Задачи: ведём электрон к детектору

Лекция 05 · Введение в физику нейтрино

Автор

Дмитрий В. Наумов

← Вернуться к лекции · Все задачи курса

Задачи

Задача 05.1. Время пролёта по винтовой траектории

Электрон с кинетической энергией \(K\) рождается при \(z=0\) в однородном поле \(\mathbf B=B\mathbf e_z\). Угол между импульсом и направлением \(+\mathbf B\) равен \(\alpha\). Детектор расположен в плоскости \(z=L\).

  1. Используя постоянство \(p_\parallel\), получите \(z(t)\), время достижения детектора \(t_L\) и полную длину траектории \(\ell=vt_L\).

  2. Выразите скорость релятивистски:

    \[ \gamma=1+\frac{K}{m_ec^2}, \qquad v=c\sqrt{1-\gamma^{-2}}. \]

  3. Для \(K=18.6~\mathrm{кэВ}\), \(B=2.0~\mathrm{мТл}\) и \(L=5.0~\mathrm{м}\) вычислите при \(\alpha=15^\circ\), \(45^\circ\) и \(75^\circ\):

    \[ t_L,\qquad \ell,\qquad T_c=\frac{2\pi\gamma m_e}{eB}, \qquad N=\frac{t_L}{T_c}. \]

    Используйте \(m_ec^2=511~\mathrm{кэВ}\), \(c=2.998\cdot10^8~\mathrm{м/с}\) и \(e/m_e=1.759\cdot10^{11}~\mathrm{Кл/кг}\).

  4. Что происходит с \(t_L\), \(\ell\) и \(N\) при \(\alpha\to90^\circ\)? Какие электроны вообще достигнут плоскости \(z=L>0\)?

  5. Какие из найденных величин зависят от \(B\), а какие нет? Объясните результат физически.

Задача 05.2. Электростатический порог и угловой акцептанс

В нерелятивистском приближении электрон с кинетической энергией \(K\) и углом \(\alpha\) к оси спектрометра имеет

\[ K_\parallel=K\cos^2\alpha, \qquad K_\perp=K\sin^2\alpha. \]

Перед детектором установлен запирающий потенциал \(U\). Электрон проходит, если \(K_\parallel>e|U|\).

  1. Для заданных \(K\) и \(U\) найдите максимальный проходной угол \(\alpha_{\max}\).

  2. Рассмотрите изотропное излучение в переднюю полусферу. Покажите, что доля прошедших направлений равна

    \[ f_\Omega=1-\cos\alpha_{\max} =1-\sqrt{\frac{e|U|}{K}}. \]

  3. Вычислите \(\alpha_{\max}\) и \(f_\Omega\) при \(K=18.6~\mathrm{кэВ}\) и \(e|U|=18.0~\mathrm{кэВ}\).

  4. Почему электроны одинаковой полной энергии, но с разными \(\alpha\), проходят разные электростатические пороги?

  5. Объясните, почему однородное магнитное поле не исправляет эту проблему и зачем перед фильтром нужна коллимация.

Задача 05.3. Направляющий центр и знак заряда

Пусть

\[ \mathbf B=B\mathbf e_z, \qquad \Omega=\frac{qB}{m}, \]

а в начальный момент

\[ x_0=y_0=0, \qquad \mathbf v_0=(v_\perp,0,v_\parallel). \]

  1. Из уравнений

    \[ \dot v_x=\Omega v_y, \qquad \dot v_y=-\Omega v_x \]

    покажите, что

    \[ X=x+\frac{v_y}{\Omega}, \qquad Y=y-\frac{v_x}{\Omega} \]

    постоянны.

  2. Найдите \((X,Y)\) и радиус орбиты для электрона \(q=-e\).

  3. Определите направление вращения, если смотреть вдоль \(+\mathbf B\). Повторите ответ для положительного заряда.

  4. Как знак \(v_\parallel\) определяет движение направляющего центра вдоль поля? Зависит ли этот ответ от знака заряда?

  5. Есть ли в однородном магнитном поле без электрического поля поперечный дрейф направляющего центра?

Задача 05.4. От фазового эллипса к переменным \((\theta,J)\)

Для поперечного циклотронного движения введены

\[ Q=x-X=-\frac{v_y}{\Omega}, \qquad P=m\dot Q=mv_x. \]

  1. Покажите, что

    \[ H_\perp(Q,P) =\frac{P^2}{2m} +\frac{m\omega_c^2Q^2}{2} =E_\perp, \qquad \omega_c=|\Omega|. \]

  2. Найдите полуоси фазового эллипса и вычислите

    \[ J=\frac{1}{2\pi}\oint P\,dQ =\frac{E_\perp}{\omega_c}. \]

  3. Введите

    \[ \theta= \operatorname{atan2}(m\omega_cQ,P) \]

    и получите обратное преобразование

    \[ Q=\sqrt{\frac{2J}{m\omega_c}}\sin\theta, \qquad P=\sqrt{2m\omega_cJ}\cos\theta. \]

  4. Прямым вычислением проверьте скобку Пуассона \(\{\theta,J\}_{Q,P}=1\).

  5. Запишите \(H_\perp\) через \(J\) и получите из уравнений Гамильтона \(\dot J\) и \(\dot\theta\). Почему при \(J=0\) угол \(\theta\) не определён?

Задача 05.5. Четыре физических смысла действия

Для нерелятивистской циклотронной орбиты используйте

\[ \rho_L=\frac{p_\perp}{eB}, \qquad J=\frac{p_\perp^2}{2eB}, \qquad L_{\mathrm{orb}}=\rho_Lp_\perp, \]

\[ \mu=\frac{p_\perp^2}{2m_eB}, \qquad \Phi=\pi\rho_L^2B. \]

  1. Докажите цепочку равенств

    \[ \boxed{ J=\frac{L_{\mathrm{orb}}}{2} =\frac{m_e}{e}\mu =\frac{e}{2\pi}\Phi }. \]

  2. Проверьте размерности всех четырёх выражений для \(J\).

  3. Для

    \[ K=1.00~\mathrm{кэВ}, \qquad \alpha=60^\circ, \qquad B=0.100~\mathrm{Тл} \]

    в нерелятивистском приближении вычислите \(\rho_L\), \(\omega_c\), \(J\), \(\mu\) и \(\Phi\). Используйте

    \[ e=1.602\cdot10^{-19}~\mathrm{Кл}, \qquad m_e=9.109\cdot10^{-31}~\mathrm{кг}. \]

  4. Численно проверьте равенства из пункта 1.

  5. Найдите \(J/\hbar\) при \(\hbar=1.055\cdot10^{-34}~\mathrm{Дж\,с}\). Что большое значение этого отношения говорит о применимости классического описания орбиты?

Задачи для разбора на семинаре

Семинар 05.1. Первый изгиб траектории

Пусть \(\mathbf B=B\mathbf e_z\), а начальная скорость частицы равна

\[ \mathbf v=(v_\perp,0,v_\parallel). \]

  1. Найдите направление силы Лоренца \(q\mathbf v\times\mathbf B\) для электрона и позитрона.
  2. Какая компонента скорости начинает меняться в первый момент?
  3. Покажите непосредственно, что магнитное поле не совершает работы.
  4. Нарисуйте начальный участок траектории для обоих знаков заряда.

Семинар 05.2. Два электрона с одинаковой энергией

Два электрона с одинаковыми энергиями входят в одно и то же однородное поле под углами \(\alpha_1=30^\circ\) и \(\alpha_2=60^\circ\) к полю.

  1. Сравните их циклотронные периоды.
  2. Найдите отношения ларморовских радиусов \(\rho_2/\rho_1\) и шагов винтовой линии \(h_2/h_1\).
  3. Найдите отношение времён, за которые электроны проходят одинаковое расстояние вдоль поля.
  4. Какие из этих различий видны в анимации, а какие требуют измерения времени?

Семинар 05.3. Почему однородное поле не коллимирует?

В однородном постоянном магнитном поле сохраняются \(p_\parallel\) и \(p_\perp\).

  1. Покажите, что питч-угол \(\tan\alpha=p_\perp/p_\parallel\) остаётся постоянным.
  2. Что именно делает поле с изотропно испущенными электронами: удерживает их около силовой линии, поворачивает вдоль поля или и то и другое?
  3. Почему одного однородного поля недостаточно, если перед электростатическим фильтром требуется малый поперечный импульс?
  4. Какое свойство поля придётся изменить в следующей задаче курса?

Семинар 05.4. Действие для двух периодических движений

Для гармонического осциллятора

\[ H=\frac{P^2}{2m}+\frac{m\omega^2Q^2}{2}=E \]

и для плоского ротатора

\[ H=\frac{L^2}{2I} \]

вычислите действие \(J=(2\pi)^{-1}\oint p\,dq\).

  1. Найдите площадь эллипса осциллятора в плоскости \((Q,P)\) и покажите, что \(J=E/\omega\).
  2. Покажите, что для ротатора \(J=L\).
  3. Циклотронная орбита эквивалентна осциллятору с \(E=E_\perp\) и \(\omega=\omega_c\). Получите \(J=E_\perp/\omega_c=p_\perp^2/(2|q|B)\).
  4. Почему для циклотронной орбиты \(J=|L_{\mathrm{mech}}|/2\), тогда как для ротатора \(J=L\)? Что в этих двух задачах играет роль периодической координаты?