Задачи: первое знакомство с нейтрино

Введение в физику нейтрино

Автор

Дмитрий В. Наумов

← Вернуться к лекции · Все задачи курса

Задачи

Задача 01.1. Насколько Вселенная прозрачна для нейтрино?

Оцените длину взаимодействия нейтрино в среде со средней барионной плотностью Вселенной для двух энергий:

\[ E_\nu=1~\mathrm{МэВ}, \qquad E_\nu=1~\mathrm{ПэВ}. \]

Используйте

\[ \lambda_\nu=\frac{1}{n\sigma}, \qquad n\simeq2.5\cdot10^{-7}~\mathrm{см}^{-3}, \]

\[ \sigma_{\nu e}(1~\mathrm{МэВ})\sim10^{-44}~\mathrm{см}^2, \qquad \sigma_{\nu N}(1~\mathrm{ПэВ})\sim10^{-33}~\mathrm{см}^2, \]

и диаметр наблюдаемой Вселенной \(D_{\mathrm{набл}}\simeq8.8\cdot10^{28}~\mathrm{см}\).

  1. Вычислите \(\lambda_\nu\) и отношение \(D_{\mathrm{набл}}/\lambda_\nu\) для обеих энергий.
  2. Интерпретируйте \(D_{\mathrm{набл}}/\lambda_\nu\) как оптическую толщину. Какова вероятность хотя бы одного взаимодействия при \(D_{\mathrm{набл}}\ll\lambda_\nu\)?
  3. Почему для этой оценки нужна плотность обычного вещества, а не полная плотность энергии Вселенной?
  4. Объясните, почему рост сечения на одиннадцать порядков всё равно не делает однородную Вселенную непрозрачной для пэвных нейтрино.

Задача 01.2. Поток солнечных нейтрино

Основная цепочка термоядерных реакций в Солнце в суммарном виде имеет вид

\[ 4p\longrightarrow{}^4\mathrm{He}+2e^++2\nu_e+Q, \qquad Q=26.7~\mathrm{МэВ}. \]

Используйте

\[ L_\odot=3.83\cdot10^{26}~\mathrm{Вт}, \qquad r_\oplus=1~\mathrm{а.е.}, \qquad r_J=5.20~\mathrm{а.е.}, \]

\[ 1~\mathrm{а.е.}=1.496\cdot10^{11}~\mathrm{м}, \qquad 1~\mathrm{эВ}=1.602\cdot10^{-19}~\mathrm{Дж}. \]

  1. Оцените число завершённых реакционных цепочек в секунду.
  2. Найдите скорость рождения нейтрино \(\dot N_\nu\).
  3. Используя \(\Phi_\nu=\dot N_\nu/(4\pi r^2)\), вычислите поток на орбитах Земли и Юпитера.
  4. Сравните поток на Земле с \(\Phi_\nu^{\mathrm{exp}}\simeq6.6\cdot10^{10}~ \mathrm{см}^{-2}\mathrm{с}^{-1}\).
  5. В оценке вся энергия \(Q\) была отождествлена со светимостью Солнца. В какую сторону изменится результат, если учесть энергию, унесённую нейтрино?

Задача 01.3. Сколько существует лёгких нейтрино?

Невидимая ширина распада \(Z\)-бозона измерена как

\[ \Gamma_{\mathrm{inv}}=499.0\pm1.5~\mathrm{МэВ}. \]

Стандартная модель предсказывает для одного лёгкого нейтрино

\[ \Gamma(Z\to\nu\bar\nu)=167.21\pm0.02~\mathrm{МэВ}. \]

  1. Вычислите

    \[ N_\nu= \frac{\Gamma_{\mathrm{inv}}} {\Gamma(Z\to\nu\bar\nu)}. \]

  2. Оцените неопределённость \(N_\nu\), считая две ошибки независимыми.

  3. Согласуется ли результат с тремя нейтринными флэйворами?

  4. Почему это измерение ограничивает число только тех нейтрино, для которых распад \(Z\to\nu\bar\nu\) кинематически разрешён?

  5. Может ли существовать дополнительное нейтрино, которое не связано с \(Z\)-бозоном? Что именно тогда означает слово «стерильное»?

Задача 01.4. Осцилляции атмосферных нейтрино

В двухфлэйворном приближении

\[ P(\nu_\mu\to\nu_\tau) = \sin^2 2\theta\, \sin^2\!\left( 1.267\, \frac{\Delta m^2[\mathrm{эВ}^2]L[\mathrm{км}]} {E_\nu[\mathrm{ГэВ}]} \right). \]

Положите

\[ E_\nu=1~\mathrm{ГэВ}, \qquad \sin^2 2\theta=1, \qquad \Delta m^2=2.5\cdot10^{-3}~\mathrm{эВ}^2. \]

  1. Найдите расстояние до первого максимума перехода.
  2. Сравните вероятности для нейтрино, пришедшего сверху (\(L=20~\mathrm{км}\)), и прошедшего через Землю (\(L=12\,742~\mathrm{км}\)).
  3. Постройте \(P(\nu_\mu\to\nu_\tau)\) как функцию \(x=L/D_\oplus\) при \(0\leq x\leq1\).
  4. На том же графике постройте \(P(\nu_\mu\to\nu_\mu)\) и проверьте унитарность.
  5. Как сместится первый максимум при увеличении энергии в десять раз?

Задача 01.5. Минимальные массы при двух порядках уровней

Используйте измеренные разности квадратов масс

\[ \Delta m_{21}^2=7.4\cdot10^{-5}~\mathrm{эВ}^2, \qquad |\Delta m_{31}^2|=2.5\cdot10^{-3}~\mathrm{эВ}^2. \]

  1. Для нормального порядка положите \(m_1=0\) и найдите \(m_2\), \(m_3\) и \(\sum_i m_i\).
  2. Для обратного порядка положите \(m_3=0\) и найдите \(m_1\), \(m_2\) и \(\sum_i m_i\).
  3. Почему осцилляции определяют разности квадратов масс, но не фиксируют массу самого лёгкого состояния?
  4. Повторите расчёт для \(m_{\mathrm{lightest}}=0.05~\mathrm{эВ}\). Насколько различимы в этом случае два порядка по самим значениям масс?
  5. Объясните смысл терминов «иерархический» и «квазиевырожденный» спектр.

Задачи для разбора на семинаре

Семинар 01.1. Сколько нейтрино проходит через человека?

Поток солнечных нейтрино у Земли равен \(\Phi_\nu=6.6\cdot10^{10}~\mathrm{см}^{-2}\mathrm{с}^{-1}\). Примите площадь поперечного сечения человека равной \(0.70~\mathrm{м}^2\), толщину тела вдоль пучка — \(0.30~\mathrm{м}\), электронную плотность воды — \(n_e=3.3\cdot10^{29}~\mathrm{м}^{-3}\), а характерное сечение взаимодействия — \(\sigma=10^{-48}~\mathrm{м}^2\).

  1. Сколько солнечных нейтрино проходит через человека за секунду?
  2. Оцените вероятность взаимодействия одного нейтрино как \(n_e\sigma l\).
  3. Как часто при этих предположениях происходит взаимодействие? Почему огромный поток нейтрино не делает их простыми для регистрации?

Семинар 01.2. Заряженный или нейтральный ток?

Для каждой реакции определите, идёт ли она через заряженный или нейтральный слабый ток:

\[ \nu_e+n\to p+e^-, \qquad \bar\nu_e+p\to n+e^+, \]

\[ \nu_\mu+e^-\to\nu_\mu+e^-, \qquad \nu+N\to\nu+N. \]

Какие реакции непосредственно указывают аромат пришедшего нейтрино, а какие лишь обнаруживают сам факт его взаимодействия? Проверьте сохранение электрического заряда в каждой реакции.

Семинар 01.3. Почему осцилляции не измеряют абсолютную массу?

Фаза интерференции двух массовых состояний имеет вид

\[ \Delta\phi_{ij}=\frac{\Delta m_{ij}^2L}{2E}. \]

  1. Покажите, что вероятности осцилляций не меняются при одновременной замене \(m_i^2\to m_i^2+C\) для всех \(i\).
  2. Какую информацию о массах всё же дают осцилляции?
  3. Какая комбинация масс измеряется по форме конца \(\beta\)-спектра?

Семинар 01.4. Какой эксперимент отвечает на какой вопрос?

Сопоставьте наблюдение и физический вопрос:

  • осцилляции нейтрино;
  • конец \(\beta\)-спектра;
  • невидимая ширина \(Z\)-бозона;
  • поиск безнейтринного двойного \(\beta\)-распада;
  • рассеяние нейтрино на веществе.

Вопросы: разности квадратов масс и смешивание; абсолютный масштаб масс; число лёгких активных нейтрино; нарушение лептонного числа и природа Майораны; структура слабого взаимодействия. Объясните, почему ни один из этих экспериментов не заменяет все остальные.