Задачи: эксперимент KATRIN

Лекция 07 · Введение в физику нейтрино

← Вернуться к лекции · Все задачи курса

Задачи

Задача 07.1. Конечные состояния и рассеяние в источнике

После молекулярного распада дочерняя система оказывается в состоянии \(j\) с энергией возбуждения \(V_j\) и вероятностью \(P_j\).

1. Запишите наблюдаемый спектр как сумму спектров с концами \(E_0-V_j\). Проверьте, что \(\sum_jP_j=1\) сохраняет полное число распадов.

2. Пусть среднее число неупругих столкновений электрона в полном столбе газа равно \(\tau=1.4\). Вычислите

   \[ P_s=e^{-\tau}\frac{\tau^s}{s!} \]

   для \(s=0,1,2\) и вероятность хотя бы одного столкновения.

3. Распады равномерно распределены вдоль источника. Если оставшаяся после рождения оптическая толщина \(u\) равномерна на \([0,\tau]\), покажите, что

   \[ \langle P_0\rangle =\frac{1}{\tau}\int_0^\tau e^{-u}\,du =\frac{1-e^{-\tau}}{\tau}. \]

   Вычислите это число и объясните его физический смысл.

4. Пусть \(g(\Delta E)\) — распределение потери энергии в одном столкновении. Покажите, что функция потерь имеет вид

   \[ R(\Delta E)=\sum_{s=0}^{\infty}P_s\,g^{*s}(\Delta E), \qquad g^{*0}(\Delta E)=\delta(\Delta E), \]

   где \(g^{*s}\) означает \(s\)-кратную свёртку.

Задача 07.2. Что измеряет KATRIN

В идеальном приближении считайте MAC-E-фильтр ступенчатым:

\[ \mathcal T(E,qU)=\Theta(E-qU). \]

Тогда ожидаемая скорость счёта при задерживающей энергии \(qU\) равна

\[ R(qU)=A\int_{qU}^{E_0}\frac{d\Gamma}{dE}\,dE+b. \]

1. Введите \(x=E_0-E\) и \(w=E_0-qU\). Для безмассового нейтрино и \(d\Gamma/dE=Cx^2\) получите

   \[ R(w)-b=\frac{AC}{3}w^3. \]

2. Покажите, что в идеальном случае

   \[ -\frac{dR}{d(qU)} =A\left.\frac{d\Gamma}{dE}\right|_{E=qU}. \]

   Объясните, почему сканирование порога восстанавливает информацию о форме дифференциального спектра.

3. Нарисуйте на одном графике \(R(qU)\) для \(m_\beta^2=0\) и \(m_\beta^2=1~\mathrm{эВ}^2\) в последних \(10~\mathrm{эВ}\). Используйте численное интегрирование спектра из задачи 04.1.

4. Замените ступеньку известной функцией пропускания \(\mathcal T(E,qU)\) и запишите общий интеграл для \(R(qU)\). Затем включите функцию потерь \(R_{\mathrm{loss}}(\Delta E)\) из задачи 07.1 ещё одной свёрткой.

5. Объясните, почему одна точка \(qU\) не позволяет одновременно определить \(m_\beta^2\), \(E_0\), нормировку \(A\) и фон \(b\), а набор порогов позволяет разделять их по различной зависимости от \(qU\).

Задача 07.3. Почему фит может дать \(m_\beta^2<0\)

Эта задача связывает физику конца спектра с курсом статистического анализа. Используйте намеренно простую модель: \(E_0\), нормировка и фон считаются известными, а единственный параметр фита — \(m_\beta^2\).

Разбейте интервал \(1<x<10~\mathrm{эВ}\), где \(x=E_0-E\), на бины ширины \(\Delta x=0.5~\mathrm{эВ}\). Для центра \(x_i\) задайте

\[ \mu_i(m_\beta^2) =A\Delta x\, \left(x_i^2-\frac{m_\beta^2}{2}\right)+b, \qquad A=3~\mathrm{эВ}^{-3},\quad b=1. \]

Это линеаризованная модель конца спектра, а не полный фит KATRIN. Выбранные диапазоны \(x\) и \(m_\beta^2\) сохраняют \(\mu_i>0\) во всех точках сканирования.

1. Сгенерируйте независимые числа событий \(n_i\sim\operatorname{Poisson}[\mu_i(0)]\).

2. Просканируйте \(m_\beta^2\) от \(-4\) до \(4~\mathrm{эВ}^2\) с шагом не больше \(0.02~\mathrm{эВ}^2\). Для каждой точки вычислите пуассоновский девианс

   \[ D(m_\beta^2)=2\sum_i \left[\mu_i-n_i+n_i\ln\frac{n_i}{\mu_i}\right], \]

   считая член \(n_i\ln(n_i/\mu_i)\) равным нулю при \(n_i=0\).

3. Найдите минимум сеточного сканирования. Повторите пункты 1–2 не менее 1000 раз и постройте распределение \(\widehat m_\beta^2\). Найдите среднее, стандартное отклонение и долю результатов с \(\widehat m_\beta^2<0\).

4. Повторите анализ, искусственно запрещая \(m_\beta^2<0\). Сравните среднее значение оценки в двух случаях и объясните смещение, возникающее у физической границы.

5. Теперь сгенерируйте псевдоданные с неучтённым разрешением, заменив истинное ожидание на

   \[ \mu_i^{\mathrm{true}} =A\Delta x\,(x_i^2+\sigma_E^2)+b, \qquad \sigma_E=0.5~\mathrm{эВ}, \]

   но фитируйте прежней моделью без \(\sigma_E\). Покажите численно, что центр распределения смещается примерно на

   \[ \Delta m_\beta^2\simeq-2\sigma_E^2. \]

6. Объясните результат: почему отрицательный минимум функции правдоподобия не означает тахионное нейтрино и зачем эксперименту разрешать \(m_\beta^2\) принимать отрицательные значения на этапе фита?