Прямое измерение массы нейтрино. Другие способы взвесить нейтрино

Введение в физику нейтрино

Дмитрий В. Наумов

ОИЯИ

Project 8: CRES — энергия как частота

Циклотронное излучение

Частота
Регистрация

CRES (Cyclotron Radiation Emission Spectroscopy) — спектроскопия циклотронного излучения. Энергия электрона определяется по частоте его излучения в известном магнитном поле.

В однородном поле

\[ f_c=\frac{eB}{2\pi\gamma m_e} =\frac{f_0}{\gamma}, \qquad f_0\equiv\frac{eB}{2\pi m_e}, \qquad \gamma=1+\frac{K}{m_ec^2}, \]

поэтому кинетическая энергия определяется непосредственно по частоте:

\[ \boxed{K=m_ec^2\left(\frac{f_0}{f_c}-1\right)}. \]

При \(B=1~\mathrm{Тл}\) электрон конца тритиевого спектра излучает около \(27~\mathrm{ГГц}\).

Почему Project 8?

Название принято связывать с восемью участниками ранней команды. Коллаборация выросла, а имя сохранилось. Официальной расшифровки числа 8 нет.

Движущийся по спирали электрон излучает микроволновую мощность.

Для свободного электрона

\[ P=\frac{e^4B^2}{6\pi\varepsilon_0m_e^2c}\, \gamma^2\beta_\perp^2, \qquad \beta_\perp=\beta\sin\vartheta. \]

При \(K=18.6~\mathrm{кэВ}\), \(B=1~\mathrm{Тл}\) и \(\vartheta=90^\circ\) получаем

\[ P\simeq1.2\cdot10^{-15}~\mathrm{Вт}. \]

В Phase II излучение возбуждает микроволновую моду ячейки-волновода. Измерительная цепочка имеет вид

\[ \boxed{ \begin{aligned} \text{волновод}&\longrightarrow\text{криогенный усилитель}\\ &\longrightarrow\text{перенос частоты}\longrightarrow\text{АЦП} \end{aligned} }. \]

Преобразования Фурье дают спектрограмму. Пока электрон излучает,

\[ \dot K<0 \quad\Longrightarrow\quad \dot\gamma<0 \quad\Longrightarrow\quad \dot f_c>0. \]

Один электрон даёт на спектрограмме восходящий частотный трек.

В однородном поле и при постоянной энергии принятый сигнал был бы монохроматическим:

\[ V(t)=V_0\cos(2\pi f_ct+\phi_0). \]

В магнитной ловушке электрон ещё и колеблется вдоль поля. Поэтому меняются локальное поле \(B[\mathbf r(t)]\) и фаза распространения волны до приёмника:

\[ \boxed{ \Phi_{\rm rec}(t) =\int_0^t 2\pi f_c(t')\,dt' +\Phi_{\rm prop}[z(t)] }, \qquad f_c(t)=\frac{eB[\mathbf r(t)]}{2\pi\gamma(t)m_e}. \]

Здесь \(z\) — координата вдоль оси ловушки. Для одной распространяющейся моды \(\Phi_{\rm prop}\simeq\pm k_\lambda z(t)\), где \(k_\lambda\) — постоянная распространения волновода.

Именно периодическое изменение принятой фазы создаёт боковые полосы.

Сначала рассмотрим одну гармоническую модуляцию частоты:

\[ \Phi(t)=2\pi f_ct+h\sin(2\pi f_zt), \qquad V(t)=V_0\cos\Phi(t). \]

\[ f_{\rm inst}(t) =\frac{1}{2\pi}\frac{d\Phi}{dt} =f_c+h f_z\cos(2\pi f_zt), \qquad \boxed{h\equiv\frac{\Delta f}{f_z}}. \]

\(f_z\) — частота продольных колебаний, \(\Delta f\) — амплитуда изменения мгновенной частоты, а \(h\) — безразмерный индекс модуляции.

Это учебная модель с одной частотой модуляции. В симметричной магнитной ловушке \(B[z(t)]\) обычно даёт гармонику \(2f_z\), а фаза распространения — гармонику \(f_z\).

Для положительно-частотной части сигнала применим разложение Якоби–Ангера:

\[ e^{ih\sin\theta}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}J_n(h)e^{in\theta}. \]

\[ \begin{aligned} e^{i\Phi(t)} &=e^{i2\pi f_ct}e^{ih\sin(2\pi f_zt)} \\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}J_n(h)e^{i2\pi(f_c+n f_z)t}. \end{aligned} \]

Линия с номером \(n\) имеет частоту \(f_n=f_c+n f_z\) и долю мощности \(J_n^2(h)\):

\[ \boxed{ \frac{dP}{df}=P\sum_n J_n^2(h)\,\delta(f-f_n) }, \qquad \sum_nJ_n^2(h)=1. \]

Если гармоника \(e^{i2\pi f_nt}\) наблюдается только в течение \(T_{\rm obs}\), её амплитуда Фурье равна

\[ \begin{aligned} A_n(f) &=\int_0^{T_{\rm obs}}e^{i2\pi(f_n-f)t}\,dt \\ &=T_{\rm obs}e^{i\pi(f_n-f)T_{\rm obs}} \operatorname{sinc}\!\left[\pi(f_n-f)T_{\rm obs}\right]. \end{aligned} \]

Здесь \(\operatorname{sinc}x\equiv\sin x/x\). Поэтому дельта-линия превращается в \(\operatorname{sinc}^2\)-пик:

\[ \boxed{ \Delta f_{\rm FWHM}\simeq\frac{0.886}{T_{\rm obs}} }. \]

Чем дольше непрерывный трек, тем точнее измерена его частота.

Ползунок меняет \(h=\Delta f/f_z\). При малом \(h\) почти вся мощность остаётся в несущей; при большом \(h\) она перераспределяется между боковыми полосами.

viewof cresModulationIndex = Inputs.range([0, 4], {
  value: 1.2,
  step: 0.1,
  label: html`
    <span class="spectrum-slider-label">
      ${tex`h=\Delta f/f_z`}
    </span>
  `
})

cresAxialFrequency = 25
cresObservationTime = 80
cresSpectrumOrders = Array.from({length: 13}, (_, i) => i - 6)

cresFactorial = n => {
  let value = 1
  for (let k = 2; k <= n; ++k) value *= k
  return value
}

cresBesselPositive = (n, x) => {
  let value = 0
  for (let k = 0; k < 24; ++k) {
    value += ((k % 2 === 0) ? 1 : -1)
      * Math.pow(x / 2, 2 * k + n)
      / (cresFactorial(k) * cresFactorial(k + n))
  }
  return value
}

cresBessel = (n, x) => {
  const order = Math.abs(n)
  const value = cresBesselPositive(order, x)
  return n < 0 && order % 2 === 1 ? -value : value
}

cresLineWeights = cresSpectrumOrders.map(order => ({
  order,
  frequency: order * cresAxialFrequency,
  power: Math.pow(cresBessel(order, cresModulationIndex), 2)
}))

cresSinc = value => Math.abs(value) < 1e-12
  ? 1
  : Math.sin(value) / value

cresFrequencyGrid = Array.from({length: 1201}, (_, i) => -150 + i / 4)
cresSpectrum = cresFrequencyGrid.map(frequency => ({
  frequency,
  power: cresLineWeights.reduce((sum, line) => {
    const argument = Math.PI
      * (frequency - line.frequency)
      * 1000
      * cresObservationTime
      * 1e-6
    return sum + line.power * Math.pow(cresSinc(argument), 2)
  }, 0)
}))

cresSpectrumMaximum = Math.max(...cresSpectrum.map(point => point.power))
cresNormalizedSpectrum = cresSpectrum.map(point => ({
  frequency: point.frequency,
  power: point.power / cresSpectrumMaximum
}))

cresNormalizedLines = cresLineWeights.map(line => ({
  frequency: line.frequency,
  power: line.power / Math.max(...cresLineWeights.map(item => item.power))
}))

cresSpectrumPlot = Plot.plot({
  width: 1040,
  height: 160,
  marginTop: 6,
  marginRight: 25,
  marginBottom: 30,
  marginLeft: 72,
  style: {
    background: "#ffffff",
    color: "#111111",
    fontSize: "18px"
  },
  x: {
    axis: "bottom",
    label: null,
    domain: [-150, 150],
    ticks: 7,
    grid: true
  },
  y: {
    axis: "left",
    label: null,
    domain: [0, 1.05],
    ticks: 3,
    grid: true
  },
  marks: [
    Plot.line(cresNormalizedSpectrum, {
      x: "frequency",
      y: "power",
      stroke: "#4ea1ff",
      strokeWidth: 3
    }),
    Plot.ruleX(cresNormalizedLines, {
      x: "frequency",
      y1: 0,
      y2: "power",
      stroke: "#ffb347",
      strokeWidth: 3
    }),
    Plot.frame({stroke: "#111111"})
  ]
})

html`
<div class="spectrum-panel">
  <div class="spectrum-plot-row">
    <div class="spectrum-y-label">${tex`(dP/df)_{\rm norm}`}</div>
    <div class="spectrum-plot-host">${cresSpectrumPlot}</div>
  </div>
  <div class="spectrum-x-label">${tex`f-f_c\;(\text{кГц})`}</div>
  <div class="spectrum-summary">
    <span>${tex`f_z=${cresAxialFrequency}\ \text{кГц}`}</span>
    <span>${tex`T_{\rm obs}=${cresObservationTime}\ \text{мкс}`}</span>
    <span>${tex`\Delta f_{\rm FWHM}\simeq0.886/T_{\rm obs}\simeq${(886 / cresObservationTime).toFixed(1)}\ \text{кГц}`}</span>
  </div>
</div>`

Упрощённая модель фазовой модуляции. В реальной ловушке неоднородность \(B(z)\) и фаза распространения дают несколько гармоник; см. Project 8, Phys. Rev. C 100 (2019).

Магнитная ловушка и разрешение CRES

Ловушка
Разрешение
Project 8 vs KATRIN

Чтобы трек был достаточно длинным, электрон удерживают в слабой магнитной ловушке. Частота зависит не только от энергии, но и от поля вдоль траектории:

\[ f_c(t)=\frac{eB[\mathbf r(t)]}{2\pi\gamma(t)m_e}. \]

Продольное движение создаёт боковые полосы. Рассеяние на газе вызывает скачок энергии и начало нового сегмента трека.

Реконструкция должна одновременно определить энергию, угол и положение.

Из связи энергии и частоты следует

\[ \boxed{ |\delta K|=(m_ec^2+K)\frac{|\delta f_c|}{f_c} }. \]

У конца тритиевого спектра

\[ \Delta K=0.10~\mathrm{эВ} \quad\Longleftrightarrow\quad \Delta f_c\simeq5.1~\mathrm{кГц}, \qquad T_{\mathrm{obs}}\gtrsim0.17~\mathrm{мс}. \]

Это только фурье-предел. Реальное разрешение ограничивают также неоднородность поля, угол и положение электрона, боковые полосы и рассеяние.

Сегодня CRES не точнее KATRIN: Project 8 пока продемонстрировал метод, тогда как KATRIN получил предел \(m_\beta<0.45~\mathrm{эВ}\).

Потенциальные преимущества CRES:

дифференциальный спектр без сканирования задерживающего потенциала;
одновременная регистрация всех частот в полосе приёмника;
измерение энергии по частоте без большого электростатического спектрометра;
возможность перейти к атомарному тритию без молекулярного распределения конечных состояний.

Проектная цель Phase IV — чувствительность порядка \(m_\beta\sim40~\mathrm{мэВ}\). Для этого надо регистрировать мощность порядка \(10^{-15}~\mathrm{Вт}\) и точно контролировать поле, ловушку и чистоту газа.

Как возникает CRES-трек

Электрон многократно проходит магнитную ловушку. Приёмная система регистрирует его циклотронное излучение, а анализ частоты превращает радиосигнал в энергетическое измерение одного электрона.

Частотный трек электрона

viewof cresEnergy = Inputs.range([5, 18.6], {
  value: 18.0,
  step: 0.1,
  label: html`
    <span class="spectrum-slider-label">
      ${tex`K_0,\ \text{кэВ}`}
    </span>
  `
})

cresElectronRestEnergy = 510.99895
cresField = 1
cresNonRelFrequency = 27.99249
cresRadiatedPower = 1.2
cresLossRate = cresRadiatedPower * 6.241509e-6
cresDuration = 120

cresFrequency = energy =>
  cresNonRelFrequency / (1 + energy / cresElectronRestEnergy)

cresTimes = Array.from({length: 401}, (_, i) =>
  cresDuration * i / 400
)

cresData = cresTimes.map(time => {
  const energy = Math.max(0, cresEnergy - cresLossRate * time)
  return {
    time,
    energy,
    frequencyShift: 1e6 * (cresFrequency(energy) - cresStartFrequency)
  }
})

cresStartFrequency = cresFrequency(cresEnergy)
cresEndShift = cresData[cresData.length - 1].frequencyShift

cresPlot = Plot.plot({
  width: 1080,
  height: 290,
  marginTop: 18,
  marginRight: 30,
  marginBottom: 45,
  marginLeft: 92,
  style: {
    background: "#ffffff",
    color: "#111111",
    fontSize: "20px"
  },
  x: {
    axis: "bottom",
    label: null,
    domain: [0, cresDuration],
    ticks: 7,
    grid: true
  },
  y: {
    axis: "left",
    label: null,
    domain: [0, 1.08 * cresEndShift],
    ticks: 6,
    grid: true,
    tickFormat: value => value.toFixed(0)
  },
  marks: [
    Plot.line(cresData, {
      x: "time",
      y: "frequencyShift",
      stroke: "#4ea1ff",
      strokeWidth: 5
    }),
    Plot.dot([cresData[0]], {
      x: "time",
      y: "frequencyShift",
      r: 7,
      fill: "#ffb347"
    }),
    Plot.frame({stroke: "#111111"})
  ]
})

html`
<div class="spectrum-panel">
  <div class="spectrum-legend">
    <span>
      <i class="spectrum-swatch spectrum-swatch-massless"></i>
      циклотронный трек
    </span>
    <span>${tex`B=1\ \text{Тл}`}</span>
    <span>${tex`P\simeq1.2\ \text{фВт}`}</span>
  </div>
  <div class="spectrum-plot-row">
    <div class="spectrum-y-label">${tex`f_c-f_c(0)\;(\text{кГц})`}</div>
    <div class="spectrum-plot-host">${cresPlot}</div>
  </div>
  <div class="spectrum-x-label">${tex`t\;(\text{мкс})`}</div>
  <div class="spectrum-summary">
    <span>${tex`f_c(0)=${cresStartFrequency.toFixed(3)}\ \text{ГГц}`}</span>
    <span>${tex`\Delta K=${(1000 * cresLossRate * cresDuration).toFixed(2)}\ \text{эВ}`}</span>
    <span>потеря энергии ${tex`\Rightarrow f_c\uparrow`}</span>
  </div>
</div>`

График схематический: постоянная потеря энергии выбрана только для наглядности. В реальном анализе мощность излучения, поле и траектория моделируются совместно.

Состояние Project 8

Phase II
Масштабирование
Атомарный тритий

На молекулярном тритии впервые получен непрерывный \(\beta\)-спектр методом CRES. Достигнуто разрешение

\[ \Delta E_{\mathrm{FWHM}}=1.66\pm0.19~\mathrm{эВ}. \]

Получены пределы

\[ m_\beta<155~\mathrm{эВ}\quad(90\%~\text{байесовский интервал}), \]

\[ m_\beta<152~\mathrm{эВ}\quad(90\%~\text{частотный интервал}). \]

Это демонстрация метода, а не конкурирующий с KATRIN предел.

Чувствительность требует одновременно увеличить объём трития и сохранить точное знание поля. В большом объёме обычный волновод уже не подходит.

Исследуется свободнопространственная CRES-система с массивом антенн: фазы сигналов позволяют локализовать электрон и когерентно сложить слабое излучение.

Финальная концепция использует атомарный тритий, чтобы убрать молекулярное распределение конечных состояний.

Цель Phase IV — чувствительность порядка

\[ \boxed{m_\beta\sim40~\mathrm{мэВ}}. \]

Это уже область, где результат зависит от иерархии масс, но достижение цели требует новых источника, антенн и магнитной томографии.

Project 8, первый предел по тритию, Phys. Rev. Lett. 131, 102502 (2023) · Официальное описание фаз Project 8

Калориметрия \({}^{163}\mathrm{Ho}\)

Электронный захват

Баланс энергии
Атомный спектр
Микрокалориметр
Наложения

При электронном захвате

\[ {}^{163}\mathrm{Ho}+e^-_{\mathrm{атом}} \to{}^{163}\mathrm{Dy}^{*}+\nu_e. \]

Калориметр поглощает всю энергию распада, кроме энергии нейтрино:

\[ \boxed{E_c=Q-E_\nu}. \]

Поэтому чувствительная область снова находится у конца спектра:

\[ E_c^{\max}=Q-m_\beta, \qquad Q\simeq2.86~\mathrm{кэВ}. \]

Захват возможен с разных электронных оболочек. После него вакансии заполняются, а рентгеновские кванты и оже-электроны поглощаются калориметром:

\[ \frac{d\Gamma}{dE_c} \propto (Q-E_c)\sqrt{(Q-E_c)^2-m_\beta^2} \sum_i \frac{A_i\Gamma_i/(2\pi)} {(E_c-E_i)^2+\Gamma_i^2/4}. \]

\(E_i\), \(\Gamma_i\) и \(A_i\) задают положение, ширину и интенсивность атомного пика; масса изменяет общую фазовую область у \(E_c\simeq Q\).

Изотоп внедряется непосредственно в поглотитель. Энергия \(E_c\) нагревает детектор:

\[ \Delta T=\frac{E_c}{C}. \]

При малой теплоёмкости \(C\) даже энергия порядка кэВ даёт измеримый импульс. ECHo использует металлические магнитные калориметры, HOLMES — датчики на краю сверхпроводящего перехода TES (Transition-Edge Sensors).

Два неразрешённых импульса имитируют одно событие с большей энергией. При активности одного пикселя \(A\) и временном разрешении \(\tau_r\)

\[ f_{\mathrm{pp}}\simeq A\tau_r. \]

Увеличивать активность одного пикселя нельзя безгранично: нужны большие массивы быстрых детекторов и точная модель наложений импульсов.

ECHo и HOLMES

ECHo

около \(2\cdot10^8\) событий;
\(Q=2862(4)~\mathrm{эВ}\);
металлические магнитные калориметры;
одновременный фит атомного спектра и конца.

\[ \boxed{m_\beta<15~\mathrm{эВ}} \qquad(90\%~\text{доверительный интервал}). \]

HOLMES

около \(7\cdot10^7\) событий;
разрешение около \(6~\mathrm{эВ}\) FWHM;
массив TES с микроволновым мультиплексированием;
отдельный контроль неразрешённых наложений.

\[ \boxed{m_\beta<27~\mathrm{эВ}} \qquad(90\%~\text{доверительный интервал}). \]

ECHo Collaboration, результат по \({}^{163}\mathrm{Ho}\) (2025) · HOLMES Collaboration, результат по \({}^{163}\mathrm{Ho}\) (2025)

Спектрометр или калориметр?

	Спектрометр KATRIN	Калориметр \({}^{163}\mathrm{Ho}\)
измеряет	энергию электрона	всю энергию, кроме \(E_\nu\)
источник	отделён от детектора	находится внутри детектора
главный отклик	прохождение MAC-E	тепловой импульс
ключевая сложность	потери в источнике, потенциал, фон	наложения импульсов, атомная теория, массив пикселей
сильная сторона	большое число событий и зрелая модель	нет потерь энергии из поглотителя

Оба метода используют только закон сохранения энергии и одну и ту же конечную кинематическую переменную:

\[ E_\nu=E_0-E \quad\text{или}\quad E_\nu=Q-E_c. \]

Другие прямые методы

Разные флэйворы и распады

\({}^{187}\mathrm{Re}\)
Масса \(\nu_\mu\)
Масса \(\nu_\tau\)
Время пролёта

\({}^{187}\mathrm{Re}\) имеет очень малую энергию распада,

\[ Q\simeq2.47~\mathrm{кэВ}, \]

и может измеряться калориметрически. Но период полураспада чрезвычайно велик, \(T_{1/2}\simeq4.3\cdot10^{10}\) лет, поэтому удельная активность мала.

Дополнительные трудности — медленные импульсы, их наложения и осцилляции формы спектра из-за рассеяния электронов в кристалле. Сегодня \({}^{163}\mathrm{Ho}\) практичнее для масштабируемой калориметрии.

В распаде покоящегося пиона

\[ \pi^+\to\mu^++\nu_\mu \]

двухчастичная кинематика даёт

\[ \boxed{ m_{\nu_\mu}^2 =m_\pi^2+m_\mu^2-2m_\pi\sqrt{p_\mu^2+m_\mu^2} }. \]

Нужны точные \(m_\pi\), \(m_\mu\) и импульс моноэнергетического мюона. Прямой предел:

\[ m_{\nu_\mu}<190~\mathrm{кэВ} \qquad(90\%~\text{доверительный уровень}). \]

В распадах

\[ \tau^-\to X^-+\nu_\tau \]

используют двумерную границу по инвариантной массе \(m_X\) и энергии адронной системы \(E_X\). Ненулевая масса нейтрино изменяет доступную границу фазового пространства.

По распадам с пятью пионами ALEPH получил

\[ m_{\nu_\tau}<18.2~\mathrm{МэВ} \qquad(95\%~\text{доверительный уровень}). \]

Для ультрарелятивистского нейтрино

\[ v\simeq c\left(1-\frac{m^2}{2E^2}\right), \qquad \boxed{ \Delta t\simeq\frac{L}{2c}\frac{m^2}{E^2} }. \]

Большая база \(L\) усиливает задержку, но нужно знать момент рождения и энергию нейтрино. Для сверхновой это требует модели временного профиля источника; такие ограничения менее прямые, чем лабораторная кинематика.

Почему пределы так различаются?

Канал	Характерная энергия	Прямой предел
\(\beta\)-распад трития	\(18.6~\mathrm{кэВ}\)	\(m_\beta<0.45~\mathrm{эВ}\)
захват \({}^{163}\mathrm{Ho}\)	\(2.86~\mathrm{кэВ}\)	\(m_\beta<15~\mathrm{эВ}\)
\(\pi^+\to\mu^+\nu_\mu\)	\(30~\mathrm{МэВ}\)	\(m_{\nu_\mu}<190~\mathrm{кэВ}\)
\(\tau\to5\pi\nu_\tau\)	\(1.8~\mathrm{ГэВ}\)	\(m_{\nu_\tau}<18.2~\mathrm{МэВ}\)

Масса проявляется в узкой области у кинематической границы. Чем выше масштаб энергии, тем труднее увидеть суб-эВ изменение границы при том же относительном разрешении.

Что мы узнали?

Карта прямых методов

Метод	Наблюдаемый сигнал	Что ограничивает точность
тритий + MAC-E	интеграл конца \(\beta\)-спектра	статистика, отклик, потенциал, фон
CRES	частота излучения одного электрона	неоднородность поля, длина трека, рассеяние
\({}^{163}\mathrm{Ho}\)	калориметрический конец	разрешение, наложения импульсов, атомная модель
двухчастичный распад	импульс заряженной частицы	калибровка импульса и массы частиц
время пролёта	задержка \(\Delta t\propto m^2/E^2\)	время рождения и модель источника

Прямой метод всегда ищет небольшое нарушение безмассовой кинематической границы. Различаются только измеряемая величина и функция отклика.

Масштаб, заданный осцилляциями

Осцилляции измеряют разности квадратов масс. Если самая лёгкая масса мала, то для нормального порядка

\[ m_\beta \simeq \sqrt{|V_{e2}|^2\Delta m_{21}^2 +|V_{e3}|^2\Delta m_{31}^2} \simeq9~\mathrm{мэВ}. \]

Для обратного порядка

\[ m_\beta\simeq \sqrt{|V_{e1}|^2|\Delta m_{31}^2| +|V_{e2}|^2|\Delta m_{32}^2|} \simeq50~\mathrm{мэВ}. \]

Поэтому диапазон \(40\)–\(50~\mathrm{мэВ}\) качественно важен: он начинает проверять минимальный масштаб обратного порядка масс.

Три наблюдаемые массы нейтрино

Метод	Наблюдаемая	Что дополнительно предполагается
кинематика	\(m_\beta^2=\sum_i\|V_{ei}\|^2m_i^2\)	сохранение энергии и импульса
\(0\nu2\beta\)	\(m_{\beta\beta}=\left\|\sum_iV_{ei}^{\,2}m_i\right\|\)	майорановская природа и механизм распада
космология	\(\Sigma=m_1+m_2+m_3\)	космологическая модель и набор данных

Прямой кинематический результат не зависит от майорановских фаз и не требует космологической модели.

\[ \boxed{\text{Прямые методы измеряют }m_\beta.} \]

Итог

Нейтринная масса изменяет фазовое пространство только у конца спектра.
При неразрешённых массовых состояниях измеряется \(m_\beta^2=\sum_i|V_{ei}|^2m_i^2\).
MAC-E-фильтр превращает поперечную энергию в продольную и измеряет интегральный спектр задерживающим потенциалом.
Наблюдаемая форма всегда является свёрткой физического спектра с откликом источника и детектора.
KATRIN установил \(m_\beta<0.45~\mathrm{эВ}\); следующий масштаб требует новых источников и способов считывания.

\[ \boxed{ \text{Масса нейтрино измеряется не по одному событию, а по форме границы.} } \]