Задачи: другие способы взвесить нейтрино

Лекция 08 · Введение в физику нейтрино

← Вернуться к лекции · Все задачи курса

Задачи

Задача 08.1. От фазовой модуляции к спектру CRES

Рассмотрите модель принятого сигнала

\[ V(t)=V_0\cos\!\left[2\pi f_ct+h\sin(2\pi f_zt)\right]. \]

1. Вычислите мгновенную частоту

   \[ f_{\mathrm{inst}}(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{d\Phi}{dt} \]

   и покажите, что амплитуда её отклонения равна \(\Delta f=h f_z\).

2. Используя тождество Якоби–Ангера

   \[ e^{ih\sin\theta}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}J_n(h)e^{in\theta}, \]

   получите частоты \(f_n=f_c+n f_z\) и относительные мощности \(J_n^2(h)\).

3. В пределе \(h\ll1\) используйте

   \[ J_0(h)\simeq1-\frac{h^2}{4}, \qquad J_{\pm1}(h)\simeq\pm\frac h2 \]

   и найдите долю мощности в несущей и первых боковых полосах.

4. С помощью scipy.special.jv постройте веса линий для \(h=0.2\), \(1.2\) и \(3.0\). Численно проверьте \(\sum_nJ_n^2(h)=1\).

Задача 08.2. Реальная ловушка и конечный трек CRES

Пусть вблизи центра магнитной ловушки

\[ B(z)=B_0\left(1+\frac{z^2}{L^2}\right), \qquad z(t)=z_{\max}\cos(2\pi f_zt), \]

а потерей энергии за один продольный период можно пренебречь.

1. Подставьте \(z(t)\) в \(B(z)\) и покажите, что магнитная модуляция частоты происходит при \(2f_z\), а не при \(f_z\).

2. Найдите среднюю циклотронную частоту и амплитуду её модуляции \(\Delta f_B\) через \(f_{c0}\) и \(z_{\max}/L\).

3. Проинтегрируйте мгновенную частоту и покажите, что индекс магнитной фазовой модуляции равен

   \[ h_B=\frac{\Delta f_B}{2f_z}. \]

4. Объясните, почему фаза распространения сигнала, пропорциональная \(z(t)\), создаёт также боковые полосы с шагом \(f_z\).

5. Вычислите преобразование Фурье гармоники, наблюдаемой только на интервале \(0<t<T_{\mathrm{obs}}\), и получите форму \(T_{\mathrm{obs}}^2\operatorname{sinc}^2[\pi(f-f_n)T_{\mathrm{obs}}]\).

6. Какое минимальное \(T_{\mathrm{obs}}\) требуется для \(\Delta K=0.10~\mathrm{эВ}\), если у конца тритиевого спектра это соответствует \(\Delta f_c=5.1~\mathrm{кГц}\)?

Задача 08.3. Калориметрический спектр \({}^{163}\mathrm{Ho}\)

В калориметрическом опыте измеряется вся энергия атомного возбуждения \(E_c\), а нейтрино уносит

\[ E_\nu=Q-E_c. \]

Используйте модель

\[ \frac{d\Gamma}{dE_c} =C\,(Q-E_c)\sqrt{(Q-E_c)^2-m_\nu^2}\, \Theta(Q-E_c-m_\nu) \sum_j w_jL_j(E_c), \]

где атомная линия имеет форму

\[ L_j(E_c)=\frac{\Gamma_j/(2\pi)} {(E_c-E_j)^2+\Gamma_j^2/4}. \]

1. Покажите, что \(\int_{-\infty}^{\infty}L_j(E_c)\,dE_c=1\).

2. Найдите максимальную калориметрическую энергию и объясните, почему масса нейтрино снова измеряется по форме спектра около конца.

3. Постройте игрушечный спектр для двух линий с заданными вами \((E_j,\Gamma_j,w_j)\) при \(m_\nu=0\) и \(m_\nu=1~\mathrm{эВ}\).

4. Пусть активность одного пикселя равна \(a\), а два импульса не разделяются, если интервал между ними меньше \(\tau_r\). Для \(a\tau_r\ll1\) покажите, что доля неразрешённых наложений имеет порядок

   \[ f_{\mathrm{pu}}\simeq a\tau_r, \]

   а их энергетический спектр пропорционален свёртке \((d\Gamma/dE_c)*(d\Gamma/dE_c)\).

5. Оцените \(f_{\mathrm{pu}}\) для \(a=10~\mathrm{с}^{-1}\) и \(\tau_r=1~\mathrm{мкс}\). Почему увеличение активности повышает статистику, но одновременно усиливает этот фон?

6. Сравните одним абзацем систематики спектрометра KATRIN и калориметра: где находится источник, какая энергия измеряется и почему калориметр устраняет потери при выходе электрона из источника, но получает проблему неразрешённых наложений.