Задачи: спин, спиральность и поляризация нейтрино

Введение в физику нейтрино

Автор

Дмитрий В. Наумов

← Вернуться к лекции · Все задачи курса

Задачи

Задача 03.1. Отдача ядра в опыте Голдхабера

В опыте Голдхабера электронный захват приводит к реакции

\[ {}^{152m}\mathrm{Eu}+e^- \longrightarrow {}^{152}\mathrm{Sm}^*+\nu_e. \]

Примите

\[ E_\nu\simeq1~\mathrm{МэВ}, \qquad M_{B^*}\simeq152~u, \qquad uc^2=931.5~\mathrm{МэВ}. \]

  1. Пренебрегая импульсом захваченного электрона, покажите, что \(p_{B^*}\simeq p_\nu\simeq E_\nu/c\).

  2. Вычислите энергию отдачи

    \[ T_{B^*}\simeq\frac{E_\nu^2}{2M_{B^*}c^2} \]

    и скорость ядра \(v_{B^*}=p_{B^*}/M_{B^*}\).

  3. Если ядро теряет направление отдачи на длине \(\ell=1\)–\(5~\text{Å}\), оцените \(\tau_{\mathrm{stop}}\sim\ell/v_{B^*}\).

  4. Сравните результат со временем жизни возбуждённого состояния \(\tau(B^*)\simeq0.07~\mathrm{пс}\).

  5. Почему для измерения спиральности важно, чтобы \(\gamma\)-квант был испущен до потери памяти о направлении отдачи?

Задача 03.2. Спиральность и киральность массивного нейтрино

Нейтрино, рождённое левокиральным слабым током, при \(m_\nu\ne0\) содержит малую компоненту противоположной спиральности:

\[ P_{\mathrm{opp}}=\frac{1-\beta_\nu}{2}, \qquad \beta_\nu=\frac{p_\nu}{E_\nu}. \]

  1. Используя \(E_\nu^2=p_\nu^2+m_\nu^2\), покажите, что при \(E_\nu\gg m_\nu\)

    \[ P_{\mathrm{opp}}\simeq \left(\frac{m_\nu}{2E_\nu}\right)^2. \]

  2. Для \(E_\nu=1~\mathrm{МэВ}\) и \(m_\nu<0.45~\mathrm{эВ}\) получите верхнюю оценку \(P_{\mathrm{opp}}\).

  3. Почему спиральность и киральность практически совпадают для ультрарелятивистского нейтрино, хотя это разные понятия?

  4. Какая из этих характеристик может изменить знак при переходе в другую инерциальную систему?

  5. Как массовый член уравнения Дирака связывает левую и правую киральные компоненты?

Задача 03.3. Проекции спина при электронном захвате

Рассмотрите разрешённый электронный захват

\[ A(J=0)+e^- \longrightarrow B^*(J=1)+\nu_e. \]

Ось \(z\) направьте вдоль импульса нейтрино; орбитальным моментом конечного состояния пренебрегите.

  1. Запишите закон сохранения проекции полного момента:

    \[ m_e=m_{B^*}+m_\nu. \]

  2. Перечислите допустимые значения \(m_e=\pm\tfrac12\), \(m_\nu=\pm\tfrac12\) и \(m_{B^*}=-1,0,+1\).

  3. Составьте таблицу разрешённых троек \((m_e,m_{B^*},m_\nu)\).

  4. При каких значениях \(m_{B^*}\) проекция спина ядра однозначно фиксирует спиральность нейтрино?

  5. Почему связь теряет однозначный смысл, если ось квантования выбрана не вдоль импульса нейтрино?

Задача 03.4. Доплеровский отбор \(\gamma\)-квантов

Возбуждённое ядро \(B^*\) движется со скоростью \(v\ll c\) и испускает в своей системе покоя фотон энергии \(E_\gamma\). Угол \(\theta\) отсчитывается между направлением фотона и скоростью ядра.

  1. Из преобразования

    \[ E_\gamma^{\mathrm{lab}} =\gamma E_\gamma(1+\beta\cos\theta) \]

    получите в первом порядке по \(v/c\)

    \[ E_\gamma^{\mathrm{lab}} \simeq E_\gamma \left(1+\frac vc\cos\theta\right). \]

  2. Найдите \(E_{\max}\), \(E_{\min}\) и ширину \(E_{\max}-E_{\min}\).

  3. Используя скорость из задачи 03.1, оцените относительный доплеровский сдвиг.

  4. Почему резонансное поглощение выбирает узкий диапазон углов?

  5. Объясните, как энергетический отбор превращается в отбор направления \(\gamma\)-кванта относительно отдачи ядра.

Задача 03.5. Можно ли обогнать нейтрино?

Массивное нейтрино движется вдоль оси \(z\) с энергией \(E_\nu\) и импульсом \(p_\nu\). Наблюдатель движется в том же направлении со скоростью \(u\). При продольном бусте

\[ p_\nu'=\gamma_u \left(p_\nu-\frac{uE_\nu}{c^2}\right). \]

  1. Получите условие, при котором \(p_\nu'\) меняет знак.

  2. Покажите, что для \(E_\nu\gg m_\nu c^2\)

    \[ 1-\beta_\nu\simeq \frac{m_\nu^2c^4}{2E_\nu^2}. \]

  3. Для \(E_\nu=1~\mathrm{МэВ}\) и \(m_\nu=0.10~\mathrm{эВ}/c^2\) оцените, насколько скорость наблюдателя должна отличаться от \(c\).

  4. Оцените минимальный лоренц-фактор такого наблюдателя и сравните его с \(\gamma_\nu=E_\nu/(m_\nu c^2)\).

  5. Почему после обгона спиральность меняет знак? Почему тот же мысленный эксперимент невозможен для строго безмассовой частицы?

Задачи для разбора на семинаре

Семинар 03.1. Как преобразуется спиральность?

Спиральность частицы определяется как

\[ h=\frac{\mathbf S\cdot\mathbf p}{|\mathbf p|}. \]

Проследите преобразование \(\mathbf S\), \(\mathbf p\) и \(h\) при

  1. обычном пространственном вращении;
  2. пространственной инверсии \(P\);
  3. обращении времени \(T\).

Почему предпочтение одного знака спиральности является признаком нарушения пространственной чётности?

Семинар 03.2. Логика опыта Гольдхабера

После электронного захвата возбуждённое ядро отдачи и нейтрино летят в противоположных направлениях. Затем ядро испускает \(\gamma\)-квант, круговая поляризация которого хранит информацию о проекции спина ядра отдачи.

  1. Нарисуйте направления импульсов нейтрино, ядра отдачи и отобранного \(\gamma\)-кванта.
  2. Объясните цепочку «спиральность нейтрино \(\to\) поляризация ядра отдачи \(\to\) круговая поляризация фотона» с помощью сохранения момента импульса.
  3. Почему опыт должен отбирать фотоны, летящие вдоль определённого направления отдачи? Что потеряется при регистрации фотонов со всех сторон?

Семинар 03.3. Резонанс как угловой фильтр

В первом порядке по скорости ядра энергия фотона в лаборатории равна

\[ E_{\mathrm{lab}}\simeq E_\gamma(1+\beta_R\cos\theta). \]

Поглотитель имеет резонансную энергию \(E_{\mathrm{res}}\) и ширину \(\Gamma\).

  1. Найдите направление \(\cos\theta_{\mathrm{res}}\), которое попадает в резонанс.
  2. Покажите, что ширина выбранного углового интервала по \(\cos\theta\) имеет порядок \(\Gamma/(\beta_RE_\gamma)\).
  3. Почему энергетический резонанс одновременно становится фильтром направления испускания?

Семинар 03.4. Обгон массивной частицы

Пусть частица имеет энергию \(E=5mc^2\) и движется вдоль оси \(z\).

  1. Найдите её скорость \(\beta\).
  2. Какой минимальный лоренц-фактор нужен наблюдателю, чтобы двигаться быстрее частицы в том же направлении?
  3. Что произойдёт с направлением импульса и спиральностью частицы в системе такого наблюдателя?
  4. На каком шаге рассуждение перестаёт работать при \(m=0\)?