Весна · проект 11 из 18

Когда вакуум становится призмой

Ренормировка иногда воспринимается как формальный приём. Однако она вскрывает новый пласт реальности с реальными физическими эффектами. Один из них — двойное лучепреломление вакуума в сильном электромагнитном поле, следующее из лагранжиана Эйлера и Гейзенберга [1]. В этом проекте вы убедитесь в том, что квантовые флуктуации делают вакуум оптически анизотропной средой.

  • В классической электродинамике лагранжиан поля имеет вид \[L_0 = \frac{1}{8\pi}(\boldsymbol{E}^2 - \boldsymbol{B}^2).\] Квантовые поправки, обусловленные виртуальными электрон-позитронными парами, приводят к нелинейным эффектам. При низких энергиях эффективный лагранжиан (лагранжиан Эйлера–Гейзенберга) принимает вид: \[L_{\text{eff}} = L_0 + \frac{e^4}{360\pi^2 m_e^4} \left[(\boldsymbol{E}^2 - \boldsymbol{B}^2)^2 + 7(\boldsymbol{E} \cdot \boldsymbol{B})^2\right].\]

    1. Выведите выражения для векторов индукции: \[\boldsymbol{D} = 4\pi \frac{\partial L_{\text{eff}}}{\partial \boldsymbol{E}}, \quad \boldsymbol{H} = -4\pi \frac{\partial L_{\text{eff}}}{\partial \boldsymbol{B}}.\]

    2. Сравните полученные материальные уравнения с уравнениями вакуума. Что изменилось?

  • Линеаризуйте уравнения, предполагая, что поле состоит из фона \(\boldsymbol{E}_0, \boldsymbol{B}_0\) и малого возмущения \(\delta \boldsymbol{E}, \delta \boldsymbol{B}\). Получите тензоры диэлектрической и магнитной проницаемостей среды.

  • Запишите уравнения Максвелла для волнового возмущения. Найдите дисперсионное соотношение для волны, распространяющейся вдоль оси \(x\), при условии, что постоянное магнитное поле направлено вдоль оси \(z\): \[\boldsymbol{B}_0 = B_0 \boldsymbol{e}_z.\]

  • Рассмотрите два случая:

    1. Электрическое поле волны параллельно \(\boldsymbol{B}_0\) (направление поляризации вдоль оси \(z\));

    2. Электрическое поле волны перпендикулярно \(\boldsymbol{B}_0\) (поляризация вдоль оси \(y\)).

    ✓  Найдите показатели преломления \(n_\parallel\) и \(n_\perp\), и их разность: \[\Delta n = n_\parallel - n_\perp.\]

  • Предложите эксперимент для наблюдения двойного лучепреломления вакуума. Какой эффект можно использовать — интерференцию, вращение поляризации, фазовый сдвиг? Какие поля и чувствительность нужны?

Литература

1 Heisenberg, Werner, Euler, Hans, Folgerungen aus der Diracschen Theorie des Positrons, Zeitschrift für Physik 98 714–732 (1936) https://doi.org/10.1007/BF01343663

Весна: все проекты, PDF

← Все проекты