Прямое измерение массы нейтрино. Ведём электрон к детектору
Введение в физику нейтрино
ОИЯИ
Задача \(\beta\)-спектрометра
Интегральное измерение энергии
- Масса нейтрино меняет форму \(\beta\)-спектра у его конца. Событий там мало, а электроны неполяризованного источника вылетают изотропно:
\[ \frac{dN}{d\Omega}=\mathrm{const}. \]
Маленький детектор, смотрящий только в одном направлении, потеряет почти всю статистику.
Поэтому установка должна принимать электроны из большого телесного угла.
Энергию можно измерять интегрально. Поставим перед детектором запирающий электростатический потенциал \(U\):
\[ E<e|U|\ \Longrightarrow\ \text{электрон отражается}, \qquad E>e|U|\ \Longrightarrow\ \text{электрон проходит}. \]
При сканировании \(U\) детектор измеряет число электронов выше порога:
\[ \boxed{ R(U)\propto \int_{e|U|}^{E_0}\frac{d\Gamma}{dE}\,dE }. \]
Задача прибора: собрать как можно больше \(\beta\)-электронов и сравнить их энергию с управляемым электростатическим порогом.
Продольное и поперечное движение
- Одномерное условие \(E>e|U|\) предполагает, что электрон летит вдоль оси спектрометра. В реальности его импульс образует с осью угол \(\alpha\):
\[ \mathbf p=\mathbf p_\parallel+\mathbf p_\perp, \qquad E=E_\parallel+E_\perp, \qquad \tan\alpha=\frac{p_\perp}{p_\parallel}. \]
- Для потенциала \(U(z)\) поперечный импульс сохраняется. На подъём против потенциала расходуется продольная энергия, поэтому
\[ \boxed{E_\parallel>e|U|}, \qquad E_\parallel=E\cos^2\alpha \quad\text{(в нерелятивистском режиме)}. \]
При одной и той же \(E\) электроны с разными \(\alpha\) проходят разный порог.
Оставить только малые углы нельзя: источник изотропен, и статистика исчезнет.
Требуется магнитная система, которая
- собирает большой телесный угол и ведёт электроны к фильтру;
- сохраняет \(E\);
- перед фильтром переводит \(E_\perp\) в \(E_\parallel\).
К чему мы придём
MAC-E: электроны выше порога проходят, ниже порога — отражаются.
Однородное магнитное поле
Движение в однородном постоянном магнитном поле
Однородное магнитное поле не меняет энергию частицы: оно разделяет движение на равномерное вдоль поля и циклотронное вращение поперёк поля.
Сохраняются
\[ \boxed{p_\parallel=\mathrm{const}}, \qquad \boxed{p_\perp=\mathrm{const}}, \qquad \boxed{E=\mathrm{const}}. \]
Винтовая траектория
\[ \boxed{(x-X)^2+(y-Y)^2=\rho_L^2}, \]
\[ \boxed{z(t)=z_0+v_\parallel t}. \]
За один оборот
\[ \boxed{\omega_c=\frac{|q|B}{m}}, \qquad \boxed{T_c=\frac{2\pi m}{|q|B}}. \]
\[ \boxed{\rho_L=\frac{p_\perp}{|q|B}}, \qquad \boxed{h=\frac{2\pi p_\parallel}{|q|B}}. \]
Орбитальный магнитный момент
\[ \boxed{ \mu=\frac{E_\perp}{B} =\frac{mv_\perp^2}{2B} =\mathrm{const} }. \]
Релятивистский случай: \(\omega_c=|q|B/(\gamma m)\), \(T_c=2\pi\gamma m/(|q|B)\); формулы для \(\rho_L\) и \(h\) через импульс не меняются.
Рассмотрим нерелятивистскую частицу заряда \(q\) и массы \(m\):
\[ \mathbf B=B\mathbf e_z, \qquad \mathbf E=0. \]
Сила Лоренца даёт
\[ m\dot{\mathbf v} =q\,\mathbf v\times\mathbf B =qB(v_y,-v_x,0), \]
\[ \dot v_x=\Omega v_y, \qquad \dot v_y=-\Omega v_x, \qquad \dot v_z=0. \]
\[ \boxed{\Omega=\frac{qB}{m}}, \qquad \boxed{\omega_c=|\Omega|=\frac{|q|B}{m}}. \]
\(\Omega\) — знаковая, а \(\omega_c\) — положительная циклотронная частота.
Магнитное поле не совершает работу:
\[ m\mathbf v\cdot\dot{\mathbf v} = q\mathbf v\cdot(\mathbf v\times\mathbf B) =0. \]
Следовательно,
\[ \frac{d}{dt}\frac{mv^2}{2}=0, \qquad v^2=v_\parallel^2+v_\perp^2=\mathrm{const}. \]
Кроме того,
\[ v_\parallel=v_z=\mathrm{const}, \qquad v_\perp^2=v_x^2+v_y^2=\mathrm{const}. \]
Поле меняет направление \(\mathbf v_\perp\), но не её модуль.
\[ \ddot v_x=-\Omega^2v_x, \qquad \ddot v_y=-\Omega^2v_y. \]
Поэтому
\[ \boxed{ \begin{aligned} v_x(t) &= v_{x0}\cos\Omega t + v_{y0}\sin\Omega t, \\ v_y(t) &= v_{y0}\cos\Omega t - v_{x0}\sin\Omega t. \end{aligned}} \]
\[ v_x^2(t)+v_y^2(t) = v_{x0}^2+v_{y0}^2 =v_\perp^2. \]
Конец вектора \(\mathbf v_\perp\) движется по окружности в пространстве скоростей.
Интегрируя скорость, получаем
\[ \begin{aligned} x(t) &= x_0+\frac{v_{x0}}{\Omega}\sin\Omega t +\frac{v_{y0}}{\Omega}(1-\cos\Omega t), \\ y(t) &= y_0+\frac{v_{y0}}{\Omega}\sin\Omega t -\frac{v_{x0}}{\Omega}(1-\cos\Omega t), \\ z(t) &= z_0+v_\parallel t. \end{aligned} \]
В плоскости, перпендикулярной \(\mathbf B\), частица движется по окружности.
Вдоль поля движение равномерное.
\[ \boxed{\Omega=\frac{qB}{m}}, \qquad \boxed{\omega_c=|\Omega|=\frac{|q|B}{m}}. \]
Введём координаты центра окружности:
\[ \boxed{ X=x+\frac{v_y}{\Omega}, \qquad Y=y-\frac{v_x}{\Omega} }. \]
Используя \(\dot v_x=\Omega v_y\) и \(\dot v_y=-\Omega v_x\), получаем
\[ \dot X=\dot Y=0. \]
Значит, \((X,Y)\) — неподвижный направляющий центр, а расстояние до него
\[ \begin{aligned} \rho_L^2 &=(x-X)^2+(y-Y)^2\\ &=\frac{v_x^2+v_y^2}{\Omega^2}. \end{aligned} \]
Отсюда
\[ \boxed{ \rho_L =\frac{v_\perp}{\omega_c} =\frac{mv_\perp}{|q|B} =\frac{p_\perp}{|q|B} }. \]
За один оборот фаза меняется на \(2\pi\). Поэтому
\[ \omega_cT_c=2\pi \quad\Longrightarrow\quad \boxed{T_c=\frac{2\pi m}{|q|B}}. \]
За то же время направляющий центр проходит вдоль поля расстояние
\[ \boxed{ h=v_\parallel T_c =\frac{2\pi p_\parallel}{|q|B} }. \]
Геометрия спирали непосредственно задаёт угол входа:
\[ \boxed{ \frac{h}{2\pi\rho_L} =\frac{p_\parallel}{p_\perp} =\cot\alpha }. \]
Для электрона с \(K=18.6~\mathrm{кэВ}\) в поле \(B=3.6~\mathrm{Тл}\), с учётом \(\gamma=1.036\), получаем
\[ T_c\simeq10.3~\mathrm{пс}, \qquad \rho_{L,\max}\simeq0.129~\mathrm{мм}. \]
Циклотронная орбита эквивалентна токовому витку. Модуль тока и площадь витка равны
\[ |I|=\frac{|q|}{T_c}=\frac{|q|\omega_c}{2\pi}, \qquad S=\pi\rho_L^2. \]
Поэтому
\[ \begin{aligned} \mu=|I|S &=\frac{|q|\omega_c\rho_L^2}{2}\\ &=\frac{mv_\perp^2}{2B} =\frac{E_\perp}{B}. \end{aligned} \]
Направление момента противоположно полю:
\[ \boxed{ \boldsymbol{\mu}_{\mathrm{orb}}=-\mu\,\mathbf b }, \qquad \mathbf b=\frac{\mathbf B}{B}. \]
В однородном поле \(E_\perp\) и \(B\) постоянны, следовательно,
\[ \boxed{\mu=\frac{E_\perp}{B}=\mathrm{const}}. \]
Три электрона показаны в один и тот же момент времени. Их скорости равны по модулю, но \(v_z=v\cos\alpha\): меньший угол даёт большее продвижение вдоль поля за то же время.
Фазовый портрет
Три языка
- На предыдущих слайдах мы воспользовились ньютоновским формализмом, чтобы явно найти траекторию электрона в 3D: \[ \mathbf r(t)=(x(t),y(t),z(t)) \]
- Некоторые свойства физической системы проще увидеть на фазовой траектории
\[ (Q(t),P(t)) \]
- Например, для гармонического осциллятора с энергией \[ H = \frac{p^2}{2m} + \frac{m\omega^2q^2}{2}=E \] частное решение есть: \[ q(t) = A\cos{\omega t} \]
- В переменных \(q\) и \(p = m\dot{q}\) это эллипс
\[ Q(t)=A\cos\theta, \qquad P(t)=-m\omega A\sin\theta, \qquad \theta=\omega t. \]
Одна и та же частица совершает колебание в обычном пространстве и обходит замкнутую кривую в фазовой плоскости.
Очевидно, что площадь эллипса не меняется со временем. Есть ли у неё физический смысл?
Сейчас разберемся!
- Функция Лагранжа зависит от обобщенной координаты \(q\) и скорости \(\dot{q}\) \[ L(q,\dot{q},t) \]
- Уравнения движения: \[ \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}-\frac{\partial L}{\partial q} = 0. \]
- Это уравнение второго порядка
- Определим канонический импульс: \[ p\equiv\frac{\partial L}{\partial\dot q} \]
- Гамильтониан
\[ H(q,p,t)\equiv p\dot q-L. \]
- Уравнения Гамильтона:
\[ \dot q=\frac{\partial H}{\partial p}, \qquad \dot p=-\frac{\partial H}{\partial q}. \]
- Это два уравнения первого порядка
Гамильтонов формализм
Фазовая траектория
Если \(H\) не зависит явно от времени, то
\[ \begin{aligned} \frac{dH}{dt} &=\frac{\partial H}{\partial q}\dot q +\frac{\partial H}{\partial p}\dot p\\ &=-\dot p\dot q+\dot q\dot p=0. \end{aligned} \]
Следовательно, фазовая точка движется вдоль линии постоянной энергии:
\[ \boxed{H(q,p)=E}. \]
- Фазовая точка \((q,p)\) задаёт состояние системы.
- Фазовая траектория — одна линия \(H=E\).
- Фазовый портрет — семейство траекторий для разных начальных условий.
Для гармонического осциллятора
\[ H(q,p)=\frac{p^2}{2m}+\frac{m\omega^2q^2}{2}=E. \]
- Фазовые траектории — вложенные эллипсы:
\[ \frac{q^2}{q_{\max}^2}+\frac{p^2}{p_{\max}^2}=1, \]
\[ q_{\max}=\sqrt{\frac{2E}{m\omega^2}}, \qquad p_{\max}=\sqrt{2mE}. \]
- Площадь эллипса: \[ S=\pi q_{\max}p_{\max}=\frac{2\pi E}{\omega}. \]
- Изменение \(E\) выбирает другой эллипс. Изменение параметров \(m\) или \(\omega\) перестраивает весь фазовый портрет.
Площадь эллипса 
\[ S=\pi ab \]
Так какой физический смысл у площади эллипса в фазовой плоскости?
Определим эту площадь через действие \(J\):
\[ \boxed{ J(E)=\frac{1}{2\pi}\oint p\,dq }. \]
Размерность \(J\) — действие, то есть энергия, умноженная на время.
Действие \(J\) - интеграл движения, если гамильтониан не зависит явно от времени:
\[ \boxed{ \dot E=0, \qquad J=J(E) \quad\Longrightarrow\quad \dot J=\frac{dJ}{dE}\dot E=0 }. \]
Красивая формула связывает действие \(J\) с периодом \(T\) и частотой \(\omega = \frac{2\pi}{T}\): \[ \boxed{\frac{dJ}{dE}=\frac{T}{2\pi} = \frac{1}{\omega}}. \]
Доказательство: \[ \begin{aligned} \frac{dJ}{dE} &=\frac{1}{2\pi}\oint \left(\frac{\partial p}{\partial E}\right)_q dq =\frac{1}{2\pi}\oint\frac{dq}{\dot q}\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_0^Tdt =\frac{T}{2\pi}=\frac{1}{\omega}. \end{aligned} \]
Четыре строчки
\[ \begin{aligned} H\bigl(q,p\bigr)& =E.\\ \frac{\partial H}{\partial p} \left(\frac{\partial p}{\partial E}\right)_q&=1.\\ \partial H/\partial p&=\dot q,\\ ({\partial p}/{\partial E})_q&=1/\dot q. \end{aligned} \]
- Пример: гармонический осциллятор \[ J=\frac{1}{2\pi}\pi q_{\max}p_{\max}=\frac{E}{\omega}, \qquad\frac{dJ}{dE} = \frac{1}{\omega}. \]
\(J\) - интеграл движения.
Для одной степени свободы \(J\) не является интегралом движения независимым от \(E\).
Для \(N>1\) \(J_i\) интегралы движения, независимые от \(E\).
Канонические переменные
Одно и то же движение можно описывать разными переменными.
Простейший пример — растяжение одной оси и сжатие другой:
\[ Q=aq, \qquad P=\frac{p}{a}. \]
Тогда
\[ P\,dQ=p\,dq, \]
поэтому площадь фазовой орбиты не меняется.
Преобразование \((q,p)\to(Q,P)\) называется каноническим, если в новых переменных уравнения Гамильтона имеют тот же вид: \[ \dot Q=\frac{\partial H}{\partial P},\qquad \dot P=-\frac{\partial H}{\partial Q}. \]
Каноническое преобразование может растягивать и деформировать фазовую плоскость, но сохраняет ориентированную площадь: \[ dq\,dp=dQ\,dP. \]
Строго это записывается через симплектическую форму:
\[ dq\wedge dp=dQ\wedge dP, \]
- Тогда,
\[ \oint p\,dq = \oint P\,dQ. \]
Циклотронная орбита в переменных \((\theta,J)\)
- \((Q,P)\)
- \(J\)
- \(\theta\)
- Скобка Пуассона
- Уравнения движения
- От \((\mathbf r,\mathbf p)\) к \((J,\theta)\)
- Портрет
Уравнения Гамильтона
\[ \dot Q=\frac{\partial H}{\partial P}, \qquad \dot P=-\frac{\partial H}{\partial Q}. \]
- Отделим движение относительно направляющего центра. При \(\Omega=qB/m\) и \(\omega_c=|\Omega|\) введём
\[ Q\equiv x-X=-\frac{v_y}{\Omega}, \qquad P\equiv m\dot Q=mv_x. \]
- Тогда циклотронные уравнения принимают вид
\[ \dot Q=\frac{P}{m}, \qquad \dot P=-m\omega_c^2Q. \]
- Это уравнения Гамильтона для осциллятора
\[ \boxed{ H_\perp(Q,P) =\frac{P^2}{2m}+\frac{m\omega_c^2Q^2}{2} =E_\perp }. \]
Таким образом, \((Q,P)\) — каноническая пара для одной периодической степени свободы.
- Применим к эллипсу \(H_\perp(Q,P)=E_\perp\) уже введённое определение действия:
\[ \boxed{ J\equiv\frac{1}{2\pi}\oint P\,dQ =\frac{E_\perp}{\omega_c} }. \]
- Поэтому \(J\):
\[ \boxed{ J(Q,P) =\frac{H_\perp(Q,P)}{\omega_c} =\frac{P^2}{2m\omega_c}+\frac{m\omega_cQ^2}{2} }. \]
- \(J\) определяет, какой эллипс выбран. Где же находится частица на нём?
- Положение на выбранном эллипсе зададим углом
\[ \boxed{ \theta(Q,P) =\operatorname{atan2}\!\left(m\omega_cQ,\,P\right) }. \]
\(\operatorname{atan2}(y,x)\) — обычный полярный угол точки \((x,y)\) с правильным выбором квадранта. Здесь это угол точки \((P,m\omega_cQ)\).
- Вместе определения \(J(Q,P)\) и \(\theta(Q,P)\) дают обратную замену
\[ Q=\sqrt{\frac{2J}{m\omega_c}}\sin\theta, \qquad P=\sqrt{2m\omega_cJ}\cos\theta. \]
\(J\) задаёт эллипс, а \(\theta\) — положение фазовой точки на нём. В центре \(J=0\) угол не определён, поскольку сама орбита вырождается в точку.
- Для функций фазовых переменных скобка Пуассона определена как
\[ \boxed{ \{f,g\}_{Q,P} \equiv \frac{\partial f}{\partial Q}\frac{\partial g}{\partial P} -\frac{\partial f}{\partial P}\frac{\partial g}{\partial Q} }. \]
- Подставляя найденные \(\theta(Q,P)\) и \(J(Q,P)\), получаем
\[ \begin{gathered} D\equiv P^2+(m\omega_cQ)^2,\\ \frac{\partial\theta}{\partial Q}=\frac{m\omega_cP}{D}, \qquad \frac{\partial\theta}{\partial P}=-\frac{m\omega_cQ}{D},\\ \frac{\partial J}{\partial P}=\frac{P}{m\omega_c}, \qquad \frac{\partial J}{\partial Q}=m\omega_cQ. \end{gathered} \]
\[ \boxed{ \{\theta,J\}_{Q,P} =\frac{P^2+(m\omega_cQ)^2} {P^2+(m\omega_cQ)^2} =1 }. \]
Для одной пары \(\{\theta,J\}=1\) — условие каноничности (\(\{\theta,\theta\}=\{J,J\}=0\) автоматически). Поэтому \(\theta\) — координата, \(J\) — сопряжённый импульс, и уравнения Гамильтона сохраняют вид.
- В переменных \((\theta,J)\) гамильтониан не зависит от угла:
\[ \boxed{H_\perp=\omega_cJ}, \qquad \frac{\partial H_\perp}{\partial\theta}=0. \]
- Поскольку \((\theta,J)\) — каноническая пара,
\[ \dot\theta=\frac{\partial H_\perp}{\partial J}, \qquad \dot J=-\frac{\partial H_\perp}{\partial\theta}. \]
- Отсюда непосредственно
\[ \boxed{\dot\theta=\omega_c}, \qquad \boxed{\dot J=0}. \]
\(J\) остаётся постоянным, а фазовая точка равномерно обходит выбранную орбиту: \(\theta(t)=\theta_0+\omega_ct\).
- Полное состояние частицы в трёхмерном пространстве задаётся шестью числами \((\mathbf r,\mathbf p)\):
\[ \boxed{ (\mathbf r,\mathbf p) \ \longleftrightarrow\ \underbrace{(X,Y)}_{\substack{\text{направляющий}\\\text{центр}}} \oplus \underbrace{(z,p_\parallel)}_{\substack{\text{движение}\\\text{вдоль поля}}} \oplus \underbrace{(Q,P)}_{\substack{\text{циклотронное}\\\text{движение}}} }. \]
- В однородном поле
\[ \dot X=\dot Y=\dot p_\parallel=0, \qquad \dot z=\frac{p_\parallel}{m}. \]
Остаются \(z,Q,P\): координата \(z\) равномерно растёт, а точка \((Q,P)\) движется по замкнутой орбите.
Для циклотронного движения мы заменяем одну каноническую пару другой:
\[ \boxed{(Q,P)\ \longleftrightarrow\ (\theta,J)}, \qquad \boxed{\{\theta,J\}=1}. \]
- \(J\) выбирает орбиту. Сопряжённая ему координата \(\theta\) задаёт положение частицы на этой орбите.
Многоликое действие \(J\)
Напомним
\[ \omega_c=\frac{|q|B}{m} \]
Напомним
\[ \rho_L=\frac{p_\perp}{|q|B} \]
- Для циклотронного движения действие:
\[ \boxed{ J =\frac{1}{2\pi}\oint P\,dQ =\frac{E_\perp}{\omega_c} =\frac{p_\perp^2}{2|q|B} }. \]
- Для круговой циклотронной орбиты действие \(J\) связано:
- с орбитальным моментом импульса \(L_{\mathrm{orb}}\equiv|\mathbf L_{\mathrm{orb}}|=\rho_Lp_\perp\): \[ J=\frac{L_{\mathrm{orb}}}{2}. \]
- с орбитальным магнитным моментом \(\mu=\frac{|q|L_{\mathrm{orb}}}{2m}\): \[ J = \frac{m}{|q|}\mu. \]
- с магнитным потоком \(\Phi=\pi\rho_L^2B\) через площадь орбиты: \[ J=\frac{|q|}{2\pi}\Phi \]
Шарик массы \(m\) закреплён на конце невесомого жёсткого стержня длины \(R\).
Точка \(O\) неподвижна; стержень без трения вращается в горизонтальной плоскости.
Это плоский ротатор.
Радиус фиксирован, поэтому остаётся одна координата — угол \(\varphi\):
\[ I=mR^2, \qquad \mathcal L=\frac{I\dot\varphi^2}{2}, \qquad p_\varphi=\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot\varphi} =I\dot\varphi=L_z. \]
Угол \(\varphi\) не входит в \(\mathcal L\), поэтому он циклический и \(p_\varphi\) сохраняется.
Гамильтониан имеет вид
\[ H=\frac{p_\varphi^2}{2I}, \qquad \dot p_\varphi=0. \]
Стержень задаёт постоянный радиус; сила связи направлена к точке O и не создаёт момента относительно O.
- Рассмотрим вращение в выбранном направлении, например \(p_\varphi>0\). На этой ветви \(p_\varphi\) постоянно, а за один оборот \(\varphi\) увеличивается на \(2\pi\):
\[ \begin{aligned} J &=\frac{1}{2\pi}\oint p_\varphi\,d\varphi \\ &=\frac{1}{2\pi} \int_{\varphi_0}^{\varphi_0+2\pi}p_\varphi\,d\varphi =p_\varphi=L_z. \end{aligned} \]
- В общем случае действие выбирают положительным:
\[ \boxed{J=|p_\varphi|=|L_z|}. \]
- Для ветви \(p_\varphi>0\) сопряжённым углом служит сама координата \(\theta=\varphi\). Действительно,
\[ \{\theta,J\}=\{\varphi,p_\varphi\}=1, \qquad H(J)=\frac{J^2}{2I}. \]
- Уравнения Гамильтона дают равномерное вращение:
\[ \boxed{ \dot\theta=\frac{\partial H}{\partial J}=\frac{J}{I}=\omega, \qquad \dot J=-\frac{\partial H}{\partial\theta}=0 }. \]
- \(J\) указывает, какое вращение выбрано: его момент и энергию;
- \(\theta\) указывает, где шарик находится внутри оборота.
У ротатора действие совпало с модулем момента импульса. Это частный результат; общим остаётся определение \(J=(2\pi)^{-1}\oint p\,dq\).
У маятника пространственное движение идёт вперёд и назад, но в фазовой плоскости \((\varphi,p_\varphi)\) колебанию соответствует замкнутая кривая.
Для каждого колебательного режима получаем свою орбиту:
\[ H(\varphi,p_\varphi)=E, \qquad J(E)=\frac{1}{2\pi}\oint p_\varphi\,d\varphi. \]
Орбита маятника уже не эллипс, однако её фазовая площадь по-прежнему даёт метку периодического движения. Определение \(J\) работает для любой замкнутой фазовой траектории.
Итоги
Спектрометр измеряет продольную энергию
\[ \boxed{E_\parallel>e|U|}. \]
Магнитная система должна собрать большой телесный угол, провести электроны к фильтру и перед ним перевести \(E_\perp\) в \(E_\parallel\) при \(E=\mathrm{const}\).
Однородное магнитное поле
\[ \begin{gathered} E=\mathrm{const}, \qquad p_\parallel=\mathrm{const}, \qquad p_\perp=\mathrm{const},\\[0.4em] \rho_L=\frac{p_\perp}{|q|B}, \qquad \omega_c=\frac{|q|B}{m}. \end{gathered} \]
\[ \tan\alpha=\frac{p_\perp}{p_\parallel}=\mathrm{const} \]
Траектория винтовая, направляющий центр неподвижен. Поле ведёт электрон, но не коллимирует пучок.
Одна периодическая степень свободы
\[ J=\frac{1}{2\pi}\oint p\,dq \qquad \frac{dJ}{dE}=\frac{1}{\omega} \]
\(2\pi J\) — площадь внутри замкнутой фазовой орбиты.
Циклотронное движение
\[ J=\frac{E_\perp}{\omega_c} =\frac{p_\perp^2}{2|q|B} =\frac{m}{|q|}\mu \]
\[ (Q,P)\longleftrightarrow(\theta,J), \qquad \{\theta,J\}=1 \]
\[ H_\perp=\omega_cJ, \qquad \dot J=0, \qquad \dot\theta=\omega_c \]
\(J\) задаёт циклотронную орбиту; \(\theta\) — положение частицы на ней.
\(J\) станет центральной величиной в методе адиабатической коллимации.
