворами.
Энергия флэйворного нейтрино
Пусть
\[ |\nu_\alpha\rangle =c_\theta|\nu_1\rangle+s_\theta|\nu_2\rangle, \qquad \widehat H_0|\nu_i\rangle=E_i|\nu_i\rangle. \]
При измерении энергии возможны два результата:
\[ \begin{aligned} P_\alpha(E_1) &=|\langle\nu_1|\nu_\alpha\rangle|^2=c_\theta^2, \\ P_\alpha(E_2) &=|\langle\nu_2|\nu_\alpha\rangle|^2=s_\theta^2. \end{aligned} \]
Флэйворное состояние не является состоянием с определённой энергией.
Используем ортонормированность \(\langle\nu_i|\nu_j\rangle=\delta_{ij}\):
\[ \begin{aligned} \langle H_0\rangle_\alpha &=\langle\nu_\alpha|\widehat H_0|\nu_\alpha\rangle \\ &=(c_\theta\langle\nu_1|+s_\theta\langle\nu_2|) (c_\theta E_1|\nu_1\rangle+s_\theta E_2|\nu_2\rangle) \\ &=\boxed{c_\theta^2E_1+s_\theta^2E_2}. \end{aligned} \]
Перекрёстные члены исчезают, поскольку \(\langle\nu_1|\nu_2\rangle=0\).
Из уравнения на собственные значения следует
\[ \widehat H_0^2|\nu_i\rangle=E_i^2|\nu_i\rangle. \]
Поэтому
\[ \begin{aligned} \widehat H_0^2|\nu_\alpha\rangle &=c_\theta E_1^2|\nu_1\rangle +s_\theta E_2^2|\nu_2\rangle, \\[3pt] \langle H_0^2\rangle_\alpha &=\boxed{c_\theta^2E_1^2+s_\theta^2E_2^2}. \end{aligned} \]
Это второй момент распределения результатов измерения энергии.
По определению
\[ \begin{aligned} \operatorname{Var}_\alpha(H_0) &=\langle H_0^2\rangle_\alpha-\langle H_0\rangle_\alpha^2 \\ &=c_\theta^2E_1^2+s_\theta^2E_2^2 -(c_\theta^2E_1+s_\theta^2E_2)^2 \\ &=c_\theta^2s_\theta^2(E_2-E_1)^2 \\ &=\boxed{\frac14\sin^22\theta\,(\Delta E)^2}. \end{aligned} \]
Стандартное отклонение равно
\[ \sigma_{E,\alpha} =\frac12|\sin2\theta|\,|\Delta E|. \]
Для второго флэйвора
\[ \langle H_0\rangle_\beta=s_\theta^2E_1+c_\theta^2E_2, \qquad \operatorname{Var}_\beta(H_0) =\operatorname{Var}_\alpha(H_0). \]
Дисперсия исчезает, если
\[ \sin2\theta=0 \qquad\text{или}\qquad E_1=E_2. \]
Ненулевая дисперсия означает, что в состоянии присутствуют компоненты с двумя энергиями. Энергия не осциллирует: меняется их относительная фаза, а распределение энергии остаётся постоянным.
Осцилляции во времени
Пусть при \(t=0\) рождено нейтрино флэйвора \(\alpha\):
\[ |\psi(0)\rangle=|\nu_\alpha\rangle =c_\theta|\nu_1\rangle+s_\theta|\nu_2\rangle. \]
Это не состояние с определённой энергией, если \(\theta\ne0\) и \(E_1\ne E_2\).
Каждая массовая компонента с течением времени \(t\) приобретает собственную фазу:
\[ |\psi(t)\rangle =c_\theta e^{-iE_1t}|\nu_1\rangle +s_\theta e^{-iE_2t}|\nu_2\rangle. \]
Сами доли массовых состояний остаются постоянными:
\[ P(\nu_1)=c_\theta^2, \qquad P(\nu_2)=s_\theta^2. \]
Чтобы вернуться во флэйворный базис, используем обратный поворот:
\[ \begin{aligned} |\nu_1\rangle &=c_\theta|\nu_\alpha\rangle-s_\theta|\nu_\beta\rangle, \\ |\nu_2\rangle &=s_\theta|\nu_\alpha\rangle+c_\theta|\nu_\beta\rangle. \end{aligned} \]
Подставим обе формулы в эволюционировавшее состояние:
\[ \begin{aligned} |\psi(t)\rangle &=c_\theta e^{-iE_1t} \bigl(c_\theta|\nu_\alpha\rangle-s_\theta|\nu_\beta\rangle\bigr) \\ &\quad+s_\theta e^{-iE_2t} \bigl(s_\theta|\nu_\alpha\rangle+c_\theta|\nu_\beta\rangle\bigr). \end{aligned} \]
Раскроем скобки:
\[ \begin{aligned} |\psi(t)\rangle ={}&c_\theta^2e^{-iE_1t}|\nu_\alpha\rangle -s_\theta c_\theta e^{-iE_1t}|\nu_\beta\rangle \\ &+s_\theta^2e^{-iE_2t}|\nu_\alpha\rangle +s_\theta c_\theta e^{-iE_2t}|\nu_\beta\rangle. \end{aligned} \]
Собирая отдельно коэффициенты при двух флэйворах, получаем
\[ \begin{aligned} |\psi(t)\rangle ={}&\underbrace{\left(c_\theta^2e^{-iE_1t} +s_\theta^2e^{-iE_2t}\right)}_{\mathcal A_{\alpha\to\alpha}(t)} |\nu_\alpha\rangle \\ &+\underbrace{s_\theta c_\theta \left(e^{-iE_2t}-e^{-iE_1t}\right)}_{\mathcal A_{\alpha\to\beta}(t)} |\nu_\beta\rangle. \end{aligned} \]
При \(t=0\): \(\mathcal A_{\alpha\to\alpha}=1\) и \(\mathcal A_{\alpha\to\beta}=0\), как и должно быть.
От амплитуд к вероятностям
Введём среднюю энергию и разность энергий:
\[ \overline E=\frac{E_1+E_2}{2}, \qquad \Delta E=E_2-E_1. \]
Отсюда
\[ E_1=\overline E-\frac{\Delta E}{2}, \qquad E_2=\overline E+\frac{\Delta E}{2}. \]
Используем следствие формулы Эйлера:
\[ e^{-ix}-e^{+ix}=-2i\sin x. \]
Вынесем общую фазу \(e^{-i\overline Et}\):
\[ \begin{aligned} e^{-iE_2t}-e^{-iE_1t} &=e^{-i\overline Et} \left(e^{-i\Delta Et/2}-e^{+i\Delta Et/2}\right) \\ &=-2i\,e^{-i\overline Et} \sin\left(\frac{\Delta E\,t}{2}\right). \end{aligned} \]
Общая фаза имеет единичный модуль и не влияет на вероятность.
Вероятность появления
Подставим найденную разность фаз:
\[ \begin{aligned} \mathcal A_{\alpha\to\beta}(t) &=s_\theta c_\theta \left(e^{-iE_2t}-e^{-iE_1t}\right) \\ &=-2i\,s_\theta c_\theta\,e^{-i\overline Et} \sin\left(\frac{\Delta E\,t}{2}\right) \\ &=-i\sin2\theta\,e^{-i\overline Et} \sin\left(\frac{\Delta E\,t}{2}\right), \end{aligned} \]
где использовано \(2s_\theta c_\theta=\sin2\theta\).
Сначала заметим:
\[ |-i|^2=1, \qquad \left|e^{-i\overline Et}\right|^2 =e^{-i\overline Et}e^{+i\overline Et}=1. \]
Поэтому
\[ \begin{aligned} P_{\alpha\to\beta}(t) &=|\mathcal A_{\alpha\to\beta}(t)|^2 \\ &=\sin^22\theta\, \sin^2\left(\frac{\Delta E\,t}{2}\right). \end{aligned} \]
\[ \boxed{ P_{\alpha\to\beta}(t) =\sin^22\theta\, \sin^2\left(\frac{\Delta E\,t}{2}\right) }. \]
Вероятность выживания
Обозначим
\[ \phi=\frac{\Delta E\,t}{2}. \]
Тогда
\[ \begin{aligned} \mathcal A_{\alpha\to\alpha}(t) &=c_\theta^2e^{-iE_1t}+s_\theta^2e^{-iE_2t} \\ &=e^{-i\overline Et} \left(c_\theta^2e^{+i\phi}+s_\theta^2e^{-i\phi}\right). \end{aligned} \]
Раскроем две экспоненты:
\[ \begin{aligned} c_\theta^2e^{+i\phi}+s_\theta^2e^{-i\phi} &=c_\theta^2(\cos \phi+i\sin \phi) +s_\theta^2(\cos \phi-i\sin \phi) \\ &=(c_\theta^2+s_\theta^2)\cos \phi +i(c_\theta^2-s_\theta^2)\sin \phi \\ &=\cos \phi+i\cos2\theta\sin \phi. \end{aligned} \]
Следовательно,
\[ \mathcal A_{\alpha\to\alpha}(t) =e^{-i\overline Et} \left(\cos \phi+i\cos2\theta\sin \phi\right). \]
Общая фаза снова сокращается:
\[ \begin{aligned} P_{\alpha\to\alpha}(t) &=\left|\cos \phi+i\cos2\theta\sin \phi\right|^2 \\ &=\cos^2\phi+\cos^22\theta\sin^2\phi \\ &=1-\left(1-\cos^22\theta\right)\sin^2\phi \\ &=1-\sin^22\theta\sin^2\phi. \end{aligned} \]
\[ \boxed{ P_{\alpha\to\alpha}(t) =1-\sin^22\theta\, \sin^2\left(\frac{\Delta E\,t}{2}\right) }. \]
Проверки вероятностей
В двухфлэйворной системе
\[ \boxed{ P_{\alpha\to\alpha}(t)+P_{\alpha\to\beta}(t)=1 }. \]
В начальный момент
\[ P_{\alpha\to\alpha}(0)=1, \qquad P_{\alpha\to\beta}(0)=0. \]
Поскольку \(0\leq\sin^2(\Delta E\,t/2)\leq1\),
\[ P_{\alpha\to\beta}^{\max}=\sin^22\theta. \]
Полное превращение возможно только при максимальном смешивании
\[ \theta=\frac{\pi}{4} \]
и в максимумах осцилляционной фазы.
Вероятность содержит \(\sin^2(\Delta E\,t/2)\), поэтому повторяется при
\[ \frac{|\Delta E|T_{\mathrm{osc}}}{2}=\pi. \]
Следовательно,
\[ \boxed{ T_{\mathrm{osc}}=\frac{2\pi}{|\Delta E|} }. \]
От времени к расстоянию
Для плоской волны массовая компонента в точке \((t,L)\) имеет фазу
\[ |\nu_i;t,L\rangle =e^{-i(E_it-p_iL)}|\nu_i\rangle. \]
Наблюдаемой является разность фаз:
\[ \boxed{ \Delta\phi(t,L) =(E_2-E_1)t-(p_2-p_1)L }. \]
Временная формула обобщается заменой
\[ \frac{\Delta E\,t}{2} \longrightarrow \frac{\Delta\phi(t,L)}{2}: \]
\[ P_{\alpha\to\beta}(t,L) =\sin^22\theta\, \sin^2\frac{\Delta\phi(t,L)}{2}. \]
Детектор находится на расстоянии \(L\) и регистрирует событие в момент \(t\). Связь между ними задаётся скоростью нейтрино; для релятивистского нейтрино \(t\simeq L\) при \(c=1\).
Ультрарелятивистский предел
Пусть обе массовые компоненты имеют общий импульс \(p\):
\[ E_i=\sqrt{p^2+m_i^2} =p+\frac{m_i^2}{2p} +O\!\left(\frac{m_i^4}{p^3}\right). \]
Разложение показывает, что различие энергий имеет порядок \(m_i^2/p\). Точное вычисление разности выполним в следующей вкладке.
Домножим разность энергий на сопряжённую сумму:
\[ \begin{aligned} \Delta E &=E_2-E_1 \\ &=\frac{(E_2-E_1)(E_2+E_1)}{E_2+E_1} =\frac{E_2^2-E_1^2}{E_2+E_1} \\ &=\frac{(p^2+m_2^2)-(p^2+m_1^2)}{E_2+E_1} \\ &=\boxed{\frac{\Delta m^2}{E_2+E_1}}, \qquad \Delta m^2=m_2^2-m_1^2. \end{aligned} \]
В ультрарелятивистском пределе \(E_1\simeq E_2\simeq E\simeq p\), поэтому
\[ \boxed{ \Delta E\simeq\frac{\Delta m^2}{2E} }. \]
При \(t\simeq L\) получаем \[ \boxed{\Delta\phi\simeq\frac{\Delta m^2L}{2E}}. \]
Можно вместо этого положить \(E_1=E_2=E\). Тогда
\[ \begin{aligned} p_i&=\sqrt{E^2-m_i^2} \simeq E-\frac{m_i^2}{2E}, \\ \Delta p&\simeq-\frac{\Delta m^2}{2E}. \end{aligned} \]
Поскольку теперь \(\Delta E=0\),
\[ \Delta\phi=-\Delta p\,L \simeq\frac{\Delta m^2L}{2E}. \]
Оба предположения дают одинаковую фазу в ведущем порядке.
В аргумент вероятности входит половина относительной фазы:
\[ \boxed{ P_{\alpha\to\beta}(L,E) =\sin^22\theta\, \sin^2\left(\frac{\Delta m^2L}{4E}\right) }, \]
\[ \boxed{ P_{\alpha\to\alpha}(L,E) =1-P_{\alpha\to\beta}(L,E) }. \]
Кинематика входит только через \(L/E\); знак \(\Delta m^2\) не влияет на двухфлэйворную вероятность в вакууме.
Восстанавливая \(\hbar c\), получаем
\[ \boxed{ P_{\alpha\to\beta} =\sin^22\theta\, \sin^2\!\left[ 1.267\, \frac{\Delta m^2[\mathrm{эВ}^2]L[\mathrm{км}]} {E[\mathrm{ГэВ}]} \right] }. \]
Численный коэффициент тот же для пары единиц \(L[\mathrm{м}]\) и \(E[\mathrm{МэВ}]\).
Нерелятивистский предел
При общем импульсе \(p\) временная частота осцилляций равна точной разности энергий:
\[ \boxed{ \Delta E(p) =\sqrt{p^2+m_2^2}-\sqrt{p^2+m_1^2} =\frac{\Delta m^2}{E_2(p)+E_1(p)} }. \]
Это выражение справедливо при любой величине \(p\).
При \(p\ll m_i\) и \(\Delta m=m_2-m_1\):
\[ \begin{aligned} E_i &=m_i+\frac{p^2}{2m_i} +O\!\left(\frac{p^4}{m_i^3}\right), \\[3pt] \Delta E &\simeq \Delta m +\frac{p^2}{2} \left(\frac1{m_2}-\frac1{m_1}\right) \\ &= \Delta m\left(1-\frac{p^2}{2m_1m_2}\right). \end{aligned} \]
Итак, \(\Delta E\simeq\Delta m\), а не \(\Delta m^2/(2E)\).
При одинаковом импульсе \(p_1=p_2=p\) каждая компонента имеет фазу
\[ |\nu_i;t,L\rangle =e^{-i(E_it-pL)}|\nu_i\rangle. \]
Поэтому относительная фаза равна
\[ \begin{aligned} \Delta\phi(t,L) &=(E_2-E_1)t-(p_2-p_1)L \\ &=\Delta E(p)\,t-\underbrace{(p-p)L}_{0} \\ &=\boxed{\Delta E(p)\,t}. \end{aligned} \]
Вклад от \(pL\) сокращается в фазе.
Точная временная вероятность имеет вид
\[ P_{\alpha\to\beta}(t;p) =\sin^22\theta\, \sin^2\!\left[ \frac{t}{2} \left(\sqrt{p^2+m_2^2}-\sqrt{p^2+m_1^2}\right) \right]. \]
В нерелятивистском пределе, в ведущем порядке,
\[ \boxed{ P_{\alpha\to\beta}(t) \simeq \sin^22\theta\, \sin^2\left(\frac{\Delta m\,t}{2}\right) }. \]
Если массы близки и время пролёта можно выразить через общую характерную скорость \(v\ll1\),
\[ t\simeq\frac{L}{v}, \]
то в ведущем порядке
\[ P_{\alpha\to\beta}(L) \simeq \sin^22\theta\, \sin^2\left(\frac{\Delta m\,L}{2v}\right). \]
Скорость входит явно: универсальная релятивистская зависимость только от \(L/E\) исчезает.
Когда осцилляций нет
Нет смешивания
\[ \sin2\theta=0. \]
Флэйворные состояния совпадают с массовыми с точностью до перестановки.
Нет расщепления
\[ \Delta E=0, \]
а в релятивистском пределе \(\Delta m^2=0\). Относительная фаза не набегает.
Узел вероятности
\[ \frac{\Delta m^2L}{4E}=n\pi. \]
В частности, при \(L=0\) переход ещё не успел произойти.
В первых двух случаях осцилляций нет вообще. В третьем переход исчезает лишь в отдельных точках, но между ними вероятность меняется.
Практикум: два флэйвора
Соберите осцилляцию
A = sin²2θ = 0.750
Четыре опорные точки
При \(x=L/L_{\rm osc}=0\)
\[ \sin^2(\pi x)=0. \]
Поэтому независимо от угла смешивания
\[ \boxed{P_{\alpha\to\beta}=0}, \qquad \boxed{P_{\alpha\to\alpha}=1}. \]
Нейтрино ещё не успело изменить флэйвор.
Здесь \(x=1/4\) и
\[ \sin^2(\pi x)=\sin^2\frac{\pi}{4}=\frac12. \]
Следовательно,
\[ \boxed{P_{\alpha\to\beta}=\frac12\sin^22\theta}, \qquad P_{\alpha\to\alpha}=1-P_{\alpha\to\beta}. \]
При \(x=1/2\)
\[ \sin^2(\pi x)=1. \]
Вероятность появления достигает максимально возможного значения:
\[ \boxed{P_{\alpha\to\beta}^{\max}=\sin^22\theta}, \qquad \boxed{P_{\alpha\to\alpha}^{\min}=1-\sin^22\theta}. \]
Здесь \(x=1\) и
\[ \sin^2(\pi x)=\sin^2\pi=0. \]
Система возвращается к исходным вероятностям:
\[ \boxed{P_{\alpha\to\beta}=0}, \qquad \boxed{P_{\alpha\to\alpha}=1}. \]
Это возврат вероятности, а не траектория отдельного нейтрино между двумя внутренними состояниями.
Мини-задачи
Пусть
\[ \theta=30^\circ, \qquad L=\frac14L_{\rm osc}. \]
Подставляем параметры последовательно:
\[ \begin{aligned} A&=\sin^22\theta=\sin^260^\circ=\frac34,\\ P_{\alpha\to\beta} &=A\sin^2\frac{\pi}{4}=\frac38=0.375,\\ P_{\alpha\to\alpha} &=1-P_{\alpha\to\beta}=\frac58=0.625. \end{aligned} \]
В максимуме эксперимента измерено
\[ P_{\alpha\to\beta}^{\max}=0.64. \]
При соглашении \(0\le\theta\le\pi/4\)
\[ \sin^22\theta=0.64 \quad\Longrightarrow\quad \sin2\theta=0.8 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\theta=\frac12\arcsin(0.8)\simeq26.6^\circ}. \]
Без выбранного диапазона остаётся симметрия \(\theta\leftrightarrow\pi/2-\theta\).
Первый максимум возникает при
\[ \frac{\Delta m^2L}{4E}=\frac{\pi}{2}. \]
Поэтому
\[ \boxed{L_{\max}=\frac{2\pi E}{|\Delta m^2|} =\frac12L_{\rm osc}}. \]
Увеличение энергии сдвигает максимум дальше, а увеличение \(|\Delta m^2|\) — ближе.
Из формы осцилляции определяются два разных параметра:
\[ \boxed{P_{\alpha\to\beta}^{\max}=\sin^22\theta} \quad\Longrightarrow\quad \text{угол смешивания}, \]
\[ \boxed{L_{\rm osc}=\frac{4\pi E}{|\Delta m^2|}} \quad\Longrightarrow\quad \text{расщепление масс}. \]
Конкретные солнечные и атмосферные масштабы появятся после перехода к трём флэйворам.
Итоги двухфлэйворной задачи
Формула и её физический смысл
\[ \boxed{ P_{\alpha\to\beta}(L,E)= \sin^22\theta\, \sin^2\!\left(\frac{\Delta m^2L}{4E}\right) } \]
- Амплитуда осцилляций \[ \sin^22\theta \]
- Фаза осцилляций \[ \frac{\Delta m^2L}{4E} \]
- Что осциллирует?
- Флэйвор
Механическая модель
Два маятника разных масс
P₁ + P₂ = 1 точно, без усреднения
Модель малых колебаний
Длины одинаковы и равны \(\ell\), но массы различны:
\[ m_1\ne m_2, \qquad \omega_0^2=\frac{g}{\ell}. \]
При малых углах
\[ x_i=\ell\sin\varphi_i\simeq\ell\varphi_i, \qquad \boxed{\delta s\simeq\ell(\varphi_2-\varphi_1)}. \]
Малые углы
\[ \begin{aligned} &\sin\varphi\simeq\varphi,\\ &1-\cos\varphi\simeq\frac{\varphi^2}{2}. \end{aligned} \]
Сохраняем члены не выше второго порядка.
Кинетическая энергия:
\[ \boxed{ T=\frac{\ell^2}{2} \left(m_1\dot\varphi_1^2+m_2\dot\varphi_2^2\right) }. \]
Потенциальная энергия:
\[ \boxed{ V=\frac{\ell^2}{2} \left[ \omega_0^2(m_1\varphi_1^2+m_2\varphi_2^2) +k(\varphi_1-\varphi_2)^2 \right] }. \]
Вычитая \(V\) из \(T\), получаем
\[ \boxed{\begin{aligned} \mathcal L={}&\frac{\ell^2}{2} \sum_{i=1}^2m_i \left(\dot\varphi_i^2-\omega_0^2\varphi_i^2\right)\\ &-\frac{k\ell^2}{2}(\varphi_1-\varphi_2)^2. \end{aligned}} \]
Вся связь между маятниками содержится в последнем члене.
Уравнения и симметричный базис
Уравнения Эйлера — Лагранжа дают
\[ \boxed{\begin{aligned} m_1\ddot\varphi_1+m_1\omega_0^2\varphi_1 +k(\varphi_1-\varphi_2)&=0,\\ m_2\ddot\varphi_2+m_2\omega_0^2\varphi_2 +k(\varphi_2-\varphi_1)&=0. \end{aligned}} \]
При \(m_1\ne m_2\) деление каждой строки на свою массу создаёт несимметричную матрицу. Это неудобный выбор координат, а не новая физика.
Положим
\[ \boldsymbol\varphi= \begin{pmatrix}\varphi_1\\\varphi_2\end{pmatrix}. \]
Тогда
\[ \boxed{\mathsf M\ddot{\boldsymbol\varphi} +\mathsf K\boldsymbol\varphi=0}, \]
\[ \mathsf M= \begin{pmatrix}m_1&0\\0&m_2\end{pmatrix}, \quad \mathsf K= \begin{pmatrix} m_1\omega_0^2+k&-k\\ -k&m_2\omega_0^2+k \end{pmatrix}. \]
Обратный квадратный корень
Поскольку матрица масс диагональна,
\[ \mathsf M^{-1/2}= \begin{pmatrix} 1/\sqrt{m_1}&0\\ 0&1/\sqrt{m_2} \end{pmatrix}. \]
Это матрица, обратная к \(\mathsf M^{1/2}=\operatorname{diag}(\sqrt{m_1},\sqrt{m_2})\):
\[ \mathsf M^{-1/2}\mathsf M^{1/2}=I. \]
Введём массово-нормированные координаты
\[ \boxed{ \boldsymbol x=\mathsf M^{1/2}\boldsymbol\varphi, \qquad x_i=\sqrt{m_i}\,\varphi_i }. \]
Подставляя \(\boldsymbol\varphi=\mathsf M^{-1/2}\boldsymbol x\) и умножая уравнение слева на \(\mathsf M^{-1/2}\), получаем
\[ \boxed{\ddot{\boldsymbol x}+\Omega^2\boldsymbol x=0}, \]
\[ \Omega^2= \begin{pmatrix} \omega_0^2+\dfrac{k}{m_1}&-\dfrac{k}{\sqrt{m_1m_2}}\\[2mm] -\dfrac{k}{\sqrt{m_1m_2}}&\omega_0^2+\dfrac{k}{m_2} \end{pmatrix}. \]
Теперь динамическая матрица вещественна и симметрична.
Нормальные моды и угол смешивания
Собственные значения \(\lambda=\omega^2\) следуют из
\[ \begin{aligned} \det(\Omega^2-\lambda I) ={}&(\omega_0^2-\lambda)\\ &\times \left[ \omega_0^2+k\left(\frac1{m_1}+\frac1{m_2}\right)-\lambda \right]. \end{aligned} \]
Поэтому
\[ \boxed{\omega_+^2=\omega_0^2}, \qquad \boxed{ \omega_-^2=\omega_0^2+ k\left(\frac1{m_1}+\frac1{m_2}\right) }. \]
Обозначим
\[ m_\Sigma=m_1+m_2, \qquad c=\sqrt{\frac{m_1}{m_\Sigma}}, \qquad s=\sqrt{\frac{m_2}{m_\Sigma}}. \]
Нормированные собственные векторы:
\[ \boxed{ \boldsymbol e_+= \begin{pmatrix}c\\s\end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol e_-= \begin{pmatrix}-s\\c\end{pmatrix} }. \]
Прямой проверкой
\[ \Omega^2\boldsymbol e_\pm=\omega_\pm^2\boldsymbol e_\pm. \]
Положим \(c=\cos\theta\) и \(s=\sin\theta\). Тогда
\[ \boxed{ \tan^2\theta=\frac{m_2}{m_1} }. \]
Следовательно, отношением масс можно получить любой угол \(0<\theta<\pi/2\), а
\[ \boxed{ \sin^22\theta =\frac{4m_1m_2}{(m_1+m_2)^2} }. \]
Равные массы дают частный случай \(\theta=\pi/4\).
Соберём собственные векторы в ортогональную матрицу
\[ U(\theta)= \begin{pmatrix} c&-s\\ s&c \end{pmatrix}, \qquad U^{-1}=U^{\mathsf T}. \]
Связь локального и нормального базисов:
\[ \boxed{ \boldsymbol x=U\boldsymbol q, \qquad \boldsymbol q=U^{\mathsf T}\boldsymbol x }. \]
Это то же двухуровневое смешивание; знаки столбцов являются соглашением.
Точное двухуровневое уравнение
Пусть \(\Omega\) — положительный квадратный корень из \(\Omega^2\):
\[ \Omega\,\boldsymbol e_\pm=\omega_\pm\boldsymbol e_\pm. \]
Объединим координату и скорость в комплексную амплитуду
\[ \boxed{ \boldsymbol a =\boldsymbol x+i\Omega^{-1}\dot{\boldsymbol x} }. \]
Для отпущенных без толчка маятников \(\boldsymbol a(0)=\boldsymbol x(0)\).
Из \(\ddot{\boldsymbol x}=-\Omega^2\boldsymbol x\) следует
\[ \begin{aligned} \dot{\boldsymbol a} &=\dot{\boldsymbol x} +i\Omega^{-1}\ddot{\boldsymbol x}\\ &=\dot{\boldsymbol x}-i\Omega\boldsymbol x. \end{aligned} \]
Умножая на \(i\), получаем точно
\[ \boxed{ i\dot{\boldsymbol a}=\Omega\boldsymbol a }. \]
Это уравнение Шрёдингера для двухуровневой системы.
Поскольку \(\Omega=\Omega^\dagger\),
\[ \begin{aligned} \frac{d}{dt}(\boldsymbol a^\dagger\boldsymbol a) &=\dot{\boldsymbol a}^\dagger\boldsymbol a +\boldsymbol a^\dagger\dot{\boldsymbol a}\\ &=i\boldsymbol a^\dagger\Omega\boldsymbol a -i\boldsymbol a^\dagger\Omega\boldsymbol a=0. \end{aligned} \]
Поэтому
\[ \boxed{ P_i(t)= \frac{|a_i(t)|^2}{\boldsymbol a^\dagger\boldsymbol a}, \qquad P_1+P_2=1 } \]
точно, без слабой связи и усреднения.
В нормальном базисе
\[ \boldsymbol b=U^{\mathsf T}\boldsymbol a, \qquad U^{\mathsf T}\Omega U= \begin{pmatrix}\omega_+&0\\0&\omega_-\end{pmatrix}. \]
Следовательно,
\[ \boxed{ b_+(t)=b_+(0)e^{-i\omega_+t}, \qquad b_-(t)=b_-(0)e^{-i\omega_-t} }. \]
Набегает только относительная фаза
\[ \Delta\phi=(\omega_--\omega_+)t=\Delta\omega\,t. \]
Возбуждён один маятник
Пусть начальная локальная амплитуда сосредоточена в первом маятнике:
\[ \boldsymbol a(0)=A \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}. \]
Проецируя её на нормальные моды,
\[ \boxed{ \boldsymbol b(0)=U^{\mathsf T}\boldsymbol a(0) =A\begin{pmatrix}c\\-s\end{pmatrix} }. \]
При неравных массах суперпозиция мод уже не обязана быть равной.
Каждая компонента приобретает свою фазу:
\[ \boxed{\begin{aligned} b_+(t)&=Ac\,e^{-i\omega_+t},\\ b_-(t)&=-As\,e^{-i\omega_-t}. \end{aligned}} \]
Возвращаемся в локальный базис:
\[ \boldsymbol a(t)=U\boldsymbol b(t). \]
Перемножая матрицу и вектор, получаем
\[ \boxed{\begin{aligned} \frac{a_1(t)}{A} &=c^2e^{-i\omega_+t} +s^2e^{-i\omega_-t},\\ \frac{a_2(t)}{A} &=cs\left( e^{-i\omega_+t}-e^{-i\omega_-t} \right). \end{aligned}} \]
Это в точности амплитуды выживания и появления двухуровневой системы.
Квадрат модуля амплитуды перехода:
\[ \begin{aligned} P_{1\to2} &=c^2s^2 \left|e^{-i\omega_+t}-e^{-i\omega_-t}\right|^2\\ &=4c^2s^2\sin^2\frac{\Delta\omega t}{2}. \end{aligned} \]
Итак,
\[ \boxed{ P_{1\to2} =\sin^22\theta\, \sin^2\frac{\Delta\omega t}{2} }, \]
\[ \boxed{P_{1\to1}=1-P_{1\to2}}. \]
Для \(\boldsymbol a(0)=A(0,1)^{\mathsf T}\) аналогично
\[ \boxed{\begin{aligned} \frac{a_1(t)}{A} &=cs\left( e^{-i\omega_+t}-e^{-i\omega_-t} \right),\\ \frac{a_2(t)}{A} &=s^2e^{-i\omega_+t} +c^2e^{-i\omega_-t}. \end{aligned}} \]
Поэтому \(P_{2\to1}=P_{1\to2}\) и \(P_{2\to2}=P_{1\to1}\).
Что именно осциллирует?
Точная классическая величина, соответствующая вероятности:
\[ \boxed{ P_i=\frac{|a_i|^2}{|a_1|^2+|a_2|^2} }. \]
Это нормированная интенсивность комплексной фазовой амплитуды
\[ \boldsymbol a=\boldsymbol x+i\Omega^{-1}\dot{\boldsymbol x}. \]
Её эволюция унитарна, поэтому формула осцилляций точна.
Наблюдаемые вещественные координаты восстанавливаются как
\[ \boxed{ \boldsymbol x(t)=\operatorname{Re}\boldsymbol a(t), \qquad \varphi_i(t)=\frac{x_i(t)}{\sqrt{m_i}} }. \]
Именно эти углы показаны движущимися маятниками в интерактиве, а график показывает \(P_i=|a_i|^2/\|\boldsymbol a\|^2\).
Фаза носителя меняет мгновенные углы, но не \(P_i\).
Полная механическая энергия точно сохраняется:
\[ E=\frac{\ell^2}{2} \left( \dot{\boldsymbol x}^{\mathsf T}\dot{\boldsymbol x} +\boldsymbol x^{\mathsf T}\Omega^2\boldsymbol x \right). \]
При слабой связи \(\Omega\simeq\omega_0I\), поэтому
\[ a_i\simeq x_i+i\frac{\dot x_i}{\omega_0}, \qquad E_i^{(0)} \simeq\frac{\ell^2\omega_0^2}{2}|a_i|^2. \]
В этом пределе \(P_i\) одновременно являются долями усреднённой локальной энергии.
Полная аналогия двух уровней
| Связанные маятники | Нейтринные осцилляции |
|---|---|
| Локальные амплитуды \(a_1,a_2\) | Флэйворные амплитуды |
| Нормальные амплитуды \(b_+,b_-\) | Массовые амплитуды |
| Матрица \(U(\theta)\) | Матрица смешивания |
| \(i\dot{\boldsymbol a}=\Omega\boldsymbol a\) | \(i\dot{\boldsymbol\nu}=H\boldsymbol\nu\) |
| Частоты \(\omega_+,\omega_-\) | Энергии \(E_1,E_2\) |
| \(\Delta\omega\,t\) | \(\Delta E\,t\) |
| \(|a_i|^2/\|\boldsymbol a\|^2\) | Вероятности измерения флэйвора |
Отношение масс задаёт произвольный угол: \(\tan^2\theta=m_2/m_1\). После массовой нормировки математическая аналогия двух уровней точна.
