Задачи: кинематика β-спектра

Лекция 04 · Введение в физику нейтрино

Автор

Дмитрий В. Наумов

← Вернуться к лекции · Все задачи курса

Задачи

Задача 04.1. Спектр \(\beta\)-распада

Рассмотрите разрешённый \(\beta\)-распад с одним массовым состоянием нейтрино. Пренебрегите отдачей ядра и радиационными поправками. Считайте \(F(Z,E)=1\).

Пусть \(E\) — кинетическая энергия электрона. Используйте

\[ \frac{d\Gamma}{dE} = C\,p_e(E+m_e)(E_0-E) \sqrt{(E_0-E)^2-m_\nu^2}\, \Theta(E_0-E-m_\nu), \]

где

\[ p_e=\sqrt{E^2+2m_eE}, \qquad m_e=511~\mathrm{кэВ}, \qquad E_0=18.575~\mathrm{кэВ}. \]

  1. Напишите функцию, вычисляющую ненормированный спектр \(d\Gamma/dE\).

  2. Для \(m_\nu=0\) и \(m_\nu=1~\mathrm{эВ}\) постройте две панели: весь разрешённый диапазон и последние \(5~\mathrm{эВ}\). Используйте одну и ту же нормировку для обеих масс.

  3. Определите максимальную кинетическую энергию электрона как функцию \(m_\nu\) и отметьте оба конца спектра на увеличенном графике.

  4. Для \(m_\nu=0\) вычислите долю всех распадов, попадающих в последние \(1~\mathrm{эВ}\) и \(5~\mathrm{эВ}\). Сравните численный результат с оценкой

    \[ \frac{N(E>E_0-\Delta E)}{N_{\mathrm{all}}} \sim\left(\frac{\Delta E}{E_0}\right)^3, \]

    полученной из приближения \(d\Gamma/dE\propto(E_0-E)^2\).

  5. Сверните спектр с гауссовой функцией разрешения с \(\sigma_E=0.5~\mathrm{эВ}\). Покажите, что реконструированная энергия может оказаться выше физического конца \(E_0\), хотя истинный спектр там равен нулю.

Задача 04.2. Эффективная масса и график Кури

Электронное антинейтрино рождается как смесь массовых состояний. Вблизи конца спектра положите \(E_\nu=E_0-E\) и используйте

\[ \frac{d\Gamma}{dE} =C(E)\sum_i|U_{ei}|^2E_\nu \sqrt{E_\nu^2-m_i^2}\,\Theta(E_\nu-m_i). \]

  1. При \(E_\nu\gg m_i\) разложите корень до первого порядка по \(m_i^2/E_\nu^2\).

  2. Используя \(\sum_i|U_{ei}|^2=1\), покажите, что результат имеет вид спектра с одной эффективной массой

    \[ m_\beta^2=\sum_i|U_{ei}|^2m_i^2. \]

  3. Объясните, почему здесь складываются вероятности \(|U_{ei}|^2\), а не амплитуды \(U_{ei}\).

  4. Для одного массового состояния постройте функцию Кури

    \[ K(E)\equiv \sqrt{\frac{1}{C(E)}\frac{d\Gamma}{dE}} =\sqrt{E_\nu\sqrt{E_\nu^2-m_\nu^2}}. \]

    Сравните \(m_\nu=0\) и \(m_\nu=1~\mathrm{эВ}\) в последних \(5~\mathrm{эВ}\).

  5. Почему отдельные изломы при \(E_\nu=m_i\) не разрешаются, если различия масс много меньше энергетического разрешения эксперимента?

Задача 04.3. Кулоновская фокусировка и функция Ферми

В приближении точечного кулоновского поля функцию Ферми можно записать через зоммерфельдовский параметр

\[ F(\eta)=\frac{2\pi\eta}{1-e^{-2\pi\eta}}, \qquad \eta=\pm Z_d\alpha\frac{E_e}{p_e}, \]

где \(E_e=K+m_e\) — полная энергия заряженного лептона, знак «\(+\)» относится к \(\beta^-\)-распаду, а знак «\(-\)» — к \(\beta^+\)-распаду. Используйте \(\alpha=1/137\) и \(m_e=511~\mathrm{кэВ}\).

  1. Покажите, что при \(|\eta|\ll1\)

    \[ F(\eta)=1+\pi\eta+O(\eta^2). \]

    Объясните знак первой поправки для электрона и позитрона.

  2. Получите асимптотики

    \[ F(\eta)\simeq2\pi\eta \quad (\eta\gg1), \qquad F(\eta)\simeq2\pi|\eta|e^{-2\pi|\eta|}\quad(\eta\ll-1). \]

    Свяжите их соответственно с кулоновской фокусировкой и дефокусировкой волны в области ядра.

  3. Для \(Z_d=29\) вычислите \(F(+Z_d,E_e)\) и \(F(-Z_d,E_e)\) при \(K=10~\mathrm{кэВ}\), \(100~\mathrm{кэВ}\) и \(1~\mathrm{МэВ}\). В каком диапазоне энергий плоская волна является особенно плохим приближением?

  4. Докажите тождество

    \[ \frac{F(+|\eta|)}{F(-|\eta|)}=e^{2\pi|\eta|} \]

    и объясните, почему оно не означает различия слабых матричных элементов для \(\beta^-\) и \(\beta^+\).

  5. В нерелятивистском пределе \(K\to0\) покажите, что для \(\beta^-\) произведение \(F\,p_eE_e\) стремится к конечному пределу, хотя сама \(F\) расходится как \(1/p_e\). Что происходит с тем же произведением для \(\beta^+\)?

  6. Почему в точной записи появляется зависимость \(F(Z_d,E_e;A)\), хотя в использованной формуле нет \(A\)? Назовите физический масштаб, через который входит массовое число.

Задача 04.4. Как функция Ферми меняет \(\beta^-\)- и \(\beta^+\)-спектры

Рассмотрите учебный разрешённый переход с

\[ Z_d=29,\qquad A=64,\qquad E_0=2.0~\mathrm{МэВ},\qquad m_\nu=0. \]

Используйте точечно-кулоновское приближение из задачи 04.3 и спектры

\[ S_\mp(K)\equiv\frac{d\Gamma_\mp}{dK} \propto F(\pm Z_d,E_e)\,p_eE_e(E_0-K)^2, \]

а также плосковолновой результат \(S_{\mathrm{pw}}\), получаемый при \(F=1\).

  1. Постройте \(F(+Z_d,E_e)\) и \(F(-Z_d,E_e)\) как функции \(K\) от \(0.1~\mathrm{кэВ}\) до \(E_0\).

  2. Постройте \(S_{\mathrm{pw}}\), \(S_-\) и \(S_+\), нормировав каждую кривую на единичную площадь. Объясните, почему кулоновское поле усиливает низкоэнергетическую часть \(\beta^-\)-спектра и подавляет её для \(\beta^+\).

  3. Отдельно постройте отношения \(S_-/S_{\mathrm{pw}}\) и \(S_+/S_{\mathrm{pw}}\) без перенормировки. Почему это в точности функция Ферми?

  4. Для каждого спектра постройте правильно исправленную функцию Кури

    \[ K_\mp(K)= \left[ \frac{S_\mp(K)}{F(\pm Z_d,E_e)p_eE_e} \right]^{1/2}. \]

    Убедитесь, что обе кривые пропорциональны \(E_0-K\). Затем повторите построение, ошибочно положив \(F=1\) в знаменателе. Какую кривизну создаёт эта ошибка для \(\beta^-\) и \(\beta^+\)?

  5. Почему функция Ферми меняет распределение вероятностей по энергиям, но не сдвигает кинематическую границу \(K_{\max}=E_0-m_\nu\)? Сформулируйте ответ через кулоновскую волновую функцию с уже заданной асимптотической энергией.

Задача 04.5. Плёнка, потери энергии и ложная масса нейтрино

Электрон рождается на глубине \(z\) в плёнке и выходит под углом \(\theta\) к нормали. В простой модели

\[ \ell=\frac{z}{\cos\theta}, \qquad \Delta E=a\ell, \qquad E_{\mathrm{det}}=E-\Delta E, \]

где \(a\) — постоянная тормозная способность. Считайте, что \(z\) равномерно распределена на \([0,d]\), а направления изотропны в принятом телесном угле \(0\leq\theta\leq\theta_{\max}\). Поэтому \(u=\cos\theta\) равномерно распределена на \([c,1]\), где \(c=\cos\theta_{\max}\).

  1. Найдите \(\langle\ell\rangle\) и \(\operatorname{Var}(\ell)\). Покажите, что

    \[ \langle\ell\rangle =\frac d2\frac{\ln(1/c)}{1-c}, \]

    \[ \operatorname{Var}(\ell) =d^2\left[ \frac{1}{3c} -\frac14\left(\frac{\ln(1/c)}{1-c}\right)^2 \right]. \]

    Найдите отсюда среднее и дисперсию потерь энергии.

  2. Пусть истинный спектр вблизи конца при \(m_\nu=0\) имеет вид \(S_0(E)\propto(E_0-E)^2\). Покажите, что измеряемый спектр равен

    \[ S_{\mathrm{obs}}(E_{\mathrm{det}}) =\int_0^\infty L(\Delta E)S_0(E_{\mathrm{det}}+\Delta E)\,d\Delta E, \]

    причём подынтегральное выражение автоматически обращается в нуль при \(E_{\mathrm{det}}+\Delta E>E_0\). Обозначьте \(\varepsilon=E_0-E_{\mathrm{det}}\). В области, где \(\varepsilon\) больше характерных потерь, покажите, что

    \[ S_{\mathrm{obs}}(\varepsilon) \propto (\varepsilon-\overline{\Delta E})^2 +\sigma_{\Delta E}^2. \]

    Какой параметр endpoint-фита поглощает среднюю потерю \(\overline{\Delta E}\) и почему одной поправки к \(E_0\) недостаточно?

  3. Для \(\varepsilon\gg m_\nu\) массивный спектр имеет разложение

    \[ \varepsilon\sqrt{\varepsilon^2-m_\nu^2} \simeq \varepsilon^2-\frac{m_\nu^2}{2}. \]

    Пусть истинная дисперсия потерь равна \(\sigma_{\mathrm{true}}^2\), а в анализе использовано значение \(\sigma_{\mathrm{mod}}^2\). После подгонки endpoint покажите, что

    \[ m_{\nu,\mathrm{fit}}^2 \simeq 2\left( \sigma_{\mathrm{mod}}^2- \sigma_{\mathrm{true}}^2 \right). \]

    В каком случае возникает ложное положительное \(m_\nu^2\), а в каком — отрицательное лучшее значение \(m_\nu^2\)?

  4. Пусть \(ad=40~\mathrm{эВ}\). Истинный акцептанс соответствует \(\theta_{\max}=60^\circ\), но модель использует \(75^\circ\); средняя потеря свободно поглощается подгонкой \(E_0\). Оцените ложные \(m_{\nu,\mathrm{fit}}^2\) и \(m_{\nu,\mathrm{fit}}\). Сопоставьте масштаб с историческим заявлением ИТЭФ о массе около \(30~\mathrm{эВ}\).

  5. Дополнительно. Проведите численное моделирование без разложения по моментам: сгенерируйте \(z\) и \(\cos\theta\), сверните безмассовый спектр с полученным распределением потерь и выполните фит моделью с неверным \(\theta_{\max}\). Исследуйте, как результат зависит от ширины фитируемого окна у конца спектра.

Задачи для разбора на семинаре

Семинар 04.1. Почему \(\beta\)-спектр непрерывен?

Пусть начальное ядро покоится, а энергия распада \(Q\) фиксирована.

  1. Какой была бы энергия электрона в гипотетическом двухчастичном распаде \(A\to B+e^-\)?
  2. Почему в трёхчастичном распаде \(A\to B+e^-+\bar\nu_e\) электрон может иметь непрерывный набор энергий?
  3. Где находится конец спектра, если пренебречь отдачей ядра, но оставить массу нейтрино?
  4. Что качественно изменит учёт отдачи ядра?

Семинар 04.2. Цена приближения к концу спектра

Обозначим \(\varepsilon=E_0-E\). Для безмассового нейтрино вблизи конца разрешённого спектра

\[ \frac{d\Gamma}{dE}\propto\varepsilon^2. \]

  1. Покажите, что число событий в последнем интервале ширины \(\Delta\) растёт как \(\Delta^3\).
  2. Во сколько раз увеличится статистика при расширении окна от \(1\) до \(5~\mathrm{эВ}\)?
  3. Используя \(\varepsilon\sqrt{\varepsilon^2-m_\nu^2} \simeq\varepsilon^2-m_\nu^2/2\), оцените, как относительный эффект массы зависит от \(\varepsilon\).
  4. Сформулируйте компромисс между статистикой и чувствительностью к массе.

Семинар 04.3. Что видно на графике Кюри?

Для разрешённого перехода определена функция

\[ K(E)= \left[ \frac{d\Gamma/dE}{F(Z,E)p_eE_e} \right]^{1/2}. \]

  1. Покажите, что при \(m_\nu=0\) график \(K(E)\) является прямой \(K(E)=E_0-E\).
  2. Как ненулевая масса меняет положение конца и форму последних точек?
  3. Чем этот эффект отличается от общего сдвига шкалы энергии?
  4. Как энергетические потери электрона в источнике могут имитировать изменение формы у конца спектра?

Семинар 04.4. Функция Ферми и причинность

Электрон в кулоновском поле дочернего ядра описывается не плоской волной, а состоянием рассеяния с заданной асимптотической энергией \(E_e\). Функция Ферми \(F(Z,E_e)\) сравнивает плотность этой волновой функции в области ядра с плотностью плоской волны.

  1. Почему для \(\beta^-\)-распада кулоновское притяжение усиливает спектр при малых энергиях, а для \(\beta^+\)-распада отталкивание его подавляет?
  2. Почему неверно описывать эффект как испускание электрона с одной энергией и последующее превращение её в другую?
  3. Объясните, почему энергия нейтрино и асимптотическая энергия электрона фиксируются одним законом сохранения энергии и противоречия с причинностью не возникает.