viewof katrinWindow = Inputs.range([1, 35], {
value: 12,
step: 1,
label: html`
<span class="spectrum-slider-label">
${tex`\Delta,\ \text{эВ}`}
</span>
`
})
katrinResolution = 0.95
katrinMass = 0
katrinXMin = -40
katrinXMax = 2
katrinThreshold = -katrinWindow
katrinShape = x => {
const neutrinoEnergy = -x
if (neutrinoEnergy <= katrinMass) return 0
return neutrinoEnergy * Math.sqrt(
neutrinoEnergy * neutrinoEnergy - katrinMass * katrinMass
)
}
katrinTransmission = x => {
const excess = x - katrinThreshold
if (excess <= 0) return 0
if (excess >= katrinResolution) return 1
return excess / katrinResolution
}
katrinX = Array.from({length: 701}, (_, i) =>
katrinXMin + (katrinXMax - katrinXMin) * i / 700
)
katrinNorm = katrinShape(katrinXMin)
katrinData = katrinX.map(x => ({
x,
spectrum: katrinShape(x) / katrinNorm,
accepted: katrinShape(x) * katrinTransmission(x) / katrinNorm
}))
katrinIntegral = (data => {
let sum = 0
for (let i = 1; i < data.length; i += 1) {
const dx = data[i].x - data[i - 1].x
sum += 0.5 * dx * (data[i].accepted + data[i - 1].accepted)
}
return sum
})(katrinData)
katrinPlot = Plot.plot({
width: 1110,
height: 300,
marginTop: 18,
marginRight: 25,
marginBottom: 45,
marginLeft: 72,
style: {
background: "#ffffff",
color: "#111111",
fontSize: "20px"
},
x: {
axis: "bottom",
label: null,
domain: [katrinXMin, katrinXMax],
ticks: 8,
grid: true
},
y: {
axis: "left",
label: null,
domain: [0, 1.05],
ticks: 5,
grid: true,
tickFormat: value => value.toFixed(1)
},
marks: [
Plot.areaY(katrinData, {
x: "x",
y: "accepted",
fill: "#ffb347",
fillOpacity: 0.55
}),
Plot.line(katrinData, {
x: "x",
y: "spectrum",
stroke: "#4ea1ff",
strokeWidth: 4
}),
Plot.line(katrinData, {
x: "x",
y: "accepted",
stroke: "#ffb347",
strokeWidth: 3
}),
Plot.ruleX([katrinThreshold], {
stroke: "#ffb347",
strokeDasharray: "7,5",
strokeWidth: 2.5
}),
Plot.ruleX([katrinThreshold + katrinResolution], {
stroke: "#777777",
strokeDasharray: "4,5",
strokeWidth: 2
}),
Plot.frame({stroke: "#111111"})
]
})
html`
<div class="spectrum-panel">
<div class="spectrum-legend">
<span>
<i class="spectrum-swatch spectrum-swatch-massless"></i>
${tex`d\Gamma/dE`}
</span>
<span>
<i class="spectrum-swatch spectrum-swatch-massive"></i>
прошедшая часть
</span>
<span>${tex`\Delta E=0.95\ \text{эВ}`}</span>
</div>
<div class="spectrum-plot-row">
<div class="spectrum-y-label">
${tex`d\Gamma/dE\;(\text{отн. ед.})`}
</div>
<div class="spectrum-plot-host">${katrinPlot}</div>
</div>
<div class="spectrum-x-label">${tex`E-E_0\;(\text{эВ})`}</div>
<div class="spectrum-summary">
<span>${tex`\Delta\equiv E_0-e|U|=${katrinWindow}\ \text{эВ}`}</span>
<span>${tex`R(U)-b\ \propto\ ${katrinIntegral.toFixed(3)}`}</span>
</div>
</div>`Прямое измерение массы нейтрино.
Эксперимент KATRIN
Введение в физику нейтрино
От распада до зарегистрированного электрона
- Источник: много распадов в известном газе.
- Транспорт: электроны следуют за магнитным полем; нейтральный газ откачивается.
- Главный спектрометр: каждый электрон проходит или отражается.
- Детектор: за время \(t\) накапливается число событий \(n\); скорость счёта равна \(R=n/t\).
Схема: основные узлы KATRIN.
Безоконный источник: газ должен течь
Схема источника: Drexlin, Weinheimer, рис. 6. WGTS — безоконный газовый тритиевый источник.
- Тритий подают в середину трубы длиной \(10\) м.
- Насосы на обоих концах непрерывно удаляют газ. Плотность максимальна в центре и падает к выходам.
- Газ очищают и возвращают в источник: поддерживается стационарный поток.
- Электрон не проходит через плёнку или окно. Но на его пути остаются другие молекулы газа.
- Число молекул на единицу поперечной площади задаёт столбцовая плотность:
\[ \rho d\equiv\int_0^d n(z)\,dz \simeq4\cdot10^{17}\ \mathrm{см}^{-2}. \]
- \(n(z)\) — концентрация молекул; \(\rho d\) — принятое обозначение интеграла.
- Чем больше \(\rho d\), тем больше распадов, но тем чаще электрон рассеивается. Поэтому нестабильность плотности меняет и интенсивность, и форму спектра.
- Давление подачи и температуру \(T_{\mathrm{газ}}\) стабилизируют: они определяют распределение газа. Тепловое движение молекул также даёт доплеровское уширение спектра.
Важно знать не только число распавшихся ядер, но и количество газа, которое электрон встретит после рождения.
- В газе встречаются \(\mathrm T_2\), \(\mathrm{DT}\), \(\mathrm{HT}\) и молекулы без трития. У \(\mathrm T_2\) два радиоактивных ядра, у \(\mathrm{DT}\) — одно.
- Разные молекулы дают разные распределения конечных возбуждений дочернего иона. Это меняет спектр рождения, как мы видели в лекции 04.
- Состав непрерывно измеряют рамановской спектроскопией: лазерный фотон при рассеянии отдаёт молекуле энергию вращения или колебания,
\[ E_{\gamma,\mathrm{вх}}-E_{\gamma,\mathrm{вых}} =\Delta E_{\mathrm{мол}}. \]
- Положение линий различает молекулы, а их интенсивности после калибровки дают концентрации компонентов.
Сколько столкновений испытает электрон?
- Пусть электрон родился в точке \(z\) и движется к выходу \(z=d\) под углом \(\alpha\) к оси почти однородного поля. На осевое перемещение \(dz'\) он тратит путь \(dz'/\cos\alpha\). Среднее число неупругих столкновений равно
\[ \boxed{ \tau(z,\alpha)= \frac{\sigma_{\mathrm{inel}}}{\cos\alpha} \int_z^d n(z')\,dz' }. \]
- Эта величина называется оптической толщиной: путь, выраженный в длинах свободного пробега \(\lambda=1/(n\sigma_{\mathrm{inel}})\). В лекции 01 в том же смысле стояло отношение \(x/\lambda\) в законе \(P_0=e^{-x/\lambda}\).
- Для всего столба газа
\[ \boxed{ \tau_{\mathrm{col}}=(\rho d)\,\sigma_{\mathrm{inel}} \simeq(4\cdot10^{17})(3.4\cdot10^{-18})\simeq1.36 }. \]
- Пучок пушки идёт вдоль оси через весь столб, поэтому \(\tau_{\mathrm{gun}}=\tau_{\mathrm{col}}\).
Угол и сечение считаются постоянными на пути. Это приближение для оценки вероятностей; изменение направления при столкновениях учитывают в более полной модели.
- Столкновения независимы, поэтому их число распределено по Пуассону:
\[ \boxed{ P_n(z,\alpha)=e^{-\tau}\frac{\tau^n}{n!} }, \qquad \tau=\tau(z,\alpha). \]
- Для пучка пушки \(\tau=\tau_{\mathrm{col}}\simeq1.36\):
\[ P_0\simeq0.26, \qquad P_1\simeq0.35, \qquad P_2\simeq0.24, \qquad P_3\simeq0.11. \]
- Хотя бы одно столкновение испытывают три четверти пучка, два и больше — почти сорок процентов.
Одной средней поправкой на потерянную энергию здесь не обойтись: нужны и полное распределение потерь, и веса всех кратностей.
Числа относятся к разным объектам: \(0.26\) — к пучку пушки, \(0.55\) — к β-электронам того же газа. Пушка измеряет газ; чтобы перейти к β-спектру, нужно усреднить по местам рождения и углам.
Вероятность рождения пропорциональна концентрации, поэтому \(u\) равномерна при любой форме профиля \(n(z)\).
- Пушка проходит весь столб, поэтому доля непотерявших равна
\[ P_0^{\mathrm{gun}}=e^{-\tau_{\mathrm{col}}}\simeq0.26. \]
- β-электрон рождается внутри газа. При \(\alpha=0\) и постоянном составе оставшаяся до выхода толщина \(u\) равномерна на \([0,\tau_{\mathrm{col}}]\):
\[ \boxed{ \langle P_0\rangle_\beta =\frac{1}{\tau_{\mathrm{col}}}\int_0^{\tau_{\mathrm{col}}}e^{-u}\,du =\frac{1-e^{-\tau_{\mathrm{col}}}}{\tau_{\mathrm{col}}} \simeq0.55 }. \]
- Усреднение по углам уменьшает это число: наклонные траектории длиннее.
Электронная пушка: что измеряем?
Определить распределение потерь энергии в одном неупругом столкновении с молекулой трития.
\(g_1(\varepsilon)\,d\varepsilon\) — вероятность потери в интервале \([\varepsilon,\varepsilon+d\varepsilon]\) при таком столкновении.
\[ \int_0^\infty g_1(\varepsilon)\,d\varepsilon=1. \]
- \(g_1\) — самый простой объект в этой задаче: свойство одной молекулы, а не установки. Эта функция не зависит ни от плотности газа, ни от места рождения электрона, ни от угла.
- Всё остальное собирается из неё: потери при \(n\) столкновениях — свёртки \(g_1\), а веса кратностей — пуассоновские \(P_n(\tau)\).
Знаем \(g_1\) и \(\tau\) — знаем распределение потерь для любой плотности газа и любого пути в нём.
При двух независимых столкновениях потери складываются: \(\varepsilon=\varepsilon_1+\varepsilon_2\).
\[ \boxed{ g_2(\varepsilon)= \int_0^\varepsilon g_1(x)\,g_1(\varepsilon-x)\,dx \equiv (g_1*g_1)(\varepsilon). } \]
Интеграл по всем разбиениям суммарной потери — свёртка.
Для ровно \(n\) столкновений:
\[ g_n=\underbrace{g_1*\cdots*g_1}_{n\ \text{раз}}. \]
Свёртка распределений и закон Пуассона обсуждаются в моём курсе по статистическому анализу.
Учебная модель, а не измеренная \(g_1\): у настоящей функции есть ещё ионизационный хвост — он виден на рис. 11 в конце раздела.
- Игрушечная модель: \(g_1\) — гауссиан с центром \(12.8\) эВ и шириной \(1.6\) эВ.
- Вклад ровно \(n\) столкновений равен \(P_ng_n\): максимум уезжает к \(n\cdot12.8\) эВ, ширина растёт как \(\sqrt n\), вес падает по Пуассону.
- Полное распределение потерь пучка:
\[ \boxed{ G(\varepsilon)=P_0\,\delta(\varepsilon) +\sum_{n\ge1}P_n\,g_n(\varepsilon) }. \]
- Красная стрелка — вклад \(P_0\delta(\varepsilon)\): электроны без потерь.
Как измеряют потери энергии?
KATRIN, рис. 2. Свет выбирают близко к порогу фотоэффекта, чтобы уменьшить начальный разброс энергий.
Напомним: \(\tau_{\mathrm{col}}=(\rho d)\sigma_{\mathrm{inel}}\simeq1.36\) — оптическая толщина всего столба, \(P_n=e^{-\tau}\tau^n/n!\) — вероятность ровно \(n\) столкновений, \(g_n\) — распределение потери энергии после них.
Ультрафиолет освобождает электроны из фотокатода, электрическое поле задаёт энергию \(E_{\mathrm{gun}}\simeq18.6\) кэВ. Пучок проходит весь газовый столб почти вдоль оси.
Смысл имеет не энергия и не барьер по отдельности, а их разность:
\[ \boxed{E_s=E_{\mathrm{gun}}-e|U|}. \]
\(E_s\) — избыточная энергия (surplus energy, отсюда индекс \(s\)). При резком фильтре электрон проходит, если
\[ E_{\mathrm{gun}}-\varepsilon>e|U| \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\varepsilon<E_s}. \]
Иначе говоря, \(E_s\) — наибольшая потеря, которую фильтр пропускает. Сканируя \(E_s\), мы сканируем порог по потерям.
KATRIN, рис. 3 — измеренные кривые. Фон и изменения интенсивности пушки учитываются в анализе.
- По горизонтали — \(E_s\), наибольшая пропускаемая потеря. По вертикали — нормированный счёт \(r_{\mathrm{gun}}\): отношение к счёту без газа при большом \(E_s\).
- Газа нет (голубая): ступенька при \(E_s=0\). Её ширина — собственное разрешение пушки и фильтра, это функция \(\mathcal T_{\mathrm{gun}}(E_s)\).
KATRIN, рис. 3 — измеренные кривые. Фон и изменения интенсивности пушки учитываются в анализе.
- Плато: прошли только электроны без потерь. Пока \(E_s\) не дорастёт до наименьшей возможной потери (\(\simeq11\) эВ), добавляться нечему:
\[ r_{\mathrm{gun}}^{\text{плато}}\simeq P_0=e^{-\tau}. \]
- Подъём: при \(E_s\simeq12\) эВ проходят однократно рассеянные, при \(\simeq25\) — двукратные, при \(\simeq37\) — трёхкратные.
KATRIN, рис. 3 — измеренные кривые. Фон и изменения интенсивности пушки учитываются в анализе.
- Плато отвечает, сколько электронов ничего не потеряли: высоты \(0.78\), \(0.48\), \(0.21\) при \(14\), \(41\), \(86\,\%\) от \(\rho_0d\) дают \(\tau=-\ln P_0\simeq0.25\), \(0.73\), \(1.56\).
- Подъём отвечает, как теряют энергию остальные: его форма повторяет интеграл от \(g_1\).
- Чем плотнее газ, тем ниже плато и тем заметнее многократные столкновения.
- Форма \(g_1\) при этом не меняется — на этом и держится разделение параметров. \(\mathcal T_{\mathrm{gun}}\) относится к почти осевому пучку пушки.
- пропускание для изотропных β-электронов мы построим перед сборкой функции отклика.
Восстанавливаем функцию потерь
Напомним обозначения предыдущих двух слайдов: \(P_n\) — вероятность \(n\) столкновений, \(g_n\) — распределение суммарной потери энергии после них, \(\mathcal T_{\mathrm{gun}}(E_s)\) — измеренное пропускание пушки без газа.
Потеря \(\varepsilon\) сдвигает аргумент пропускания: \(\mathcal T_{\mathrm{gun}}(E_s-\varepsilon)\). Усредняем по потерям после \(n\) столкновений:
\[ (\mathcal T_{\mathrm{gun}}*g_n)(E_s) = \int_0^\infty g_n(\varepsilon)\, \mathcal T_{\mathrm{gun}}(E_s-\varepsilon)\,d\varepsilon. \]
Суммируем вклады с вероятностями \(P_n\):
\[ \boxed{ \begin{aligned} r_{\mathrm{gun}}(E_s) &=P_0\,\mathcal T_{\mathrm{gun}}(E_s) +P_1(\mathcal T_{\mathrm{gun}}*g_1)(E_s)\\ &\quad+P_2(\mathcal T_{\mathrm{gun}}*g_2)(E_s)+\ldots \end{aligned} } \]
\(r_{\mathrm{gun}}\) — нормированный сигнал пушки; фон учитывается отдельно. KATRIN, уравнения (6)–(9).
KATRIN, рис. 10, верхний ряд — те же измерения, что и на рис. 3, но уже с моделью. Рис. 3 показывает сами кривые: все плотности на одной панели, нормировка на счёт без газа. Рис. 10 показывает результат совместного фита: данные, модель и остатки, причём каждая панель нормирована на свой последний бин — поэтому высота плато здесь уже не равна \(P_0\). В совместный фит входят также дифференциальные данные по времени пролёта.
Почему разные плотности разделяют параметры: \(\tau\) двигает высоту плато и веса ступеней, а \(g_1\) задаёт их форму. Меняя \(\rho d\), мы перемешиваем эти вклады по-разному — и «сколько столкновений» отделяется от «как теряет энергию одно столкновение».
- Общее для всех наборов: форма \(g_1\). До порога ионизации её берут суммой трёх гауссиан, выше — расчётным ионизационным хвостом.
- Своё у каждого набора: оптическая толщина \(\tau\), нормировка и фон.
- Параметры подбирают сразу по всем плотностям: одна и та же \(g_1\) должна описать и высоту плато, и форму всех ступеней.
- Нижние панели — нормированные остатки \((y_i-y)/dy_i\). Разброс около нуля без видимой структуры и означает, что подбор удался.
Голубая кривая — найденная \(g_1\) для трития.
Пик около \(12.8\) эВ — электронные возбуждения молекулы. Хвост выше \(15.5\) эВ — ионизация.
Далее используем \(g_n\) в расчёте отклика β-источника, учитывая места рождения и углы электронов.
KATRIN, рис. 11. На горизонтальной оси \(\Delta E=\varepsilon\); на вертикальной — плотность вероятности, эВ\(^{-1}\).
Как измерить 18 600 вольт с точностью до сотых?
- На сосуд главного спектрометра подают отрицательное напряжение \(U\simeq-18.6\) кВ. Коммерческий источник задаёт основной уровень, но его стабильность порядка \(10^{-4}\) означает колебания примерно на \(1\) В.
- Параллельный пострегулятор на вакуумном триоде подбирает небольшой корректирующий ток и подавляет быстрые колебания напряжения.
- Переменную составляющую измеряет датчик пульсаций: он видит помехи в диапазоне примерно до \(1\) МГц.
- Постоянную составляющую измеряют медленно, но точно:
\[ U_{\rm vessel} \xrightarrow{\ \text{делитель }M\simeq1972\ } u\simeq-9.4~\text{В} \xrightarrow{\ \text{вольтметр}\ } U_{\rm vessel}=Mu. \]
- Требование \(3\cdot 10^{-6}\) при \(18.6\) кВ означает \(|\delta U|\lesssim56\) мВ. Для электрона это сдвиг порога \(|\delta E|=e|\delta U|\lesssim56\) мэВ.
- В расчёте используют коэффициент всего прибора, измеренный относительно эталонного делителя PTB:
\[ M(-18.6~\text{кВ})=1972.4801\pm0.0040 \qquad (\text{расширенная неопределённость},~k=2). \]
- В делителе K35 высоковольтное плечо — цепочка из ста резисторов по \(1.84\) МОм. На каждый приходится около \(186\) В и \(19\) мВт.
- Низковольтное плечо имеет сопротивление около \(93\) кОм. Коэффициент деления всей цепи равен
\[ M\equiv\frac{U}{u} =\frac{R_{\rm HV}+R_{\rm LV}}{R_{\rm LV}}, \qquad \boxed{U=Mu}. \]
- При \(|U|=18.6\) кВ вольтметр показывает \(|u|\simeq9.43\) В. Такой сигнал удобно измерять на наиболее точном диапазоне вольтметра.
Криптон даёт линии известной энергии
- Возбуждённое ядро может передать энергию непосредственно одному из электронов атомной оболочки. Это внутренняя конверсия.
- Электрон покидает атом; часть энергии перехода расходуется на его связь.
- Для оболочки \(a\):
\[ \boxed{ E_{\mathrm{конв},a} =\Delta E_{\mathrm{яд}} -E_{\mathrm{связи},a} -E_{\mathrm{отдачи}} }. \]
- Здесь нет нейтрино, которое уносит переменную долю энергии. Фиксированный переход и оболочка дают спектральную линию.
- Индекс \(\mathrm m\) означает метастабильное, долгоживущее возбуждённое состояние ядра.
- В \(^{83\mathrm m}\mathrm{Kr}\) переход с энергией около \(32.15\) кэВ даёт конверсионную линию \(K\)-оболочки около \(17.82\) кэВ — близко к концу тритиевого спектра.
- \(K\) — ближайшая к ядру электронная оболочка; обозначение линии \(K\)-32 указывает оболочку и энергию ядерного перехода.
- У линии есть естественная ширина, около \(2.7\) эВ для \(K\)-32. При большом числе электронов положение её центра можно определить гораздо точнее ширины.
- Для других задач используют более узкие линии иных оболочек.
- Сканируем задерживающее напряжение через линию. Интегральная скорость счёта меняется от полного пропускания к нулю.
- Положение края проверяет энергетическую шкалу.
- Форма края зависит от естественной ширины линии, разброса начальных потенциалов и пропускания спектрометра.
- Зная собственную форму линии, можно определить дополнительные сдвиги и уширения прибора.
- Линии разных оболочек позволяют проверить шкалу в нескольких точках. При использовании разности их энергий энергия общего ядерного перехода сокращается.
Мониторный спектрометр: проверка шкалы
- Небольшой отдельный MAC-E-спектрометр измеряет конверсионную линию стабильного источника \(^{83}\mathrm{Rb}/{}^{83\mathrm m}\mathrm{Kr}\).
- Он подключён к тому же высокому напряжению, что и главный спектрометр. Линия \(K\)-32 лежит примерно на \(0.8\) кэВ ниже конца тритиевого спектра; отдельное напряжение на источнике сдвигает её в нужную рабочую область.
- Если линия сместилась, а источник стабилен, изменилась энергетическая шкала. Это можно сопоставить с показаниями делителя напряжения.
- Монитор проверяет стабильность шкалы во времени. Газовый источник и локальные неоднородности главного спектрометра требуют своих калибровок.
Фон меняет устройство эксперимента
- В лекции 06 магнитное зеркало удерживало частицы в ловушке. В спектрометре оно может удержать электрон радиоактивного происхождения.
- Электрон многократно проходит через остаточный газ и рождает вторичные электроны при ионизации. Один первичный распад способен дать серию отсчётов.
- Поэтому счёт фона может иметь большую дисперсию, чем независимый пуассоновский поток.
- Радон из материалов задерживают холодными ловушками в насосных каналах. Электроны со стенок подавляют магнитной конфигурацией и более отрицательным потенциалом проволочных электродов.
- Предспектрометр первоначально должен был заранее отражать электроны с энергиями далеко ниже конца β-спектра.
- Но между двумя электростатическими барьерами возникала область удержания: вдоль оси мешали выйти электрические поля, поперёк — магнитное поле. Это ловушка Пеннинга.
- Накопление заряженных частиц приводило к фону, растущему со временем.
- Для поздних кампаний задерживающее напряжение предспектрометра уменьшили до порядка \(100\) В. Главный спектрометр продолжил задавать точный энергетический порог.
Дополнительный фильтр полезен, пока он сам не становится источником отсчётов.
- Часть фона рождается из нейтральных возбуждённых атомов, попадающих со стенок в объём.
- Слабосвязанный электрон может освободиться даже под действием теплового излучения стенок.
- Если сдвинуть барьер к выходу и сжать магнитную трубку, уменьшится доступный фону объём после барьера.
- Такая конфигурация снизила фон примерно вдвое. Неоднородные поля в ней калибруют по криптону.
Схематически показан доступный объём; геометрия силовых линий опущена. Смещённая анализирующая область KATRIN.
- Учебный пример лекции 06 использовал симметричную конфигурацию:
\[ B_{\mathrm{src}}=3.6~\mathrm{Тл},\quad B_{\mathrm A}=0.30~\mathrm{мТл},\quad B_{\max}=6.0~\mathrm{Тл} \quad\Rightarrow\quad \Delta E\simeq0.95~\mathrm{эВ}. \]
- Для характерных полей смещённой конфигурации
\[ B_{\mathrm{src}}\simeq2.5~\mathrm{Тл},\quad B_{\mathrm A}\simeq0.6~\mathrm{мТл},\quad B_{\max}\simeq4.2~\mathrm{Тл} \quad\Rightarrow\quad \Delta E\simeq2.7~\mathrm{эВ}. \]
- При большем \(B_{\mathrm A}\) магнитная трубка уже, а край пропускания шире.
- Потерю разрешения сопоставляют с выигрышем от меньшего фона. Параметры выбирают по итоговой неопределённости \(m_\beta^2\).
- В реальной смещённой области \(B_{\mathrm A}\) и потенциал зависят от положения; одно число здесь даёт лишь характерный масштаб.
Где в интегральном спектре находится масса?
- Чтобы увидеть зависимость от массы, временно оставим одно конечное состояние, идеальный резкий фильтр и постоянный медленный множитель \(C\).
- Введём \(x=E_0-E\) и \(w=E_0-e|U|\). Величина \(w\) — ширина энергетического окна между порогом и концом спектра. При \(w>m_\beta\):
\[ R(w)-b =AC\int_{m_\beta}^{w}x\sqrt{x^2-m_\beta^2}\,dx =\boxed{\frac{AC}{3}(w^2-m_\beta^2)^{3/2}}. \]
- При \(w\gg m_\beta\) разложение даёт
\[ \boxed{ R(w)\simeq AC\left(\frac{w^3}{3}-\frac{m_\beta^2w}{2}\right)+b }. \]
- Безмассовый сигнал растёт как \(w^3\); масса добавляет дефицит, пропорциональный \(m_\beta^2w\).
Линеаризованная модель предыдущей вкладки. Показаны изменения скорости счёта при фиксированных остальных параметрах; масштабы осей по вертикали различны.
- В одной точке дефицит отсчётов можно объяснить и массой, и меньшей активностью, и сдвигом энергетического порога.
- В нескольких точках эти объяснения дают разные зависимости:
\[ \frac{\partial R}{\partial m_\beta^2}\simeq-\frac{AC}{2}w,\quad \frac{\partial R}{\partial E_0}\simeq ACw^2,\quad \frac{\partial R}{\partial A}\simeq\frac{C}{3}w^3,\quad \frac{\partial R}{\partial b}=1. \]
- При дифференцировании по \(E_0\) напряжение \(U\) фиксировано: изменяется \(w=E_0-e|U|\).
- Форма сканирования позволяет разделить четыре параметра, хотя их оценки остаются коррелированными.
