viewof cresModulationIndex = Inputs.range([0, 4], {
value: 1.2,
step: 0.1,
label: html`
<span class="spectrum-slider-label">
${tex`h=\Delta f/f_z`}
</span>
`
})
cresAxialFrequency = 25
cresObservationTime = 80
cresSpectrumOrders = Array.from({length: 29}, (_, i) => i - 14)
cresFactorial = n => {
let value = 1
for (let k = 2; k <= n; ++k) value *= k
return value
}
cresBesselPositive = (n, x) => {
let value = 0
for (let k = 0; k < 24; ++k) {
value += ((k % 2 === 0) ? 1 : -1)
* Math.pow(x / 2, 2 * k + n)
/ (cresFactorial(k) * cresFactorial(k + n))
}
return value
}
cresBessel = (n, x) => {
const order = Math.abs(n)
const value = cresBesselPositive(order, x)
return n < 0 && order % 2 === 1 ? -value : value
}
cresLineWeights = cresSpectrumOrders.map(order => ({
order,
frequency: order * cresAxialFrequency,
amplitude: cresBessel(order, cresModulationIndex),
power: Math.pow(cresBessel(order, cresModulationIndex), 2)
}))
cresSinc = value => Math.abs(value) < 1e-12
? 1
: Math.sin(value) / value
cresFrequencyGrid = Array.from({length: 1201}, (_, i) => -150 + i / 4)
cresSpectrum = cresFrequencyGrid.map(frequency => ({
frequency,
power: (() => {
let real = 0
let imaginary = 0
for (const line of cresLineWeights) {
const argument = Math.PI
* (frequency - line.frequency)
* 1000
* cresObservationTime
* 1e-6
const amplitude = line.amplitude * cresSinc(argument)
real += amplitude * Math.cos(argument)
imaginary -= amplitude * Math.sin(argument)
}
return real * real + imaginary * imaginary
})()
}))
cresSpectrumMaximum = Math.max(...cresSpectrum.map(point => point.power))
cresNormalizedSpectrum = cresSpectrum.map(point => ({
frequency: point.frequency,
power: point.power / cresSpectrumMaximum
}))
cresNormalizedLines = cresLineWeights.map(line => ({
frequency: line.frequency,
power: line.power / Math.max(...cresLineWeights.map(item => item.power))
}))
cresSpectrumPlot = Plot.plot({
width: 1040,
height: 260,
marginTop: 6,
marginRight: 25,
marginBottom: 30,
marginLeft: 72,
style: {
background: "#ffffff",
color: "#111111",
fontSize: "18px"
},
x: {
axis: "bottom",
label: null,
domain: [-150, 150],
ticks: 7,
grid: true
},
y: {
axis: "left",
label: null,
domain: [0, 1.05],
ticks: 3,
grid: true
},
marks: [
Plot.line(cresNormalizedSpectrum, {
x: "frequency",
y: "power",
stroke: "#4ea1ff",
strokeWidth: 3
}),
Plot.ruleX(cresNormalizedLines.filter(line => Math.abs(line.frequency) <= 150), {
x: "frequency",
y1: 0,
y2: "power",
stroke: "#ffb347",
strokeWidth: 3
}),
Plot.frame({stroke: "#111111"})
]
})
html`
<div class="spectrum-panel">
<div class="spectrum-plot-row">
<div class="spectrum-y-label">${tex`(dP/df)_{\rm norm}`}</div>
<div class="spectrum-plot-host">${cresSpectrumPlot}</div>
</div>
<div class="spectrum-x-label">${tex`f-f_c\;(\text{кГц})`}</div>
<div class="spectrum-summary">
<span>${tex`f_z=${cresAxialFrequency}\ \text{кГц}`}</span>
<span>${tex`T_{\rm obs}=${cresObservationTime}\ \text{мкс}`}</span>
<span>${tex`\Delta f_{\rm FWHM}\simeq0.886/T_{\rm obs}\simeq${(886 / cresObservationTime).toFixed(1)}\ \text{кГц}`}</span>
</div>
</div>`Прямое измерение массы нейтрино.
Другие способы взвесить нейтрино
Введение в физику нейтрино
Энергию можно превратить в частоту или тепло
- В лекции 07 мы измеряли несколько интегралов от \(\beta\)-спектра, меняя задерживающее напряжение.
- Теперь рассмотрим способы измерять энергию каждого распада отдельно.
- Способов будет четыре:
- услышать электрон;
- измерить тепло;
- восстановить недостающий импульс;
- сравнить времена прилёта.
Циклотронная частота зависит от энергии
- В нерелятивистской формуле \(\omega_c=eB/m_e\) энергия не фигурирует.
- В лекции 05 мы получили релятивистское уточнение:
\[ f_c=\frac{\omega_c}{2\pi} =\frac{eB}{2\pi\gamma m_e} =\frac{f_0}{\gamma}, \qquad \gamma=1+\frac{E}{m_ec^2}. \]
- Здесь \(f_0=eB/(2\pi m_e)\). Более энергичный электрон вращается медленнее.
- Если поле известно, частота даёт энергию:
\[ \boxed{E=m_ec^2\left(\frac{f_0}{f_c}-1\right)}. \]
- Электрон движется с ускорением поперёк магнитного поля и излучает электромагнитную волну.
- Периодическое вращение создаёт сигнал на циклотронной частоте. Его можно принимать, пока электрон остаётся в наблюдаемом объёме.
- При \(B=1\) Тл и \(E=18.6\) кэВ
\[ f_0\simeq27.99~\text{ГГц}, \qquad f_c\simeq27.01~\text{ГГц}. \]
- Такой подход называется спектроскопией циклотронного излучения, сокращённо CRES. Его развивает эксперимент Project 8.
В электродинамических формулах этой лекции \(c\) выписано явно, \(E\) — кинетическая энергия электрона. Принцип и реализация CRES.
Что приходит на вход приёмника?
- В приближении свободного пространства мощность излучения равна
\[ P_{\mathrm{rad}} =\frac{e^4B^2}{6\pi\varepsilon_0m_e^2c} \,\gamma^2\beta^2\sin^2\alpha. \]
- \(\beta=v/c\), \(\alpha\) — угол скорости к полю. Излучает поперечное ускорение; при \(\alpha=0\) циклотронного излучения нет.
- Для \(E=18.6\) кэВ, \(B=1\) Тл, \(\alpha=90^\circ\):
\[ \boxed{P_{\mathrm{rad}}\simeq1.2\cdot10^{-15}~\text{Вт}}. \]
- До приёмника доходит лишь часть мощности. Волновод или резонатор меняет и сбор сигнала, и условия самого излучения.
- Телефон в момент передачи излучает \(0.2\) Вт, телевышка — сотни киловатт.
- На антенну того же телефона от базовой станции приходит около \(10^{-10}\) Вт.
- Сигнал GPS на этой антенне — \(1.4\cdot10^{-16}\) Вт, и его уверенно принимает каждый смартфон.
- Наш фемтоватт лежит выше сигнала GPS.
Сравнивать наш фемтоватт с передатчиками бессмысленно. С чем он конкурирует на самом деле?
- Соперник один — тепловой шум самого приёмника. Он даёт мощность \(kT_{\mathrm{ш}}\) на каждый герц полосы.
- Полосу задаёт длительность записи: чем дольше мы слушаем электрон, тем уже линия в спектре,
\[ \Delta f\simeq\frac{0.886}{T_{\mathrm{набл}}}. \]
- При \(T_{\mathrm{ш}}=132\) К и записи длиной \(100\) мкс шум в одной такой линии
\[ \boxed{ P_{\mathrm{ш}}=kT_{\mathrm{ш}}\,\Delta f \simeq1.6\cdot10^{-17}~\text{Вт} }. \]
- Фемтоватт против этого — запас почти в сто раз. Часть мощности теряется по дороге к усилителю, и рабочее отношение сигнал/шум выходит порядка единиц.
Слушать долго и в узкой полосе.
Как устроена приёмная цепочка
- Электрон отдаёт мощность электромагнитной моде, мода доводит её до усилителя.
- Усилитель поднимает уровень, смеситель опускает частоту, АЦП записывает напряжение как функцию времени.
- Каждый шаг сохраняет частоту — ту самую величину, ради которой всё затеяно.
- Резонатор — закрытая полость. Волна отражается от стенок и складывается сама с собой на избранных частотах.
- Добротность \(Q=f/\Delta f\) считает, сколько периодов поле живёт в полости. При \(Q=10^4\) на \(26\) ГГц полоса резонатора равна \(2.6\) МГц.
- Волновод — металлическая труба. Поле обращается в нуль на стенках, поэтому поперёк трубы должна уложиться хотя бы полуволна:
\[ f>f_{\mathrm{кр}}\simeq\frac{c}{2d}. \]
- При \(d=10\) мм это \(15\) ГГц; точный расчёт для круглой трубы даёт \(17.6\) ГГц. Сигнал в \(26\) ГГц проходит, всё, что ниже отсечки, затухает.
- Фемтоватты нужно поднять до уровня, который переживёт кабели и оцифровку. Усиление в Project 8 — от \(70\) до \(82\) дБ, то есть в \(10^7\)–\(10^8\) раз по мощности.
- За это приходится платить: усилитель добавляет собственный шум. Его выражают температурой \(T_{\mathrm{ш}}\), шумовая мощность равна \(kT_{\mathrm{ш}}\) на герц полосы.
- Для цепочки каскадов с усилениями \(G_i\)
\[ \boxed{ T_{\mathrm{сист}}=T_1+\frac{T_2}{G_1}+\frac{T_3}{G_1G_2}+\ldots } \]
- Шум первого каскада входит целиком, остальные делятся на усиление предыдущих. Поэтому первый усилитель охлаждают, а всё остальное терпит.
- У Project 8 \(T_{\mathrm{сист}}=132\) К.
- Записать \(26\) ГГц напрямую нечем. Смеситель перемножает сигнал с опорным колебанием частоты \(f_{\mathrm{оп}}\):
\[ \cos(2\pi f_ct)\cos(2\pi f_{\mathrm{оп}}t) =\frac12\cos[2\pi(f_c-f_{\mathrm{оп}})t] +\frac12\cos[2\pi(f_c+f_{\mathrm{оп}})t]. \]
- Фильтр оставляет разность. Смешав \(26\) ГГц с \(24.5\) ГГц, получаем \(1.5\) ГГц; все изменения частоты сохраняются в этом сдвиге без искажений.
- АЦП пишет напряжение с частотой дискретизации выше удвоенной полосы — иначе разные частоты станут неразличимы.
- Фурье-анализ коротких кусков записи даёт спектрограмму: мощность как функция времени и частоты.
Один электрон оставляет частотный трек
- Схематический трек при постоянном среднем поле.
- Потеря в одном столкновении выбрана равной \(12.6\) эВ;
- боковые линии показаны условно.
- По горизонтали — время, по вертикали — частота.
- Начало первой обнаруженной линии даёт оценку начальной энергии электрона.
- Плавный подъём связан с потерей энергии на излучение:
\[ \dot E=-P_{\mathrm{rad}}, \qquad \dot f_c=\frac{f_cP_{\mathrm{rad}}}{m_ec^2+E}>0. \]
- Столкновение с молекулой может резко уменьшить энергию: частота скачком увеличится.
- Соседние линии могут принадлежать тому же электрону.
- В лекциях 05–06 сила Лоренца не совершала работы: \(q\mathbf v\cdot(\mathbf v\times\mathbf B)=0\).
- Но там мы пренебрегали излучением. Теперь оно является наблюдаемым сигналом и уносит энергию электрона.
- Магнитное поле не поставляет эту энергию. Электрон расходует свою кинетическую энергию; в точном уравнении движения появляется сила радиационного торможения.
- При мощности \(1.2\) фВт за \(100\) мкс теряется примерно
\[ P_{\mathrm{rad}}T_{\mathrm{obs}} \simeq1.2\cdot10^{-19}~\text{Дж} \simeq0.75~\text{эВ}. \]
- Поэтому начальную энергию восстанавливают по началу трека, учитывая его последующую эволюцию.
- Электрон удерживается в ловушке; излучение даёт восходящий трек. Столкновение меняет его частоту.
Схематическая анимация; её обозначение \(K\) соответствует кинетической энергии \(E\) в лекции.
Магнитное зеркало продлевает наблюдение
- Без ловушки электрон быстро покинул бы чувствительную область.
- Два магнитных зеркала отражают его обратно — используется эффект лекции 06.
- Между отражениями энергия за один продольный период меняется мало, и можно применять адиабатический инвариант.
- Если поле на краях лишь немного больше \(B_0\), запираются электроны с углами, близкими к \(90^\circ\):
\[ \boxed{\sin^2\alpha_0>\frac{B_0}{B_{\max}}}. \]
- Пусть \(B_{\max}=B_0(1+\eta)\), где \(\eta\ll1\) — относительная глубина ловушки.
- Условие удержания принимает вид
\[ |\cos\alpha_0|< \sqrt{1-\frac{1}{1+\eta}} \simeq\sqrt{\eta}. \]
- Для изотропного источника \(\cos\alpha_0\) равномерен на \([-1,1]\). Поэтому геометрическая доля запертых электронов примерно равна \(\sqrt{\eta}\).
- Глубокая ловушка принимает больше углов, но электрон исследует больший диапазон полей.
- Частота зависит и от энергии, и от поля: выигрыш в статистике усложняет восстановление энергии.
- Поле ловушки постоянно во времени. Двигается электрон, и вместе с ним меняется поле в той точке, где он сейчас находится.
- В параболическом приближении
\[ B(z)=B_0\left(1+\frac{z^2}{\ell^2}\right), \qquad z(t)=z_{\max}\cos(2\pi f_zt). \]
- Подстановка даёт
\[ B(t)=B_0\left[ 1+\frac{z_{\max}^2}{2\ell^2} +\frac{z_{\max}^2}{2\ell^2}\cos(4\pi f_zt) \right]. \]
- За один продольный период электрон дважды заходит в область сильного поля, поэтому частота вращения колеблется на \(2f_z\).
- Сдвигается и средняя частота. Подстановка одного \(B_0\) в формулу для \(E\) без поправки на траекторию даст ошибку.
Почему один электрон даёт несколько линий?
Полная фаза принятого сигнала складывается из фазы вращения и задержки волны, \(\Phi_{\mathrm{пр}}(t)=\int_0^t2\pi f_c\,dt'+\Phi_{\mathrm{распр}}[z(t)]\): первое слагаемое качается на \(2f_z\), второе — на \(f_z\). Спектр мощности CRES и продольное движение.
- Электрон качается между зеркалами с частотой \(f_z\) и дважды за период заходит в сильное поле. Циклотронная частота качается вместе с ним.
- Заодно меняется расстояние до приёмника: волна приходит то чуть раньше, то чуть позже.
- Приёмник слышит синусоиду, у которой период слегка дышит с периодом \(1/f_z\).
- Дыхание фазы разбивает одну линию на гребёнку:
\[ \boxed{f_n=f_c+nf_z}. \]
- Все эти линии принадлежат одному электрону.
- Сначала оставим одну частоту модуляции:
\[ V(t)=V_0\cos\Phi(t), \qquad \Phi(t)=2\pi f_ct+h\sin(2\pi f_zt). \]
- Мгновенная частота определяется производной фазы:
\[ f_{\mathrm{мгн}}=\frac{1}{2\pi}\frac{d\Phi}{dt} =f_c+h f_z\cos(2\pi f_zt). \]
- Поэтому \(h=\Delta f/f_z\) — безразмерный индекс модуляции, а \(\Delta f\) — амплитуда изменения частоты.
- При малом \(h\) сигнал почти гармонический. При большом \(h\) боковые линии несут заметную долю мощности.
- Тождество Якоби—Ангера даёт
\[ e^{ih\sin\theta}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}J_n(h)e^{in\theta}. \]
- Следовательно,
\[ e^{i\Phi(t)} =\sum_{n=-\infty}^{\infty}J_n(h)e^{2\pi i(f_c+nf_z)t}. \]
- \(J_n\) — функция Бесселя. Боковая линия имеет частоту \(f_n=f_c+nf_z\) и относительную мощность \(J_n^2(h)\).
- Для длинного наблюдения
\[ \sum_nJ_n^2(h)=1: \]
мощность перераспределяется между линиями и никуда не исчезает.
- Гребёнка забирает мощность у центральной линии. Порог обнаружения приходится считать по той линии, которую мы действительно видим.
- Расстояние между линиями равно \(f_z\). Оно зависит от угла и от того, как глубоко электрон заходит в ловушку, — то есть рассказывает о траектории.
- Траектория задаёт среднее поле вдоль пути, а без него частоту не перевести в энергию.
- При \(h\approx2.4\) функция \(J_0\) обращается в нуль: центральная линия гаснет, хотя электрон никуда не делся.
От отдельных треков к спектру Project 8
- Электрон рождается в распаде прямо внутри волновода и остаётся там, запертый катушками ловушки.
- Радиоволна уходит вдоль трубы к усилителям, а с дальнего конца её гасит поглотитель, чтобы не приходило эхо.
- Газ подаётся через отдельный ввод, а соленоид сдвига поля меняет рабочее поле без перестройки самого магнита.
| Параметр | Значение |
|---|---|
| Поле | \(0.959\) Тл |
| Частота у конца спектра | \(\simeq26\) ГГц |
| Ячейка | круглый волновод \(\varnothing\,10\) мм |
| Объём | порядка см³ |
| Шум системы | \(132\) К |
| Усиление | \(70\)–\(82\) дБ |
| Разрешение на линии Kr | \(1.66\) эВ |
Параметры Phase II. Обзор метода и установки.
- Для каждого обнаруженного электрона восстанавливают начало трека.
- Начальные частоты переводят в энергии и заполняют спектр. Затем сравнивают его с моделью β-распада и отклика.
- Не каждый электрон даёт видимый трек: вероятность обнаружения зависит от мощности, длительности, угла и полосы приёмника.
- Если первый участок слишком слаб или короток, электрон может быть замечен только после потери энергии. Это искажает реконструированный спектр.
- Калибровки и модель эффективности здесь нужны так же, как в KATRIN.
Project 8: первое измерение и следующие шаги
Рисунок 5 и результат: Project 8, Phys. Rev. Lett. 131, 102502 (2023).
- В 2023 году Project 8 опубликовал первый тритиевый спектр, измеренный по циклотронному излучению.
- Получены ограничения
\[ m_\beta<155~\text{эВ}\quad(90\%\ \text{байесовский интервал}), \]
\[ m_\beta<152~\text{эВ}\quad(90\%\ \text{частотный интервал}). \]
- Разрешение \(1.66\pm0.19\) эВ FWHM было показано на линии \(^{83\mathrm m}\mathrm{Kr}\) около \(17.8\) кэВ в специально выбранной неглубокой ловушке.
- Хорошее разрешение отдельного электрона ещё не даёт сильного ограничения на массу: важны число тритиевых событий и весь отклик.
- Объём источника — кубический сантиметр. У KATRIN источник длиной в десять метров, отсюда и разница в пределах: \(155\) эВ против \(0.45\) эВ.
- Phase II решала свою задачу: показать разрешение. На одном электроне получено \(1.66\) эВ в объёме размером с напёрсток.
- Дальше нужен объём. Слабый сигнал собирают либо антенной решёткой, складывая сигналы с задержками по положению электрона, либо резонатором с выбранной модой.
- Phase III — резонатор масштаба м³. Phase IV — атомарный тритий с целью \(40\) мэВ.
- Физику массы нейтрино CRES начнёт измерять на следующих этапах.
- В молекулярном тритии часть энергии остаётся во вращении и колебаниях дочерней молекулы. Частотное считывание само по себе этого не устраняет.
- Атомарный тритий убирает молекулярные степени свободы, но сохраняет атомные возбуждения и отдачу.
- Атомы нужно охлаждать, удерживать и защищать от рекомбинации в молекулы на стенках.
- Обсуждаемая цель Project 8 — чувствительность порядка \(40\) мэВ. Для неё нужны большой атомарный источник и новое считывание.
Калориметр: общая картина
- Атом \(^{163}\mathrm{Ho}\) сидит внутри поглотителя и захватывает собственный электрон. Нейтрино уходит, остальное остаётся здесь же.
- Рентгеновские кванты и оже-электроны каскада тормозятся в веществе, и через микросекунды всё это становится теплом.
- Поглотитель нагревается, термометр превращает нагрев в импульс, высота импульса даёт
\[ \boxed{E_c=Q-E_\nu}. \]
- \(Q\) — полное энерговыделение распада, \(E_c\) — измеренная калориметрическая энергия.
- Дальше разберём каждое звено этой цепочки по отдельности.
Электронный захват в гольмии-163
- Протон ядра захватывает один из связанных электронов своего атома:
\[ p+e^-_{\mathrm{связ}}\to n+\nu_e. \]
- Заряд ядра уменьшается на единицу. Для полного нейтрального атома
\[ {}^{163}\mathrm{Ho}_{\mathrm{атом}} \to{}^{163}\mathrm{Dy}_{\mathrm{атом}}^*+\nu_e. \]
- Здесь звёздочка обозначает возбуждение электронной оболочки: после захвата осталась вакансия и перестроилось поле ядра.
- Разность масс нейтральных атомов задаёт \(Q\simeq2.86\) кэВ. Связанный электрон уже включён в массу исходного атома.
- Электрон с внешней оболочки может занять вакансию.
- Освобождённая энергия испускается рентгеновским квантом или передаётся другому электрону, который вылетает из атома. Последний процесс даёт оже-электрон.
- Возникает каскад перестроек оболочки. Внутри поглотителя все эти частицы передают энергию веществу.
- Калориметр суммирует каскад. Для одного и того же конечного атомного состояния несущественно, как энергия поделилась между фотонами и электронами.
Калориметр измеряет полную оставшуюся энергию, даже если она разошлась по нескольким частицам.
- Фотоны и электроны должны поглотиться внутри чувствительного объёма. Уход фотона уменьшит измеренную энергию и создаст хвост отклика.
- Энергия должна успеть перейти в измеряемые тепловые степени свободы. Долгоживущие возбуждения могут изменить форму импульса.
- Положение внедрённых атомов, толщину поглотителя и калибровку проверяют экспериментально.
- При выполнении этих условий исчезают потери при выходе электрона из отдельного источника, знакомые по лекции 07.
Почему калориметрический спектр содержит пики?
- Электрон может быть захвачен с разных оболочек. После захвата остаются разные энергии возбуждения атома диспрозия.
- Для идеально определённого конечного состояния двухчастичная кинематика дала бы одну энергию нейтрино и одну \(E_c\).
- Но возбуждённые атомные состояния имеют конечное время жизни и естественную ширину.
- Несколько каналов дают несколько линий с хвостами. Дополнительные возбуждения и ионизация других электронов усложняют спектр.
- Атомные пики определяют большую часть статистики. Чувствительность к малой массе находится у границы \(E_c\simeq Q\).
Учебный двухлинейный спектр. Масса \(10\) эВ выбрана для наглядности; это не данные ECHo или HOLMES.
- В приближении неразрешённых лёгких масс введём \(x=Q-E_c\). Для \(x\ge m_\beta\):
\[ \boxed{ \frac{d\Gamma}{dE_c} =C\,x\sqrt{x^2-m_\beta^2}\,\Theta(x-m_\beta)\,\mathcal A(E_c) }. \]
- \(C\) — нормировка, \(\mathcal A(E_c)\) — атомная спектральная функция.
- Простейшая модель независимых линий:
\[ \mathcal A(E_c)\simeq \sum_j a_j\, \frac{\Gamma_j/(2\pi)} {(E_c-E_j)^2+\Gamma_j^2/4}. \]
- \(E_j\), \(\Gamma_j\), \(a_j\) — энергия, ширина и вес канала. Массовая поправка умножает всю атомную функцию.
- Модель одиночных вакансий даёт полезную картину, но недостаточна для точного анализа конца спектра.
- После изменения заряда ядра другие электроны могут дополнительно возбудиться или уйти в непрерывный спектр.
- Поэтому \(\mathcal A(E_c)\) требует многоэлектронного расчёта и проверки по измеренным линиям.
- В эффективной одномассовой модели край равен \(E_c^{\max}=Q-m_\beta\). Точное трёхмассовое описание содержит пороги \(Q-m_i\) с весами \(|V_{ei}|^2\).
- Малое \(Q\) полезно.
- Атомные пики нужны для калибровки детектора и проверки модели спектра. Для измерения малой массы нейтрино необходима достаточная статистика у самой границы спектра.
Как измерить нагрев от одного распада?
- Поглотитель охлаждают до температуры порядка десятков милликельвинов. Его теплоёмкость \(C\) становится малой.
- Быстрое выделение энергии повышает температуру:
\[ \boxed{\Delta T\simeq\frac{E_c}{C}}. \]
- Например, при \(C=10^{-12}\) Дж/К энергия \(2.86\) кэВ даёт
\[ \Delta T\simeq0.46~\text{мК}. \]
- Термометр переводит этот нагрев в электрический сигнал.
- После распада энергия постепенно уходит в термостат через тепловую связь \(G\).
- В линейной модели, когда выделение энергии уже закончилось,
\[ C\frac{d\Delta T}{dt}=-G\Delta T. \]
- Отсюда
\[ \boxed{ \Delta T(t)=\frac{E_c}{C}e^{-t/\tau_{\mathrm{тепл}}}, \qquad \tau_{\mathrm{тепл}}=\frac{C}{G} }. \]
- Малое \(C\) увеличивает амплитуду, а большое \(G\) ускоряет возврат.
- Чувствительность ограничивают шум термометра и тепловые флуктуации. Быстродействие и энергетическое разрешение приходится выбирать совместно.
Два способа превратить температуру в сигнал
- В ECHo используют металлические магнитные калориметры. Датчик содержит парамагнитные ионы эрбия в металлической матрице.
- В слабом поле магнитные моменты частично упорядочены. Нагрев усиливает тепловое разупорядочение и уменьшает намагниченность.
- Простейшая картина — закон Кюри \(M\propto B/T\). Реальный датчик калибруют при его рабочей температуре и поле.
- Изменение магнитного потока считывает СКВИД — сверхпроводящий квантовый интерферометр, чувствительный магнитометр.
\[ E_c\ \longrightarrow\ \Delta T \ \longrightarrow\ \Delta M \ \longrightarrow\ \Delta\Phi. \]
- HOLMES использует датчики на краю сверхпроводящего перехода: TES — принятое сокращение этого типа термометров.
- Датчик удерживают в узком интервале температур, где сопротивление резко меняется от почти нулевого до нормального.
- Небольшой нагрев заметно повышает сопротивление. При заданном напряжении ток уменьшается:
\[ \Delta T>0\quad\Rightarrow\quad \Delta R>0\quad\Rightarrow\quad \Delta I<0. \]
- При этом уменьшается джоулев нагрев \(P_J=V_{\mathrm{см}}^2/R\). Такая отрицательная обратная связь помогает датчику остывать.
- Реальный импульс определяется и тепловой, и электрической динамикой.
- Тепловой сигнал один и тот же. Различаются физические величины, которыми измеряют температуру.
- Кривые схематические; для магнитного датчика показан слабополевой закон Кюри, для TES — модель перехода.
Два распада могут выглядеть как один
- Если два события произошли слишком близко по времени, электроника может восстановить одно событие с энергией \(E_1+E_2\).
- Низкоэнергетические распады тогда попадают в область конца спектра. У суммарного спектра появляются события даже выше \(Q\).
- Пусть активность одного пикселя равна \(a\) распадов в секунду, а интервалы меньше \(\tau_r\) не разрешаются.
- Вероятность следующего распада в этом интервале:
\[ \boxed{ f_{\mathrm{нал}}=1-e^{-a\tau_r} \simeq a\tau_r,\qquad a\tau_r\ll1 }. \]
- При \(a=10~\text{с}^{-1}\) и \(\tau_r=1\) мкс получаем \(f_{\mathrm{нал}}\sim10^{-5}\).
- Это малая доля всех событий, но полезных событий у конца спектра ещё меньше.
- Для независимых распадов энергетическое распределение наложений пропорционально свёртке \(S*S\), где \(S(E_c)\) — одиночный спектр.
- При \(N\) одинаковых пикселях и общей активности \(A_{\mathrm{общ}}=Na\) число одиночных распадов растёт как \(A_{\mathrm{общ}}\).
- Скорость близких пар во всём массиве примерно равна
\[ \boxed{ R_{\mathrm{пар}}\simeq Na^2\tau_r =\frac{A_{\mathrm{общ}}^2\tau_r}{N} }. \]
- При фиксированной общей активности её распределение по большему числу пикселей уменьшает наложения.
- Много каналов нужно одновременно читать и калибровать. Каналы можно различать по собственным частотам резонаторов в общей линии считывания.
Недостающий импульс: пион и тау
- В распаде \(\pi^+\to\mu^++\nu_\mu\) покоящийся пион отдаёт мюону и нейтрино равные по модулю импульсы. Достаточно измерить \(p_\mu\):
\[ \boxed{ m_\nu^2=(P_\pi-P_\mu)^2 =m_\pi^2+m_\mu^2-2m_\pi\sqrt{p_\mu^2+m_\mu^2} }. \]
- При нулевой массе
\[ p_\mu=\frac{m_\pi^2-m_\mu^2}{2m_\pi}\simeq29.79~\text{МэВ}. \]
- Измерение Ассамагана и соавторов: \(m_{\nu_\mu}<170\) кэВ (\(90\%\)).
Измерение импульса мюона в распаде пиона. Обозначение \(m_{\nu_\mu}\) традиционно для этого канала; отдельной определённой массы у флэйворного состояния нет.
- В \(\tau^-\to X^-+\nu_\tau\) складывают четырёхимпульсы зарегистрированных адронов и получают массу \(m_X\) и энергию \(E_X\) видимой системы.
- Масса нейтрино отрезает край доступной области:
\[ m_X\le m_\tau-m_\nu. \]
- Тау движется, поэтому граница по энергии размывается в полосу между \(\cos\theta^*=\pm1\). Массу ищут по тому, как события ложатся у края полосы.
- ALEPH: \(m_{\nu_\tau}<18.2\) МэВ (\(95\%\)).
- На рисунке \(\gamma_\tau=10\) и масса \(100\) МэВ, чтобы эффект был виден.
- Продифференцируем связь массы и импульса мюона:
\[ \delta m_\nu^2=-2m_\pi\frac{p_\mu}{E_\mu}\,\delta p_\mu. \]
- Чтобы почувствовать \(m_\nu=1\) эВ, импульс в \(29.79\) МэВ нужно знать с относительной точностью \(5\cdot10^{-16}\).
- Сравним с тритием, где предел равен \(0.45\) эВ: пионный канал слабее в \(4\cdot10^5\) раз, тау-канал — в \(4\cdot10^7\) раз.
- Вся разница в масштабе энергий: тритий работает с десятками кэВ, а здесь приходится вычитать сотни МэВ.
Способ четвёртый: засечь время прилёта
- Для массового состояния \(i\)
\[ v_i=c\sqrt{1-\frac{m_i^2c^4}{E_\nu^2}} \simeq c\left(1-\frac{m_i^2c^4}{2E_\nu^2}\right). \]
- Относительно частицы, испущенной одновременно и движущейся со скоростью \(c\),
\[ \boxed{ \Delta t_i=\frac{L}{v_i}-\frac{L}{c} \simeq\frac{L}{2c}\frac{m_i^2c^4}{E_\nu^2} }. \]
- Длинная база усиливает задержку; большая энергия её уменьшает.
\[ \Delta t_i\simeq5.15~\text{мс} \left(\frac{L}{10~\text{кпк}}\right) \left(\frac{m_ic^2}{1~\text{эВ}}\right)^2 \left(\frac{10~\text{МэВ}}{E_\nu}\right)^2. \]
- За десятки тысяч лет полёта масса порядка эВ даёт задержку порядка миллисекунд.
- Энергетическая зависимость \(1/E_\nu^2\) помогает искать этот эффект в сигнале сверхновой.
- Детектор измеряет сумму трёх слагаемых:
\[ t_{\mathrm{приход}} =t_{\mathrm{рожд}}+\frac{L}{c}+\Delta t_i. \]
- Момент вспышки нам неизвестен, и сдвиг всех времён сразу поглощается им без следа. Работает только зависимость задержки от энергии.
- Сверхновая к тому же излучает нейтрино в течение нескольких секунд, а искомая задержка — миллисекунды.
- Поэтому нужен либо модельный временной профиль источника, либо достаточно резкая особенность сигнала.
- Одной величиной \(m_\beta^2\) здесь не обойтись: в поток входят массовые состояния по отдельности.
- В координатах \((1/E^2,\ t)\) задержка ложится на прямую, а её наклон равен \(m^2\).
- Ползунок разброса времени рождения показывает, как быстро тонет сигнал.
- Справа — профиль \(-2\ln L(m^2)\); его минимум и есть оценка массы, а ширина по уровню \(+1\) даёт ошибку.
Открыть апплет · метод правдоподобия разбирается в моём курсе по статистическому анализу.
Зачем добиваться десятков миллиэлектронвольт?
- В тритиевом β-распаде и электронном захвате измеряется
\[ m_\beta^2=\sum_i|V_{ei}|^2m_i^2. \]
- Осцилляции задают разности квадратов масс и коэффициенты смешивания, но оставляют неизвестной самую лёгкую массу.
- Даже если самая лёгкая масса мала, \(m_\beta\) не обращается в нуль.
- Линия \(40\) мэВ на графике обозначает цель будущего эксперимента. Полученных ограничений на этом уровне пока нет.
- Для нормального порядка и \(m_1\simeq0\):
\[ m_\beta^2 \simeq |V_{e2}|^2\Delta m_{21}^2 +|V_{e3}|^2\Delta m_{31}^2. \]
- Подставим округлённые значения \(|V_{e2}|^2\simeq0.30\), \(|V_{e3}|^2\simeq0.022\), \(\Delta m_{21}^2\simeq7.5\cdot10^{-5}\) эВ\(^2\), \(|\Delta m_{31}^2|\simeq2.5\cdot10^{-3}\) эВ\(^2\):
\[ m_\beta\simeq \sqrt{0.30\cdot7.5\cdot10^{-5}+0.022\cdot2.5\cdot10^{-3}} \simeq9~\text{мэВ}. \]
- Для обратного порядка и \(m_3\simeq0\) почти весь электронный вес находится в двух состояниях с массами около \(50\) мэВ; поэтому \(m_\beta\simeq50\) мэВ.
| Измерение | Комбинация масс | Дополнительная физика |
|---|---|---|
| Электронная кинематика | \(m_\beta^2=\sum_i|V_{ei}|^2m_i^2\) | спектр распада и отклик |
| \(0\nu2\beta\) через лёгкие нейтрино | \(m_{\beta\beta}=|\sum_iV_{ei}^2m_i|\) | майорановские фазы, ядерная амплитуда |
| Космология | \(\Sigma=m_1+m_2+m_3\) | эволюция Вселенной и набор наблюдений |
- В β-спектре разные ненаблюдаемые массовые состояния складываются по вероятностям.
- В майорановской амплитуде возможна интерференция. В космологии измеряется влияние нейтрино на эволюцию вещества.
- Поэтому эти величины нельзя сравнивать как три измерения одного числа.
