Спин нейтрино. Спиральность и поляризация

Введение в физику нейтрино

Дмитрий В. Наумов

ОИЯИ

1. Что такое спиральность

Проекция спина на направление движения

Для частицы со спином \(1/2\) оператор спиральности

\[ \hat{\mathbf S}=\frac{\boldsymbol\sigma}{2}, \qquad \hat h = 2\hat{\mathbf S}\cdot\hat{\mathbf p} = \boldsymbol\sigma\cdot\hat{\mathbf p}, \qquad \hat{\mathbf p}=\frac{\mathbf p}{|\mathbf p|}. \]

ν

спин

импульс

Правоспиральное состояние

\[h=+1\]

ν

спин

импульс

Левоспиральное состояние

\[h=-1\]

Спиральность отвечает на вопрос:

направлены ли спин и импульс одинаково или противоположно?

\[ \begin{aligned} \mathbf S\uparrow\uparrow\mathbf p &\quad\Longrightarrow\quad h=+1,\\[0.5em] \mathbf S\uparrow\downarrow\mathbf p &\quad\Longrightarrow\quad h=-1. \end{aligned} \]

Можно ли изменить спиральность?

Лабораторная система Наблюдатель обогнал частицу

наблюдатель

ν

\(\mathbf S\)

\(\mathbf p\)

\(\mathbf p'\)

\(h=+1\) \(h'=-1\)

безмассовая частица

наблюдатель \(v_{\rm obs}<1\)

ν

\(v_\nu=1\)

импульс не меняет знак: \(h\) сохраняется

Безмассовую частицу не обогнать

• Массивная частица
• Безмассовая частица
• Вывод

Для массивной частицы существует система покоя. Наблюдатель может сначала догнать частицу, а затем двигаться быстрее неё.

В новой системе отсчёта знак импульса меняется, а направление спина остаётся тем же:

\[ \mathbf p\to-\mathbf p, \qquad \mathbf S\to\mathbf S. \]

Следовательно,

\[ h=\boldsymbol\sigma\cdot\hat{\mathbf p} \quad\longrightarrow\quad -h. \]

Безмассовая частица во всех инерциальных системах движется со скоростью \(v=1\). Инерциальный наблюдатель не может её обогнать и увидеть импульс, направленный назад.

Поэтому допустимое преобразование Лоренца не может выполнить

\[ \mathbf p\to-\mathbf p \]

без изменения самого физического состояния.

Для \(m>0\) знак спиральности зависит от системы отсчёта.

Для \(m=0\) направление импульса нельзя обратить переходом в другую инерциальную систему, поэтому

\[ \boxed{\text{спиральность безмассовой частицы лоренц-инвариантна}.} \]

Нейтрино почти безмассовы

• Релятивистский предел
• Подавление
• Численная оценка

Нейтрино имеют массу, но в большинстве экспериментов их энергия гораздо больше энергии покоя:

\[ E_\nu\gg m_\nu, \qquad \beta_\nu\equiv v_\nu\simeq1. \]

Различие между спиральностью и киральностью определяется малым отношением

\[ \frac{m_\nu}{E_\nu}\ll1. \]

Левая слабая вершина почти всегда рождает нейтрино с \(h=-1\). Вероятность противоположной спиральности равна

\[ P_{\rm wrong} =\frac{1-\beta_\nu}{2} \simeq \left(\frac{m_\nu}{2E_\nu}\right)^2. \]

Амплитуда подавлена как \(m_\nu/E_\nu\), а вероятность — как квадрат этого отношения.

Возьмём

\[ m_\nu=0.1~\mathrm{эВ}, \qquad E_\nu=1~\mathrm{МэВ}=10^6~\mathrm{эВ}. \]

Тогда

\[ \frac{m_\nu}{2E_\nu} =\frac{0.1}{2\cdot10^6} =5\cdot10^{-8}, \]

\[ \boxed{ P_{\rm wrong}\simeq (5\cdot10^{-8})^2 =2.5\cdot10^{-15}}. \]

Практически наблюдаемая спиральность совпадает с киральностью, которую выбирает слабое взаимодействие.

Спиральность и киральность — не одно и то же

• Два понятия
• Спинор
• Матрицы
• Проекторы
• Вычисление
• Вероятности

Спиральность

Проекция спина на импульс:

\[ h=\boldsymbol\sigma\cdot\hat{\mathbf p}. \]

Для массивной частицы зависит от системы отсчёта.

Киральность

Проекция поля на собственные состояния \(\gamma^5\):

\[ P_{L,R}=\frac{1\mp\gamma^5}{2}. \]

Определяет, как поле входит в слабое взаимодействие.

При \(m=0\) киральность и спиральность совпадают. При \(m>0\) это разные характеристики — ниже видно, насколько велико их различие.

Работаем в дираковском базисе.

Двухкомпонентный спинор \(\xi_h\) — собственный вектор спиральности:

\[ (\boldsymbol\sigma\!\cdot\!\hat{\mathbf p})\xi_h=h\xi_h, \qquad h=\pm1. \]

Положительно-частотное решение уравнения Дирака:

\[ u_h(\mathbf p)= \begin{pmatrix} a\,\xi_h\\[3pt] h b\,\xi_h \end{pmatrix}, \]

\[ a=\sqrt{E+m},\qquad b=\sqrt{E-m},\qquad ab=p. \]

Знак \(h\) стоит только у нижней компоненты: именно поэтому левый и правый проекторы будут по-разному действовать на два состояния спиральности.

В дираковском базисе киральность не совпадает с «верхней» или «нижней» половиной четырёхкомпонентного спинора.

\[ \gamma_D^0= \begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}, \qquad \gamma_D^5= \begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}, \]

\[ I\equiv I_{2\times2}. \]

\[ P_{L,R}=\frac{1\mp\gamma_D^5}{2} =\frac12 \begin{pmatrix} I&\mp I\\ \mp I&I \end{pmatrix}. \]

\[ P_L+P_R=1, \qquad P_LP_R=0. \]

\(P_L\) и \(P_R\) выделяют собственные состояния \(\gamma^5\) с собственными значениями \(-1\) и \(+1\).

Теперь подействуем проекторами на состояние с заданной спиральностью \(h\).

\[ P_Lu_h=\frac{a-hb}{2} \begin{pmatrix}\xi_h\\-\xi_h\end{pmatrix}, \]

\[ P_Ru_h=\frac{a+hb}{2} \begin{pmatrix}\xi_h\\ \xi_h\end{pmatrix}. \]

Поскольку

\[ u_h^\dagger u_h=a^2+b^2=2E, \]

доля \(X\)-киральной компоненты равна

\[ f_X(h)\equiv \frac{\|P_Xu_h\|^2}{\|u_h\|^2}, \qquad X=L,R. \]

Осталось вычислить нормы двух проекций и разделить их на норму исходного спинора.

Полагаем \(\xi_h^\dagger\xi_h=1\) и используем \(u_h^\dagger u_h=a^2+b^2=2E\).

1. Нормы проекций

\[ \begin{aligned} \|P_Lu_h\|^2 &=\frac{(a-hb)^2}{4} \left(\|\xi_h\|^2+\|-\xi_h\|^2\right)\\ &=\frac{(a-hb)^2}{2},\\[5pt] \|P_Ru_h\|^2 &=\frac{(a+hb)^2}{2}. \end{aligned} \]

2. Раскрываем квадрат

\[ \begin{aligned} (a\mp hb)^2 &=a^2+b^2\mp2hab\\ &=2E\mp2hp\\ &=2E(1\mp h\beta), \end{aligned} \]

\[ ab=p, \qquad \beta=\frac{p}{E}. \]

3. Делим на норму исходного спинора

\[ \boxed{ f_{L,R}(h)=\frac{(a\mp hb)^2}{4E} =\frac{1\mp h\beta}{2}}, \qquad \beta=\frac{p}{E}. \]

Верхний знак относится к \(L\), нижний — к \(R\).

Что означает \(f_X(h)\)?

\(f_X(h)\) — доля нормы спинора с фиксированной спиральностью \(h\), которую выделяет киральный проектор \(P_X\).

В слабой вершине типа \(X\) амплитуда содержит \(P_Xu_h\), поэтому скорость рождения или регистрации состояния \(h\) пропорциональна \(f_X(h)\).

Почему это вероятность?

Для фиксированной киральности

\[ f_X(-1)+f_X(+1)=1. \]

Следовательно, после нормировки по двум возможным спиральностям

\[ \boxed{P(h\mid X)=f_X(h)}. \]

Нейтрино из левой слабой вершины:

\[ P(h=-1\mid L)=\frac{1+\beta}{2}, \qquad P(h=+1\mid L)=\frac{1-\beta}{2} \simeq\frac{m^2}{4E^2}. \]

При \(E\gg m\) почти все нейтрино имеют \(h=-1\), а примесь «неправильной» спиральности подавлена как \(m^2/E^2\).

Как определить направление спина нейтрино?

Это не просто:

• электрический заряд равен нулю;
• магнитный момент чрезвычайно мал;
• вероятность взаимодействия мала;

Нужен процесс, в котором спиральность нейтрино оставляет измеримый след в других процессах.

2. Эксперимент-шедевр Голдхабера — Суньяра — Гродзинса

Голдхабер — Суньяр — Гродзинс

В 1958 году Морис Голдхабер, Эндрю Суньяр и Ли Гродзинс предложили измерить спиральность нейтрино через последовательность двух квантовых переходов.

Морис Голдхабер

Эндрю Суньяр

Ли Гродзинс

Фото: архив лекции · Brookhaven Bulletin · MIT News / New York Daily News

Идея: заставить ядро и фотон по очереди «запоминать» проекцию спина нейтрино.

Первый переход: электронный захват

• Реакция
• Спины
• Сохранение момента

Рассмотрим электронный захват

\[ A(0)+e^-\longrightarrow B^*(1)+\nu_e. \]

Начальное ядро имеет спин \(0\), а дочернее ядро рождается в возбуждённом состоянии со спином \(1\).

В конечном состоянии проекция момента распределена между ядром \(B^*\) и нейтрино.

Начальное ядро

\[J_A=0\]

Электрон на (K)-оболочке

\[J_e=\frac12\]

Возбуждённое ядро

\[J_{B^*}=1\]

Нейтрино

\[S_\nu=\frac12\]

Поскольку исходное ядро не несёт момента,

\[ \mathbf J_{e} = \mathbf J_{B^*}+\mathbf S_\nu. \]

После выбора оси вдоль импульса нейтрино это векторное равенство превращается в связь проекций:

\[ m_e=m_{B^*}+m_\nu. \]

Измерив проекцию спина \(B^*\), можно восстановить проекцию спина нейтрино.

Кто запоминает спин нейтрино

1 Захват электрона

2 Ядро в возбуждённом состоянии

До слабого перехода

\(A\) \(J=0\)

\(e^-\) электрон оболочки

\(\mathbf s_e,\ m_e=+\tfrac12\)

\(A(0)+e^-\)

Сразу после слабого перехода

\(B^*\) возбуждённое ядро
\(J=1\)

\(\mathbf S_{B^*},\ m_{B^*}=+1\)

\(\mathbf p_{B^*}\)

\(A(0)+e^-\longrightarrow B^*(1)+\nu_e\)

\(\nu_e\)

\(\mathbf s_\nu,\ m_\nu=-\tfrac12\)

\(\mathbf p_\nu\)

Сохранение проекции: \(+\tfrac12=+1-\tfrac12\).

Сложение проекций спина

Направим ось \(z\) вдоль импульса нейтрино и используем \(m_e=m_{B^*}+m_\nu\):

\(m_e\)	\(m_{B^*}\)	\(m_\nu\)	\(h_\nu\)
\(+\tfrac12\)	\(0\)	\(+\tfrac12\)	\(+1\)
\(+\tfrac12\)	\(+1\)	\(-\tfrac12\)	\(-1\)
\(-\tfrac12\)	\(0\)	\(-\tfrac12\)	\(-1\)
\(-\tfrac12\)	\(-1\)	\(+\tfrac12\)	\(+1\)

В зелёных строках измерение \(m_{B^*}\) однозначно фиксирует \(h_\nu\); при \(m_{B^*}=0\) остаются две возможности.

Нужно измерить проекцию спина ядра, чтобы восстановить проекцию спина нейтрино.

Второй переход: фотон сохраняет спиновую метку

• \(\gamma\)-переход
• Цепочка меток

\(B^*\) \(J=1\) \(S_z(B^*)=+1\)

\(\longrightarrow\)

\(B\) \(J=0\)

+

\(\gamma\) \(S_z(\gamma)=+1\)

Поскольку конечное ядро имеет спин \(0\), фотон уносит проекцию спина возбуждённого ядра:

\[ m_\gamma=m_{B^*}=\pm1. \]

Логика измерения: проекция спина нейтрино задаёт проекцию \(B^*\), а фотон сохраняет эту метку.

толстая стрелка — спин\(+z\)

\(\mathbf p_\nu\) \(\nu\)

\(A\) \(A+e^-\)

\(B^*\) \(\mathbf p_{B^*}\)

\(\gamma\) \(\mathbf p_\gamma\)

\(B\) \(\mathbf p_B\)

Нейтрино не регистрируем: по спину фотона узнаём проекцию \(B^*\), а по ней — проекцию спина нейтрино.

Как измерить круговую поляризацию фотона

\(\gamma\)\(m_\gamma=-1\) + \(e^-\)\(m_s=+\tfrac12\) \(\longrightarrow\) \(e^-\)\(m_s=-\tfrac12\)

Антипараллельные спины \(-1+\tfrac12=-\tfrac12\) взаимодействие сильнее

\(\gamma\)\(m_\gamma=+1\) + \(e^-\)\(m_s=+\tfrac12\) \(\longrightarrow\) \(e^-\)\(m_s=+\tfrac32\)

Параллельные спины \(1+\tfrac12=\tfrac32\) у электрона нет \(m_s=\tfrac32\)

Точное утверждение

Наивная картинка правильно передаёт знак эффекта, но не даёт строгого запрета:

\[ \frac{d\sigma_{\uparrow\downarrow}}{d\Omega} > \frac{d\sigma_{\uparrow\uparrow}}{d\Omega}. \]

Антипараллельная конфигурация сильнее ослабляет пучок.

\(\gamma\)

\(S_\gamma\)

намагниченное железо

\(\mathbf B\)

детектор

прошедшие фотоны

события

\(N_+\)

\(+B\)

\(N_-\)

\(-B\)

Разворачивая магнитное поле, меняем направление спинов электронов. Разность пропусканий \(N_+-N_-\) измеряет круговую поляризацию фотона.

Проблема: поляризация фотона ещё не спиральность

Проекция спина на фиксированную ось \(z\) — ещё не спиральность: нужно знать, в какую сторону летела частица. Сравним два направления вылета фотона.

толстая стрелка — спин\(+z\)

1

\(\mathbf p_\nu\) \(\nu\)

\(A\) \(A+e^-\)

\(B^*\) \(\mathbf p_{B^*}\)

\(\gamma\) \(\mathbf p_\gamma\)

\(B\) \(\mathbf p_B\)

\(h_\nu=-1\)
\(h_\gamma=-1\)

2

\(B^*\) \(\mathbf p_{B^*}\)

\(\gamma\) \(\mathbf p_\gamma\)

\(B\) \(\mathbf p_B\)

\(A\) \(A+e^-\)

\(\nu\) \(\mathbf p_\nu\)

\(h_\nu=-1\)
\(h_\gamma=+1\)

Одна и та же спиральность нейтрино допускает обе спиральности фотона. Нужно отобрать фотоны по направлению относительно отдачи \(B^*\).

3. Резонанс как кинематический фильтр

Решение: резонансное поглощение

Резонанс может стать кинематическим фильтром: поглотитель зарегистрирует только фотоны нужной энергии. Сначала проверим, совпадают ли энергии испускания и поглощения для покоящихся ядер.

• Вопросы
• Излучение
• Поглощение
• Несовпадение

1. Ядро \(B^*\) испускает фотон в переходе \(B^*\to B+\gamma\). Разница энергий между уровнями равна \(\Delta E\).
2. Может ли свободное покоящееся ядро поглотить фотон, испущенный таким же ядром? \[ B+\gamma\to B^*. \]
3. Чему равна энергия фотона в этих двух процессах?

При излучении фотона ядро получает импульс отдачи. Поэтому часть энергии перехода \(\Delta E\) превращается в кинетическую энергию ядра:

\[ E_\gamma^{\rm em} \simeq \Delta E-\frac{(\Delta E)^2}{2M}. \]

Энергия испущенного фотона оказывается ниже энергии ядерного перехода.

При поглощении фотон должен не только возбудить ядро, но и сообщить ему импульс отдачи. Поэтому требуется энергия

\[ E_\gamma^{\rm abs} \simeq \Delta E+\frac{(\Delta E)^2}{2M}. \]

Она оказывается выше энергии перехода.

Разность энергий испускания и поглощения равна

\[ E_\gamma^{\rm abs}-E_\gamma^{\rm em} \simeq\frac{(\Delta E)^2}{M}. \]

Следовательно,

\[ E_\gamma^{\rm em}<E_\gamma^{\rm abs}. \]

Свободное покоящееся ядро не может резонансно поглотить фотон, испущенный таким же ядром: мешает энергия отдачи.

Фильтр выбирает геометрию

• Захват электрона
• Излучение фотона
• Доплеровский сдвиг
• Резонансный отбор
• Скорость и угол

Рассмотрим выбранную ветвь захвата покоящегося атома:

\[ A+e^-\longrightarrow B^*+\nu_e. \]

Через \(Q\) обозначим энергию, остающуюся после вычитания энергий покоя и внутренней энергии выбранного уровня \(B^*\). Пренебрегая импульсом связанного электрона и массой нейтрино, получаем

\[ \begin{aligned} \mathbf p_{B^*}&=-\mathbf p_\nu, & p_\nu&\simeq E_\nu,\\ Q&=E_\nu+\frac{p_{B^*}^2}{2M} =E_\nu+\frac{E_\nu^2}{2M}. \end{aligned} \]

Отсюда энергия нейтрино и энергия отдачи ядра равны

\[ \boxed{\begin{aligned} E_\nu&=\frac{2Q}{1+\sqrt{1+2Q/M}} \simeq Q-\frac{Q^2}{2M},\\[2pt] E_R&\equiv Q-E_\nu =\frac{p_\nu^2}{2M} \simeq\frac{Q^2}{2M}. \end{aligned}} \]

Основное и возбуждённое состояния одного ядра \(B\) различаются внутренней энергией \(\Delta E\); \(M\) — масса ядра в члене отдачи. В системе покоя \(B^*\)

\[ B^*\longrightarrow B+\gamma, \qquad E_{\rm int}(B^*)-E_{\rm int}(B)=\Delta E, \]

\[ \begin{aligned} \mathbf 0=\mathbf p_B+\mathbf p_\gamma, \qquad p_B=p_\gamma=E_\gamma,\\ M+\Delta E =\sqrt{M^2+p_B^2}+E_\gamma. \end{aligned} \]

Решая это уравнение относительно \(E_\gamma\), получаем

\[ \boxed{\begin{aligned} E_\gamma^{\rm em} &=\frac{\Delta E\,(2M+\Delta E)}{2(M+\Delta E)},\\[3pt] E_\gamma^{\rm em} &\simeq \Delta E-\frac{(\Delta E)^2}{2M}, \qquad \Delta E\ll M. \end{aligned}} \]

После захвата электрона ядро \(B^*\) движется. Поэтому в системе покоя поглотителя

\[ E_\gamma\simeq E_\gamma^{\rm em} \left(1+\mathbf v_{B^*}\!\cdot\!\hat{\mathbf p}_\gamma\right) =E_\gamma^{\rm em} \left(1+v_{B^*}\cos\theta\right), \]

где \(v_{B^*}=|\mathbf v_{B^*}|\) и \(\theta\) — угол между скоростью источника и импульсом фотона. Поэтому при \(\theta=0\) энергия повышается, а при \(\theta=\pi\) — понижается.

Покоящемуся поглотителю нужна энергия

\[ E_\gamma^{\rm abs} =\Delta E+\frac{(\Delta E)^2}{2M}. \]

Его скорость уже задана энергией нейтрино:

\[ v_{B^*}\simeq\frac{E_\nu}{M}. \]

Подставляем доплеровский сдвиг и требуем совпадения энергий:

\[ \left(\Delta E-\frac{(\Delta E)^2}{2M}\right) \left(1+\frac{E_\nu}{M}\cos\theta_{\rm res}\right) \simeq \Delta E+\frac{(\Delta E)^2}{2M}. \]

В первом порядке по \(1/M\):

\[ \frac{\Delta E\,E_\nu}{M}\cos\theta_{\rm res} \simeq\frac{(\Delta E)^2}{M}, \qquad \boxed{\cos\theta_{\rm res}\simeq\frac{\Delta E}{E_\nu}}. \]

При \(E_\nu\simeq\Delta E\) получаем \(\theta_{\rm res}\simeq0\), то есть

\[ \mathbf p_\gamma\parallel\mathbf p_{B^*} \quad\Longrightarrow\quad \mathbf p_\gamma\uparrow\downarrow\mathbf p_\nu. \]

Для основной ветви опыта \(E_\nu\simeq\Delta E\simeq0.96\ \mathrm{МэВ}\) и \(M\simeq1.42\times10^5\ \mathrm{МэВ}\).

Импульс нейтрино задаёт отдачу

\[ \begin{aligned} v_{B^*}&\simeq\frac{E_\nu}{M} \simeq6.7\times10^{-6},\\ E_R&\equiv\frac{p_\nu^2}{2M} \simeq\frac{E_\nu^2}{2M} \simeq3.2\ \mathrm{эВ}. \end{aligned} \]

В единицах СИ \(v_{B^*}\simeq2.0\ \mathrm{км/с}\).

Резонанс отбирает угол

\[ \boxed{\cos\theta_{\rm res}\simeq \frac{\Delta E}{E_\nu}\simeq1}, \qquad \theta_{\rm res}\simeq0. \]

Фотон летит вдоль отдачи \(B^*\); ширина линии и тепловое движение оставляют узкий конус направлений.

Скорость не настраивается: поглотитель сам отбирает подходящий угол между \(\mathbf p_{B^*}\) и \(\mathbf p_\gamma\).

Доплеровский сдвиг чинит резонанс

Угол между отдачей \(B^*\) и фотоном

\(\theta=90^\circ\) — фотон летит поперёк отдачи

вдоль отдачи против отдачи

\(0^\circ\) \(90^\circ\) \(180^\circ\)

\(B\) \(B^*\) поглотитель покоится

\(B\) \(B^*\) источник

\(\mathbf p_{B^*}\): направление меняется, модуль задан нейтрино

\(\gamma\)

\(\mathbf p_\gamma\) всегда направлен влево, к поглотителю ←

Энергия фотона в системе покоя поглотителя \(E_\gamma

условное окно: \(\lvert E_\gamma-E_\gamma^{\rm abs}\rvert<0{,}10\,\mathrm{эВ}\)

\(E_\gamma\)

ниже \(E_\gamma^{\rm abs}\) выше

При \(\theta=90^\circ\) фотон проходит сквозь поглотитель.

Почему ядро успевает излучить

• Термализация или излучение?
• Сравнение времён
• Ядерная схема
• Источник и поглотитель

При \(T=300\ \mathrm K\) средняя тепловая энергия ядра и направленная энергия отдачи после электронного захвата равны

\[ \langle K\rangle_{\rm th}=\frac32k_BT\simeq0.039\ \mathrm{эВ}, \qquad E_R\simeq3.2\ \mathrm{эВ} \simeq80\langle K\rangle_{\rm th}. \]

Ядро \(B^*\) движется сквозь кристалл. Столкновения с атомами решётки меняют его импульс и могут переориентировать спин. Для опыта важно, что произойдёт раньше:

\[ \tau_\gamma \quad\text{или}\quad \tau_{\rm slow}. \]

\(\tau_\gamma\) — время испускания фотона, \(\tau_{\rm slow}\) — время потери исходного направления. Полная термализация не требуется.

Столкновения стирают исходное направление

A A A A A A A A A A A A A A A

✦ ✦ ✦

B^*

исходный спин направление забыто

Столкновения с решёткой меняют импульс ядра и переориентируют его спин.

\(E_R\gg\langle K\rangle_{\rm th}\): ядро неизбежно будет тормозиться. Успеет ли \(B^*\) испустить фотон раньше?

Оценка времени заметного торможения

После электронного захвата кинематика даёт \(v_{B^*}\simeq2.0\times10^3\ \mathrm{м/с}\). Для оценки считаем, что направление импульса заметно изменяется после пути порядка одного межатомного шага: \(\ell_{\rm slow}\sim0.3\text{—}0.4\ \mathrm{нм}\).

\[ \tau_{\rm slow} \sim\frac{\ell_{\rm slow}}{v_{B^*}} \sim\frac{0.3\text{—}0.4\ \mathrm{нм}} {2.0\times10^3\ \mathrm{м/с}} \simeq0.15\text{—}0.20\ \mathrm{пс}. \]

Это оценка порядка величины: один межатомный шаг принят за путь заметной потери направления, без микроскопической модели торможения.

Распад возбуждённого уровня

Для уровня \({}^{152}\mathrm{Sm}^{*}\)

\[ \tau_\gamma=(3\pm1)\times10^{-14}\ \mathrm{s} \simeq0.03\ \mathrm{пс}. \]

Это примерно в семь раз меньше времени заметного торможения: \(\tau_{\rm slow}/\tau_\gamma\sim7\).

При экспоненциальном распаде вероятность испустить фотон до заметного торможения равна

\[ P_{\rm emit} =1-\exp\!\left(-\frac{\tau_{\rm slow}}{\tau_\gamma}\right) \simeq1-e^{-7}\simeq0.999. \]

Почти все возбуждённые ядра испускают фотон до заметной потери направления отдачи. Резонанс сохраняет информацию о кинематике электронного захвата.

В эксперименте выбрана цепочка из двух переходов:

\[ {}^{152m}\mathrm{Eu}(0^-)+e^- \longrightarrow {}^{152}\mathrm{Sm}^{*}(1^-)+\nu_e, \]

\[ {}^{152}\mathrm{Sm}^{*}(1^-) \longrightarrow {}^{152}\mathrm{Sm}(0^+)+\gamma. \]

Первый переход создаёт движущееся возбуждённое ядро со спином \(1\) и фиксирует направление отдачи. Второй переход происходит за \(\tau_\gamma\simeq0.03\ \mathrm{пс}\): фотон уносит спиновую метку, а его доплеровский сдвиг ещё зависит от направления движения ядра.

Короткое время жизни уровня превращает спектроскопический резонанс в кинематический фильтр направления.

\({}^{152m}\mathrm{Eu}\) — источник электронного захвата

\[ \Longrightarrow \]

\({}^{152}\mathrm{Sm}\) — резонансный поглотитель

Для резонансного поглощения используется тот же переход в \({}^{152}\mathrm{Sm}\): источник создаёт фотоны, а покоящийся самарий служит узким энергетическим фильтром.

Соберем установку

1 2 3 4 5

Сцена 1/5 · Сборка детектора

1 \(\nu_e\) \(A\) \(B^*\) \(\gamma\) \(B\)

2 \(B\) \(B^*\) \(A\) \(\nu_e\) \(\gamma\)

намагниченное железо

\(+\mathbf B\) \(-\mathbf B\) спины \(e^-\)

\(A\)

\(e^-\)

\(B^*\) \(\mathbf S_{B^*}\)

\(\nu_e\)

\(\gamma\)

\(\nu_e\)

\(\gamma\)

свинцовая
защита

сцинтиллятор

ФЭУ

\(B\)

\(B\)

1

2

1

2

фотон поглощён
есть сигнал

фотон не поглощён
сигнала нет

Резонансная геометрия зафиксирована меняется только направление магнитного поля в железе

\(\gamma\)

\(\gamma\)

прошедшие резонансные фотоны

\(N_+=N(B)\)

\(N_-=N(-B)\)

\(\displaystyle \mathcal A=\frac{N_+-N_-}{N_++N_-}\)

Что фактически сравнивают

• Два счёта
• Асимметрия
• От знака к спиральности

Геометрия установки остаётся неизменной. Меняется только направление магнитного поля в железном анализаторе.

Обозначим через \(N_+\) и \(N_-\) числа прошедших резонансных фотонов при двух направлениях поля:

\[ N_+\equiv N(B), \qquad N_-\equiv N(-B). \]

Одинаковое время измерения позволяет сравнивать эти числа напрямую.

Разность счётов нормируют на их сумму:

\[ \mathcal A = \frac{N_+-N_-}{N_++N_-}. \]

Сумма подавляет зависимость от общей интенсивности источника, а разность выделяет эффект, меняющий знак вместе с магнитным полем.

Величина эффекта зависит от

• поляризации электронов в железе;
• анализирующей способности железа;
• доли резонансных фотонов в полном счёте.

После этих поправок знак \(\mathcal A\) задаёт знак круговой поляризации фотона, а выбранная резонансом геометрия даёт

\[ \operatorname{sign}\mathcal A \longrightarrow h_\gamma \longrightarrow h_\nu. \]

Эксперимент не ловит нейтрино: он читает цепочку корреляций, оставленную нейтрино в ядре и фотоне.

4. Результат и физический смысл

Нейтрино оказалось левоспиральным

Голдхабер, Гродзинс и Суньяр получили

\[ \boxed{h(\nu_e)=-1\pm0.3}. \]

Знак однозначно указывал: электронные нейтрино рождаются левоспиральными.

Результат согласуется с максимальным нарушением пространственной чётности в слабом взаимодействии.

Морис Голдхабер

От спиральности к киральности

• Опыт Голдхабера непосредственно измеряет спиральность: \(h(\nu_e)\simeq-1\).
• Для массивной частицы спиральность зависит от системы отсчёта, а киральность остаётся лоренц-инвариантной характеристикой.
• Поскольку \(E_\nu\gg m_\nu\), состояние с \(h=-1\) почти полностью левокирально; доля правокиральной компоненты порядка \(m_\nu^2/(4E_\nu^2)\).
• В Стандартной модели именно левокиральные фермионы образуют дублеты группы \[ SU(2)_L\times U(1)_Y \]

нейтрино

\[h\simeq-1\]

левоспиральные

антинейтрино

\[h\simeq+1\]

правоспиральные

Именно эта асимметрия связывает опыт Голдхабера с нарушением чётности в опыте Ву.

Современный статус

Мюонные нейтрино

Спиральность \(\nu_\mu\) определяют:

• При захвате мюона рождается поляризованное ядро \({}^{12}\mathrm{B}\): \[ \mu^-+{}^{12}\mathrm{C}_{g.s.} \to\nu_\mu+{}^{12}\mathrm{B}_\mathrm{g.s.} \] Его поляризацию определяют по последующему \(\beta\)-распаду: \[ {}^{12}\mathrm{B}_{g.s.} \to{}^{12}\mathrm{C}_{g.s.}+e^-+\bar\nu_e, \qquad h(\nu_\mu)\approx-1.06\pm0.11. \] Спины углерода и бора в основном состоянии равны \(0\) и \(1\) соответственно.

• Независимый предел получают из цепочки распадов \[ \pi^+\to\mu^++\nu_\mu, \qquad \mu^+\to e^++\nu_e+\bar\nu_\mu. \] Поляризацию \(\mu^+\) определяют по распределению позитронов в его распаде:

\[ |h(\nu_\mu)|>0.9959 \qquad\text{на уровне достоверности }90\%. \]

Тау-нейтрино

Для \(\nu_\tau\) используют корреляции в распадах \(\tau\)-лептона. Измерения совместимы с

\[ h(\nu_\tau)=-1. \]

CLEO:

\[ h(\nu_\tau) = -0.995\pm0.010\pm0.003. \]

Для всех трёх ароматов \(h(\nu_\ell)\simeq-1\), \(\ell=e,\mu,\tau\) — заряженный слабый ток имеет универсальную левокиральную структуру.