Задачи: другие способы взвесить нейтрино

Лекция 08 · Введение в физику нейтрино

Автор

Дмитрий В. Наумов

← Вернуться к лекции · Все задачи курса

Задачи

Задача 8.1. От фазовой модуляции к спектру CRES

Рассмотрите модель принятого сигнала

\[ V(t)=V_0\cos\!\left[2\pi f_ct+h\sin(2\pi f_zt)\right]. \tag{1}\]

  1. Вычислите мгновенную частоту

    \[ f_{\mathrm{inst}}(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{d\Phi}{dt} \tag{2}\]

    и покажите, что амплитуда её отклонения равна \(\Delta f=h f_z\).

  2. Используя тождество Якоби–Ангера

    \[ e^{ih\sin\theta}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}J_n(h)e^{in\theta}, \tag{3}\]

    получите частоты \(f_n=f_c+n f_z\) и относительные мощности \(J_n^2(h)\).

  3. В пределе \(h\ll1\) используйте

    \[ J_0(h)\simeq1-\frac{h^2}{4}, \qquad J_{\pm1}(h)\simeq\pm\frac h2 \tag{4}\]

    и найдите долю мощности в несущей и первых боковых полосах.

  4. С помощью scipy.special.jv постройте веса линий для \(h=0.2\), \(1.2\) и \(3.0\). Численно проверьте \(\sum_nJ_n^2(h)=1\).

Задача 8.2. Реальная ловушка и конечный трек CRES

Пусть вблизи центра магнитной ловушки

\[ B(z)=B_0\left(1+\frac{z^2}{L^2}\right), \qquad z(t)=z_{\max}\cos(2\pi f_zt), \tag{5}\]

а потерей энергии за один продольный период можно пренебречь.

  1. Подставьте \(z(t)\) в \(B(z)\) и покажите, что магнитная модуляция частоты идёт на удвоенной продольной частоте \(2f_z\).

  2. Найдите среднюю циклотронную частоту и амплитуду её модуляции \(\Delta f_B\) через \(f_{c0}\) и \(z_{\max}/L\).

  3. Проинтегрируйте мгновенную частоту и покажите, что индекс магнитной фазовой модуляции равен

    \[ h_B=\frac{\Delta f_B}{2f_z}. \tag{6}\]

  4. Объясните, почему фаза распространения сигнала, пропорциональная \(z(t)\), создаёт также боковые полосы с шагом \(f_z\).

  5. Вычислите преобразование Фурье гармоники, наблюдаемой только на интервале \(0<t<T_{\mathrm{obs}}\), и получите форму \(T_{\mathrm{obs}}^2\operatorname{sinc}^2[\pi(f-f_n)T_{\mathrm{obs}}]\).

  6. При каком \(T_{\mathrm{obs}}\) ширина фурье-пика на половине высоты соответствует \(\Delta E=0.10~\mathrm{эВ}\), то есть \(\Delta f_c=5.1~\mathrm{кГц}\) у конца тритиевого спектра? Используйте прямоугольное временное окно. Объясните, почему центр линии удаётся определить точнее её ширины и как в эту точность входит отношение сигнал/шум.

Задача 8.3. Калориметрический спектр \({}^{163}\mathrm{Ho}\)

В калориметрическом опыте измеряется вся энергия атомного возбуждения \(E_c\), а нейтрино уносит

\[ E_\nu=Q-E_c. \tag{7}\]

Используйте модель

\[ \frac{d\Gamma}{dE_c} =C\,(Q-E_c)\sqrt{(Q-E_c)^2-m_\nu^2}\, \Theta(Q-E_c-m_\nu) \sum_j w_jL_j(E_c), \tag{8}\]

где атомная линия имеет форму

\[ L_j(E_c)=\frac{\Gamma_j/(2\pi)} {(E_c-E_j)^2+\Gamma_j^2/4}. \tag{9}\]

  1. Покажите, что \(\int_{-\infty}^{\infty}L_j(E_c)\,dE_c=1\).

  2. Найдите максимальную калориметрическую энергию и объясните, почему масса нейтрино снова измеряется по форме спектра около конца.

  3. Постройте игрушечный спектр для двух линий с заданными вами \((E_j,\Gamma_j,w_j)\) при \(m_\nu=0\) и \(m_\nu=1~\mathrm{эВ}\).

  4. Пусть активность одного пикселя равна \(a\), а два импульса не разделяются, если интервал между ними меньше \(\tau_r\). Для \(a\tau_r\ll1\) покажите, что доля неразрешённых наложений имеет порядок

    \[ f_{\mathrm{pu}}\simeq a\tau_r, \tag{10}\]

    а их энергетический спектр пропорционален свёртке \((d\Gamma/dE_c)*(d\Gamma/dE_c)\).

  5. Оцените \(f_{\mathrm{pu}}\) для \(a=10~\mathrm{с}^{-1}\) и \(\tau_r=1~\mathrm{мкс}\). Почему увеличение активности повышает статистику, но одновременно усиливает этот фон?

  6. Сравните одним абзацем систематики спектрометра KATRIN и калориметра: где находится источник, какая энергия измеряется и почему калориметр устраняет потери при выходе электрона из источника, но получает проблему неразрешённых наложений.

Задача 8.4. Радиотракт: отсечка, резонатор, каскад

Мощность в фемтоватты нужно довести до АЦП, ничего не потеряв в частоте. Формулы тракта в лекции приведены без вывода — получите их сами.

  1. Поле в волноводе обращается в нуль на металлических стенках. Из условия, что поперёк трубы диаметра \(d\) должна уложиться хотя бы полуволна, получите оценку частоты отсечки

    \[ f_{\mathrm{кр}}\simeq\frac{c}{2d} \tag{11}\]

    и вычислите её для \(d=10\) мм. Точное решение для круглой трубы радиуса \(a\) даёт \(f_{\mathrm{кр}}=1{,}841\,c/2\pi a\). Сравните с оценкой и объясните знак расхождения.

  2. Добротность \(Q=f/\Delta f\) равна умноженному на \(2\pi\) отношению запасённой в резонаторе энергии к потерям за период. Покажите, что поле затухает за время \(\tau_Q=Q/2\pi f\), и вычислите \(\tau_Q\) и полосу \(\Delta f\) для \(Q=10^4\) на \(26\) ГГц. Сравните \(\tau_Q\) с длительностью трека \(100\) мкс.

  3. Усилитель с усилением \(G\) и шумовой температурой \(T\) добавляет шумовую мощность \(kT\Delta f\). Приведите шум двух последовательных каскадов ко входу первого и получите

    \[ T_{\mathrm{сист}}=T_1+\frac{T_2}{G_1}, \tag{12}\]

    затем обобщите на \(n\) каскадов.

  4. Пусть первый каскад охлаждён (\(T_1=20\) К, \(G_1=20\) дБ), а второй работает при комнатной температуре (\(T_2=300\) К, \(G_2=20\) дБ). Найдите \(T_{\mathrm{сист}}\). Поменяйте каскады местами и найдите её снова. Во сколько раз изменится шумовая мощность в полосе?

  5. Смеситель перемножает \(\cos(2\pi f_ct)\) и \(\cos(2\pi f_{\mathrm{оп}}t)\). Выпишите результат и скажите, какую из двух частот оставляет фильтр. При каком \(f_{\mathrm{оп}}\) сигналы \(26{,}0\) и \(26{,}1\) ГГц попадут на одну и ту же промежуточную частоту?

  6. АЦП пишет полосу \(B\) вокруг промежуточной частоты. Сформулируйте условие Найквиста и оцените частоту дискретизации для \(B=100\) МГц. Где окажется линия \(1{,}52\) ГГц, если оцифровывать с частотой \(1\) ГГц?

Задача 8.5. Фемтоватт: мощность, шум и время наблюдения

  1. Из формулы Лармора для ускоренного заряда получите мощность циклотронного излучения

    \[ P_{\mathrm{rad}} =\frac{e^4B^2}{6\pi\varepsilon_0m_e^2c}\,\gamma^2\beta^2\sin^2\alpha \tag{13}\]

    и вычислите её для \(E=18{,}6\) кэВ, \(B=1\) Тл, \(\alpha=90^\circ\).

  2. Сколько энергии электрон теряет за \(T_{\mathrm{набл}}=100\) мкс? Выразите ответ в эВ и сравните с целевой точностью \(0{,}1\) эВ.

  3. Шум приёмника даёт мощность \(kT_{\mathrm{ш}}\) на герц полосы, а полоса одной фурье-линии равна \(\Delta f=0{,}886/T_{\mathrm{набл}}\). Найдите шумовую мощность в линии при \(T_{\mathrm{ш}}=132\) К и \(T_{\mathrm{набл}}=100\) мкс и отношение сигнал/шум в идеальном случае, когда вся излучённая мощность доходит до усилителя.

  4. Покажите, что при фиксированной мощности сигнала отношение сигнал/шум в одной линии растёт пропорционально \(T_{\mathrm{набл}}\). Что мешает удлинять запись бесконечно? Учтите пункт 2 и неупругие столкновения с молекулами газа из лекции 07.

  5. Антенна смартфона принимает от базовой станции около \(10^{-10}\) Вт, а от спутника GPS — около \(1{,}4\cdot10^{-16}\) Вт. Расположите на одной логарифмической шкале эти величины, мощность передатчика телефона (\(0{,}2\) Вт), сигнал CRES и шум из пункта 3. Какое из сравнений определяет обнаружимость сигнала?

Задача 8.6. Недостающий импульс: пион и тау

  1. Для распада покоящегося пиона \(\pi^+\to\mu^++\nu_\mu\) получите

    \[ m_\nu^2=m_\pi^2+m_\mu^2-2m_\pi\sqrt{p_\mu^2+m_\mu^2}. \tag{14}\]

  2. Положите \(m_\nu=0\) и найдите \(p_\mu=(m_\pi^2-m_\mu^2)/2m_\pi\) численно при \(m_\pi=139{,}57\) МэВ и \(m_\mu=105{,}66\) МэВ.

  3. Продифференцируйте Уравнение 14 и получите

    \[ \delta m_\nu^2=-2m_\pi\frac{p_\mu}{E_\mu}\,\delta p_\mu. \tag{15}\]

    Какая относительная точность измерения \(p_\mu\) нужна, чтобы почувствовать \(m_\nu=1\) эВ? Сравните с достигнутым пределом \(170\) кэВ.

  4. Для распада \(\tau^-\to X^-+\nu_\tau\) в системе покоя τ получите

    \[ E_X^*=\frac{m_\tau^2+m_X^2-m_\nu^2}{2m_\tau}, \qquad m_X\le m_\tau-m_\nu. \tag{16}\]

  5. В лаборатории τ движется с \(\gamma_\tau\), \(\beta_\tau\). Покажите, что при заданной \(m_X\) энергия видимой системы заполняет полосу \(E_X=\gamma_\tau\left(E_X^*\pm\beta_\tau p_X^*\right)\), где \(p_X^*=\sqrt{(E_X^*)^2-m_X^2}\). Почему массу ищут по двумерной границе в плоскости \((m_X,E_X)\)?

  6. Во сколько раз пределы \(m_{\nu_\mu}<170\) кэВ и \(m_{\nu_\tau}<18{,}2\) МэВ слабее тритиевого \(m_\beta<0{,}45\) эВ? Объясните проигрыш одной фразой про масштаб энерговыделения.

Семинар

С8.1. Сколько времени слушать электрон

Длинная запись сужает линию, но за это время электрон успевает потерять энергию на излучение. Найдём компромисс.

  1. Переведите ширину линии в ошибку энергии, \(\delta E_{\mathrm{лин}}=(m_ec^2+E)\,\Delta f/f_c\) при \(\Delta f=0{,}886/T_{\mathrm{набл}}\), и заполните таблицу для \(T_{\mathrm{набл}}=30\), \(100\), \(300\) и \(1000\) мкс.
  2. Для тех же времён найдите полную потерю энергии на излучение \(\Delta E_{\mathrm{изл}}=P_{\mathrm{rad}}T_{\mathrm{набл}}\).
  3. Пусть модель трека восстанавливает эту потерю с точностью \(10\%\), так что остаточная систематика равна \(0{,}1\,\Delta E_{\mathrm{изл}}\). Сложите её с \(\delta E_{\mathrm{лин}}\) в квадратуре и найдите оптимальное \(T_{\mathrm{набл}}\).
  4. Обсудите, что ещё обрывает трек: неупругое рассеяние на газе и выход электрона из ловушки. Как эти процессы меняют найденный оптимум?

С8.2. Ловушка: статистика против разрешения

Пусть поле на краях ловушки равно \(B_{\max}=B_0(1+\eta)\), \(\eta\ll1\).

  1. Из условия отражения получите \(|\cos\alpha_0|<\sqrt{\eta/(1+\eta)}\simeq\sqrt\eta\).
  2. Для изотропного источника \(\cos\alpha_0\) распределён равномерно на \([-1,1]\). Покажите, что доля запертых электронов равна \(\sqrt\eta\), и вычислите её для \(\eta=10^{-1}\), \(10^{-2}\), \(10^{-3}\).
  3. Запертый электрон проходит поля от \(B_0\) до \(B_{\max}\). Покажите, что без поправки на траекторию это размывает восстановленную энергию на \(\delta E\simeq(m_ec^2+E)\,\eta\), и вычислите \(\delta E\) для тех же \(\eta\).
  4. Подберите \(\eta\) так, чтобы доля запертых была не меньше \(1\%\), а размытие — не больше \(0{,}1\) эВ. Получается ли? Какой вывод отсюда следует про необходимость восстанавливать траекторию по боковым линиям?

С8.3. Масса нейтрино по временам прилёта

Продолжение апплета «Масса по временам прилёта» и мост к курсу статистического анализа.

  1. Из \(\Delta t=L\,m^2c^4/2cE_\nu^2\) получите рабочую форму

    \[ \Delta t\simeq5{,}15~\text{мс} \left(\frac{L}{10~\text{кпк}}\right) \left(\frac{m}{1~\text{эВ}}\right)^2 \left(\frac{10~\text{МэВ}}{E_\nu}\right)^2. \tag{17}\]

  2. Пусть \(N\) нейтрино рождаются в момент \(t_0\) с гауссовым разбросом \(\sigma_t\), а измерены пары \((E_i,t_i)\). Выпишите \(-2\ln L(m^2,t_0)\), исключите \(t_0\) аналитически и покажите, что остаётся сумма квадратов отклонений от прямой в переменной \(x_i=(10~\text{МэВ}/E_i)^2\).

  3. Получите оценку наклона и её дисперсию:

    \[ \hat m^2=\frac{S_{xt}}{5{,}15\,S_{xx}}, \qquad \sigma(\hat m^2)=\frac{\sigma_t}{5{,}15\sqrt{S_{xx}}}, \tag{18}\]

    где \(S_{xx}=\sum_i(x_i-\bar x)^2\), \(S_{xt}=\sum_i(x_i-\bar x)(t_i-\bar t)\). Объясните, почему \(\hat m^2\) может оказаться отрицательной.

  4. Возьмите \(N=15\) энергий, равномерно покрывающих \(6\)–\(35\) МэВ, и \(\sigma_t=2\) мс. Вычислите \(\sigma(\hat m^2)\). Сколько событий нужно для \(\sigma(\hat m^2)=0{,}1\) эВ²? Сравните с двумя десятками событий от SN 1987A.

  5. Проверьте свои формулы апплетом: при нулевой истинной массе оцените, как часто оценка выходит отрицательной.

С8.4. Гольмий: пиксели против наложений

  1. Для пуассоновского потока с активностью \(a\) покажите, что доля событий с ненайденным соседом внутри времени разрешения \(\tau_r\) равна \(1-e^{-a\tau_r}\simeq a\tau_r\).

  2. Пусть общая активность \(A\) распределена по \(N\) одинаковым пикселям. Получите скорость неразрешённых пар

    \[ R_{\mathrm{пар}}\simeq\frac{A^2\tau_r}{N} \tag{19}\]

    и объясните, почему при фиксированной \(A\) дробление на пиксели помогает.

  3. Вычислите \(R_{\mathrm{пар}}\) для \(A=10^6~\text{с}^{-1}\), \(\tau_r=1\) мкс при \(N=10^3\) и \(N=10^5\).

  4. Оцените долю событий в последних \(10\) эВ спектра гольмия, считая фазовый объём \(\propto(Q-E_c)^2\) при \(Q=2{,}86\) кэВ. Сравните полезную скорость счёта с \(R_{\mathrm{пар}}\) из пункта 3 и скажите, хватит ли одного дробления на пиксели.

  5. Из \(\Delta T=E_c/C\) найдите нагрев при \(E_c=2{,}86\) кэВ и \(C=10^{-12}\) Дж/К. Как выбор \(C\) и тепловой связи \(G\) спорит с требованием малого \(\tau_r\)?