Задачи: MAC-E-спектрометр

Лекция 06 · Введение в физику нейтрино

Автор

Дмитрий В. Наумов

← Вернуться к лекции · Все задачи курса

Задачи

Задача 6.1. Числа MAC-E-спектрометра

Пусть в источнике \(B_{\mathrm{src}}=3.6~\mathrm{Тл}\), максимальное поле равно \(B_{\max}=6.0~\mathrm{Тл}\), а в анализирующей плоскости \(B_{\mathrm A}=0.35~\mathrm{мТл}\).

  1. Из сохранения \(p_\perp^2/B\) получите условие прохождения магнитного зеркала и максимальный начальный угол

    \[ \sin^2\vartheta_{\mathrm{acc}}=\frac{B_{\mathrm{src}}}{B_{\max}}. \tag{1}\]

    Вычислите \(\vartheta_{\mathrm{acc}}\).

  2. Какая доля изотропно испущенных электронов передней полусферы удовлетворяет условию \(\vartheta<\vartheta_{\mathrm{acc}}\)?

  3. Для электрона с \(E=18.6~\mathrm{кэВ}\) оцените максимальную остаточную поперечную энергию в анализирующей плоскости и разрешение

    \[ \Delta E\simeq E\frac{B_{\mathrm A}}{B_{\max}}. \tag{2}\]

  4. Объясните одним предложением роль магнитной адиабатической коллимации и электростатического фильтра.

Задача 6.2. Два условия адиабатичности

Электрон движется в стационарном неоднородном магнитном поле. На выбранном участке известны

\[ B=0.10~\mathrm{Тл}, \qquad L_\perp=0.50~\mathrm{м}, \qquad L_\parallel=2.0~\mathrm{м}, \tag{3}\]

а его кинетическая энергия и угол к полю равны

\[ E=10~\mathrm{кэВ}, \qquad \alpha=45^\circ. \tag{4}\]

  1. Найдите \(p_\perp\), \(v_\parallel\), ларморовский радиус \(\rho_L\) и шаг \(h=v_\parallel T_c\) с релятивистской поправкой к циклотронной частоте.
  2. Вычислите \(\rho_L/L_\perp\) и \(h/L_\parallel\). В каком направлении неоднородность опаснее для адиабатического приближения?
  3. Объясните, почему \(dB/dt\) вдоль траектории может быть ненулевой величиной, хотя \(\partial B/\partial t=0\) во всей установке.
  4. Что изменится в рассуждении об энергии, если ток в магните начнут менять за время, сравнимое с \(T_c\)?

Задача 6.3. Конус потерь в дипольном поле

Рассмотрите дипольную силовую линию \(L=4\) и условную границу атмосферы на высоте \(h_{\mathrm{atm}}=100~\mathrm{км}\). Используйте \(R_\oplus=6371~\mathrm{км}\) и формулы

\[ r(\lambda)=LR_\oplus\cos^2\lambda, \qquad \frac{B(L,\lambda)}{B_{\mathrm{eq}}(L)} =\frac{\sqrt{1+3\sin^2\lambda}}{\cos^6\lambda}. \tag{5}\]

  1. Какой высоте над экватором соответствует \(L=4\)?

  2. Найдите магнитную широту \(\lambda_{\mathrm{atm}}\), на которой линия пересекает границу атмосферы.

  3. Вычислите отношение \(B_{\mathrm{atm}}(L)/B_{\mathrm{eq}}(L)\) и угол конуса потерь

    \[ \alpha_{\mathrm{loss}} =\arcsin\sqrt{\frac{B_{\mathrm{eq}}(L)} {B_{\mathrm{atm}}(L)}}. \tag{6}\]

  4. Сравните частицы с экваториальными углами \(5^\circ\), \(20^\circ\) и \(60^\circ\). Какая отразится над атмосферой, а какая будет потеряна?

  5. Нарисуйте сферу направлений скорости и два конуса потерь. Почему область потерь не является кольцом или плоским сектором?

Задача 6.4. Стационарное зеркало и ускорение Ферми

Частица упруго отражается от плоской магнитной неоднородности, движущейся ей навстречу со скоростью \(u\ll v\). Рассмотрите движение вдоль нормали к неоднородности и используйте нерелятивистское сложение скоростей.

  1. Перейдите в систему отсчёта неоднородности, измените знак скорости частицы при отражении и вернитесь в лабораторную систему.
  2. Покажите, что для встречного столкновения изменение скорости равно \(\Delta v\simeq2u\).
  3. Оцените относительное изменение энергии при \(u\ll v\).
  4. Почему в неподвижном магнитном зеркале энергия до и после отражения одинакова, а в этой задаче — нет?
  5. Какую энергию теряет система, когда частица ускоряется?