Прямое измерение массы нейтрино. MAC-E-спектрометр

Введение в физику нейтрино

Дмитрий В. Наумов

ОИЯИ

MAC-E-фильтр

Как сделать порог почти независимым от угла?

• Проблема
• \(B=\text{const}\)
• Неоднородное \(\ne\) нестационарное
• Сохраняющиеся величины
• Идея
• MAC-E
• Анимация

Обозначения

• \(\mathrm{src}\) — область источника (от англ. source),

• \(\mathrm A\) — анализирующая плоскость.

• \(U\) — задерживающее напряжение; \(e>0\) — модуль заряда электрона.

• Масса нейтрино изменяет форму \(\beta\)-спектра.

• Электростатический барьер чувствителен к продольной энергии электрона.

• В анализирующей плоскости

\[ \boxed{ E_{\parallel,\mathrm A} \simeq E-e|U|-E_{\perp,\mathrm A} }. \]

• Электроны одной энергии рождаются под разными углами и имеют разные \(E_\perp\).

• Нужно добиться

\[ \boxed{E_{\perp,\mathrm A}\ll E} \]

• Это условие должно выполняться для большого телесного угла, а не только для электронов, летящих вдоль оси.

• В однородном поле

\[ p_\parallel=\mathrm{const}, \qquad p_\perp=\mathrm{const}, \qquad \alpha=\mathrm{const}. \]

• Поле ведёт направляющий центр к детектору, но не коллимирует пучок.

• Для быстрого циклотронного движения мы ввели действие

\[ \boxed{ J=\frac{1}{2\pi}\oint P\,dQ =\frac{E_\perp}{\omega_c} =\frac{p_\perp^2}{2|q|B} }. \]

• В постоянном однородном поле \(J\) сохраняется точно.

• Сохраняется ли \(J\) в неоднородном поле?

  • Приближённо — если поле меняется мало за один циклотронный оборот.

• Магнитная конфигурация MAC-E стационарна:

\[ \boxed{\frac{\partial B(\mathbf r)}{\partial t}=0}. \]

• Но электрон движется через неоднородное поле, поэтому вдоль его пути

\[ \boxed{ B(t)\equiv B(\mathbf R(t)), \qquad \dot B=\dot{\mathbf R}\cdot\nabla B\ne0 }. \]

Поле не перестраивается со временем: электрон сам попадает в области с разными \(B\).

Если бы \(\partial B/\partial t\ne0\), возникло бы вихревое электрическое поле, и кинетическая энергия электрона могла бы меняться. Это другой режим.

• Через \(E\) обозначаем кинетическую энергию электрона.

• На чисто магнитном участке сила Лоренца не совершает работы:

\[ \boxed{ \frac{dE}{dt} =q\mathbf v\cdot(\mathbf v\times\mathbf B)=0 }, \qquad p^2=\mathrm{const}. \]

• Но в неоднородном поле по отдельности уже не обязаны сохраняться \(p_\parallel\), \(p_\perp\).

• Пусть электрон движется из области сильного стационарного поля в область слабого.

• Если \(J=\mathrm{const}\), то

\[ \boxed{p_\perp^2=2|q|BJ}. \]

• Это и есть желаемая коллимация:

\[ B\downarrow \quad\Longrightarrow\quad p_\perp\downarrow, \qquad p_\parallel^2=p^2-p_\perp^2\uparrow. \]

• Осталось доказать предположение:

\[ \boxed{J=\mathrm{const}}. \]

\[ \boxed{ \text{MAC-E} = \text{Magnetic Adiabatic Collimation} + \text{Electrostatic filter} }. \]

• MAC сохраняет большой телесный угол и делает \(p_\perp\) малым.

• E отбрасывает электроны ниже выбранного энергетического порога.

• Сначала докажем сохранение \(J\), затем построим движение направляющего центра и получим характеристики фильтра.

Kruit, Read, 1983 · Лобашёв, Спивак, 1985 · KATRIN Design Report, §5

Алгоритм

• Электроны одной энергии \(E\) испускаются под разными углами с разными значениями \(E_{\perp}\).

• Сильным магнитным полем ведём пучок от источника к спектрометру;

• Магнитной частью MAC-E-фильтра делаем поперечную энергию \(E_{\perp,\mathrm A}\) малой, сохранив большой телесный угол.

• Электростатический барьер пропускает электрон, если в анализирующей плоскости остаётся положительная продольная энергия: \[ E_{\parallel,\mathrm A} \simeq E-e|U|-E_{\perp,\mathrm A}>0. \]

• Это работает, если для быстрого циклотронного движения сохраняется, хотя бы приблизительно, действие: \[ J=\frac{E_\perp}{\omega_c}\simeq\mathrm{const}. \]

• В плавно убывающем стационарном поле это даёт \[ B\downarrow\Rightarrow E_\perp\downarrow,\quad E_\parallel\uparrow. \]

• Это и есть MAC-E-коллимация.

Адиабатическое движение в неоднородном поле

Электрон в неоднородном магнитном поле: что сохраняется?

• Постановка
• Условия
• Осциллятор
• Энергия
• Среднее
• Инвариант J
• Момент \(\mu\)

• Рассматривается электрон с зарядом \(q=-e\) в стационарном неоднородном поле \(\mathbf B(\mathbf r)\).

• В однородном поле действие циклотронной орбиты равно

\[ J=\frac{1}{2\pi}\oint P\,dQ =\frac{E_\perp}{\omega_c}, \qquad H_\perp=\omega_cJ, \qquad \dot J=0. \]

• В неоднородном поле частота меняется вдоль пути электрона:

\[ B(t)\equiv B(\mathbf R(t)), \qquad \omega_c(s(t))=\frac{|q|B(t)}{m}. \]

• \(\mathbf R(t)\) — положение направляющего центра.

• Требуется проверить, сохраняется ли действие:

\[ \boxed{ J\stackrel{?}{\simeq}\mathrm{const} }. \]

• Два размера одного витка:

\[ \rho_L=\frac{p_\perp}{|q|B}, \qquad h=v_\parallel T_c. \]

• Масштабы изменения поля

\[ L_\perp\equiv\frac{B}{|\nabla_\perp B|}, \qquad L_\parallel\equiv\frac{B}{|\partial B/\partial s|}. \]

• Потребуем, чтобы за один оборот поле изменялось мало поперёк орбиты и вдоль пройденного шага:

\[ \boxed{ \frac{\rho_L}{L_\perp}\ll1, \qquad \frac{h}{L_\parallel}\ll1 }. \]

• Второе условие можно записать через характерное время изменения поля:

\[ \tau_B\equiv\frac{B}{|\dot B|}, \qquad T_c=\frac{2\pi}{\omega_c}, \qquad \boxed{T_c\ll\tau_B}. \]

Координата вдоль поля

\(s\) — длина дуги вдоль силовой линии:

\[ \frac{d\mathbf R}{ds}=\mathbf b, \qquad \mathbf b\equiv\frac{\mathbf B}{B}, \]

\[ \frac{\partial B}{\partial s} =\mathbf b\cdot\nabla B. \]

\(s\) — непрерывная координата, а \(h=v_\parallel T_c\) — путь электрона вдоль поля за один оборот.

За один оборот поле почти постоянно, но за много оборотов может измениться заметно.

• На одном обороте «заморозим» \(B\) и \(\omega_c\). Поперечное движение остаётся быстрым: \[ \dot\theta\simeq\omega_c. \]

• Частота медленно меняется от оборота к обороту: \[ \boxed{ \frac{|\dot\omega_c|}{\omega_c^2} =\frac{|\dot B|}{\omega_c B} =\frac{1}{2\pi}\frac{T_c}{\tau_B} \ll1 }. \]

• Поперечное движение — осциллятор с медленно меняющимся вдоль пути параметром: \[ H_\perp(Q,P;s(t))\equiv E_\perp =\frac{P^2}{2m}+\frac{m\omega_c^2(s(t))Q^2}{2}. \]

• Зависимость от \(t\) здесь составная: \(\omega_c(s(t))\). Лабораторное поле от времени не зависит. Для связанной быстрой и медленной динамики \[ \boxed{ H(s,p_\parallel,Q,P) =\frac{p_\parallel^2}{2m}+H_\perp(Q,P;s), \qquad \frac{\partial H}{\partial t}=0 }. \]

• Согласно уравнениям Гамильтона для поперечной пары

\[ \begin{aligned} \dot E_\perp=\frac{dH_\perp}{dt} &= \frac{\partial H_\perp}{\partial Q}\dot Q +\frac{\partial H_\perp}{\partial P}\dot P +\frac{\partial H_\perp}{\partial s}\dot s \\ &=-\dot P\dot Q+\dot Q\dot P +\frac{\partial H_\perp}{\partial s}\dot s =\frac{\partial H_\perp}{\partial s}\dot s. \end{aligned} \]

• При фиксированных \(Q\) и \(P\)

\[ \boxed{ \dot E_\perp =\frac{\partial}{\partial s} \left(\frac{m\omega_c^2(s)Q^2}{2}\right)\dot s =m\omega_c\dot\omega_c Q^2. } \]

Движение вдоль поля

\[ s\parallel\mathbf B, \qquad p_\parallel=m\dot s, \]

\[ H =\frac{p_\parallel^2}{2m}+H_\perp. \]

Так как полный \(H\) не зависит явно от времени,

\[ \dot E_\parallel=-\dot E_\perp. \]

Поперечная и продольная энергии обмениваются, а их сумма сохраняется.

Уравнения Гамильтона

\[ \begin{aligned} \dot Q&=\frac{\partial H_\perp}{\partial P},\\[1mm] \dot P&=-\frac{\partial H_\perp}{\partial Q}. \end{aligned} \]

• За один оборот \(E_\perp\) и \(\omega_c\) почти не меняются, поэтому

\[ Q(t)=Q_0\cos(\omega_ct+\varphi), \qquad E_\perp=\frac{m\omega_c^2Q_0^2}{2}. \]

• Отсюда

\[ \left\langle Q^2\right\rangle =Q_0^2\left\langle\cos^2(\omega_ct+\varphi)\right\rangle =\frac{Q_0^2}{2} =\frac{E_\perp}{m\omega_c^2}. \]

• Усредняя полученное на предыдущей вкладке уравнение энергии, находим

\[ \left\langle\dot E_\perp\right\rangle =m\omega_c\dot\omega_c\left\langle Q^2\right\rangle =\frac{E_\perp\dot\omega_c}{\omega_c}. \]

Среднее за период

\[ \langle f\rangle =\frac{1}{T_c} \int_t^{t+T_c}f(t')\,dt', \]

\[ \left\langle\cos^2\right\rangle=\frac12. \]

На предыдущей вкладке

\[ \left\langle\dot E_\perp\right\rangle =\frac{E_\perp\dot\omega_c}{\omega_c}. \]

• Применим правило производной частного:

\[ \begin{aligned} \left\langle \frac{d}{dt}\frac{E_\perp}{\omega_c} \right\rangle &= \frac{\left\langle\dot E_\perp\right\rangle}{\omega_c} -\frac{E_\perp\dot\omega_c}{\omega_c^2} \\[1mm] &= \frac{E_\perp\dot\omega_c}{\omega_c^2} -\frac{E_\perp\dot\omega_c}{\omega_c^2} =0. \end{aligned} \]

• Следовательно,

\[ \boxed{ \langle\dot J\rangle=\langle\frac{d}{dt}\frac{E_\perp}{\omega_c}\rangle=0}. \]

• Фазовый эллипс медленно меняет форму, но сохраняет площадь \(2\pi J\).

Фазовый смысл

\[ \begin{aligned} Q_{\max}&=\sqrt{\frac{2J}{m\omega_c}},\\ P_{\max}&=\sqrt{2m\omega_cJ}, \end{aligned} \]

\[ \pi Q_{\max}P_{\max}=2\pi J. \]

• Так как \(\omega_c=|q|B/m\), сохранение \(J\) даёт

\[ \boxed{ \mu \equiv\frac{|q|}{m}J =\frac{E_\perp}{B} =\frac{p_\perp^2}{2mB} \simeq\mathrm{const} }. \]

• В однородном поле \(E_\perp\) и \(B\) постоянны по отдельности. При движении через медленно меняющееся магнитное поле они меняются, но их отношение остаётся почти постоянным.

• Таким образом, введённый ранее модуль орбитального магнитного момента становится первым адиабатическим инвариантом.

• Столкновения и резкие изменения поля нарушают это приближение.

Резюме

• В адиабатическом режиме действие сохраняется с хорошей точностью.

• Хотя \(E_\perp\) изменяется \[ \langle\dot E_\perp\rangle =E_\perp\frac{\dot\omega_c}{\omega_c}, \qquad (T_c\ll\tau_B). \]

• В адиабатическом приближении \(E_\perp\) следует за изменением поля:

\[ \boxed{J\simeq\mathrm{const}}, \qquad \boxed{\mu=E_\perp/B\simeq\mathrm{const}}. \]

• Это золотой ключик для MAC-E-коллимации: при уменьшении \(B\) уменьшается \(E_\perp\), а продольная энергия \(E_\parallel=E-E_\perp\) растёт.

Направляющий центр в эффективном потенциале

• Редукция
• Энергия
• Коллимация
• Сила
• Зеркало
• Акцептанс

• Продолжим разложение из предыдущей лекции: координату \(z\) заменяет длина дуги \(s\), а \((X,Y)\) метят магнитную трубку:

\[ (\mathbf r,\mathbf p) \longleftrightarrow \underbrace{(X,Y)}_{\text{магнитная трубка}} \oplus \underbrace{(s,p_\parallel)}_{\text{движение вдоль поля}} \oplus \underbrace{(\theta,J)}_{\text{быстрое вращение}}. \]

• Усредним быструю фазу \(\theta\); её сопряжённый импульс \(J\) сохраняется адиабатически:

\[ \theta\ \text{усреднена}, \qquad J\simeq\mathrm{const}. \]

• Для оставшейся пары \((s,p_\parallel)\) получаем

\[ \boxed{ \mathcal H_{\mathrm{gc}}(s,p_\parallel;J) =\frac{p_\parallel^2}{2m}+\omega_c(s)J =\frac{p_\parallel^2}{2m}+\mu B(s) }, \]

где \(\mu=|q|J/m\).

• Энергия быстрого вращения стала эффективным потенциалом \(\mu B(s)\).

Обратите внимание!

• Это нерелятивистская запись.

• Поправка для электрона конца тритиевого спектра будет восстановлена при вычислении разрешения.

• В статическом магнитном поле полная кинетическая энергия сохраняется:

\[ E=E_\parallel+E_\perp=\mathrm{const}. \]

• Из гамильтониана направляющего центра

\[ \boxed{ E_\perp(s)=\omega_c(s)J=\mu B(s), \qquad E_\parallel(s)=E-\mu B(s) }. \]

• Поэтому

\[ \begin{array}{lll} B\downarrow: & E_\perp\downarrow, & E_\parallel\uparrow,\\[2mm] B\uparrow: & E_\perp\uparrow, & E_\parallel\downarrow. \end{array} \]

• Сила Лоренца не совершает работы: модуль скорости постоянен. Меняется разложение движения на компоненты относительно локального направления поля.

• Пусть \(\alpha\) — угол между \(\mathbf p\) и локальным полем. Из сохранения \(J\) следует

\[ \frac{p_\perp^2}{B}\simeq\mathrm{const}, \qquad p_\perp=p\sin\alpha. \]

• Относительно начальной точки \(s_0\):

\[ \boxed{ p_\perp(s)=p_{\perp,0}\sqrt{\frac{B(s)}{B_0}} }, \qquad \boxed{ \sin^2\alpha(s)=\sin^2\alpha_0\frac{B(s)}{B_0} }. \]

• Следовательно, пучок коллимируется:

\[ B\downarrow \quad\Longrightarrow\quad p_\perp\downarrow, \quad \alpha\downarrow. \]

• При этом

\[ \rho_L=\frac{p_\perp}{|q|B}\propto B^{-1/2}: \]

Обратите внимание!

Поперечный импульс уменьшается, хотя радиус отдельной орбиты растёт.

• Теперь польза гамильтоновой записи видна непосредственно:

\[ \begin{aligned} \dot p_\parallel &=-\frac{\partial\mathcal H_{\mathrm{gc}}}{\partial s}\\ &=-J\frac{d\omega_c}{ds} =-\mu\frac{dB}{ds}. \end{aligned} \]

\[ \boxed{ F_\parallel=-\mu\frac{dB}{ds} }. \]

• Это сила магнитного зеркала:
  • Она всегда направлена в сторону более слабого поля: при движении в область растущего \(B\) частица тормозится вдоль силовой линии.

Напомним:

\[ \sin^2\alpha(s)=\sin^2\alpha_0\frac{B(s)}{B_0} \]

• Пусть электрон стартует при \(B_0\) с энергией \(E\) под углом \(\alpha_0\):

\[ \mu =\frac{E\sin^2\alpha_{0}}{B_{0}}. \]

• Тогда

\[ E_\parallel(s) =E\left[ 1-\frac{B(s)}{B_{0}}\sin^2\alpha_{0} \right]. \]

• В точке, где \(E_\parallel=0\), направляющий центр останавливается и движется обратно:

\[ \boxed{ B_{\mathrm{mirror}} =\frac{B_{0}}{\sin^2\alpha_{0}} }. \]

• Пусть \(B_{\max}\) — максимальное поле на всём пути электрона. Частица проходит магнитную систему, если

\[ B_{\max}<B_{\mathrm{mirror}} \quad\Longleftrightarrow\quad \sin^2\alpha_{0} <\frac{B_{0}}{B_{\max}}. \]

• Максимальный принимаемый угол равен

\[ \boxed{ \alpha_{\mathrm{acc}} =\arcsin\sqrt{\frac{B_{0}}{B_{\max}}} }. \]

• Для KATRIN

\[ B_{\mathrm{src}}=3.6~\mathrm{Тл}, \qquad B_{\max}=6.0~\mathrm{Тл} \quad\Longrightarrow\quad \alpha_{\mathrm{acc}}\simeq50.8^\circ. \]

• Электроны с большими углами отражаются магнитным зеркалом.

Примеры магнитных зеркал

Пояса Ван Аллена: магнитная ловушка Земли

• Открытие
• Что это?
• Энергии
• Анимация
• Динамика поясов
• Конус потерь
• Интерактив

• 31 января 1958 года: первый американский спутник Explorer 1 выходит на орбиту с счётчиком Гейгера—Мюллера группы Джеймса Ван Аллена.

• На больших высотах счётчик временами показывал почти нулевую скорость счёта. Причина оказалась неожиданной: поток был настолько велик, что прибор насыщался.

• Данные следующего спутника, Explorer 3, подтвердили область интенсивного излучения, удерживаемого магнитным полем Земли.

• «Отказ» прибора оказался одним из первых крупных открытий космической эры.

• Открытие подтвердили данные советского «Спутника-3».

• Сигнал радиационных поясов зарегистрировал и более ранний «Спутник-2», но тогда его не связали с новой областью околоземного пространства.

• Радиационные пояса — тороидальные области, где магнитное поле удерживает энергичные протоны и электроны. В распределении частиц обычно видны два максимума: внутренний и внешний пояса.

Внутренний пояс

\[ \boxed{h\sim10^3\text{–}1.2\cdot10^4~\mathrm{км}} \]

• Начинается примерно в тысяче километров над поверхностью.

• Наиболее устойчив; богат энергичными протонами.

• Главный источник протонов высоких энергий — распад атмосферных нейтронов, рождённых космическими лучами: механизм CRAND.

Межпоясная область

• Плазмосферный шум рассеивает электроны в конус потерь и тем самым поддерживает разреженную область между поясами.

Внешний пояс

\[ \boxed{h\sim1.3\cdot10^4\text{–}6\cdot10^4~\mathrm{км}} \]

• Состоит преимущественно из электронов, поступающих из внешней магнитосферы.

• Во время магнитных бурь электроны переносятся и ускоряются; пояс может расширяться, сжиматься и почти исчезать.

Это не твёрдые оболочки

• Границы зависят от энергии частиц и состояния магнитосферы.

Магнитное зеркало объясняет удержание отдельной частицы, но не создаёт два пояса. Два максимума возникают из-за разных источников, переноса и потерь; между ними волны особенно эффективно осаждают электроны в атмосферу.

• Во внутреннем поясе доминируют протоны с энергиями примерно \(0.1\text{–}400~\mathrm{МэВ}\); присутствуют и электроны порядка \(10^2~\mathrm{кэВ}\).

• Во внешнем поясе преобладают электроны примерно \(0.1\text{–}10~\mathrm{МэВ}\).

• Электрон с кинетической энергией \(1~\mathrm{МэВ}\) уже релятивистский:

\[ \gamma=1+\frac{E}{m_ec^2}\simeq2.96, \qquad v\simeq0.94c. \]

• Эти частицы повреждают электронику и солнечные батареи, создают фон в детекторах и определяют радиационную нагрузку на космические аппараты.

Диапазоны ориентировочные: пояс — это широкий, изменчивый спектр, а не пучок частиц одной энергии.

Жёлтые частицы — электроны, синие — положительные ионы; голубовато-зелёная поверхность — плазмопауза. NASA/GSFC Scientific Visualization Studio.

• Частица вращается вокруг силовой линии.

• Отражается между северной и южной зеркальными точками.

• Медленно дрейфует вокруг Земли.

• Вместе эти движения заполняют тороидальные радиационные пояса.

Спираль искусственно увеличена: в масштабе всей магнитосферы отдельные витки не были бы видны.

• Перенос внутрь магнитосферы: поле усиливается, и при сохранении магнитного момента растёт поперечная энергия \(E_\perp=\mu B\) — бетатронное ускорение.

• Укорачивание силовой линии: зеркальные точки сближаются, поэтому растёт продольная энергия — ускорение Ферми.

• Резонанс с плазменными волнами: хоровые волны могут передавать электронам энергию и ускорять их до релятивистских значений.

• Другие волны рассеивают частицы по углам и переводят их в конус потерь.

• Частица, попавшая в конус потерь, достигает плотных слоёв атмосферы и быстро теряет энергию в столкновениях.

• Положение и интенсивность поясов определяются конкуренцией источников, ускорения, переноса и осаждения.

Магнитосфера не стационарна: солнечный ветер и магнитные бури меняют поля. Поэтому кинетическая энергия частицы здесь не обязана сохраняться.

• Зафиксируем одну силовую линию диполя. Пусть \(R_\oplus\) — радиус Земли, а \(r_{\mathrm{eq}}\) и \(h_{\mathrm{eq}}\) — расстояние от центра и высота над поверхностью на экваторе:

\[ L=\frac{r_{\mathrm{eq}}}{R_\oplus}, \qquad h_{\mathrm{eq}}=(L-1)R_\oplus. \]

• \(L\) — непрерывный параметр. На экваторе этой линии поле минимально и равно \(B_{\mathrm{eq}}(L)\).

• Частица пересекает экватор под углом \(\alpha_{\mathrm{eq}}\) к \(\mathbf B\). Из сохранения \(\mu\) следует

\[ B_{\mathrm m} =\frac{B_{\mathrm{eq}}(L)}{\sin^2\alpha_{\mathrm{eq}}}. \]

• На той же линии поле у условной границы атмосферы равно \(B_{\mathrm{atm}}(L)\).

\[ \boxed{ \sin^2\alpha_{\mathrm{loss}}(L) =\frac{B_{\mathrm{eq}}(L)}{B_{\mathrm{atm}}(L)} }. \]

• При \(\alpha_{\mathrm{eq}}<\alpha_{\mathrm{loss}}(L)\) частица достигает атмосферы раньше зеркальной точки.

• При фиксированном модуле скорости все направления лежат на сфере в пространстве скоростей.

• Направления с одним углом \(\alpha_{\mathrm{loss}}\) образуют окружность вокруг оси \(\mathbf B\).

• Меньшие углы заполняют конус. Для двух направлений вдоль поля существуют два противоположных конуса.

• Волны и столкновения рассеивают частицы по углам. Попав внутрь конуса, частица осаждается в атмосферу.

Поле на экваторе входит в формулу потому, что там задаются начальный угол и магнитный момент частицы. Сравниваются две точки одной и той же линии \(L\).

• В первом приближении поле Земли — диполь: у экватора оно слабее, к полюсам усиливается.
• Частица стартует на экваторе с заданной скоростью; показано движение направляющего центра без циклотронной спирали.

Постановка задачи

• Выбираем непрерывный параметр силовой линии L.
• Задаём на экваторе угол α между скоростью и полем.
• Проверяем, где раньше окажется частица: у зеркальной точки или в атмосфере.

Индексы: eq — экватор, atm — граница атмосферы.

Силовая линия: L =

4,0

экваториальная высота h_eq =

Угол скорости к полю: α_eq =

8,0°

угол можно менять и стрелкой на круге скоростей

Граница конуса

α_loss =

Поле зеркала

B_m/B_atm =

E_∥

98%

E_⊥

2%

E

100%

NASA/SVS · NASA: высоты · NASA: энергии · JPL: Explorer 1 · NASA: CRAND · NASA/NTRS: плазмосферный шум · NASA: геометрия конуса потерь · Reeves et al., 2013: локальное ускорение · Thorne et al., 2013: ускорение хоровыми волнами

Ещё примеры магнитных зеркал

• Солнечная корона
• Токамак
• Зеркальная ловушка
• Ускорение Ферми

• Светящиеся дуги солнечной короны — это горячая плазма, очерчивающая замкнутые магнитные петли.

• Поле усиливается у оснований петли. Частицы с достаточно большой поперечной скоростью отражаются и многократно проходят между зеркальными точками.

• Частицы из конуса потерь достигают хромосферы. Их тормозное излучение наблюдается как яркие рентгеновские источники у оснований вспышечной петли.

• Зеркальное удержание влияет на длительность солнечных вспышек и на распределение энергии между короной и нижними слоями атмосферы.

Горячая плазма очерчивает магнитные петли в короне Солнца. NASA/SDO и NASA/GSFC.

• Основное удержание плазмы в токамаке создаёт тороидальная магнитная конфигурация.

• Тороидальное поле неоднородно:

\[ B(R)\propto\frac{1}{R}. \]

• На внешней стороне тора поле слабее, на внутренней — сильнее. Частицы с малой \(v_\parallel/v_\perp\) отражаются, не доходя до области максимального поля.

• Вместе с медленным дрейфом это даёт в полоидальном сечении банановую орбиту. Такие частицы существенно влияют на неоклассический перенос плазмы.

Тороидальная геометрия и траектория зеркально запертой частицы. Учебные материалы PPPL.

• В открытой зеркальной ловушке поле мало в центральной камере и усиливается у двух концов.

• Частицы вне конуса потерь отражаются от магнитных пробок и многократно проходят через центральную плазму.

• Частицы из конуса потерь уходят через торцы. Уменьшение этих потерь — одна из главных задач зеркальных термоядерных установок.

• Такие установки применяются в исследованиях управляемого синтеза, нагрева плазмы и взаимодействия потоков плазмы с материалами.

Экспериментальная установка PFRC использует концевые магнитные зеркала. PPPL, 2024.

Частица многократно пересекает ударный фронт остатка сверхновой и набирает энергию. NASA/GSFC.

• В хорошо проводящей плазме магнитное поле приблизительно вморожено в вещество. Движущееся намагниченное облако переносит с собой и магнитную неоднородность.

• В системе облака рассеяние частицы почти упругое. В лабораторной системе движущийся магнитный рассеиватель и связанное с ним электрическое поле могут изменить энергию частицы.

• В модели Ферми 1949 года случайные облака дают средний прирост второго порядка по \(u/c\), где \(u\) — характерная скорость рассеивателя. Повторные пересечения ударного фронта дают более быстрый прирост первого порядка.

\[ \boxed{ \begin{array}{ll} \text{неподвижная структура:}&\Delta E=0,\\ \text{движущаяся структура:}&\Delta E\ne0 \end{array} } \]

• Так объясняют ускорение космических лучей в остатках сверхновых.

NASA/SDO: солнечные магнитные петли · NASA/NTRS: удержание в корональных петлях · PPPL: движение частиц в токамаке · PPPL: PFRC · NASA/SVS: ускорение на ударном фронте · Fermi, 1949 · KATRIN Design Report, §5

KATRIN: Magnetic Adiabatic Collimation with Electrostatic Filter

MAC-E-фильтр: от полей к порогу

• Схема
• MAC
• E-фильтр
• Анимация
• Разрешение
• Почему 10 м?

Три значения поля выполняют три разные функции:

\[ \begin{array}{ccl} B_{\mathrm{src}}=3.6~\mathrm{Тл} &:& \text{поле в источнике},\\[1mm] B_{\mathrm A}=0.30~\mathrm{мТл} &:& \text{минимум в анализирующей плоскости},\\[1mm] B_{\max}=6.0~\mathrm{Тл} &:& \text{максимум на пути электрона}. \end{array} \]

• \(B_{\mathrm A}\ll B_{\mathrm{src}}\) делает \(p_{\perp,\mathrm A}\) малым.
• \(B_{\max}\) задаёт магнитное зеркало и угловой акцептанс.
• Максимум задерживающего потенциала совпадает с минимумом \(B\).

\[ \boxed{\text{сначала MAC}\quad\longrightarrow\quad\text{затем E}} \]

Из сохранения \(J\) между источником и анализирующей плоскостью

\[ \boxed{ \frac{p_{\perp,\mathrm A}}{p_{\perp,\mathrm{src}}} =\sqrt{\frac{B_{\mathrm A}}{B_{\mathrm{src}}}} \simeq9.1\cdot10^{-3} }. \]

Поперечный импульс уменьшается примерно в \(110\) раз. При сохранении полной энергии освободившаяся поперечная энергия становится продольной.

Например,

\[ \alpha_{\mathrm{src}}=50^\circ \quad\longrightarrow\quad \alpha_{\mathrm A}\simeq0.40^\circ. \]

Это Magnetic Adiabatic Collimation: поле не уменьшает энергию электрона, а поворачивает его импульс почти вдоль оси спектрометра.

После включения потенциала кинетическая энергия \(E\) уже не постоянна. При стационарных \(\mathbf E\) и \(\mathbf B\) сохраняется

\[ \boxed{ \mathcal E =\frac{p_\parallel^2}{2m}+\mu B(s)+q\Phi(s) =\mathrm{const} }. \]

Здесь \(\Phi(s)\) — электростатический потенциал, а \(\mathcal E\) — сумма кинетической и потенциальной энергий.

• \(p_\parallel^2/(2m)\) — энергия прохода вдоль оси;
• \(\mu B\) — магнитная коллимация и зеркало;
• \(q\Phi\) — задерживающий барьер.

Электрическое поле направлено преимущественно вдоль \(\mathbf B\) и почти не нарушает циклотронное действие.

В анализирующей плоскости

\[ \boxed{ E_{\parallel,\mathrm A} \simeq E-e|U|-E_{\perp,\mathrm A} }. \]

\[ \begin{array}{ccl} E_{\parallel,\mathrm A}>0 &:& \text{электрон проходит},\\[1mm] E_{\parallel,\mathrm A}=0 &:& \text{порог прохождения},\\[1mm] E_{\parallel,\mathrm A}<0 &:& \text{электрон отражается}. \end{array} \]

MAC делает \(E_{\perp,\mathrm A}\) малой; E-фильтр сравнивает почти всю энергию \(E\) с порогом \(e|U|\).

В магнитном поле KATRIN при входе в главный спектрометр \(p_\perp\) уменьшается, а после анализирующей плоскости снова растёт. Электрическое поле здесь отключено, чтобы показать только MAC.

1. Акцептанс магнитного зеркала

• В источнике \(p_{\perp,\mathrm{src}}=p\sin\alpha_{\mathrm{src}}\).

• Условие прохождения области максимального поля:

\[ \sin^2\alpha_{\mathrm{src}} = \frac{p_{\perp,\mathrm{src}}^2}{p^2} \leq\frac{B_{\mathrm{src}}}{B_{\max}}. \]

2. Адиабатическая коллимация

• Из сохранения адиабатического инварианта

\[ \frac{p_\perp^2}{B}\simeq\mathrm{const} \quad\Longrightarrow\quad \frac{p_{\perp,\mathrm A}^2}{p_{\perp,\mathrm{src}}^2} =\frac{B_{\mathrm A}}{B_{\mathrm{src}}}. \]

• Чтобы получить долю поперечного импульса в анализирующей плоскости, вставляем промежуточный импульс в источнике:

\[ \boxed{ \frac{p_{\perp,\mathrm A}^2}{p^2} = \underbrace{\frac{p_{\perp,\mathrm A}^2} {p_{\perp,\mathrm{src}}^2}}_{B_{\mathrm A}/B_{\mathrm{src}}} \frac{p_{\perp,\mathrm{src}}^2}{p^2} \leq \frac{B_{\mathrm A}}{B_{\mathrm{src}}} \frac{B_{\mathrm{src}}}{B_{\max}} =\frac{B_{\mathrm A}}{B_{\max}}. } \]

3. Что задаёт ширину порога?

• Барьер проверяет \(E_{\parallel,\mathrm A}\):

\[ \begin{aligned} E_{\parallel,\mathrm A} &\simeq E-e|U|-E_{\perp,\mathrm A},\\ 0\leq E_{\perp,\mathrm A} &\leq E_{\perp,\mathrm A}^{\max}\equiv\Delta E. \end{aligned} \]

• У порога электрон почти остановлен (\(\gamma_{\mathrm A}\simeq1\)):

\[ E_{\perp,\mathrm A}^{\max} \simeq\frac{(p_{\perp,\mathrm A}^{\max})^{2}}{2m_e} =\frac{p^2}{2m_e}\frac{B_{\mathrm A}}{B_{\max}}. \]

\[ \frac{p^2}{2m_e} =E\left(1+\frac{E}{2m_e}\right) =E\frac{\gamma+1}{2}. \]

Отсюда для \(E=18.6~\mathrm{кэВ}\), \(\gamma=1.036\) и \(B_{\mathrm A}/B_{\max}=5.0\cdot10^{-5}\):

\[ \boxed{ \Delta E =E\frac{B_{\mathrm A}}{B_{\max}}\frac{\gamma+1}{2} \simeq0.95~\mathrm{эВ}. } \]

\(E\) — кинетическая энергия электрона

\[ \begin{aligned} E &= \sqrt{p^2+m_e^2}-m_e\\ p^2 &=(E+m_e)^2 - m_e^2\\ &= E^2+2Em_e,\\ \frac{p^2}{2m_e} &= E(1+\frac{E}{2m_e}) \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \gamma &=\frac{\sqrt{p^2+m_e^2}}{m_e}\\ &=\frac{E+m_e}{m_e}= 1+\frac{E}{m_e}. \end{aligned} \]

Разрешение требует

\[ \frac{\Delta E}{E}\sim\frac{B_{\mathrm A}}{B_{\max}} \sim5\cdot10^{-5}. \]

При сохранении потока принятой магнитной трубки

\[ \boxed{\Phi_{\mathrm{tube}}=B\mathcal A\simeq\mathrm{const}}, \qquad \boxed{ d(B)=2\sqrt{\frac{\Phi_{\mathrm{tube}}}{\pi B}} \propto B^{-1/2} }. \]

\(\mathcal A\) — площадь поперечного сечения магнитной трубки.

\[ \boxed{ \Phi_{\mathrm{tube}}=191~\mathrm{Тл\,см^2} \quad\Longrightarrow\quad d_{\mathrm A}\simeq9.0~\mathrm{м} }. \]

Цена высокого разрешения: малое \(B_{\mathrm A}\) неизбежно расширяет всю магнитную трубку, а не только одну ларморовскую орбиту.

Главный сосуд KATRIN: длина \(23.3\) м, внутренний диаметр \(9.8\) м, масса около \(200\) т. Транспорт через Эггенштайн-Леопольдсхафен, 25 ноября 2006 года. Фото: Markus Breig, KIT-Archiv 28010/I 7185; источник KIT.

Магнитная система KATRIN · KATRIN: функция отклика и ширина фильтра · Принцип MAC-E и главный спектрометр

Итоги

Быстрое и медленное движение

\[ T_c\ll\tau_B \quad\Longrightarrow\quad \boxed{J\simeq\mathrm{const}}. \]

После усреднения быстрой фазы \(\theta\)

\[ \boxed{ \mathcal H_{\mathrm{gc}} =\frac{p_\parallel^2}{2m}+\omega_c(s)J =\frac{p_\parallel^2}{2m}+\mu B(s) }. \]

\[ B\downarrow\Rightarrow\text{коллимация}, \qquad B\uparrow\Rightarrow\text{магнитное зеркало}. \]

Идеальный MAC-E-фильтр

\[ \sin^2\alpha_{\mathrm{acc}} =\frac{B_{\mathrm{src}}}{B_{\max}}, \]

\[ \Delta E =E\frac{B_{\mathrm A}}{B_{\max}}\frac{\gamma+1}{2}, \]

\[ E_{\parallel,\mathrm A} \simeq E-e|U|-E_{\perp,\mathrm A}. \]

\(B_{\mathrm A}\ll B_{\max}\) даёт высокое разрешение, но расширяет магнитную трубку и требует огромного спектрометра.

Мы получили прохождение одного электрона. В следующей лекции углы, рассеяние и свойства источника превратят идеальный порог в функцию отклика реального эксперимента KATRIN.