Задачи: нарушение пространственной чётности

Введение в физику нейтрино

Автор

Дмитрий В. Наумов

← Вернуться к лекции · Все задачи курса

Задачи

Задача 02.1. \(\tau\)–\(\theta\)-загадка

Две заряженные частицы с одинаковыми массой и временем жизни наблюдались в распадах

\[ \theta^+\to\pi^++\pi^0, \qquad \tau^+\to\pi^++\pi^++\pi^-. \]

Спин обеих частиц равен нулю, а внутренняя чётность пиона отрицательна: \(P_\pi=-1\). Считайте, что конечные пионы находятся преимущественно в состоянии с нулевым относительным орбитальным моментом.

  1. Найдите чётность двухпионного конечного состояния.
  2. Найдите чётность трёхпионного конечного состояния.
  3. Почему при сохранении пространственной чётности эти распады пришлось бы приписать двум разным частицам?
  4. Почему совпадение масс и времён жизни, напротив, указывало на одну частицу?
  5. Сформулируйте, как гипотеза Ли и Янга разрешила парадокс.

Задача 02.2. Что непосредственно измеряет опыт Ву?

Пусть угловое распределение электронов в \(\beta\)-распаде поляризованного ядра имеет вид

\[ W(\theta)=1+a\cos\theta, \]

где \(\theta\) — угол между импульсом электрона и направлением поляризации ядра.

  1. Укажите, какая из величин \(\mathbf p_e\) и \(\mathbf J\) является полярным вектором, а какая — аксиальным.

  2. Покажите, что при пространственной инверсии \(\mathbf p_e\to-\mathbf p_e\), \(\mathbf J\to\mathbf J\) и \(\cos\theta\to-\cos\theta\).

  3. Почему ненулевой коэффициент \(a\) означает нарушение чётности?

  4. Интегрируя по двум полусферам, покажите, что

    \[ N_+\propto1+\frac a2, \qquad N_-\propto1-\frac a2. \]

  5. Выразите \(a\) через измеренную полусферическую асимметрию

    \[ \mathcal A=\frac{N_+-N_-}{N_++N_-}. \]

Задача 02.3. Можно ли поляризовать ядра обычным магнитом?

Рассмотрите ядро со спином \(1/2\) и магнитным моментом \(\mu=4\mu_N\) в поле \(B=10~\mathrm{Тл}\). Используйте

\[ \mu_N=3.15\cdot10^{-8}~\mathrm{эВ/Тл}, \qquad k_B=8.617\cdot10^{-5}~\mathrm{эВ/К}. \]

Энергии двух ориентаций равны \(E_\pm=\mp\mu B\), а равновесная поляризация

\[ \mathcal P= \frac{N_+-N_-}{N_++N_-} =\tanh\!\left(\frac{\mu B}{k_BT}\right). \]

  1. Выведите эту формулу из больцмановских заселённостей.
  2. Вычислите зеемановскую энергию \(\mu B\).
  3. Найдите \(\mathcal P\) при \(T=1~\mathrm{К}\), \(10~\mathrm{мК}\) и \(1~\mathrm{мК}\).
  4. При какой температуре достигается \(\mathcal P=0.90\)?
  5. Почему большой магнит сам по себе не обеспечивает сильную ядерную поляризацию?

Задача 02.4. Адиабатическое размагничивание

Для \(N\) невзаимодействующих магнитных моментов со спином \(1/2\) в поле \(B\) введите

\[ x=\frac{\mu B}{k_BT}. \]

  1. Покажите, что статистическая сумма равна

    \[ Z_N=(2\cosh x)^N. \]

  2. Из \(F=-k_BT\ln Z_N\) получите энтропию

    \[ S=Nk_B\left[\ln(2\cosh x)-x\tanh x\right]. \]

  3. Объясните, почему при \(S=\mathrm{const}\) сохраняется отношение \(B/T\).

  4. Система начинает при

    \[ T_i=1.2~\mathrm{К}, \qquad B_i=2.0~\mathrm{Тл} \]

    и адиабатически размагничивается до \(B_f=2.0\cdot10^{-2}~\mathrm{Тл}\). Найдите \(T_f\).

  5. Какие реальные эффекты мешают температуре неограниченно падать при \(B_f\to0\)?

Задача 02.5. Как объяснить инопланетянам, где лево?

Предположим сначала, что все фундаментальные взаимодействия сохраняют пространственную чётность.

  1. Почему системы координат \((x,y,z)\) и \((-x,y,z)\) в таком мире физически эквивалентны?
  2. Почему чертёж, текстовая инструкция или радиосигнал сами по себе не позволяют передать абсолютное различие между левым и правым?
  3. Опишите установку с поляризованными ядрами и \(\beta\)-детекторами, которую могут одинаково собрать две цивилизации.
  4. Как по знаку асимметрии \(\beta\)-распада обе цивилизации выберут одну и ту же ориентацию пространства?
  5. Какую дополнительную договорённость нужно передать, чтобы процедура не перепутала вещество с антивеществом?

Задачи для разбора на семинаре

Семинар 02.1. Что меняется при отражении?

Заполните таблицу преобразований при пространственной инверсии \(\mathbf r\to-\mathbf r\) для величин

\[ \mathbf r,\quad \mathbf p,\quad \mathbf E,\quad \mathbf J,\quad \mathbf B. \]

Какие из них являются полярными, а какие — аксиальными векторами? Определите чётность величин \(\mathbf p\cdot\mathbf J\), \(\mathbf E\cdot\mathbf p\) и \(\mathbf J\cdot\mathbf B\). Какая из них может служить наблюдаемым признаком нарушения чётности?

Семинар 02.2. Асимметрия из числа событий

Угловое распределение электронов от поляризованных ядер имеет вид

\[ W(\theta)\propto 1+A_\beta P\beta\cos\theta. \]

Два одинаковых детектора, покрывающих противоположные полусферы, зарегистрировали \(N_+=11\,200\) и \(N_-=8\,800\) событий. Поляризация ядер равна \(P=0.80\), а скорость электронов — \(\beta=0.75\).

  1. Интегрированием по полусферам покажите, что \((N_+-N_-)/(N_++N_-)=A_\beta P\beta/2\).
  2. Найдите \(A_\beta\).
  3. Как изменится результат при обращении поляризации ядер?

Семинар 02.3. Как отделить физическую асимметрию от приборной?

Пусть при двух направлениях поляризации измерены асимметрии

\[ A^\uparrow=A_{\mathrm{inst}}+A_{\mathrm{phys}}, \qquad A^\downarrow=A_{\mathrm{inst}}-A_{\mathrm{phys}}. \]

  1. Выразите \(A_{\mathrm{phys}}\) и \(A_{\mathrm{inst}}\) через две измеренные величины.
  2. Найдите их для \(A^\uparrow=0.13\) и \(A^\downarrow=-0.09\).
  3. Почему обращение поляризации — более надёжная проверка, чем сравнение двух детекторов только при одном направлении поля?

Семинар 02.4. Нарушает ли чётность магнитное поле?

Ориентацию ядер создают взаимодействием

\[ U=-\boldsymbol\mu\cdot\mathbf B. \]

Покажите, что \(\boldsymbol\mu\) и \(\mathbf B\) являются аксиальными векторами, а энергия \(U\) не меняется при пространственной инверсии. Почему сама подготовка поляризованной мишени магнитным полем не является нарушением чётности, тогда как корреляция \(\mathbf J\cdot\mathbf p_e\) в распаде может его обнаружить?