Осцилляции нейтрино в вакууме. Два флэйвора
Введение в физику нейтрино
ОИЯИ
Простыми словами
Постановки задачи
- В Стандартной модели: \[ \begin{aligned} \text{возможно}\qquad W^+\longrightarrow\ell_\alpha^++\nu_\alpha, \qquad&\overset{L=0}{\longrightarrow}\qquad \nu_\alpha+W^-\longrightarrow\ell_\alpha^-. \\ \text{невозможно}\qquad W^+\longrightarrow\ell_\alpha^++\nu_\alpha, \qquad&\overset{L=0}{\longrightarrow}\qquad \nu_\alpha+W^-\longrightarrow\ell_\beta^-, \qquad \alpha\neq\beta. \end{aligned} \]
- Если \(L\ne 0\), \(m_i \ne m_j\) и \(\theta\ne 0\), то невозможное становится возможным: \[ \text{возможно}\qquad W^+\longrightarrow\ell_\alpha^++\nu_\alpha, \qquad\overset{L\ne 0}{\longrightarrow}\qquad \nu_\alpha+W^-\longrightarrow\ell_\beta^-, \qquad \alpha\neq\beta. \]
- Вероятность таких процессов (квази)периодическая функция от отношения \(L/E\): \[ \boxed{P_{\alpha\to\beta}(L/E)}. \]
- это явление называется осцилляциями нейтрино.
Квантовый хамелеон
Периодичность — в вероятностях
Две компоненты набирают разные фазы. Их сумма при регистрации определяет вероятности флэйворных исходов.
Два базиса
Флэйвор при рождении, масса в пути
Слабое взаимодействие
\[ W^+\longrightarrow\ell_\alpha^++\nu_\alpha, \qquad \nu_\beta+N\longrightarrow\ell_\beta^-+X. \]
Заряженный лептон задаёт флэйворный базис рождения и регистрации.
Свободное распространение
\[ H_0|\nu_i\rangle=E_i|\nu_i\rangle, \qquad i=1,2. \]
Массовые состояния — собственные волны свободного гамильтониана.
Оба базиса описывают одно пространство состояний. Между ними стоит угол смешивания \(\theta\).
Один угол связывает два базиса
\[ \boxed{ \begin{pmatrix} |\nu_\alpha\rangle\\[2pt] |\nu_\beta\rangle \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta&\sin\theta\\ -\sin\theta&\cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} |\nu_1\rangle\\[2pt] |\nu_2\rangle \end{pmatrix}} \]
- При \(\theta=0\) каждый флэйвор совпадает с одним массовым состоянием.
- При \(\theta=\pi/4\) оба массовых состояния входят в \(|\nu_\alpha\rangle\) с равными по модулю амплитудами.
Для вычисления перехода понадобятся две строки этого поворота:
\[ |\nu_\alpha\rangle=c_\theta|\nu_1\rangle+s_\theta|\nu_2\rangle, \qquad |\nu_\beta\rangle=-s_\theta|\nu_1\rangle+c_\theta|\nu_2\rangle, \]
где \(c_\theta=\cos\theta\) и \(s_\theta=\sin\theta\).
Фазы двух собственных волн
\(\hbar=c=1\). Свободный гамильтониан не зависит от времени.
Пусть \(\varphi_i\) — фаза, накопленная массовой компонентой между источником и детектором. Тогда
\[ |\nu_\alpha;t,L\rangle =c_\theta e^{-i\varphi_1}|\nu_1\rangle +s_\theta e^{-i\varphi_2}|\nu_2\rangle. \]
Если начальное состояние содержит одну собственную волну, фазовый множитель исчезает при вычислении вероятности. Здесь присутствуют две волны; после вынесения общего множителя остаётся разность
\[ \boxed{\Delta\varphi=\varphi_2-\varphi_1}. \]
По мере её накопления меняется результат сложения амплитуд в детекторе.
Проекция на другой флэйвор
Детектор ищет состояние \(|\nu_\beta\rangle\). Проецируем на него эволюционировавшее состояние:
\[ \begin{aligned} \mathcal A_{\alpha\to\beta} &=\langle\nu_\beta|\nu_\alpha;t,L\rangle\\ &=(-s_\theta\langle\nu_1|+c_\theta\langle\nu_2|) \left(c_\theta e^{-i\varphi_1}|\nu_1\rangle +s_\theta e^{-i\varphi_2}|\nu_2\rangle\right). \end{aligned} \]
Массовые состояния ортонормированы: \(\langle\nu_i|\nu_j\rangle=\delta_{ij}\). Остаются два вклада:
\[ \boxed{ \mathcal A_{\alpha\to\beta} =s_\theta c_\theta \left(e^{-i\varphi_2}-e^{-i\varphi_1}\right) }. \]
При \(L=0\) фазы одинаковы, и два вклада сокращаются. Дальше они расходятся.
Используем
\[ \left|e^{-i\varphi_2}-e^{-i\varphi_1}\right|^2 =4\sin^2\frac{\Delta\varphi}{2}, \qquad 4s_\theta^2c_\theta^2=\sin^22\theta. \]
По правилу Борна
\[ \boxed{ P_{\alpha\to\beta}(t,L) =\sin^22\theta\, \sin^2\frac{\Delta\varphi(t,L)}{2} }. \]
Два возможных исхода
В двухфлэйворной модели вероятности исчерпывают все варианты регистрации:
\[ \boxed{P_{\alpha\to\alpha}=1-P_{\alpha\to\beta}}. \]
- При ненулевом расщеплении масс угол \(\theta\) задаёт высоту максимумов: \(P_{\alpha\to\beta}^{\max}=\sin^22\theta\).
- Разность фаз задаёт положение максимумов и минимумов.
- В точке \(L=0\) получаем \(P_{\alpha\to\beta}=0\) и \(P_{\alpha\to\alpha}=1\).
От времени к расстоянию
Фаза вдоль пути
Для плоской волны, движущейся вдоль оси \(L\),
\[ e^{-i\varphi_i(t,L)}=e^{-i(E_it-p_iL)}, \qquad \varphi_i(t,L)=E_it-p_iL. \]
Здесь \(p_i\) — импульс вдоль направления от источника к детектору.
Значит,
\[ \boxed{\Delta\varphi(t,L)=\Delta E\,t-\Delta p\,L}, \qquad \Delta E=E_2-E_1, \quad \Delta p=p_2-p_1. \]
Детектор расположен на расстоянии \(L\). Для ультрарелятивистского нейтрино время пролёта \(t\simeq L\) в единицах \(c=1\). Обе компоненты должны сохранять когерентность до регистрации.
От массы к фазе
Используем закон дисперсии каждой массовой волны:
\[ E_i^2-p_i^2=m_i^2 \quad\Longrightarrow\quad E_i-p_i=\frac{m_i^2}{E_i+p_i}. \]
При \(t\simeq L\) и \(E_i\simeq p_i\simeq E\), в ведущем порядке:
\[ \varphi_i(t,L) \simeq(E_i-p_i)L \simeq\frac{m_i^2L}{2E}. \]
Поэтому
\[ \boxed{ \Delta\varphi\simeq\frac{\Delta m^2L}{2E}}, \qquad \Delta m^2=m_2^2-m_1^2. \]
Вероятность на расстоянии \(L\)
В аргумент синуса входит половина относительной фазы:
\[ \boxed{ P_{\alpha\to\beta}(L,E) =\sin^22\theta\, \sin^2\left(\frac{\Delta m^2L}{4E}\right) }. \]
Период по расстоянию при фиксированной энергии равен
\[ \boxed{L_{\rm osc}=\frac{4\pi E}{|\Delta m^2|}}. \]
Первый максимум перехода приходится на \(L=L_{\rm osc}/2\).
Что видно на графике
- Высота максимума даёт \(\sin^22\theta\).
- Расстояние между соседними максимумами при известной \(E\) даёт \(|\Delta m^2|\).
Проверяем формулу
Соберите осцилляцию
A = sin²2θ = 0.750
- Поставьте \(\theta=0\): как меняется кривая?
- Поставьте \(\theta=45^\circ\): найдите первый максимум.
- Передвиньте \(L/L_{\rm osc}\) от \(0\) до \(1\): где вероятность перехода возвращается к нулю?
Механическая модель
Два маятника разных масс
P₁ + P₂ = 1 точно, без усреднения
Две частоты в одной механической системе
Возбуждаем один маятник
Начальное отклонение раскладывается по двум нормальным модам. Каждая мода колеблется со своей частотой \(\omega_+\) или \(\omega_-\).
Наблюдаем оба маятника
Относительная фаза \((\omega_--\omega_+)t\) меняется. Огибающая движения периодически смещается от одного маятника к другому.
\[ \boxed{ P_{1\to2}(t)=\sin^22\theta\, \sin^2\!\left(\frac{(\omega_--\omega_+)t}{2}\right) }. \]
Здесь \(P_i\) — нормированные квадраты модулей комплексных амплитуд локальных маятников. При слабой связи они приближённо равны долям усреднённой энергии. Точный вывод — в задаче 9.6.
Два флэйвора
Формула и её физический смысл
\[ \boxed{ P_{\alpha\to\beta}(L,E) =\sin^22\theta\, \sin^2\!\left(\frac{\Delta m^2L}{4E}\right) }. \]
- Слабое взаимодействие готовит и измеряет флэйвор.
- Массовые компоненты при распространении набирают разные фазы.
- Интерференция этих компонент определяет долю событий с флэйвором \(\beta\).
В следующей лекции к двум массовым состояниям добавится третье.
Задачи к лекции 09 · Апплет двух флэйворов · Апплет связанных маятников.
